《圆》的综合题专项训练 及答案

1 《圆》的综合题专项训练 及答案

1已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tanC=12，求⊙O的直径．

OEDCBA

2如图，O为ABC的外接圆，BC为的直径，作射线BF，使得BA平分CBF，过点A作ADBF于点D.

（1）求证：DA为O的切线； （2）若1BD，1tan2BAD，求O的半径.

OFDCBA

3.已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B 在⊙O上，且.OAABAD

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交 于点F，且8BE，5tan2BFA，求⊙O的半径长.

FEDCBAO 2 4如图，等腰三角形ABC中，6ACBC，8AB．以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是O的切线；（2）求sinE的值．

DFGCOBEA

5如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.

（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC＝CD＝5，求AD的长.

GFEDCBA

3

解答：

1（1）证明：联结OD．

∵ D为AC中点， O为AB中点，

∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC．

∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.

∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D.

∴ DE为⊙O的切线．

（2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°.

∵ D为AC中点， ∴AB=AC．在Rt△DEC中，

∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tanDEC.

由勾股定理得：DC=25.在Rt△DCB 中， BD=tan5DCC．

由勾股定理得： BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5.

2证明：连接AO.

∵ AOBO，∴ 23.

∵ BACBF平分，∴ 12.

∴ 31 . ∴ DB∥AO.

∵ ADDB,∴ 90BDA.∴ 90DAO.

∵ AO是⊙O半径，∴ DA为⊙O的切线.

（2）∵ ADDB,1BD，1tan2BAD，∴ 2AD.

由勾股定理，得5AB. ∴ 5sin45.

∵ BC是⊙O直径，∴ 90BAC.∴ 290C.

又∵ 4190, 21,∴ 4C.

在Rt△ABC中，sinABBCC=sin4AB=5. ∴ O的半径为52.

3.（1）证明：连接OB.

∵,OAABOAOB，∴OAABOB.

∴ABO是等边三角形.∴160BAO.

∵ABAD，∴230D.

∴1290. ∴DBBO .

又∵点B在⊙O上，∴DB是⊙O的切线 .

（2）解：∵CA是⊙O的直径，∴90ABC.

在RtABF△中，5tan2ABBFABF ,∴设5,ABx则2BFx，

∴223AFABBFx . ∴23BFAF .

∵,34CE,∴BFE ∽ AFC. ∴23BEBFACAF .

∵8BE,∴12AC .∴6AO.

231FEDCBA4OOEDCBA3421OFDCBA 4

4（1）证明：如图，连结CD，则90BDC．∴CDAB．

∵ ACBC，∴ADBD． ∴D是AB的中点．

∵O是BC的中点，∴DOAC∥．

∵EFAC于F．∴EFDO．∴EF是O的切线．

( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴90BGCCFE．

∴BGEF∥．∴sinFCCGEECBC．

设CGx，则6AGx．在RtBGA△中，222BGBCCG．

在RtBGC△中，222BGABAG．

∴2222686xx．解得23x．即23CG．

在RtBGC△中．∴ 213sin69CGEBC．

DFGCOBEA 654321GFEDCBA

5（1）结论：GD与O相切

证明：连接AG

∵点G、E在圆上，∴AGAE

∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC∥

∴123B，

∵ABAG∴3B∴12

在AED和AGD12AEAGADAD

∴AEDAGD≌∴AEDAGD

∵ED与A相切∴90AED∴90AGD

∴AGDG∴GD与A相切

（2）∵5GCCD，四边形ABCD是平行四边形

∴ABDC，45，5ABAG

∵ADBC∥

∴46

∴1562B

∴226

∴630

∴10AD .

5

练习

1.如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

2.已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若⊙O的半径等于4，4tan3ACB，求CD的长.

3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,

交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O的半径.

ABCDO 6

4如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为BC上一点， CE⊥AD于E. 求证：AE= BD +DE．

5如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，

CF⊥AB于F，且CE＝CF．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．

1解析:(1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.

∴ ∠EAB+∠E=90°.

∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD，∴ ∠EAB+∠BAD =90°.

∴ AD是⊙O的切线.

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.

∵ AE=2AO=6, AB=4,

∴ 5222ABAEBE. ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,

∴ .coscosEBAD ∴ .AEBEADAB、

.6524AD即∴ 5512AD.

EABCDOEFAOBCD 7

2解析:解：（1）直线BD与⊙O相切．

证明：如图3，连结OB．-

∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D，∴ ∠2=∠CBD．

∵ AB∥OC ，∴ ∠2=∠A ．∴ ∠A=∠CBD．

∵ OB=OC，∴ 23180BOC，

∵ 2BOCA，∴ 390A．

∴ 390CBD．∴ ∠OBD=90°．

∴ 直线BD与⊙O相切．

（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，4tan3ACB，∴ 4tan3D．

在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，4tan3D，

∴ 4sin5D，5sinOBODD．∴ 1CDODOC．

3解析:1）证明：连结OM，则OMOB．

∴12．

∵BM平分ABC．∴13．

∴23．∴OMBC∥．

∴AMOAEB．

在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，

∴AEBC⊥．∴90AEB°．

∴90AMO°．∴OMAE⊥．

∴AE与O⊙相切．

（2）解：在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，

∴12BEBCABCC，．

∵14cos3BCC，，∴11cos3BEABC，．

在ABE△中，90AEB°，

∴6cosBEABABC．

设O⊙的半径为r，则6AOr．

∵OMBC∥，∴AOMABE△∽△．

∴OMAOBEAB．∴626rr．解得32r．

∴O⊙的半径为32．

4证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD．

在△ACF和△BCD中， , , , ACBCCAFCBDAFBD

∴ △ACF≌△BCD． ∴ CF=CD.

∵ CE⊥AD于E，∴ EF=DE.

∴ AEAFEFBDDE.

321CDOABO B G E C

M

A F 1 2 3

FOEABCD