圆锥曲线的第三定义精讲

圆锥曲线的第三定义及运用一、 椭圆和双曲线的第三定义1. 椭圆在椭圆()2222C 10x y a b a b +=f f ：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a•--证明：构造△PAB 的PA 边所对的中位线MO ，PA MO k k =，由点差法结论：222=1=MO PB b k k e a•--知此结论成立。

2. 双曲线在双曲线2222C 1x y a b -=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于A 、B 的一点，若PA PBk k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a •-证明：只需将椭圆中的2b 全部换成2b -就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。

二、 与角度有关的问题例题一：已知椭圆()2222C 10x y a b a b+=f f ：的离心率2e =，A 、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线22178x y -=的一个交点，令PAB=APB=αβ∠∠，，则()cos =cos 2βαβ+.解答：令=PBx γ∠，由椭圆第三定义可知：21tan tan =1=4e αγ•--()()()cos cos cos cos sin sin 1tan tan 3===cos 2cos cos cos sin sin 1tan tan 5γαβγαγααγαβγαγαγααγ-++•=+++-•点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。

两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。

题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线22C 2015x y -=：的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线右支一点，且=4PAB APB ∠∠，求=PAB ∠.解答：令=02PAB πα⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，=02PBA πβ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，则=5βα，由双曲线的第三定义知：2tan tan =tan tan5=1=1e αβαα••-则：1tan ==tan 5=5=tan52212πππαααααα⎛⎫-⇒-⇒ ⎪⎝⎭点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。

高三数学圆锥曲线详细知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用，因此掌握圆锥曲线的知识对于学生来说非常重要。

1. 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它由一个动点P和两个定点F1和F2确定。

椭圆的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

这个常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆的形状由参数e = PF1 / 2a来确定，其中e称为离心率。

当e=0时，椭圆退化成一个圆。

椭圆有许多重要性质和公式，比如它的离心率范围是0<e<1，长轴和短轴的长度之间有关系a^2 = b^2(1 - e^2)。

此外，椭圆还有焦点、准线、主轴等概念，对于理解椭圆的性质和应用非常有帮助。

2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中的另一种形式。

它由一个动点P和两个定点F1和F2确定，类似于椭圆。

但不同的是，双曲线的定义是动点P到两个定点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1 - PF2| = 2a。

与椭圆不同的是，双曲线的离心率e>1，因此它的形状更加扁平。

双曲线也有许多重要的性质和公式。

比如，它的离心率范围是e>1，焦点与曲线的准线之间的距离等于常数2a。

双曲线还有渐近线，指的是双曲线两个分支无限远处趋于平行的直线。

3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中的第三种形式。

它由一个定点F和一条直线l确定，定点F称为焦点，直线l称为准线。

抛物线的定义是动点P到焦点F的距离等于点P到直线l的距离，即PF = PD。

抛物线的形状是开口向上或向下的U形曲线。

抛物线也有许多特殊的性质和公式。

比如，抛物线的焦半径等于准线与焦点之间的垂直距离，焦半径的长度等于焦距的两倍。

抛物线还有焦平面和直径等概念，对于解决实际问题非常有帮助。

总结：在高三数学中，圆锥曲线是一个重要的学习内容。

它包括了椭圆、双曲线和抛物线三个部分。

圆锥曲线的三种定义
圆锥曲线可以通过多种定义来描述，下面我将从三种不同的角度来回答你的问题。

1. 几何定义：
圆锥曲线是通过圆锥和平面的交点集合而成的曲线。

当平面与圆锥的两个母线夹角小于圆锥的夹角时，交点为椭圆；当平面与圆锥的两个母线夹角等于圆锥的夹角时，交点为圆；当平面与圆锥的两个母线夹角大于圆锥的夹角时，交点为双曲线。

2. 代数定义：
圆锥曲线也可以通过代数方程来定义。

例如，椭圆的代数方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，圆的代数方程为x^2 + y^2 = r^2，双曲线的代数方程为x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。

这些方程描述了平面上的点满足的条件，从而定义了不同类型的圆锥曲线。

3. 参数方程定义：
圆锥曲线还可以通过参数方程来定义。

以椭圆为例，其参数方程可以写为x = acos(t)，y = bsin(t)，其中t为参数，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

通过不同的参数取值，可以得到椭圆上的各个点的坐标，从而描述了整个椭圆曲线。

综上所述，圆锥曲线可以通过几何、代数和参数方程三种不同的方式来定义，每种定义方式都能够全面而准确地描述圆锥曲线的特性和性质。

-1（ a ―0）的长轴长为 例、已知椭圆—2 a ―1直线l 与椭圆相交与 M 、N 两点，记直线 PM 、PN 的斜率分别为kl 、k2。

若k1 k2= - ，4则椭圆的方程为。

变式：1、设点A ，B 的坐标为（-2，0），（ 2，0），点P 是曲线C 上任意一点，且直线 PA 与PB 的1斜率之积为-，则曲线C 的方程为。

42、设点P 是曲线C 上任意一点，坐标原点是 0，曲线C 与X 轴相交于两点 M （-2，0），3N （2，0），直线PM ，PN 的斜率之积为-，贝U OP 的最小值是。

4-8，0），（ 8，0 ），且AC, BC 所在直线斜率之积为 m （ m ≠0 ），求顶点C 的轨迹。

2 24、P 是双曲线 仔-占=1（a 0,b 0）上一点，M,N 分别是双曲线的左右顶点，直线PM ，a b 1PN 的斜率之积为一，则双曲线离心率为。

X 2 2圆锥曲线第三定义在椭圆—2 1（a ― 0）中，A ， B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于 A ， B 两 ― 点的任意一点, k pA , k pB 存在，则 k pA * k PB―2r 。

（反之亦成立） a 在双曲线 2爲=1（a 0, ― ■ 0）中，A ，B 两点关于原点对称, ―2 P 是椭圆上异于A , B 两点的任意一点，若 k PA , k PB 存在，则 kPA *k PB b=。

（反之亦成立）a ★焦点在Y 轴上时,椭圆满足 k PA *k PB —a 2双曲线满足k p A ∙k pBa 2b 2X 2 3、已知 ABC 的两个顶点坐标分别是（4,若点P 是椭圆上任意一点，过原点的2 255、已知椭圆——=1的左右顶点分别是A、B, M是椭圆上异于A、B的动点，求证:3 2k MA *k MB为定值。

6、平面内与两定点A i(-a,0)，A2(a,0) (a 0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.求曲线C的方程，并讨论C 的形状与m值得关系；第三定义的应用2例、椭圆y2=1的左右顶点分别是A, B,点S是椭圆上位于X轴上方的动点，直线AS,410BS与直线l : X 分别交于点M、N,求线段MN长度的最小值。

圆锥曲线“第三定义”的拓展与延伸
发布时间：2023-03-06T08:40:39.308Z 来源：《教学与研究》2022年56卷20期作者：王承超
[导读] （新课标人教社选择性必修一P108例3）如图，已知，A，B两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程。

王承超
湖北省恩施高中 445000
课本这道题中A，B两点的坐标恰好是椭圆方程中长轴两个端点，这究竟是偶然还是一种必然？能否推广到一般？这道题如果条件中点的位置发生变化，改成短轴的两个端点是否还有类似结论？再变成关于原点对称的两个点是否有相同结论？如果焦点位置在轴上结论有何变化？
为了方便同学记忆和理解，我们习惯性把例1这种求椭圆轨迹的方法叫做椭圆的“第三定义”（不是严格定义，因为椭圆要去掉两个点）。

一道课本例题，通过逻辑推理，拓展出四个结论，题目千千万，编者为什么把这道例题选入教材，有其深刻的道理和原因，因此我
们一定要重视教材和课本习题的研究，只有吃透教材，才能在遇到陌生和创新性、情境性试题时能够胸有成竹、从容应对，解题能够举一反三、游刃有余。

点差法与圆锥曲线第三定义的应用举例尹伟云(贵州省仁怀市周林高中ꎬ贵州仁怀５６４５９９)摘㊀要:点差法是解决圆锥曲线中点弦问题的有效工具ꎬ亦是高考的常考对象.本文从点差法入手ꎬ探究点差法与圆锥曲线第三定义的联系ꎬ给出５个经典结论及其证明ꎬ并以实例阐述其应用.关键词:点差法ꎻ中点弦ꎻ圆锥曲线第三定义中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００８６－０５收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:严伟云ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线中的中点弦和直径问题是高考经常考查的对象.在某些与中点及直径有关的相交弦问题中ꎬ利用点差法或圆锥曲线第三定义可快速得到两直线的斜率之积ꎬ尤其是在小题中ꎬ直接利用结论求解ꎬ可大大地节省解题时间.下面就这些问题进行探讨.１点差法的原理１.１点差法在椭圆中点弦问题中的应用结论１㊀设直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图１ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２＝ｅ２－１ꎻ若椭圆方程为ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)ꎬ如图２ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.证明㊀由ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬìîíïïïï两式相减ꎬ得图１㊀椭圆焦点在ｘ轴㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀椭圆焦点在ｙ轴ｘ２１－ｘ２２ａ２＋ｙ２１－ｙ２２ｂ２＝０.即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＋(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２＝０.化为(ｙ１＋ｙ２)/２(ｘ１＋ｘ２)/２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｂ２ａ２.所以ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２.故ｋＯＰ ｋＡＢ＝－ｂ２ａ２＝－ａ２－ｃ２ａ２＝ｅ２－１.如图２ꎬ当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理得ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝－ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.１.２点差法在双曲线中点弦问题中的应用结论２㊀设直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图３和图４ꎬ仿照结论１的证明方法ꎬ容易得到ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝ｂ２ａ２＝ｅ２－１.若双曲线方程为ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０ ｋＡＢ＝ａ２ｂ２＝１ｅ２－１.图３㊀双曲线中点弦问题㊀㊀㊀㊀图４㊀双曲线中点弦问题根据结论１和结论２ꎬ容易知道椭圆㊁双曲线中点差法的统一公式:设曲线Ｃ:ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１ꎬ其中ｍｎʂ０ꎬ直线ｌ(不与坐标轴垂直且不过原点)与曲线Ｃ相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ则ｋＯＰ ｋＡＢ＝－ｎｍ.①当ｍ＝ｎ>０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示圆ꎬ由垂径定理可知ꎬｋＰＡ ｋＰＢ＝－１ꎻ②当ｍʂｎ且ｍ>０ꎬｎ>０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示椭圆ꎻ③当ｍｎ<０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１表示双曲线ꎻ④当ｍ<０ꎬｎ<０时ꎬ方程ｘ２ｍ＋ｙ２ｎ＝１不表示任何曲线.１.３点差法在抛物线中点弦问题中的应用结论３㊀设直线ｌ(不与抛物线对称轴垂直)与抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)相交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ ｙ２)两点ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)为弦ＡＢ的中点ꎬ如图５ꎬ则ｙ０ ｋＡＢ＝ｐ.若抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)ꎬ则ｘ０ｋＡＢ＝ｐ.图５㊀抛物线中点弦问题证明㊀由ｙ２１＝２ｐｘ１ꎬｙ２２＝２ｐｘ２ꎬ{两式相减ꎬ得ｙ２１－ｙ２２＝２ｐ(ｘ１－ｘ２).化简为ｙ１＋ｙ２２ ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｐ.即得ｙ０ ｋＡＢ＝ｐ.若抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)ꎬ同理可证ｘ０ｋＡＢ＝ｐ.２圆锥曲线的第三定义已知ＡꎬＢ是ｘ轴上关于原点Ｏ对称的两点ꎬ设｜ＡＢ｜＝２ａ.若平面内异于ＡꎬＢ的动点Ｐ满足ｋＰＡ ｋＰＢ为定值λꎬ则当－１<λ<０时ꎬ点Ｐ的轨迹为椭圆(不含长轴端点ＡꎬＢ)ꎬ设短轴长为２ｂꎬ则λ＝－ｂ２ａ２ꎻ当λ>０时ꎬ点Ｐ的轨迹为双曲线(不含实轴端点ＡꎬＢ)ꎬ设虚轴长为２ｂꎬ则λ＝ｂ２ａ２.由上知ꎬλ＝ｅ２－１ꎬ其中ｅ为对应轨迹的离心率.将圆锥曲线第三定义进行推广ꎬ得到如下结论:结论４㊀如图６ꎬ过原点的直线与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为椭圆上异于ＡꎬＢ的动点ꎬ当直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｅ２－１＝－ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝－ａ２ｂ２.证法１㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则Ｂ(－ｘ１ꎬ图６㊀结论４图－ｙ１)ꎬ从而直线ＰＡꎬＰＢ的斜率之积为ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１＝ｂ２１－(ｘ２０/ａ２)[]－ｂ２１－(ｘ２１/ａ２)[]ｘ２０－ｘ２１＝－ｂ２ａ２.证法２㊀取ＡＰ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬ由点差法ꎬ得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｋＰＡ ｋＯＭ＝ｅ２－１＝－ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理可证ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝－ａ２ｂ２.结论５㊀如图７ꎬ过原点的直线与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)相交于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为双曲线上异于ＡꎬＢ的动点ꎬ当直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｅ２－１＝ｂ２ａ２.图７㊀结论５图当双曲线的焦点在ｙ轴上时ꎬ有ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝ａ２ｂ２.证法１㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则Ｂ(－ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬ则ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｂ２(ｘ２０/ａ２)－１[]－ｂ２(ｘ２１/ａ２)－１[]ｘ２０－ｘ２１＝ｂ２ａ２.证法２㊀取ＰＡ的中点Ｍꎬ连接ＯＭꎬ由点差法ꎬ得ｋＰＡ ｋＰＢ＝ｋＰＡ ｋＯＭ＝ｅ２－１＝ｂ２ａ２.当椭圆的焦点在ｙ轴上时ꎬ同理可证ｋＰＡ ｋＰＢ＝１ｅ２－１＝ａ２ｂ２.３实例分析例１㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２＝１上存在两点ＡꎬＢ关于直线ｌ:ｘ＝ｍｙ＋１对称ꎬ则实数ｍ的取值范围是.解析㊀由题意知ꎬ直线ＡＢ与ｌ互相垂直ꎬ所以ｋＡＢ ｋｌ＝－１ꎬ得ｋＡＢ＝－ｍ.设线段ＡＢ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ由点差法ꎬ得ｋＡＢ ｋＯＭ＝－ｂ２ａ２.即(－ｍ)ｙ０ｘ０＝－１４.与ｘ０＝ｍｙ０＋１联立ꎬ得ｘ０＝４３ꎬｙ０＝１３ｍ.ìîíïïïï因为点Ｍ４３ꎬ１３ｍæèçöø÷在椭圆Ｃ的内部ꎬ所以１６４ˑ９＋１３ｍæèçöø÷２<１.解得ｍ>５５ꎬ或ｍ<－５５.所以实数ｍ的取值范围是－¥ꎬ－５５æèçöø÷ɣ５５ꎬ＋¥æèçöø÷.评注㊀在椭圆中ꎬ由点差法得到的式子 ｋＡＢｋＯＭ＝－ｂ２ａ２ 是相交弦中点与原点连线的斜率与弦所在直线斜率的一个等量关系.ｋＡＢ与直线ＡＢ直接相关联ꎬ－ｂ２ａ２与椭圆Ｃ相关联ꎬ因此ꎬ点差法搭建了直线与椭圆之间的桥梁.在本题中ꎬ点差法为弦中点的表示创造了重要条件ꎬ从而通过中点与椭圆的位置关系建立不等关系.例２㊀已知Ｆ１(－ｃꎬ０)ꎬＦ２(ｃꎬ０)分别为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ直线ｌ:ｘｃ＋ｙｂ＝１与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ线段ＭＮ的垂直平分线与ｘ轴交于点Ｔ(－５ｃꎬ０)ꎬ则Ｃ的离心率为.解析㊀设线段ＭＮ与其垂直平分线交于点Ｐꎬ连接ＯＰꎬ如图８.图８㊀例２解析图则ｋＰＴ ｋＭＮ＝－１ꎬｋＯＰ ｋＭＮ＝ｂ２ａ２.ìîíïïï①②两式相比ꎬ得ｋＰＴｋＯＰ＝－ａ２ｂ２.即ｙ０ｘ０＋５ｃ ｘ０ｙ０＝－ａ２ｂ２ꎬ解得ｘ０＝－５ａ２ｃ.又由①得ｙ０ｘ０＋５ｃ －ｂｃæèçöø÷＝ｙ０－５ａ２/ｃ＋５ｃ －ｂｃæèçöø÷＝－１.解得ｙ０＝５ｂ.将ｘ０＝－５ａ２ｃꎬｙ０＝５ｂꎬìîíïïï代入ｘｃ＋ｙｂ＝１中ꎬ得－５ａ２ｃ２＋５ｂｂ＝１.化简为ｃ２ａ２＝５４.所以ｅ＝ｃａ＝５２.评注㊀求离心率的关键是找到关于ａꎬｂꎬｃ的一个齐次等量关系ꎬ而点差法的结论 ｋＯＰ ｋＭＮ＝ｂ２ａ２ 中恰好含有ａ与ｂ的齐二次关系.对于结论中两直线的斜率ꎬ一般有两种转化途径:一是转化为点的坐标ꎬ二是利用几何图形的特征或位置关系进行转化.本题就是通过点的坐标以及两直线的垂直关系与点的共线关系进行转化.例３㊀抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后ꎬ沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线Ｃ:ｘ２＝８ｙꎬ如图９ꎬ一平行于ｙ轴的光线从上方射向抛物线上的点Ｐꎬ经抛物线２次反射ꎬ最后从抛物线上的点Ｑ沿平行于ｙ轴方向射出.若直线ｌ:ｙ＝ｘ＋ｍ与抛物线Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ在坐标平面内作әＡＢＮꎬ使әＡＢＮ的外接圆圆心的坐标为Ｉ－１２ꎬ１１æèçöø÷ꎬ求弦ＡＢ的长度.图９㊀例３解析图解析㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＡＢ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ２１＝８ｙ１ꎬｘ２２＝８ｙ２.两式相减ꎬ得ｘ２１－ｘ２２＝８(ｙ１－ｙ２).化简为ｘ１＋ｘ２２＝４(ｙ１－ｙ２)ｘ１－ｘ２.解得ｘ０＝４ｋＡＢ＝４.即得ｋＡＢ＝１ꎬ从而ｙ０＝４＋ｍ.由垂径定理ꎬ得ＡＢʅＭＩ.所以ｋＡＢ ｋＭＩ＝－１.即１ ４＋ｍ－１１４＋１/２＝－１ꎬ解得ｍ＝５２.联立ｙ＝ｘ＋５２与ｘ２＝８ｙꎬ消去ｙꎬ得ｘ２－８ｘ－２０＝０.从而｜ＡＢ｜＝ｋ２＋１ ｜ｘ１－ｘ２｜＝ｋ２＋１(ｘ１＋ｘ２)２－４ｘ１ｘ２＝１２＋１ ８２－４ˑ(－２０)＝１２２.评注㊀抛物线中点差法的结论ｘ０ｋ＝ｐ 体现了相交弦中点横坐标与弦所在直线斜率的等量关系.本题中ꎬ求直线ｌ方程中ｍ的值是关键.点差法与垂径定理的联合ꎬ将问题转化为点的坐标运算ꎬ从而求出ｍ的值.应注意ꎬ对于解答题ꎬ需写出点差法的推导过程ꎬ即先将弦的两端点坐标代入曲线方程中ꎬ作差后再利用平方差公式和中点坐标公式化为中点坐标与斜率的关系[１].例４㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２１６＋ｙ２１２＝１ꎬ点Ａ(－４ꎬ０)ꎬＢ(４ꎬ０)ꎬ点Ｐ和Ｑ分别是椭圆Ｃ和圆Ｍ:ｘ２＋ｙ２＝１６上不同于ＡꎬＢ的两点ꎬ设直线ＰＢꎬＱＢ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ且ｋ１＝３４ｋ２ꎬ求证:ＡꎬＰꎬＱ三点共线.解析㊀在椭圆Ｃ中ꎬ由椭圆第三定义ꎬ得ｋＰＢ ｋＰＡ＝－ｂ２ａ２.即ｋ１ ｋＰＡ＝－３４.又ｋ１＝３４ｋ２ꎬ所以３４ｋ２ ｋＰＡ＝－３４ꎬ得ｋＰＡ＝－１ｋ２.在圆Ｍ中ꎬ由ｋＱＡ ｋＱＢ＝－１ꎬ即ｋＱＡ ｋ２＝－１ꎬ得ｋＱＡ＝－１ｋ２.所以ｋＰＡ＝ｋＱＡ.又直线ＰＡ与ＱＡ共点Ａꎬ所以ＡꎬＰꎬＱ三点共线.评注㊀如果圆的弦经过该圆圆心ꎬ则称该弦为该圆的直径ꎬ类似地ꎬ椭圆的弦经过该椭圆的中心ꎬ则称该弦为该椭圆的直径.本题中ꎬ线段ＡＢ是椭圆的直径ꎬ通过椭圆第三定义得到椭圆上一点与另两点连线的两斜率之积.如果把圆看作是特殊的椭圆ꎬ那么在圆中 ｋＱＢ ｋＱＡ＝－１ 可看作是椭圆中ｋＰＢ ｋＰＡ＝－ｂ２ａ２ 的特殊情形ꎬ由这两组斜率关系和条件中的斜率关系推出的新的斜率关系ꎬ恰好达到证明的目的.例５㊀在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知直线ｌ:３ｘ＋ｙ＋ｍ＝０与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右支交于ＭꎬＮ两点(点Ｍ在第一象限).若点Ｑ满足ＯＭң＋ＯＱң＝０ꎬ且øＭＮＱ＝３０ʎꎬ则双曲线Ｃ的渐近线方程为.解析㊀由３ｘ＋ｙ＋ｍ＝０ꎬ得ｌ的斜率为－３ꎬ故ｌ的倾斜角为１２０ʎ.又øＭＮＱ＝３０ʎꎬ所以直线ＱＮ的倾斜角为１２０ʎ＋３０ʎ＝１５０ʎꎬ如图１０.图１０㊀例５解析图由ＯＭң＋ＯＱң＝０知ꎬＯ为线段ＭＱ的中点.由双曲线第三定义得ｋＭＮ ｋＱＮ＝ｂ２ａ２.即ｂ２ａ２＝－３ ｔａｎ１５０ʎ＝１ꎬ即ｂａ＝１.所以双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝ʃｘ.评注㊀本题由双曲线第三定义快速得到关于ａꎬｂ的齐次分式与ｋＭＮꎬｋＱＮ的等量关系ꎬ再由直线ＭＮ的倾斜角及条件中的已知角求得ｋＱＮꎬ从而得到关于ａꎬｂ的齐次方程ꎬ即得双曲线的渐近线方程.利用双曲线第三定义解题ꎬ首先要寻找过双曲线中心的相交弦ꎬ其次在双曲线上另找一点ꎬ向弦两端点引直线ꎬ再将这两直线的斜率转化为可求的量.参考文献:[１]任栋.圆锥曲线第三定义及点差法的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１５):４８－４９.[责任编辑:李㊀璟]。

圆锥曲线第三定义内容及推论
圆锥曲线的第三定义是：在平面上取定一个点F（称为焦点）和一条
直线L（称为准线），对于平面上的任意一点P，其到焦点的距离与到准
线的距离之比是一个定值e（称为离心率），即PF/PL=e。

根据这个定义，我们可以得出以下推论：1.离心率e的取值范围是0<e<1。

当e=0时，圆
锥曲线为圆；当e=1时，圆锥曲线为抛物线。

2.对于椭圆和双曲线，焦点
和准线的位置关系不同。

对于椭圆，焦点在准线的中垂线上；对于双曲线，焦点在准线的中线上。

3.椭圆和双曲线的离心率是有关系的。

椭圆的离心
率小于1，双曲线的离心率大于1。

4.圆锥曲线的形状和离心率有关。

离
心率越小，圆锥曲线越接近于圆形；离心率越大，圆锥曲线越扁平。

5.圆
锥曲线的焦点和准线可以确定圆锥曲线的位置和形状。

因此，我们可以通
过给定焦点和准线的位置来确定圆锥曲线的方程。

总之，圆锥曲线的第三
定义是圆锥曲线研究的基础，通过这个定义我们可以得出很多有用的结论，帮助我们更好地理解和应用圆锥曲线。

大招14第三定义与点差法 大招总结圆锥曲线第三定义: 平面内动点到两定点()1,0A a - 和 ()2,0A a 的斜率乘积等于常数 2e 1- 的点的轨 迹为植圆或双曲线. 其中两定点为椭圆或双曲线的顶点. 当 20e 1<< 时为椭圆, 当 2e 1> 时为双曲线.在椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 中, A B 、 是关于原点对称的两点, P 是椭圆上异于 A B 、 的一点, 若 PA PB k k 、 存在,则有: 222e 1PA PB b k k a⋅=-=-在双曲线 2222:1x y C a b-= 中, A B 、 是关于原点对称的两点, P 是双曲线上异于A B 、 的一点, 若 PA PB k k 、 存在, 则有 222:e 1PA PBb k k a⋅=-=抛物线结论: 已知直线 l 与抛物线相交于 ,A B 两点, 点 M 为 AB 的中点, O为原点,则 0AB p k y =证明: 已知 PB 是椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 一条弦, M 是 PB 的中点, O为椭圆的中心. 若 PB OM k k 、 存 在, 先证明: 22PB OMb k k a⋅=-证明 : 设()()1122,,,P x y B x y 且 12x x ≠,则 ()2211221,1x y a b+=，()2222221,2x y a b +=()() 1?2- 得: 2222121222x x y y a b --=-,()()2121221212.b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212PB b x x y y k x x a y y +-∴==--+ 又 1212OMy y k x x +=+，221,PB OMb k a k ∴=-⋅ 22PB OM b k k a ∴⋅=- 此方法称之为点差法, 设点作差, 设而不求.再证明第三定义, 延长 BO 交椭圆于 ,A PAB 的PA边所对的中位线,PA MO MO k k =, 由点差法结论: 222e 1MO PBb k k a ⋅=-=- 知 222e 1PA PB b k k a⋅=-=- 成立.双曲线第三定义的证明: 只需将椭圆中的 2b 全部换成 2b - 即可 抛物线结论证明: 设()()1122,,,A x y B x y , 抛物线方程 22y px =2211222,2y px y px ==()()()1212122y y y y p x x +-=-()()1212022y y p p x x y y -==-垂径定理如图，已知直线l 与椭圆相交于 ,A B 两点，点M 为AB 的中点，O 为原点，则如图，已知直线l 与双曲线相交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，O为原点，则22.OM ABb k k a=-22.OM ABb k k a=(注：直线l 与双曲线的渐近线相交于,A B 两点，其他条件不变，结论依然成立)如图，已知点,A B 椭圆长轴端点(短轴端 点)，P 是椭圆上异于,A B 的一点，则22PA PBb k k a=-．推广：如图，已知点,A B 是椭圆上关于原点 对称的两点，P 是椭圆上异于,A B 的一点，若直线,PA PB 的斜率存在且不为零，22PA PBb k k a=-如图，已知点,A B 双曲线实轴端点，P 是双曲线上异于,A B 的一点，则22PA PBb k k a=．推广：如图，已知点,A B 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于,A B 的一点，若直线,PA PB 的斜率存在且不为零，则22PA PBb k k a=．【中点弦·思维引导1】已知AB 是圆221x y +=的一条弦，点P 是AB 中点，当AB 和OP 斜率存在时．思考：OP AB k k ⋅是否为定值?解：点P 是AB 中点，所以AB OP ⊥(垂径定理)，所以1OP AB k k ⋅=-．【中点弦･思维引导2】已知AB 是椭圆2214x y +=的一条弦，点P 是AB 中点，当AB 和OP 斜率存在时．思考：OP AB k k ⋅是否为定值?解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在椭圆上，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得：()()()()12121212104x x x x y y y y +-++-= 所以()()()()1212121214y y y y x x x x +-=-+-，即14OP ABk k =-．(此方法名为“点差法”，即设点+作差)【第三定义推广·思维引导1】已知AB 是圆221x y +=的直径，点P 是圆上一点，当PA PB 、斜率存在时．思考：PA PB k k ⋅是否为定值?解：AB 是直径，所以PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-．【第三定义推广･思维引导2】1．已知A B 、是椭圆22143x y +=上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上一点．当PA PB 、斜率存在时，思考：PA PB k k ⋅是否为定值?解：设()()1122,,,A x y P x y ，取AP 中点G ，则1212,22x x y y G ++⎛⎫⎪⎝⎭． 点A 和点P 在椭圆上，则有22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得：()()()()1212121211043x x x x y y y y +-++-=所以()()()()1212121234y y y y x x x x +-=-+-，即34OG AP k k ⋅=-．点O 和G 分别是AB 和AP 的中点，所以//OG PB ，所以34PA PB k k ⋅=-．2．已知A B 、在椭圆22221(0)y x a b a b+=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP 斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在椭圆上，则有22112222222211y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b +-++-= 所以()()()()2121221212y y y y a x x x x b+-=-+-，即22OP AB a k k b =-．3．已知A B 、在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭． 2211222222221 ,? 1x y a b A B x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩点和点在双曲线上则有 ()()()()()()()()121212122222121222121211,? .OP AB x x x x y y y y a by y y y b b k k x x x x a a +--+-=+-==+-作差得所以即4．已知A B 、在双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上，点P 是AB 的中点，当AB 和OP 斜率存在时．求证：AB OP k k ⋅为定值． 解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．2211222222221 ,? 1y x a b A B y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩点和点在双曲线上则有 作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b+--+-= ()()()()221212221212 ,? .?OP AB y y y y a a k k x x x x b b +-==+-所以即5．已知A B 、在抛物线22(0)y px p =>上，点P 是AB 的中点，当AB 斜率存在时，求证：AB P k y ⋅为定值．解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在拋物线上，则有21122222y px y px ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212122y y y y p x x +-=-所以1212122y y y y p x x -+⋅=-，即P AB y k p ⋅=．6．已知A B 、在抛物线22(0)x py p =>上，点P 是AB 的中点，当AB 不与y 轴垂直时，求证：PABx k 为定值． 解：设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭．点A 和点B 在抛物线上，则有21122222x py x py ⎧=⎨=⎩作差得()()()1212122x x x x p y y +-=-1212122 ,? .?P AB x x xp p y y k x x +==--所以即7．已知A B 、是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两个点，点P 在椭圆上．当PA 和PB 斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +-++-=所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即22PA PBb k k a=-．8．已知A B 、是椭圆22221(0,0)y x a b a b+=>>上关于原点对称的两个点，点P 在椭圆上．当PA PB 、斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211y x a by x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b +-++-=所以2121221212y y y y a x x x x b-+⋅=--+，即22PA PBa k k b=-．9．已知A B 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两个点，点P 在双曲线上．当PA 和PB 斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值． 解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在双曲线上，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩作差得()()()()1212121222110x x x x y y y y a b +--+-=所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即22PA PBb k k a=． 10．已知A B 、是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>上关于原点对称的两个点，点P 在双曲线上．当PA PB 、斜率存在时，求证：PA PB k k ⋅为定值．解：设()()1122,,,P x y A x y ，则()1212221212,,,PA PB y y y y B x y k k x x x x -+--==-+点A 和点P 在椭圆上，则有22112222222211y x a by x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩作差得()()()()1212121222110y y y y x x x x a b+--+-= 所以2121221212y y y y a x x x x b-+⋅=-+，即22PA PB a k k b =．典型例题例1．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[-2,1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为()()122,02,0A A -、， 设点()(),2P a b a ≠±，则22143a b += (1)，12,22P P b bk k a a ==+-； 则1222224P PA b b b k k a a a ⋅=⋅=+--， 将(1)式代入得12PA PA 34k k ⋅=-， []2PA 2,1k ∈--，133,84P k ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦．故选D ．例2．已知A B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，,M N 是椭圆上关于x轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，且120k k ≠．若12k k +的最小值为1，则椭圆的离心率 A ．12B．2 C．2 D．3解：设()()()()0000,,,,,0,,0M x y N x y A a B a --001200,y y k k x a a x ==+-0001200021y y y k k x a a x x a +=+==+-+ 当且仅当0000y y x a a x =+-，即000,x y b ==时等号成立 212ba b a∴==∴=又因为222a b c c =+∴=2c e a ∴== 故选C ．例3．已知A B 、分别为椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左、右顶点，P Q 、是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为,m n ，若点A 到直线y =的距离为1，则该椭圆的离心率为A ．12 B ．4 C ．13D ．2解：由椭圆2221(03)9x y b b +=<<，得()()3,0,3,0A B -， 设()00,P x y ，则()00,Q x y -，2200219x y b ∴+=，则2202099y b x -=-． 0000,33AP BQ y y m k n k x x -====+-， 2202099y b mn x -∴==-．∴直线y =化为y x ==30y -=．由点A 到直线y =的距离为1，1=，解得2638b =， 22298c a b ∴=-=，则4c =．则4c e a ==． 故选B ．例4．已知双曲线22112x y -=，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且 B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：假设这样的直线存在，设,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12122,2x x y y +=+=，又21x ()()222122111,11,222y x y -=-= (1)－(2)得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， ()()121220x x y y ∴---=PQ ∴的斜率 12122y y k x x -==-又直线l 过,,P Q B 三点，l ∴的方程为()121y x -=-，即21y x =-．但若将21y x =-代入22112x y -=整理得方程22430x x -+=，而此方程无实数解，所以满足题设的直线不存在．例5．已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程． 解：设弦的两个端点分别为()()1122,,,,P x y Q x y PQ 的中点为(),M x y ．则()()222212121,11,222x x y y +=+= (1)－(2)得：()()22221212121212120,022x x x x y y y y y y x x -+-+-=∴++=-．又121212122,2,2,40y y x x x y y y x y x x -+=+==∴+=-．弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=(在已知椭圆内)．例6．直线():50l ax y a --+=(a 是参数)与抛物线2:(1)f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是________．解：设()()1122,,,A x y B x y AB 、中点(),M x y ，则122x x x +=．()():150,l a x y l --+=∴过定点()51,5,1AB MN y N k k x +-∴==-． 又()()()()2211221,11,2y x y x =+=+(1)-(2)得：()()()()2212121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，1212122AB y y k x x x x -∴==++-．于是5221y x x +=+-，即227y x =-． 弦中点轨迹在已知拋物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-(在已知拋物线内)．例7．(2021·陕西咸阳市·高三一模(理))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上存在两点,A B 关于直线6y x =-对称，且线段AB 的中点坐标为()2,4M -，则双曲线C 的离心率为A B C ．2 D 解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y ， 且线段AB 的中点坐标为()2,4M -，则12124,8x x y y +=+=-，又,A B 关于直线6y x =-对称，所以121211y y x x -⨯=--，且,A B 在双曲线上，2222112222221,1x y x y a b a b-=-=， 相减可得22221212220x x y y a b---=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 故22480a b-=，即222b a =，离心率为e ==故选B ．方法2：直接用结论，由于,A B 关于直线6y x =-对称，即221,1AB AB OMb k k k a=-⋅=⇒-⨯2240220b a --==-即离心率为e ==B ．例8．(2021·西藏昌都市第一高级中学高三期末(文))已知椭圆()2222:1(0),2,1x y M a b D a b+=>>是椭圆M 的一条弦AB 的中点，点()4,1P -在直线AB 上，求椭圆M 的离心率A ．3 B ． 23 C ． 12D ．2 解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-++=故()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-()()()()()12122212121x x y y a y y b x x +-=-+-()2,1D 是椭圆M 的一条弦AB 的中点故12124,2x x y y +=+=，代入(1)式中可得2122124111224AB y y b k a x x -+-⋅====--- 故有()222222a b a c ==-则a =，则2c a = 故选D 方法2：直接用结论，由于,,,A B P M 四点共线，即11101,42202AB PM AB ODk k k k ---=⋅=⋅=---．22221122b b a a -=-⇒=即离心率为2e ==，故选D 例9．(2021·河南驻马店市高三期末(文))已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为32，直线l 与C 交于,A B 两点，若线段AB 的中点为()4,3P ，则直线l 的方程为 A ．53290x y +-= B ．53110x y --= C ．3530x y -+= D ．35280x y +-=解：方法1：设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减可得()()12122x x x x a -+()()12122y y y y b -+-=．因为线段AB 以点()4,3P 为中点，所以12128,6x x y y +=+=，所以22121222121243y y x x b b x x y y a a-+=⋅=-+，因为C 的离心率为32，所以2222514b c a a =-=，故直线l 的斜率为53，所以直线l 的方程为()5343y x -=-，即53110x y --=，经检验成立． 故选B方法2：直接用结论，32e ==即222253055,44043AB OP AB AB b b k k k k a a -=⋅=⋅==⇒=-，所以直线l 的方程为()5343y x -=-，即53110x y --=，经检验成立．故选B例10．(2021·江苏苏州市·高三期末)已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下顶点分别为1A ，2A ，点P 在双曲线C 上(异于顶点)，直线12,PA PA 的斜率乘积为34，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B．2y x =±C．3y x =±D ．2y x =±解：方法1：设点()00,p x y ，又()()120,,0,A a A a -，则120000,PA PA y a y ak k x x -+==所以1222000200034PA PA y a y a y a k k x x x -+-⋅=⋅==，又因为点P 在双曲线C 上得2200221y x a b -=，所以2220022y a x a b -=，故222022034y a a x b -==，所以2a b = 则双曲线C的渐近线方程为a y x x b =±=． 故选B方法2：直接用结论122234PA PA a k k b ⋅==，所以a b =则双曲线C 的渐近线方程为ay x b=±=x ± 故选B例 11．(2021•贵州贵阳市·高三期末(理))过抛物线24y x =的焦点的直线与抛物线交于,A B 两点，若AB 的中点的纵坐标为2，则AB 等于A ．4B ．6C ．8D ．10解：方法1：拋物线24y x =的焦点坐标()1,0F ，准线方程:1l x =-，设AB 的中点为M ，过,,A B M 作准线l 的垂线，垂足分别为,,C D N ，则MN 为梯形ABDC 的中位线，AB AF BF AC BD ∴=+=+ ()0221MN x ==+∣，直线AB 过拋物线的焦点,F ∴可设直线AB 的方程为：1(x my m =+为常数)，代入拋物线的方程消去x 并整理得：2440y my --=，设,A B 的纵坐标分别为12,y y ，线段AB 中点()00,M x y ，则12022,12y y y m m +===∴=， ∴直线AB 的方程为001,1213x y x y =+∴=+=+=，()2318AB ∴=+=，故选C ．方法2 ：直接用结论21tan 2AB o p k y α====即222445,8sin 2p ABαα====⎛ ⎝⎭．故选C例12．(2021•上海杨浦区•复旦附中高二期末)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边,,AB BC AC 的中点分别为,,D E M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.O 为坐标原点，若直线,,OD OE OM 的斜率之和为1．则()123111k k k ++= A ．43-B ．3-C ．1813- D ．32- 解：方法1：设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，因为,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-， 同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-， 所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM 、、的料率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-， 故选A ．方法2：直接用结论2123234OD OE OMb k k k k k k a ⋅=⋅=⋅=-=-，所以1314OD OE OM k k k k ⎛++=- ⎝ 23111k k ⎫++=⎪⎭即12311144133k k k ++=-⨯=-．故选A例13．(2021·福建龙岩市·高二期末)过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为________． 解：方法1：过点()1,1P 的直线l 与该双曲线交于,M N 两点，设()()1122,,,M x y N x y ，2211222212,12y x y x ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减可得：()()()()1212121212x x x x y y y y -+=+-， 因为P 为MN 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，()12122x x y y ∴-=-，则12122MN y y k x x -==-，所以直线l 的方程为()121y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．方法2：直接用结论2210210l OP l a k k k b -⋅=⇒⋅=-得2l k =，点斜式得答案()121y x -=-即2x -10y -=．例14．(2021·河南高三月考(文))已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，斜率为12的直线l交双曲线于,M N O 、为坐标原点，P 为MN 的中点，若OP 的斜率为2，则双曲线的离心率为ABC．D ．4解：方法1：设点()()1122,,M x y N x y 、，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意，得2222112222221,1x y x y a b a b -=-=，两式相减，得22222121220x x y y a b ---=，整理得2222122221y y b x x a-=-， 所以122222121222122121212OP MNy y y y y y b k k x x x x x x a +--⋅=⋅===+--, 因此,双曲线的离心率为c e a =====故选A.方法2:用结论一步到位2222122l OP b b k k a a ⋅=⇒⨯=得e ==故选A.例15.(2020-天津高考真题)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,右焦点为F ,且,OA OF O =∣为坐标原点.(1)求椭圆方程;(2)已知点C 满足3OC OF =,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的定点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点,求直线AB 的方程.解(I)棛圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -,3b ∴=,由OA OF =,得3c b ==,又由222a b c =+,得2223318a =+=,所以,椭圆的方程为221189x y +=; 方法1:(II)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥, 根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx +=,即3y kx =-,2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y ,可得()2221120k x kx +-=,解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-,得222126332121k k y k k k -=⋅-=++,所以,点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为()0,3-,所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+==-+-+,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 方法2:(II)直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以CP AB ⊥,根据题意可知,直线AB 和直线CP 的斜率均存在,设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为3y kx =-,设AB 直线为()113,,y kx P x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得121211211211619212,318321OP ABk y x k y b k x k k k a x y y kx k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪==-⎪⎪+⎩⎩,所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,由3OC OF =,得点C 的坐标为()1,0,所以,直线CP 的斜率为222303216261121CPk k kk k k --+==-+-+,又因为CP AB ⊥,所以231261k k k ⋅=--+,整理得22310k k -+=,解得12k =或1k =.所以,直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.例16.[2018-全国卷高考真题(理)]斜率为k 的直线l 交椭圆22143x y +=于A B 、两点,线段AB 的中点为()1,(0),M m m F >是椭圆右焦点.(1)证明:12k <-.(2)点P 是椭圆上一点且0FP FA FB ++=,证明,,FA FP FB 成等差,并求出公差.解 (1)标准点差法例题(注意先证明结论,在此直接写出重点)22330144AB OMb m k k k m a k⋅=-⇒⋅=-⇒=->,即0k <且()1,?M m 必在椭圆内221143m +<⇒2314143k ⎛⎫- ⎪⎝⎭+<解得12k >或12k <-又0k <,故12k <-. (2)由题意得()1,0F ,设()33,P x y ,则()()()()3311221,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=. 由(1)及题设得()()31231231,20x x x y y y m =-+==-+=-<.又点P 在C 上,所以34m =,从而331,,22P FP ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.于是(122xFA x ===-.同理222x FB =-. 所以()121432FA FB x x +=-+=. 故2FP FA FB =+,即,,FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ,则12122d FB FA x x =-=-=由34m =得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+,代入C 的方程,并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==,代入(2)解得28d =.所以该数列的公差为28或28-.例17.(2014-江西卷)过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>相交于,A B ,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为_________.解 方法1:设()()1122,,,A x y B x y ,则()()22221122222211,12x y x y a b a b+=+=,M 是线段AB 的中点,12121,1,22x x y y ++∴==直线AB 的方程是()1112y x =--+,()12121,2y y x x ∴-=--过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>相交于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,∴(1)(2)两式相减可得22221212220x x y y a b --+=,即2221202c a c b e a b a ⎛⎫+-⋅=∴=∴=∴== ⎪⎝⎭. 方法2:直接用结论2222110210AB OMb b k k a a -⋅=-⇒-⨯=--则2212b a =即离心率为e =2=自我检测1.已知中心在原点,一焦点为(F 的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点的横坐标为12,求椭圆的方程.解:设椭圆的方程为22221y x a b+=,则2250a b -=(1)设弦端点()()1122,,P x y Q x y 、,弦PQ 的中点()00,M x y ,则00012012011,3221,2122x y x x x x y y y ==-=-+==+==-又2222112222221,1y x y x a b a b+=+= 两式相减得()()()()22121212120b y y y y a x x x x +-++-= ()()221212-0b y y a x x -+-=即()22122212,32y y a a x x b b-==-联立(1)(2)解得2275,25a b ==所求椭圆的方程是2217525y x +=2.已知椭圆22143x y +=,试确定m 的取值范围,使得对于直线4y x m =+,椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.解:设()()111222,,,P x y P x y 为椭圆上关于直线4y x m =+的对称两点,(),P x y 为弦12P P 的中点,则,222211223412,3412x y x y +=+=两式相减得,()()22221212340x x y y -+-= 即()()()()12121212340x x x x y y y y +-++-=1212121212,2,4y y x x x y y y x x -+=+==--3y x ∴=这就是弦12P P 中点P 轨迹方程. 它与直线4y x m =+的交点必须在椭圆内联立34y x y x m =⎧⎨=+⎩,得3x my m =-⎧⎨=-⎩则必须满足22334y x <-,即()223334m m <-,解得m <<3.若抛物线2:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称,求实数m 的取值范围.解:当0m =时,显然满足.当0m ≠时,设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、,且PQ 的中点为()00,M x y ,则()()221122,1,2y x y x ==(1)-(2)得:22121212PQ 1212011,2y y y y x x k x x y y y --=-∴===-+, 又01,2PQ m k y m =-∴=-. 中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上,()003y m x ∴=-,于是052x =. 中点在抛物线2y x =区域内200M y x ∴<,即2522m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭,解得m <<综上可知,所求实数m 的取值范围是(4.双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ）方法1:设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y ab-+-+=,有()()()()21212212122y y y y b a x x x x -+==-+,所以223,c e a==故选B.方法2:设AB 中点为P 用结论一步到位22104220AB OPb k k a -⋅=⨯==-得e ==故选B.5.(2021-湖北武汉市-高考模拟(文))过点()4,2P 作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点,若P 为AB 中点,则AB =（ ）A. B. D.方法1:易知直线AB 不与y 轴平行,设其方程为()24y k x -=-代入双曲线22:12x C y -=,整理得()()222128213232100k x k k x k k -+--+-=设此方程两实根为12,x x ,则()12282121k k x x k -+=-又()4,2P 为AB 的中点, 所以()2821821k k k -=-,解得1k =当1k =时,直线与双曲线相交,即上述二次方程的0∆>, 所求直线AB 的方程为24y x -=-化成一般式为121220.8,10,x y x x x x AB --=+===12x x -==.故选D.方法2:设AB 中点为P 用结论一步到位22201402AB OPAB b k k k a -⋅=⋅==-得1AB k =.即直线:AB y x =-2,与双曲线联立得2128100,x x AB x -+==-==.故选D.6.(2013-北京)已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点,O 是坐标原点.(I)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:()I 四边形OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点()2,0∴直线AC 是BO 的垂直平分线,可得AC 方程为1x =设()1,A t ,得22114t +=,解之得2t =(舍负)A ∴的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,同理可得C 的坐标为1,2⎛- ⎝⎭因此AC =可得菱形OABC 的面积为12S AC BO =⋅=(II)方法1:四边形OABC 为菱形,OA OC ∴=, 设()1OA OC r r ==>,得A C 、两点是圆222x y r +=与椭圆22:14x W y +=的公共点,解之得22314x r =- 设A C 、两点横坐标分别为12x x 、,可得A C 、两点的横坐标满足12x x ==,或1x =2x =,(1)当123x x ==时,可得若四边形OABC 为菱形,则B 点必定是右顶点()2,0;(2)若13x =23x =-则120x x +=, 可得AC 的中点必定是原点O ,因此A O C 、、共线,可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述,可得当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能为菱形.方法2:直接利用结论22114OM AB b k k a =-=-≠-,结束战斗!7.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过右焦点()23,0F 的直线交椭圆于A B 、,且()1,1M -是线段AB 的中点,1F 是椭圆左焦点,求1F AB 的面积.解析:易知直线13:22AB y x =-,由椭圆第三定义可知 ()22222221010113102AB OMAB MF b b b k k k k a a a ----⋅=-=⇒⋅=-⇒=--,且22183,9a cb ⎧==⇒⎨=⎩,联立直线AB 与椭圆方程为2221216129018923x y y y y y x y ⎧+=⎪⇒+-=⇒-==⎨⎪=+⎩1121211622F ABS F F y y =⋅-=⨯=8.抛物线24y x =,过点(2,0)的直线AC 和BD 相互垂直(斜率均存在),M N 、分别是AC 和BD 的中点.求证:直线MN 过定点.方法1:由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设()()1:2,:2AC y k x BD y x k=-=--,由抛物线第三定义可知()222222222222, ,1212222222,2M M MN N N k y p k M y k k k k k k k y p k y k N k k k k ⎧⎧⎧⎛⎫⋅==⎪--⎪⎪+=⇒ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⇒==⎨⎨⎨-⎛⎫-⋅==⎪⎪⎪+-+=-+- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎩分刟代人直线 故直线MN 方程为()()()222222411k k y k x k y x k k--=--⇒=---,故直线MN 过定点()4,0方法2:由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0, 设()()1:2,:2AC y k x BD y x k=-=--,由抛物线第三定义可知()2222222,,12222,2M MN N k y p M y k k k y p y k N k k k ⎧⎧⎪⎪⎛⎫⋅==⎪⎪+= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎪⎪-⋅===-+-⎪⎪⎩⎩分别代入直线 令222222k k+=+得21k =, 此时2222224k k+=+=,故直线MN 过点()4,0H , 当21k ≠时,22222020,22241124NH MH k k kkk k k k k k---====+---+-. 所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点()4,0H .9.双曲线221169x y -=,过点()5,0P 的直线AB 和CD 相互垂直(斜率存在),M N 、分别是AB 和CD 的中点. 求证:直线MN 过定点.方法1:设AB 直线为()()115,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111280991691616455169OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=⎪⎪-⋅=⇒⋅=⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩,所以2228045,169169k k M k k ⎛⎫⎪--⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是P 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭. (1)当直线MN 不垂直于x 轴时,直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MN k kk k k k k kk k +--==----, 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭,化简得()27807161k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,所以直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭;(2)当直线MN 垂直于x 轴时,2228080169169k k k =--,此时,1k =±,直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭.方法2:设AB 直线为()()115,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111280991691616455169OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=⎪⎪-⋅=⇒⋅=⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩,所以2228045,169169k k M k k ⎛⎫⎪--⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是P 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 令2228080169169k k k =--得21k =,设MN 过定点H 此时2228080801691697k k k ==--,故直线MN 过点80,07H ⎛⎫⎪⎝⎭, 当21k ≠时,()()222222245450077169169,8080808016116116971697MHNHk kk k k k k k k k k k k -----====------. 所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点80,07H ⎛⎫⎪⎝⎭. 10.椭圆22143x y +=,过点()1,0F 的直线AB 和CD 相互垂直(斜率存在),M N 、分别是AB 和CD 的中点.求证:直线MN 过定点.方法1:设AB 直线为()()111,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()212121121111243334443134OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩,所以22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是F 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(1)当直线MN 不垂直于x 轴时,直线MN 的斜率()222222337343444413434MN k kk k k k k k k k --++==--++, 其方程()2222374343441k k k y x k k k ⎛⎫--=- ⎪++-⎝⎭,化简得()274741k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭,所以直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭;(2)当直线MN 垂直于x 轴时,222443434k k k =++,此时,1k =±,直线MN 也过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭.方法2:设AB 直线为()()111,,y k x M x y =-,点差法结论(注意写出证明过程)易得()2121211211112ˆ34334443134OM ABk y x k y b k x k k k a x ky k x y k ⎧⎧=⎪⎪⋅=-⎪⎪+⋅=-⇒⋅=-⇒⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪+⎩⎩,所以22243,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭(1)当0k =时,M 点即是F 点,此时,直线MN 为x 轴.(2)当0k ≠时,将上式M 点坐标中的k 换成1k -,同理可得2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.令222443434k k k =++得21k =,设MN 过定点H . 此时22244434347k k k ==++,故直线MN 过点4,07⎛⎫⎪⎝⎭, 当21k ≠时,22222223300773434,44444444347347MHNH k kk kk k k k k k k k k -----++====----++.所以,,,NH MH k k M H N =三点共线,所以直线MN 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭.。

浅谈圆锥曲线的第三定义及其应用王小飞(如皋市长江高级中学ꎬ江苏如皋２２６５３２)摘㊀要:文章在圆锥曲线第三定义的基础上ꎬ总结了圆锥曲线的若干二级结论ꎬ并举例分析其应用.关键词:圆锥曲线第三定义ꎻ中点弦ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０７－００６２－０３收稿日期:２０２２－１２－０５作者简介:王小飞(１９８２.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆锥曲线的第三定义㊀平面内ꎬ我们把与两个定点的斜率之积等于定值(非零常数)的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁圆).说明:这个定义中的三个曲线不完整(缺两个点).㊀具体可表述为下列三种情况:设Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)(ａ>０)ꎬ动点Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ如果ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｍ(非零常数)ꎬ当ｍ＝－１时ꎬ点Ｐ的轨迹为圆(不含ＡꎬＢ)ꎻ当ｍɪ(－１ꎬ０)时ꎬ点Ｐ的轨迹为椭圆(不含ＡꎬＢ)ꎻ当ｍɪ(０ꎬ＋ɕ)时ꎬ点Ｐ的轨迹为双曲线(不含ＡꎬＢ).证明上述三种情况ꎬ如下:(１)当ｍ＝－１时ꎬｋＰＡˑｋＰＢ＝－１ꎬ所以ｙ－０ｘ－ａˑｙ－０ｘ＋ａ＝－１(ｘʂʃａ).所以ｙ２ｘ２－ａ２＝－１.即ｘ２＋ｙ２＝ａ２.所以点Ｐ的轨迹为圆(不含ＡꎬＢ).(２)当ｍɪ(－１ꎬ０)时ꎬ令ｍ＝－ｂ２ａ２(ａ>ｂ>０)ꎬ所以ｙ－０ｘ－ａˑｙ－０ｘ＋ａ＝－ｂ２ａ２(ｘʂʃａ).所以ｙ２ｘ２－ａ２＝－ｂ２ａ２.即ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬｘʂʃａ.所以点Ｐ的轨迹为椭圆(不含ＡꎬＢ).(３)当ｍɪ(０ꎬ＋ɕ)时ꎬ令ｍ＝ｂ２ａ２(ｂ>０)ꎬ所以ｙ－０ｘ－ａˑｙ－０ｘ＋ａ＝ｂ２ａ２(ｘʂʃａ).所以ｙ２ｘ２－ａ２＝ｂ２ａ２.即ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ꎬｘʂʃａ.所以点Ｐ的轨迹为双曲线(不含ＡꎬＢ).对于(２)(３)中的方程ꎬ大家应该非常熟悉了ꎬ它们分别表示焦点在ｘ轴上的椭圆与双曲线ꎬ而焦点在ｙ轴上的椭圆与双曲线在后面我们再做说明.根据上述研究ꎬ椭圆还有下列结论及推广:结论１㊀设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点分别为Ａ和Ｂꎬ点Ｐ为椭圆Ｃ上的动点且直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在ꎬ则ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｅ２－１.证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬｋＰＡ＝ｙ０－０ｘ０＋ａꎬｋＰＢ＝ｙ０－０ｘ０－ａꎬ所以ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｙ２０ｘ２０－ａ２.又因为点Ｐ在椭圆上ꎬ所以ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１.所以ｙ２０＝(１－ｘ２０ａ２)ｂ２.２６所以ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｙ２０ｘ２０－ａ２＝ｅ２－１.由于ＡꎬＢ两点关于原点对称ꎬ所以结论１可做如下推广:推广１㊀过原点的直线与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｐ为椭圆Ｃ上的动点且直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在ꎬ则ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｅ２－１.证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(－ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ所以ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ˑｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１.又因为点Ｐ在椭圆上ꎬ所以ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１.即ｙ２０＝(１－ｘ２０ａ２)ｂ２.因为点Ａ在椭圆上ꎬ所以ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１.即ｙ２１＝(１－ｘ２１ａ２)ｂ２.所以ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１＝ｅ２－１.例１㊀设椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点分别为Ａ和Ｂꎬ点Ｐ为椭圆Ｃ上一点且直线ＰＡꎬＰＢ的斜率之积为－１４ꎬ则椭圆的离心率为.解析㊀根据结论１ꎬｋＰＡˑｋＰＢ＝ｅ２－１＝－１４.解得ｅ＝３２.例２㊀(多选题)已知Ｐ是椭圆Ｅ:ｘ２４＋ｙ２ｍ＝１(４>ｍ>０)上任意一点ꎬＭꎬＮ是椭圆上关于坐标原点对称的两点ꎬ且直线ＰＭꎬＰＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２(ｋ１ｋ２ʂ０)ꎬ若ｋ１＋ｋ２的最小值为１ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.椭圆Ｅ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１Ｂ.椭圆Ｅ的离心率为１２Ｃ.曲线ｙ＝ｌｏｇ３ｘ－１２经过椭圆Ｅ的一个焦点Ｄ.直线２ｘ－ｙ－２＝０与椭圆Ｅ有两个公共点解析㊀根据推广１ꎬｋ１ˑｋ２＝ｅ２－１＝－ｍ４.所以ｋ１＋ｋ２ȡ２ｋ１ｋ２＝２ｍ４＝ｍ(０<ｍ<４).所以ｍ＝１.解得ｍ＝１.所以Ｅ:ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ故选Ａ.且ｅ＝３２ꎬ故不选Ｂ.同时焦点坐标为(ʃ３ꎬ０)ꎬ右焦点在曲线ｙ＝ｌｏｇ３ｘ－１２上ꎬ故选Ｃ.又因为２ｘ－ｙ－２＝０过点１ꎬ０()ꎬ且该点在椭圆内ꎬ所以直线与椭圆有两个公共点ꎬ故选Ｄ.综上本题选ＡＣＤ.推广２㊀(中点弦问题)设ＡＢ是椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦ꎬＭ为ＡＢ中点ꎬ则直线ＯＭ与直线ＡＢ的斜率之积ｋＯＭˑｋＡＢ＝ｅ２－１.证明㊀连接ＡＯ并延长ꎬ交椭圆于点Ｈꎬ连接ＨＢꎬ易知ｋＨＢˑｋＡＢ＝ｅ２－１.而ＭꎬＯ分别为ＡＢꎬＡＨ中点ꎬ所以ＯＭʊＨＢ.从而ｋＯＭ＝ｋＨＢ.所以ｋＯＭˑｋＡＢ＝ｅ２－１.本题也可以用 点差法 来研究ꎬ如下:设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１.ìîíïïïï①②由①－②ꎬ得(ｘ１－ｘ２)(ｘ１＋ｘ２)ａ２＋(ｙ１－ｙ２)(ｙ１＋ｙ２)ｂ２＝０.所以(ｙ１－ｙ２)(ｙ１＋ｙ２)(ｘ１－ｘ２)(ｘ１＋ｘ２)＝－ｂ２ａ２.所以(ｙ１－ｙ２)ｙ０(ｘ１－ｘ２)ｘ０＝－ｂ２ａ２.所以ｋＯＭˑｋＡＢ＝ｅ２－１.３６例３㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２９＋ｙ２＝１ꎬ过点Ｐ(１２ꎬ１２)的直线与椭圆相交于ＡꎬＢ两点ꎬ且弦ＡＢ被点Ｐ平分ꎬ则直线ＡＢ的方程为.解析㊀由推广２ꎬ因为Ｐ(１２ꎬ１２)ꎬ所以ｋｏｐ＝１.所以ｋＯＰˑｋＡＢ＝ｅ２－１＝－１９.所以ｋＡＢ＝－１９.所以ｘ＋９ｙ－５＝０.通过类比ꎬ我们不难发现双曲线也有类似的性质ꎬ如下:结论２㊀设双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左右顶点分别为Ａ和Ｂꎬ点Ｐ为双曲线Ｃ上一动点且异于点ＡꎬＢꎬ则ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｅ２－１.推广３㊀过原点的直线与双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｐ为双曲线Ｃ上一动点且直线ＰＡꎬＰＢ的斜率均存在ꎬ则ｋＰＡˑｋＰＢ＝ｅ２－１.推广４㊀(中点弦问题)设ＡＢ是双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦ꎬＭ为ＡＢ中点ꎬ则直线ＯＭ与直线ＡＢ的斜率之积ｋＯＭˑｋＡＢ＝ｅ２－１.例４㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２－２ｙ２＝１的左㊁右顶点分别为ＡꎬＢꎬ点Ｐ(ｘꎬｙ)是双曲线Ｃ在第一象限内图象上一点ꎬ则ｙｘ－１＋ｙｘ＋１的取值范围.分析㊀该题可以由目标的 分式结构 联想到斜率.解析㊀因为Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ０)ꎬ所以ｙｘ－１＋ｙｘ＋１＝ｋＰＡ＋ｋＰＢ.由结论２可知ꎬｋＰＡｋＰＢ＝ｅ２－１＝１２.所以ｙｘ－１＋ｙｘ＋１＝ｋＰＡ＋ｋＰＢ＝ｋＰＡ＋１２ｋＰＡȡ２ꎬ当且仅当ｋＰＡ＝２２时取等号.因为点Ｐ在第一象限ꎬ所以ｋＰＡʂ２２.所以ｙｘ－１＋ｙｘ＋１>２.所以取值范围为２ꎬ＋ɕ().上面研究的这些圆锥曲线焦点都在ｘ轴上ꎬ如果换成焦点在ｙ轴上的圆锥曲线呢?上述结论和推广都会发生变化ꎬ具体变化为ｅ２－１被１ｅ２－１替换.例５㊀如图１ꎬ已知双曲线Ｅ:ｙ２－ｘ２＝４ꎬ过点Ｐ(２ꎬ４)的直线ｌ交双曲线Ｅ于ＡꎬＢ两点ꎬ当Ｐ为ＡＢ中点时ꎬ则әＡＢＯ的面积为.图１分析㊀根据Ｐ为ＡＢ中点ꎬ可知ｋＰＯˑｋＡＢ＝１ｅ２－１.解析㊀因为双曲线为等轴双曲线ꎬ所以ｅ２＝２ꎬｋＰＯ＝２.所以ｋＰＯˑｋＡＢ＝１ｅ２－１＝１.所以ｋＡＢ＝１２.所以ｘ－２ｙ＋６＝０.联立ｘ－２ｙ＋６＝０ꎬｙ２－ｘ２＝４ꎬ{消去ｘꎬ得３ｙ２－２４ｙ＋４０＝０.所以ｙ１＋ｙ２＝８ꎬｙ１ｙ２＝４０３.所以Ｓ＝３２ｘ１－ｘ２＝３ｙ１－ｙ２＝４６.上述结论１ꎬꎬ２及其推广１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ对于我们提高解小题速度非常有帮助ꎬ同时ꎬ圆锥曲线中的二级结论很多ꎬ需要我们的学生在学习过程中多积累ꎬ还要善于总结.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]４６。

圆锥曲线的定义椭圆：第一定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（要求该常数大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.一般的，这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距，记作2c ；这个常数记作2a .第二定义：到定点的距离与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹，其中常数小于1.椭圆22221x y a b +=上任意一点到左焦点的距离与该点到直线2a x c=-的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为椭圆的左准线； 椭圆22221x y a b +=上任意一点到右焦点的距离与该点到直线2a x c=的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为椭圆的右准线.第三定义：与两定点连线的斜率之积为常数的动点轨迹是椭圆，其中常数的范围是()1,0-.设AB 为椭圆22221x y a b+=的任意一条直径，动点P 在该椭圆上，若PA k ，PB k 都存在，则22PA PBb k k a ⋅=-.双曲线：第一定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（要求该常数小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

一般的，这两个定点1F 、2F 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距，记作2c ；这个常数记作2a .第二定义：到定点的距离与定直线的距离之比为常数的动点的轨迹，其中常数大于1.双曲线22221x y a b -=上任意一点到左焦点的距离与该点到直线2a x c=-的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为双曲线的左准线； 双曲线22221x y a b +=上任意一点到右焦点的距离与该点到直线2a x c=的距离之比为离心率e ，其中2a x c=-成为双曲线的右准线.第三定义：与两定点连线的斜率之积为常数的动点轨迹是双曲线，其中常数的范围是()0+∞，。

设AB 为双曲线22221x y a b-=的任意一条直径，动点P 在该椭圆上，若PA k ，PB k 都存在，则22PA PB b k k a⋅=.抛物线：定义：。