2017全国中考数学真题汇编：《二次函数》综合题专项训练(一)与解析

2017中考数学复习----二次函数综合题1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b 交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1。

绝密★启用前二次函数中考真题--2017年第1部分一．解答题（共40小题）1．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．3．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．4．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．5．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．6．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB 为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y 轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．10．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF 上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．17．如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；=S△ABC，求∠APB的度数；（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S=S△ABD？若存在请△ABC直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii．试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．20．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】21．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．22．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF 周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．29．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明△QAB理由．30．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．31．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．33．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．34．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B （0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．35．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．36．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．37．如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？38．如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y=k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2=﹣1．解决问题：①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．39．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx（a，b为常数，a≠0）经过两点A（2，4），B（4，4），交x轴正半轴于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx的解析式．（2）过点B作BD垂直于x轴，垂足为点D，连接AB，AD，将△ABD以AD为轴翻折，点B的对应点为E，直线DE交y轴于点P，请判断点E是否在抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OC（不包含端点）上一动点，过点Q垂直于x轴的直线分别交直线DP及抛物线于点M，N，连接PN，请探究：是否存在点Q，使△PMN是以PM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中考真题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．【分析】方法一：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取△MBC最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．方法二：（1）略．（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC ⊥BC，从而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．【解答】方法一：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．方法二：（1）略．（2）∵y=（x﹣4）（x+1），∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴K AC==﹣2，K BC==，∴K AC×K BC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴l BC：y=x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，t2﹣t﹣2），=×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，∴S△MBC∴当t=2时，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．【点评】考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×∴S△PBC4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．3．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．当P在Q右边时，﹣t2+2t+3=（t﹣1）+，解得t=2或﹣，∴P（2，3），Q（1，3）（舍去）或P（﹣，﹣），Q（﹣，﹣）（舍去）．综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．4．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m 的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，∵点P′与P关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），∵点P′落在抛物线上，∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴﹣4≤t＜0，∵P在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴m2﹣2m=t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；∴当t=﹣时，P′A2有最小值，∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，∵m＞0，∴m=不合题意，舍去，∴m的值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．5．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，。

1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线 y=x ﹣ 3 交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣ 4，﹣ 5），点 P为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A ，P， D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线 AB 下方某一处时，过点P 作 PM⊥ AB ，垂足为 M ，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标．2. 在直角坐标系xoy 中， A(0, 2) 、 B( 1,0) ，将ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD .若直线 PC 将ABC 的面积分成 1: 3 两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO 、BCD 分别向下、向左以 1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO 与BCD 重叠部分面积的最大值.yACB O D x图15.13.如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠ 0) 的对称轴为直线 x＝－ 1，且经过A（ 1，0）， C（0， 3）两点，与x 轴对称轴 x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．第25 题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2bx 8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，直线 l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接 CE，已知点 A， D 的坐标分别为否存在点F，使FOE ≌FCE ，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q．试探究：当m 为何值时，OPQ 是等腰三角形．5. 如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠0）经过点 A（ 4，﹣ 5），与 x 轴的负半轴交于点 B ，与 y 轴交于点C，且 OC=5OB ，抛物线的顶点为点 D ．（ 1）求这条抛物线的表达式；（ 2）联结 AB 、BC、CD 、DA ，求四边形 ABCD 的面积；（ 3）6. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （9， 0）和 C （ 0， 4）． CD 垂直于 y 轴，交抛物线于点 D ， DE 垂直与 x 轴，垂足为 E ， l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（ 1）求出二次函数的表达式以及点 D 的坐标；（ 2）若 Rt △ AOC 沿 x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得到 Rt△ A 1O1F，求此时 Rt△ A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若 Rt△ AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（ 0＜ t≤6）得到 Rt△ A 2O2C2，Rt△ A 2O2C2与 Rt△ OED 重叠部分的图形面积记为S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．7.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），点 B（4，0），点 D（ 2， 4），与 y 轴交于点 C，作直线BC ，连接 AC ， CD ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ ECD=∠ ACO的点E的坐标；（ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M ， N， P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx 经过两点 A （﹣ 1， 1）， B （ 2， 2）．过点 B 作 BC∥ x存在点 M ，使得△ BCM 的面积为，求出点 M 的坐标；（ 3）连接 OA 、 OB 、OC、 AC ，在坐标平面内，求使得△ AOC 与△ OBN 相似（边 OA 与边 OB 对应）的点 N 的坐标．1.【解答】解：（ 1）∵直线y=x ﹣ 3 交于 A 、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，∴ A （0， 3），∵ B （ 4， 5），∴，∴，∴抛物 解析式 y=x 2+x 3，（ 2）存在， P （m ，m 2+m 3），（ m ＜ 0），∴ D （ m ， m 3），∴ PD=|m 2+4m|∵ PD ∥ AO ，∴当 PD=OA=3 ，故存在以 O ，A ，P ， D 点的平行四 形，∴|m 2+4m|=3，① 当 m 2+4m=3 ，∴ m 1= 2， m 2= 2+（舍），∴ m 2+m 3= 1，∴ P （ 2， 1），21212，∴ P （ 1，），② 当 m +4m= 3 ，∴ m = 1， m = 3，Ⅰ、 m =1，∴ m +m 3=Ⅱ、 m 2= 3，∴ m 2+m 3=，∴ P （ 3，），∴点 P 的坐 （ 2，1），（ 1 ，），（ 3，）．（ 3）如 ，∵△ PAM 等腰直角三角形，∴∠ BAP=45 °，∵直 AP 可以看做是直AB 点 A 逆 旋45 °所得，直 AP 解析式 y=kx 3，∵直 AB 解析式 y=x 3，∴ k==3，∴直 AP 解析式 y=3x3， 立 ，∴ x 1=0（舍） x 2=当 x= ， y= ，∴P （ ，）．2. 解析：（ 1）∵ A(0, 2)、 B( 1,0) ，将ABO 旋 、平移 化得到如 4.1所示的 BCD ，∴ BDOA 2,CD OB 1, BDCAOB 90 . ∴ C 1,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1 分 )yA 、B 、C 三点的抛物 解析式y ax 2 bx c ，Aab c 0P EC3 1有 ab c 1 ，解得： a2 ., b,cx22B FOc 2D∴抛物 解析式y3 x 2 1 x2 .22图 4.1（ 2）如 4.1 所示， 直PC 与 AB 交于点 E . ∵直 PC 将ABC 的面 分成 1: 3 两部分，∴ AE1 或 AE 3， E 作 EF OB 于点 F ， EF ∥ OA .BE3 BE∴ BEF ∽BAO , ∴EFBE BF . ∴当 AE 1 ， EF 3BF ，AOBA BO BE 3 241∴EF3, BF 3，∴ E (1 324,) .4 2直 PC 解析式 ymx n ， 可求得其解析式 y2 x 7 ，31 272552 39∴2 ，∴（舍去），∴.xx 2xx 1, x 2 11) 25P ( ,2555 25当AE3 ，同理可得 P 2 ( 6 ,23) .BE7 49（ 3） ABO 平移的距离 ，A 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分的面 S .可由已知求出A 1B 1 的解析式 y2 x2 t ， A 1B 1 与 x 交点坐 (t2,0) .2C 1B 2 的解析式 y1 x t 1， C 1 B 2 与 y 交点坐 (0, t1) .⋯⋯⋯ (9 分 )3 222①如 4.2 所示，当0 tA 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分 四 形 .，5A 1B 1 与 x 交于点 M ，C 1B 2 与 y 交于点 N ， A 1 B 1 与 C 1B 2 交于点 Q ， OQ .y 2 x2 tx4t 3y34t3 5t由11 ，得) .⋯⋯⋯⋯⋯ (10分 )t5t ，∴ Q (3,y x2 y3A 123C 1Q∴ SSQMOSQNO1 2 t5t1 (t1)3 4tNB 2 M O D 1223 22313 t 2 t 1∴ S 的最大25B 1 O 1..12452②如 4.3所示，当34， A 1B 1O 1 与图 4.2tB 2C 1D 1 重叠部分 直角三角形 .55yA 1B 1 与 x 交于点 H ，A 1B 1 与C 1D 1 交于点 G . G (1 2t, 4 5t ) ，D 1H 2 t1 2t45t2， D 1G 4 5t .A 12C 11 D 1H gD 1G 1g 4 5tg(4 5t)1(5t 4) 2∴ S.G2 2 24H∴当341 .B 2 D 1 Ot ， S 的最大55425B 1 O 1上所述，在此运 程中ABO 与 BCD 重叠部分面 的最大.52图 4.3b1,a1,2ax 23. （ 1）依 意，得a b c 0, 解之，得 b2, ∴抛物 解析式 y2x 3 ．c 3.c3.∵ 称 x ＝－ 1，且抛物 A （ 1， 0），∴ B （－ 3， 0）． xxPC 2＝ ( － 1) 2＋ (t － 3) 2＝t 2－ 6t ＋ 10.①若 B 为直角顶点，则 22222－6t ＋ 10.解之 , 得 t ＝－ 2.BC ＋ PB ＝ PC ，即 18＋ 4＋ t ＝t ②若 C 为直角顶点，则2222＋ 10＝ 2．解之，得 t ＝ 4．BC ＋ PC ＝ PB ，即 18＋ t － 6t 4＋t③若 P 为直角顶点，则222，即 4 22＋ 10＝ 18．解之，得 t 1＝ 317 ， t 2 ＝ 3 17 ．PB ＋ PC ＝ BC ＋ t ＋ t － 6t224. 解答：（ 1）抛物线 yax 2 bx 8 经过点 A （－ 2， 0）， D （6，－ 8），4a 2b 8 0 a 11 x 23x 8 2 抛物线的函数表达式为 36a 6b8解得y8b32y1 x 23x 81 x 3 225 ， 抛物线的对称轴为直线x 3．又抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的222坐标为（－ 2， 0）． 点 B 的坐标为（ 8， 0）设直线 l 的函数表达式为 y kx ． 点 D （ 6，－ 8 ）在直线 l 上，6k=－ 8，解得k4y4 x 点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点．点 E 的横． 直线 l 的函数表达式为33坐标为 3，纵坐标为4 4 ，即点 E 的坐标为（ 3，－ 4 ）33（ 2）抛物线上存在点 F ，使 FOE ≌ FCE ．点 F 的坐标为（ 317, 4）或（ 3 17, 4）．（ 3）解法一：分两种情况：①当 OPOQ 时， OPQ 是等腰三角形．点 E 的坐标为（ 3，－ 4）， OE 324 25 ，过点 E 作直线 ME// PB ， 交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，则OMOE ， OM OE5OPOQ点 M 的坐标为（ 0，－ 5）．设直线 ME 的表达式为 yk x 53k5 4，解得k11 ME 的函数表达式为15，令 y=0，， ， y x11331得 x 5 0 ，解得 x=15，点 H 的坐标为（ 15， 0）3MH//PB ，OP OB ，即 m 8 ， 8又mOMOH5153②当 QO QP 时， OPQ 是等腰三角形．当 x=0 时， y1 x 23 x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8），2CE32(8 4)25 ， OE=CE ，12 ，又因为 QOQP ，13 ，38 4 ，解得 k 24，设直线交轴于点， 其函数表达式为，，23CE//PB CE x yk 2 x 8Nk 23CE 的函数表达式为y 4 x 8 ，令 y=0，得 4 x 8 0 ， x6，点 N 的坐标为（ 6， 0）3 3 CN//PB ，OP OB ，m8，解得 m 32OCON8 6 3m 的值为832时， OPQ 是等腰三角形．综上所述，当 或33解法二：当 x=0 时， y1 2 3x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8）， 点 E 的坐标为x2（ 3 ，－ 4）， OE32 42 5 ， CE 32 (8 4)2 5 ，OE=CE ，12 ，设抛物线的对称轴交直线PB 于点 M ，交 x 轴于点 H ．分两种情况： ① 当 QOQP 时， OPQ 是等腰三角形．13 ，2 3 ， CE// PB又HM/ /y 轴， 四边形 PMEC 是平行四边形， EM CP 8 m ，HMHE EM4 ( 8 m) 4 mBH8 3 5 ， HM//y轴，BHM ∽ BOP ，HM BH4 m5m32OPBOm83②当 OP OQ 时， OPQ 是等腰三角形．EH // y 轴，OPQ ∽ EMQ ，EQ EM ， EQEMOQOPEM EQ OEOQ OE OP5 ( m) 5 m ， HM4 (5m) ，EH // y 轴，BHM ∽BOP ，HM BHOPBO1 m5 m8 当 m 的值为8 32 时， OPQ 是等腰三角形．或m83335. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx ﹣ 5 与 y 轴交于点 C ， ∴C （ 0，﹣ 5）， ∴OC=5 ． ∵ OC=5OB ， ∴OB=1 ，又点 B 在 x 轴的负半轴上， ∴ B （﹣ 1， 0）．∵ 抛物线经过点 A （ 4，﹣ 5）和点 B （﹣ 1， 0），∴，解得， ∴ 这条抛物线的表达式为 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5．（ 2）由 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5，得顶点 D 的坐标为（ 2，﹣ 9）．连接 AC ，∵ 点 A 的坐标是（ 4，﹣ 5），点 C 的坐标是（ 0，﹣ 5）， 又S△ABC = ×4×5=10， S △ACD = ×4×4=8，∴ S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（ 3）过点 C 作 CH ⊥ AB ，垂足为点 H ． ∵ S △ABC = ×AB ×CH=10 ，AB=5 ，∴ CH=2，在 RT △ BCH 中， ∠ BHC=90 °， BC=， BH==3，∴ tan ∠CBH== ．∵ 在 RT △ BOE 中， ∠ BOE=90 °， tan ∠ BEO= ，∵ ∠ BEO= ∠ ABC ， ∴，得 EO= ， ∴ 点 E 的坐标为（ 0，6. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （ 9， 0）和 C （ 0，4）． ∴ 设抛物线的解析式为 y=a （x+3 ）（ x ﹣ 9）， ∵ C （ 0，4）在抛物线上， ∴4=﹣ 27a ，∴ a= ， ∴ 设抛物线的解析式为 y= ﹣ （ x+3 ）（ x 9 ） = ﹣ x 2，﹣﹣ + x+4 ∵ CD 垂直于 y 轴， C （ 0 4 ∴ ﹣ x 2 x+4=4 ， ∴ x=6， ∵ D （ 6，4），， ） + （ 2）如图 1， ∵ 点 F 是抛物线 y= ﹣ x 2+x+4 的顶点，∴ F （ 3，）， ∴ FH= ， ∵GH ∥ A 1O 1，∴，∴ ， ∴ GH=1 ，∵ Rt △ A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴ S 重叠部分 =S △A1O1F ﹣S △FGH = A 1O 1×O 1F ﹣ GH ×FH= ×3×4 ﹣ ×1× = ．（ 3） ① 当 0＜ t ≤3 时，如图 2， ∵ C 2O 2∥ DE ， ∴，∴， ∴ O 2G=t ， ∴ S=S = OO 2×O 2G=t × t=t 2，△OO2G② 当 3＜ t ≤6 时，如图 3，∵ C 2 H ∥ OC ，∴，∴， ∴ C 2H= （ 6 ﹣ t ）， ∴ S=S 四边形 A2O2HG =S △A2O2C2﹣S△C2GH= OA ×OC ﹣ C 2H ×（ t ﹣3） = ×3×4﹣ × （ 6﹣ t ）（ t ﹣ 3）= t 2﹣ 3t+12∴ 当 0＜ t ≤3 时， S= t 2，当 3＜ t ≤6 时， S= t 2﹣ 3t+12．7. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2，0），点 B （ 4，0），点 D （ 2， 4），∴ 设抛物线解析式为 y=a （ x+2）（ x ﹣ 4）， ∴ ﹣ 8a=4， ∴ a=﹣，∴ 抛物线解析式为 y=﹣（ x+2）（ x ﹣ 4）=﹣ x 2+x+4 ；（ 2）如图 1， ① 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥ CD ，垂足为F ′，由（ 1）知， OC=4 ，∵ ∠ ACO= ∠ E ′CF ′，∴ tan ∠ ACO=tan ∠E ′CF ′，∴=，设线段 E ′F ′=h ，则 CF ′=2h ， ∴ 点 E ′（ 2h ，h+4 ）14∴ h=0 （舍） h= ∴ E ′（ 1，），② 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同 ① 的方法得， E （ 3，），点 E 的坐标为（ 1，），（3，）（ 3） ① CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点P ′P ′ P ′N ′∥ y 轴，交 BC于 N ′ P ′ P ′M ′∥ BC ，，过点 作，过点 作 交 y 轴于 M ′， ∴ 四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形， ∵ 四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴ P ′M ′=P ′N ′，过点 P ′作 P ′Q ′⊥ y 轴，垂足为 Q ′， ∵ OC=OB ，∠ BOC=90 °，∴ ∠ OCB=45 °， ∴ ∠ P ′M ′C=45 °，设点 P ′（ m ，﹣ m 2+m+4 ），在 Rt △ P ′M ′Q ′中， P ′Q ′=m ， P ′M ′= m ， ∵ B （ 4， 0）， C （0， 4），∴ 直线 BC 的解析式为 y= ﹣ x+4 ，∵ P ′N ′∥ y 轴， ∴ N ′（ m ，﹣ m+4），∴ P ′N ′=﹣ m 2+m+4 ﹣（﹣ m+4） =﹣ m 2+2m ， ∴ m= ﹣ m 2+2m ， ∴ m=0 （舍）或 m=4 ﹣ 2 ，菱形 CM ′P ′N ′的边长为 （ 4﹣ 2 ） =4﹣ 4．② CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥ CP ，交 BC 于 N ，∴ 四边形 CPMN 是平行四边形，连接PN 交 CM 于点 Q ，∵ 四边形 CPMN 是菱形， ∴ PQ ⊥ CM ， ∠ PCQ=∠ NCQ ， ∵ ∠OCB=45 °，∴ ∠ NCQ=45 ° ∴ ∠PCQ=45 ° ∴ ∠CPQ= ∠ PCQ=45° ∴ PQ=CQ， ， ， ， 设点 P （ n ，﹣ n 2+n+4）， ∴CQ=n ， OQ=n+2 ， ∴ n+4=﹣ n 2+n+4 ， ∴ n=0 （舍）， ∴ 此种情况不存在． ∴ 菱形的边长为4 ﹣ 4．8. 解：（ 1）把 A （﹣ 1，1）， B （ 2， 2）代入 y=ax 2+bx 得：，解得 ，故抛物线的函数表达式为y=x 2﹣ x ， ∵BC ∥x 轴，设 C （x 0， 2）． ∴ x 02﹣ x 0=2，解得： x 0=﹣或 x 0=2，∵ x 0＜ 0∴ C （﹣， 2）；（ 2）设 △BCM 边 BC 上的高为 h ， ∵BC= ， ∴ S △BCM =h=， ∴ h=2 ，点 M 即为抛物线上到 BC 的距离为2 的点， ∴ M 的纵坐标为 0 或 4，令 y=x 2﹣ x=0 ， 解得： x 1 =0，x 2=，∴ M 1（0，0）， M 2（， 0），令 y=x 2﹣x=4 ，解得： x 3=， x 4= ，∴ M 3（ ， 0）， M 4（， 4），综上所述： M 点的坐标为：（0， 0），（， 0），（， 0），（， 4）；（ 3）∵ A （﹣ 1， 1）， B（ 2， 2）， C（﹣， 2）， D（ 0， 2），∴ OB=2， OA=， OC=，∴ ∠ AOD= ∠ BOD=45 ° tan∠ COD=，①如图1，当△ AOC ∽ △ BON时，，∠ AOC= ∠ BON，，∴ ON=2OC=5 ，过 N 作 NE ⊥ x 轴于 E，∵ ∠ COD=45°﹣∠ AOC=45°﹣∠ BON=∠NOE，在 Rt△ NOE 中， tan∠ NOE=tan ∠ COD= ，∴ OE=4 ， NE=3，∴ N（4，3）同理可得N （3， 4）；②如图 2，当△ AOC ∽△ OBN 时，，∠ AOC=∠OBN，∴ BN=2OC=5，过 B 作 BG ⊥ x 轴于 G，过 N 作 x 轴的平行线交BG 的延长线于F，∴ NF⊥ BF，∵ ∠ COD=45 °﹣∠ AOC=45 °﹣∠ OBN= ∠NBF ，∴ tan∠NBF=tan ∠ COD= ，∴ BF=4，NF=3，∴ N （﹣ 1，﹣ 2），同理N （﹣ 2，﹣ 1），综上所述：使得△AOC与△ OBN相似（边OA 与边 OB 对应）的点N 的坐标是（ 4， 3），（ 3， 4），（﹣ 1，﹣ 2），（﹣ 2，﹣ 1）．。

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，11）或（﹣1，311ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x = 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．5．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣1 2x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.6．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++过点(1,0)A-，(3,0)B，与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC△，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若1223SS=，求a的值．【答案】（1）(0,3)C a-；(2) 抛物线的表达式为：252535y x=++；(3) 22a=-22a=【解析】【分析】（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB ∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CD DQ BQ BD ==，即可求解；（3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299m HN DM OC ===，而22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=，∴QDB DCP ∠=∠，设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，90CPD BQD ︒∠=∠=，∴CPD DQB ∽，∴CP PD CD DQ BQ BD==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =， ∵0a <，故55a =-， 故抛物线的表达式为：252535555y x x =++；（3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，设：3OC m a ==-，11322OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 2112OACS S m ∆==⨯⨯，而1223S S =，则29m DM =，11299m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333ON =-=，则DO BC ⊥，HN OB ⊥，则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，则22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，解得：62m =±（舍去负值），|3|62CO a =-=，解得：22a =-故：22a =-C 在x 轴下方时，同理可得：22a =22a =-22a =【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，是本题解题的关键．7．已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【答案】（1）①92b =②458；（2）1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<． 【解析】 【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458； （2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到82,3n n ==， 所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n=时，22y n n n n =-++=，4n <． 【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++， ∴92b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中， ∴185n =， ∴1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2y x nx n =-++中， ∴2n =， 将点()2,2代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，∴8n >； 当2n x =时，182n y =+， 1482n +≤，∴312n ≥， 当xn =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<． 【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.8．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)． (1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(43，﹣73)． 【解析】 【分析】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解； (2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4， 解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：45k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：11 kb=-⎧⎨=-⎩，所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣43，即点Q(﹣43，13)，∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N(43，﹣73)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．9．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．考点：二次函数综合题．10．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：∴，解得：∴抛物线的解析式为．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴化简得：∴＝＝当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点∴．考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）。

2017年中考数学之二次函数(带详解答案)一．选择题1．（2017•广安）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2017•金华）对于二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=1，最小值是2B．对称轴是直线x=1，最大值是2C．对称轴是直线x=﹣1，最小值是2D．对称轴是直线x=﹣1，最大值是23．（2017•台湾）已知坐标平面上有两个二次函数y=a（x+1）（x﹣7），y=b（x+1）（x﹣15）的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b（x+1）（x﹣15）的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）A．向左平移4单位 B．向右平移4单位C．向左平移8单位 D．向右平移8单位4．（2017•绵阳）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣85．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2017•丽水）将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位7．（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．abc＜0，b2﹣4ac＞0 B．abc＞0，b2﹣4ac＞0C．abc＜0，b2﹣4ac＜0 D．abc＞0，b2﹣4ac＜08．（2017•随州）对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是（）A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小9．（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）10．（2017•攀枝花）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（）A．a＞b＞cB．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）D．3b+2c＞011．（2017•贵港）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 12．（2017•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个13．（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2017•绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3 15．（2017•恩施州）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B 作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S=5，四边形ABCD其中正确的个数有（）A．5 B．4 C．3 D．216．（2017•遂宁）函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c=0；③b＜0；④方程组的解为，；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤17．（2017•泰安）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm218．（2017•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cm B．18cm C．2cm D．3cm19．（2017•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．120．（2017•玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是x=m C．最大值为0 D．与y轴不相交21．（2017•宜宾）如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A （1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．（2017•长沙）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（2，4）23．（2017•日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤24．（2017•兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（）A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.325．（2017•盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根，其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个26．（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0 27．（2017•乐山）已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．或28．（2017•眉山）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2﹣ax（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣29．（2017•哈尔滨）抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣，﹣3）C．（，3）D．（﹣，3）30．（2017•南宁）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（）A．B．C．D．31．（2017•牡丹江）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A．5 B．﹣1 C．4 D．1832．（2017•包头）已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（）A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y233．（2017•淄博）将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（）A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2 34．（2017•枣庄）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大35．（2017•黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个36．（2017•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．437．（2017•徐州）若函数y=x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜138．（2017•襄阳）将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣8）2+1 D．y=2（x﹣8）2﹣3 39．（2017•连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 40．（2017•苏州）若二次函数y=ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1=0的实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=，x2=D．x1=﹣4，x2=0 41．（2017•泰安）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个42．（2017•荆门）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＜0，b＜0，c＞0B．﹣=1C．a+b+c＜0D．关于x的方程ax2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根43．（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④44．（2017•常德）将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣3）2﹣5 B．y=2（x+3）2+5 C．y=2（x﹣3）2+5 D．y=2（x+3）2﹣545．（2017•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46．（2017•辽阳）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（）A．1+B．1﹣C．﹣1 D．1﹣或1+47．（2017•盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．48．（2017•泸州）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．649．（2017•扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C （2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2 B．b＜﹣2 C．b≥﹣2 D．b＞﹣250．（2017•天津）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M'落在x轴上，点B 平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=x2+2x+1 B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1 51．（2017•阜新）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的图象可能是（）A．B．C．D．52．（2017•贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④53．（2017•黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论：①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．054．（2017•六盘水）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 55．（2017•阿坝州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个56．（2017•宿迁）将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1 57．（2017•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④58．（2017•鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个59．（2017•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b60．（2017•兰州）抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣6 61．（2017•安顺）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题1．（2017•百色）经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是．2．（2017•镇江）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=．3．（2017•鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是．4．（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是．（写一个即可）5．（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a ≥0，其中所有正确的结论是．6．（2017•玉林）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1．则所有正确结论的序号是．7．（2017•永州）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．（1）小球第3次着地时，经过的总路程为m；（2）小球第n次着地时，经过的总路程为m．8．（2017•株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为．9．（2017•广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有．10．（2017•仙桃）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．11．（2017•牡丹江）若将图中的抛物线y=x2﹣2x+c向上平移，使它经过点（2，0），则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是．12．（2017•广州）当x=时，二次函数y=x2﹣2x+6有最小值．13．（2017•黔西南州）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有（填序号）①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．14．（2017•莱芜）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）15．（2017•大祥区三模）把抛物线y=﹣x2向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是．16．（2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．17．（2017秋•杜尔伯特县校级期中）抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．18．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．19．（2017•武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是．20．（2017•锦州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是．（只填序号即可）．21．（2017•天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）22．（2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．23．（2017•金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC=4m，则S=m2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．24．（2017•乐山）对于函数y=x n+x m，我们定义y'=nx n﹣1+mx m﹣1（m、n为常数）．例如y=x4+x2，则y'=4x3+2x．已知：y=x3+（m﹣1）x2+m2x．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为．25．（2017•河北）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}=；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=．26．（2017•咸宁）如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B （4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．27．（2017•常德）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．28．（2017•上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）29．（2017•巴中）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则半圆圆心M的坐标为．30．（2017•贺州）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③b2﹣4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=﹣1：2：3，其中正确的结论有．31．（2017•兰州）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为．32．（2017•德阳）若抛物线y=﹣ax2+x﹣与x轴交于A n、B n两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用S n表示A n、B n两点间的距离，则S1+S2+…+S2017=．33．（2017•沈阳）某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是元/件，才能在半月内获得最大利润．34．（2017•青岛）若抛物线y=x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是．35．（2017•衡阳）已知函数y=﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2（填“＜”、“＞”或“=”）三、解答题1．（2017•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D 作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2017•日照）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x 轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C 交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明△QAB理由．3．（2017•金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．4．（2017•兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）．（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．5．（2017•荆门）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t 为整数，单位：天）的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．6．（2017•南通）某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．…﹣﹣0﹣﹣﹣（1）请补全函数图象；（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为；（3）观察图象，写出该函数的两条性质．7．（2017•辽阳）如图1，抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（0，﹣2）两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE ⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；（3）如图2，在x轴上有一点M（2，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．8．（2017•广安）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．9．（2017•齐齐哈尔）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；=4S△COE，求P点坐标．（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）10．（2017•十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？11．（2017•泰安）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．12．（2017•潍坊）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．13．（2017•荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m （m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．14．（2017•朝阳）今年是“精准扶贫”攻坚关键年，某扶贫工作队为对口扶贫村引进建立了一村集体企业，并无偿提供一笔无息贷款作为启动资金，双方约定：①企业生产出的产品全部由扶贫工作队及时联系商家收购；②企业从生产销售的利润中，要保证按时发放工人每月最低工资32000元．已知该企业生产的产品成本为20元/件，月生产量y（千件）与出厂价x（元）（25≤x≤50）的函数关系可用图中的线段AB和BC表示，其中AB的解析式为y=﹣x+m（m为常数）．（1）求该企业月生产量y（千件）与出厂价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当该企业生产出的产品出厂价定为多少元时，月利润W（元）最大？最大利润是多少？[月利润=（出厂价﹣成本）×月生产量﹣工人月最低工资]．15．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A （1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y 轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．16．（2017•温州）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．17．（2017•随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B 的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2017•巴中）如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．。

2017中考数学全国试题汇编------二次函数和四边形综合题25（2017湖北随州）．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．25（2017湖北襄阳）．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM 和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴=，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴=，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，①当m=2时，CQ==2，BQ==4，∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=，②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．25（2017江苏宿迁）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接、．（1）求曲线所在抛物线相应的函数表达式；（2）求外接圆的半径；（3）点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．【答案】（1）；(2) ；（3）点的坐标分别为.（2）因为抛物线交轴于、两点，所以A(-1,0),B(3,0),则线段AB的垂直平分线的直线为x=1，因为曲线交轴于点（0，3），所以OC=OB,又∠COB=90°，所以线段BC的垂直平分线为直线y=x，联立，解得，所以△ABC的外接圆圆心坐标为（1，1），由勾股定理可得，所以△ABC 的外接圆半径为；所以;综上所述，点的坐标分别为.28．（2017山东济南）如图1，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(4,0)，(0,6)，直线AD 交BC 于点D ．tan 2OAD ∠=，抛物线21:(0)M y ax bc a =+≠过A ，D 两点．（1）求点D 的坐标和抛物线1M 的表达式．（2）点P 是抛物线1M 对称轴上一动点，当90CPA ∠=︒时，求所有满足条件的点P 的坐标．（3）如图2，点(0,4)E ，连接AE ，将抛物线1M 的图象向下平移(0)m m >个单位得到抛物线2M ．①设点D 平移后的对应点为点D '，当点D '恰好落在直线AE 上时，求m 的值． ②当1(1)x m m >≤≤时，若抛物线2M 与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．图2备用图【答案】见解析【解析】解：（1）∵OA BC ∥， ∴OAD ADB ∠=∠， ∴tan tan 2ADB OAD ∠=∠=． 在Rt ABD △中，∵6AB OC ==， ∴63tan 2AB DB ADB ===∠．∴1CD CB BD =-=，(1,6)D ．∵抛物线21:(0)M y ax bx a =+≠过A ，D 两点， ∴1640,6,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得2,8.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线1M 的表达式为228y x x =-+． （2）∵222282(4)2(2)8y x x x x x =-+=--=--+． ∴抛物线的对称轴为2x =． 设点(2,)P y ， ∵(4,0)A ，(0,6)C ，∴2224652AC =+=，2222(42)4AP y y =-+=+，22222(6)4(6)CP y y =+-=+-．∵90CPA ∠=︒，∴222AC AP CP =+，即225244(6)y y =+++-， 整理得2640y y --=．解得13y =23y =故1(2,3P ，2(2,3P ．（2）由题意知，抛物线2M 的表达式为228y x x m =-+-， ①∵(1,6)D ， ∴(1,6)D m '-，设直线AE 的表达式为y mx n =+， 则40,4,m n n +=⎧⎨=⎩解得1,4,m n =-⎧⎨=⎩∴直线AE 的表达式为4y x =-+． ∵点(1,6)D m '-在直线AE 上， ∴146m -+=-，解得3m =．②由①知，当抛物线经过点(1,3)时，m 的值为3； 当x m =时，设直线与抛物线交于点(,4)P m m -+， 则2428m m m m -+=-+-，解得2m =或2m =（舍去）；当抛物线228y x x m =-+-与直线AE 只有一个交点时，联立228,4,y x x m y x ⎧=-+-⎨=-+⎩消去y ，整理得32940x x m -++=， 由818(4)0m ∆=-+=，解得498m =．综上可知，所求m 的取值范围为4928m <． 25（2017山东威海）．如图，已知抛物线y=ax 2+bx +c 过点A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）点M 、N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）求二次函数y=ax 2+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F ，若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积； （3）若∠DMN=90°，MD=MN ，求点M 的横坐标．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），分别表示出ME=|﹣m2+2m+3|、MN=2m ﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得；（3）先求出直线BC解析式，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3）、点D（a，﹣a+3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线的函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入上式，得：3=a（0+1）（0﹣3），解得：a=﹣1，∴所求抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x=﹣=1，如图1，设点M坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，∴点N的横坐标为2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四边形MNFE为正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分两种情况：①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．（3）设BC所在直线解析式为y=kx+b，把点B（3，0）、C（0，3）代入表达式，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y=﹣x+3，设点M的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则点N（2﹣a，﹣a2+2a+3），点D（a，﹣a+3），①点M在对称轴右侧，即a＞1，则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=a﹣（2﹣a），即|a2﹣3a|=2a﹣2，若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2a﹣2，解得：a=或a=＜1（舍去）；若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2﹣2a，解得：a=﹣1（舍去）或a=2；②点M在对称轴右侧，即a＜1，则|﹣a+3﹣（﹣a2+2a+3）|=2﹣a﹣a，即|a2﹣3a|=2﹣2a，若a2﹣3a≥0，即a≤0或a≥3，a2﹣3a=2﹣2a，解得：a=﹣1或a=2（舍）；若a2﹣3a＜0，即0≤a≤3，a2﹣3a=2a﹣2，解得：a=（舍去）或a=；综上，点M的横坐标为、2、﹣1、．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程是解题的关键．25（2017山东烟台）．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵直线OE解析式为y=﹣x，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣x2﹣x+2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为x，∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．28（2017山东泰安）．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．26（2017山东临沂）．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF ⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．25（2017山东枣庄）．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y 轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q 在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F 点的坐标为（﹣3，﹣）；综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．。

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ， 得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动， 如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ， 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ， 则 P 1M =3，BM =3 ， 在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4， 把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0， 得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0） （3）解：存在．在△ODF 中． （ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2） 由﹣ 12 x 2+x+4=2， 得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）． （ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0， 解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中， 得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1； （2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0）， 将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)． （2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意， 当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4） 设直线AB 的解析式为 y =kx +b ， 把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ； （2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4） （3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且 设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ， 当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2， 根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ， 则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值， 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得： 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ， 综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ， 故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ， 将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ）， 在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似， 故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2， 由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ， 则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2， 解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去）， 故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）； 当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ； 当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4， 整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ； 综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。

2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 8．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，2）、B （1，0）、C （2，1），若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是A ．2b ≤-B ．2b <-C ．2b ≥-D ．2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y 轴的交点（０，１）也是确定不变的。

唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。

若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线12bx =-=，即b ＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以12b-≤，即2b ≥-。

二、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当∆PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．解：（1）∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，∴03332332=--xx，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；343324332-⨯-⨯=y＝335，∴点E坐标为（4，335）．设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk，∴y＝33x+33；（2）∵令x ＝0，得y ＝ 3-，∴点C （0，3-），∵点E 坐标为（4，335），∴直线CE 的解析式为y ＝3332-x ，过点P 作PH ∥x 轴，交CE 于点H ，如图，设点P 的坐标为（t ，3332332--t t ），则H （t ，3332-t ），∴PH ＝3332-t －（3332332--t t ）＝t t 334332+-， ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆，∵0332<-，抛物线开口向下，40<<t ，∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t ＝2时，PCE S ∆取得最大值，此时P 为（2，3-）；∵点C （0，3-），B （3，0），由三角形中位线定理得K （23，23-），∵y C ＝y P ＝3-，∴PC ∥x 轴，作K关于CP 的对称点K 1，则K 1（23，233-）；∵333tan ==∠OCB ，∴∠OCB ＝60゜，∵D （1，0），∴3331tan ==∠OCD ，∴∠OCD ＝ 30゜，∴∠OCD ＝∠BCD ＝30゜，∴CD 平分∠OCB ，∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上，又∵CK ＝OC ＝3，∴点K 2与点O 重合，连接OK 1，交CD 于点N ，交CP 于点M ，如图，∴KM ＝ K 1M ，KN ＝ON ，∴KM +MN +KN ＝K 1M +MN +ON ，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN +KN 的值最小，∴K 1 K 2 ＝O K 1＝32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴KM +MN +KN 的最小值为3；（3）点Q 的坐标为（3，321234+-），（3，321234--），（3，32），（3，332-）．2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（P 点与A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边需满足AP 2＋BP 2＝AB 2，则称点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （13C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标．思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待定系数法即可求解．（3）由S△ABQ＝S△ABP，故有|y Q|y Q物线解析式即可求解．解（1）勾股点的坐标（0，1）．（2）抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过原点（0，0），即A为（0，0）．如图，作PG⊥x轴于点G，连结PA，PB．∵点P的坐标为（1，∴AG＝1，PG PA＝2，tan∠PAB∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝cos60PA＝4，∴点B（4，0）．设y＝ax（x－4），当x＝1时，ya．∴y x（x－4x2x．（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）．∴Q1（3．②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2解得x1＝2x2＝2Q2（2，Q2（2．综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，Q2（2，Q2（2．3.（2017山东济宁，21，9分）已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时，y的取值范围是13y n≤≤-，求n的值；②函数C2：22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．思路分析：（1）根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解，即需满足m ≠0且根的判别式△＞0，解不等式组得25,12m <且0m ≠；（2）由二次函数22y x x =+性质，当14x <-时，y 随x 的增大而减小，求出n 的值为—2；（3）由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大，先求出MO 的解析式，设出点P 的坐标，根据勾股定理求出点P 的坐标，继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．解：（1）由题意可得：()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得：25,12m <且0,m ≠ 当2m =时，函数解析式为：22y x x =+．（2）函数22y x x =+图象开口向上，对称轴为1,4x =-∴当14x <-时，y 随x 的增大而减小．∵当1n x ≤≤-时，y 的取值范围是13y n ≤≤-， ∴ 223n n n +=-．∴ 2n =-或0n =（舍去）． ∴2n =-．（3）∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为：12y x =，设P （a ，b ），则有a ＝2b ， 根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==．∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (－1,0)，B (3,0)，C （0，3）.点M ，N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E . （1）求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN =90°，MD =MN ，求点M 的横坐标.解：∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0)，∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0，3)代入上式，得3=a (0+1)(0-3)， 解得a =-1.∴所求函数表达式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3．(2)由(1)知，抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-．如图1，设M 点的坐标(m ，－m 2+2m +3),∴ME =|－m 2+2m +3|．∵M ,N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧， ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- ． 分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述，正方形的面积为24-或24+（3）设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式，得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3，设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3)， ∴DM =23a a -+ ，∵DM //y 轴，DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a ， ∴MN =22a -， ∵DM =MN ，∴2322a a a -+=- ． 分两种情况：①如图2，2322a a a -+=- ， 解，得122,1a a ==- ．②如图3，2322a a a -+=-，解，得3455,22a a +-==．综上所述，M 点的横坐标为122,1a a ==-，34,a a ==5.（2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．解：（1）设抛物线方程为，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以…………………………1分又抛物线经过点（4，2），所以，解得，………………2分所以抛物线的方程是．……………………………3分（2）联立，消去y，整理得，………………………4分解得，，…………………………5分代入直线方程，解得，，所以B（），D（），因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，………………………6分利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=，即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切．…………………………7分（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，……………………………9分即，代入得，化简得，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分所以…………………………………………………12分法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =25，CH =R -1=23， 由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =，所以MF =HF -MH =-2，…………………10分 又BE =y 1-1=23-25，所以MF BE =25+1，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以．6.（2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若∆BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图1 备用图思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆，作PH CF '⊥于H ，则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时，PF EF +取最大值42．（3）①先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式，解得即为D 1和D 2；②利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D 3和D 4．结合①中D 1和D 2的坐标，当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形，从而得到点D 的纵坐标的取值范围．解析：（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3． 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3．∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3．（2）方法1：如图，过P 作PG ∥CF 交CB 与G ，由题意知∠BCO ＝∠CEF ＝45°，F （0，m ）C （0，3）， ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22（3－m ） PE ＝22PG ，设x P ＝t （1＜t ＜3）， 则PE ＝22PG ＝22（－t ＋3－t －m ）＝22（－m －2t ＋3）， t 2－4t ＋3＝t ＋m ，∴PE ＋EF ＝22（3－m ）＋22（－m －2t ＋3）＝ 22（－2t －2m ＋6）＝－2（t ＋m －3）＝－2（t 2－4t ）＝ －2（t －2）2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大值＝42．方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为3y x=-+，OC=OB=3，∴∠OCB=45°．同理可知∠OFE=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF+EF=PF′= 2 PH．yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-．∴当Py最小时，PF+EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当1Py=-时，(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 ．（3）①由（1）知对称轴x＝2，设D（2，n），如图．当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（32）2＝（3－2）2＋（0－n）2 ，解得n＝5；当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2 即（2－3）2＋（n－0）2＋（32）2＝（2－0）2＋（n－3）2 ，解得n＝－1．∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，－1）．②如图：以BC的中点T（3，3），12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD2B＝90°，设D（2，m），由DT＝12BC32得（32－2）2＋（32－m）2＝2322⎛⎝⎭，解得m＝173±，∴D 3（2，173+）D 4（2，173-）， 又由①得D 1为（2，5），D 2（2，－1），∴若∆BCD 是锐角三角形，D 点在线段13D D 或24D D 上时（不与端点重合），则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜D y ＜1732-或1732+＜D y ＜5．7. （2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t 秒，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．解：(1)∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A （－2，0）.把点A （－2，0），B （4，0），点C （0，3），分别代入y ＝ax 2+bx+c （a≠0），得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y＝343832++-xx．(2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC＝2243+＝5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴BCBNOCHN=，即53tHN=，∴HN＝t53．∴S△MBN＝21MB·HN＝21(6－3t)·t53＝=+-tt591092109)1(1092+--t．当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S△MBN最大＝109．∴S与t的函数关系为S＝109)1(1092+--t，S的最大值为109．（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B＝54=BCOB，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t．∴MB＝6－3t．当∠MNB＝90°时，cos∠B＝54=BMBN，即5436=-tt，解得t＝1724．当∠BM＇N＇＝90°时，cos∠B＝5436=-tt，解得t＝1930．综合上所述，当t＝1724或t＝1930时，△MBN为直角三角形．8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点（点B 在点A的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC 、DB 交于点E ．若AC ：CE ＝1:2． （1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．思路分析：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，设P （m ，0）.①由相似三角形的判定与性质证得AF ＝3AP ，BF ＝3PB ；②由关系式AF －BF ＝AB ，可得m ＝1．∴点P 的坐标（1，0）．（2）①由已知证得A （－3，0），E （9，），抛物线过点（5，0）；②用待定系数法可得抛物线的函数表达式．解：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，∵CD ⊥AB ，∴CD ∥EF ，PC ＝PD ． ∴△ACP ∽△AEF ，△BPD ∽△BEF . ∵AC ：CE ＝1:2．∴AC ：AE ＝1:3． ∴AP AF ＝CP EF ＝13，DP EF ＝PB BF ＝13． ∴AF ＝3AP ，BF ＝3PB ． ∵AF －BF ＝AB ．又∵⊙O 的半径为3，设P （m ，0）， ∴3（3＋m ）－3（3－m ）＝6 ∴m ＝1．∴P （1，0）（2）∵P （1，0），∴OP ＝1，A （－3，0）． ∵OA ＝3，∴AP ＝4，BP ＝2．∴AF ＝12. 连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴△ACP∽△CBP ．∴AP CP ＝CPBP． ∴CP 2＝AP ·BP ＝4×2＝8. ∴CP ＝．∴EF ＝3CP ＝． ∴E （9，）.∵抛物线的顶点在直线CD 上，∴CD 是抛物线的对称轴， ∴抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＋，＝＋，＋，解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩＝＝-＝ ∴抛物线的函数表达式为yx 2x ．9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E ．经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F ．点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标，进而可求直线l 的解析式，结合二次函数解析式确定点F 的坐标．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，列出PM 关于t 的解析式，最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式，利用二次函数的最值求得t 值，从而使问题得以解决； （3）分两种情形讨论：①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，易得P 1G =AG ，由此构建一元二次方程求t 的值；②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值． 解：（1）将点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)代入y =ax 2+bx +c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以，抛物线解析式为：y=－x 2+2x +3．（2）因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分， 所以必过其对称中心(21，23)． 由点A 、D 知，对称轴为x =1，∴E (3，0)， 设直线l 的解析式为：y =kx +m ，代入点(21，23)和(3，0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为：y =53-x +59． 由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-． 作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ．点P 的纵坐标为y P =－t 2+2t +3， 点M 的纵坐标为y M =53-t +59．所以PM =y P －y M =－t 2+2t +3+53t －59=－t 2+513t +56． 则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(－t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t －1013)2+100289×1017 所以当t =1013时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为31017100289⨯=1017． （3）由图可知∠PEA ≠90°．①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，因为OA =OE ，所以∠OAE =∠OEA =45°， 所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°，所以P 1G =AG ． 所以t =－t 2+2t +3－3，即－t 2+t =0， 解得t =1或t =0(舍去)．②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ， 则△P 2KE ∽△AQP 2，所以QP KEAQ K P 22=， 所以tt tt t t 233222+--=++-，即t 2－t －1=0，解之得t =251+或t =251-＜52-(舍去)．综上可知t =1或t =251+适合题意．10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ，()0,2C -，直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）． （1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ，PN y ∥轴交l 于点N ．求PM PN +的最大值；（3） 设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．备用图解：（1）将()3,0B ，()0,2C -代入223y x bx c =++，得：6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得：432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：224233y x x =--；（2）设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭，则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ，N 在直线l ：2233y x =--上，PM x ∥，PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即：PM PN +的最大值为：154；（3）能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时，有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，EC PF =即：22244=3333m m -++解得：m =，其中0m =时不成立，舍去； ② 当EC 为对角线时，PF 中点即为EC 中点（0，43-）2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以，224222333m m m +-=-解得：01m =-或，其中0m =时不成立，舍去；综上所述：F 点的坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭．11. （2017湖南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； （2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA 的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM，所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，∵点(2,2)，(1,54)在抛物线上，∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为：y=14x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, 14x2+1），∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.∴A（x,0），C（0,14x2+1），M（0,2），D（0，1－14x2）；PA∥y轴；∴MD=2－（1－14x2）=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=14x2+1－2=14x2－1；∵在Rt△PCM中，PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形，△PAM 是等腰三角形； ∴∠APM =∠ADM ；∠MDP =12∠ADM ； 根据抛物线的对称性，PD =ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP =12∠PDE ， ∴∠PDE =∠APM ；又∵∠PDE ，∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角； ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ，AM =222x +∵PE ：AM =3时，解得：x =23±； ∴相似比为3时P 点坐标为：（23±，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F 为抛物线上一动点，∠FAB=∠EDB ，可以分两种情况求解：一是点F 在x 轴上方；二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ，构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN 在x 轴上方；二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ，利用PQ=12MN ，得到MT=2n ，进而得到点M 的坐标为(2+2n ，n)，再由点M 在抛物线上，得21(22)2(22)62n n n =+-+-， 求出n 的值，最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解：(1)∵OB=OC=6， ∴B(6，0)，C(0，-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩， 解得26b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --， ∴点D 的坐标为(2，-8). ……4分 (2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB，∴tan∠FAG=tan∠BDE，即21261222x xx--=+，解得17x=，22x=-(舍去).当x=7时，y=92，∴点F的坐标为(7，92). ……6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，72-).综上所述，点F的坐标为(7，92)或(5，72-). ……8分(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN ， ∴MT=2PT.设TP=n ，则MT=2n. ∴M(2+2n ，n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-， 即2280n n --=.解得1n =，2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M(2+2n ，-n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-， 即22+80n n -=.解得114n -+=，214n -=(舍去).∴1-.综上所述，菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中2a=b>0>c ，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根； （2）证明：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限；（3）直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3） （2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.方法二：∵b =2a ， c=-3a ，∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.（3）∵b =2a ， c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ，∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩，221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a -1，1a -4a ）即为顶点D 的坐标（1a -1，1a -4a ） D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-（-1）=1a，AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（49-21，）的抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 过点M （2，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）点A 是抛物线与x 轴的交点（不与点M 重合），点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点（处于x 轴下方），点D 是反比例函数y ＝xk（k >0）图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y ＝a (x －21)2－49，再把点M （2，0）代入，可求a ＝1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A 、B 两点的坐标，及AB 线段长，再根据反比例函数y ＝xk（k >0），考虑点C 在x 轴下方，故点D 只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB 为边，如图一。

2017年全国中考数学真题分类 二次函数代数方面的应用一、选择题1. （2017青海西宁，10，3分）如图3，在正方形ABCD 中，AB =3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC - CB 以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （c m 2），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是A ．B ． D ．A ．B ．C ．D ．答案：A ，解析：当M 在AB 上移动，N 在DC 上时，△AMN 的面积为y =x x 23321=⋅⋅（0≤x ≤23）． 当M 在AB 上，N 在BC 上时，y =x x x x 3)26(212+-=-⨯⨯（x >23），故选A二、解答题1. （2017浙江温州，22， 10分）如图，过抛物线y ＝错误!未找到引用源。

上一点A 作x 轴的平行线，交抛物线于另 一点B ，交y 轴于点C ，已知点A 的横坐标为－2． （1）求抛物线的对称轴和点B 的坐标.（2）在AB 上任取一点P ，连结OP ，作点C 关于直线OP 的对称点D. ①连结BD ，求BD 的最小值.②当点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方时，求直线PD 的函数表达式.思路分析：考点二次函数与一次函数的综合应用，（1）知道抛物线的解析式，求对称轴：直线错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

＝4，用待定系数法求出A（－2， 5），B（10， 5）（2）利用三角形三边关系可知当且仅当点O、D、B三点共线时，BD取得最小值；分类讨论点D的位置，利用待定系数法求出直线PD的函数表达式．解：（1）由抛物线的解析式y＝错误!未找到引用源。

，得对称轴：直线错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

＝4由题意知点A的横坐标为－2，代入解析式求得y＝错误!未找到引用源。

，当错误!未找到引用源。

2017中考试题汇编--------二次函数(2017贵州铜仁)25．（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）分三种情况：①当△P1MP2≌△CMB时，取对称点可得点P1，P2的坐标；②当△BMC≌△P2P1M时，构建▱P2MBC可得点P1，P2的坐标；③△P1MP2≌△CBM，构建▱MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标；（3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQ1∽△Q1EC，列比例式，可得点Q的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2；（2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称，∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，∴△P1MP2≌△CMB，∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，此时P1（﹣1，0），∵B（0，﹣2），对称轴：直线x=，∴P2（1，﹣2）；如图2，MP2∥BC，且MP2=BC，此时，P1与C重合，∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M，∴△BMC≌△P2P1M，∴P1（2，0），由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2，当x=时，y=（﹣）2﹣=，∴P2（，）；如图3，构建▱MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合，由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，∴点P1的横坐标为﹣，当x=﹣时，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=，∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）；（3）如图3，存在，作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2，则∠BQ1C=∠BQ2C=90°；过Q1作DE⊥y轴于D，过C作CE⊥DE于E，设Q1（，y）（y＞0），易得△BDQ1∽△Q1EC，∴，∴=，y2+2y﹣=0，解得：y1=（舍），y2=，∴Q1（，），同理可得：Q2（，）；综上所述，点Q的坐标是：（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键．(2017湖南)27．（12分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N．（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．【分析】（1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可证明．（2）有最小值．设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，由△ECB∽△HEA，推出=，可得=，推出y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，由a=1＞0，y有最小值，最小值为．（3）只要证明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，可得a+a=1，求出a即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠ECF=∠DCB，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE，∴∠CDF=∠B=90°，∴∠CDF+∠CDA=180°，∴点A、D、F在同一条直线上．（2）解：有最小值．理由：设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，∵四边形CFGE是矩形，∴∠CEG=90°，∴∠CEB+∠AEH=90°CEB+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠AEH，∵∠B=∠EAH=90°，∴△ECB∽△HEA，∴=，∴=，∴y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∵a=1＞0，∴y有最小值，最小值为．∴DH的最小值为．（3）解：∵四边形CFGE是矩形，CF=CE，∴四边形CFGE是正方形，∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，∵NM∥EF，∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，∴∠GMN=∠GNM，∴GN=GM，∴FN=EM，∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，∴△CFN≌△CEM，∴∠FCN=∠ECM，∵∠MCN=45°，∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，∴a+a=1，∴a=﹣1，∴AE=AB﹣BE=1﹣（﹣1）=2﹣．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．(2017辽宁)28．（14分）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c 的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=4；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）连结QC．先求得点C的坐标，则PC=5﹣t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2列方程求解即可；（3）过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，首先证明△PAG ∽△ACO，依据相似三角形的性质可得到PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△MDP≌PEQ，从而得到PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RH∥OQ，NR=AP=t，则RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ′的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣代入得：y=﹣x2+x+4，∴b=，c=4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：连结QC．∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴C（0，4）．∵AP=OQ=t，∴PC=5﹣t，∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ 中，AQ2﹣AP2=PQ2，∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t=4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．（3）如图所示：过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．∵PG∥y轴，∴△PAG∽△ACO，∴==，即==，∴PG=t，AG=t，∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣t+t=3+t，DF=GP=t．∵∠MPQ=90°，∠D=90°，∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，∴∠DMP=∠EPQ．又∵∠D=∠E，PM=PQ，∴△MDP≌PEQ，∴PD=EQ=t，MD=PE=3+t，∴FM=MD﹣DF=3+t﹣t=3﹣t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+t﹣t=3+t，∴M（﹣3﹣t，﹣3+t）．∵点M在x轴下方的抛物线上，∴﹣3+t=﹣×（﹣3﹣t）2+×（﹣3﹣t）+4，解得：t=．∵0≤t≤4，∴t=．（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC 与点Q′．∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，∴RH=QO=t，RH∥OQ．∵A（﹣3，0），N（﹣，0），∴点N为OA的中点．又∵R为OP的中点，∴NR=AP=t，∴RH=NR，∴∠RNH=∠RHN．∵RH∥OQ，∴∠RHN=∠HNO，∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得：，解得：m=，n=4，∴直线AC的表示为y=x+4．同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．设直线NR的函数表达式为y=x+s，将点N的坐标代入得：×（﹣）+s=0，解得：s=2，∴直线NR的表述表达式为y=x+2．将直线NR和直线BC的表达式联立得：，解得：x=，y=，∴Q′（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为∠QHQ′的平分线是解答问题（4）的关键．(2017山东) 25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△CDE始终保持边ED 经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G．（1）填空：OA的长是8，∠ABO的度数是30度；（2）如图2，当DE∥AB，连接HN．①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3，当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ∥OB，交AB延长线上于点Q，延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI∥OB，在KI上取一点P，使得∠PDK=45°（点P，Q在直线ED的同侧），连接PQ，请直接写出PQ的长．【分析】（1）先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示OA和OB的长，利用正切值可得∠ABO=30°；（2）①根据三角形的中位线定理证明HN∥AM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论；②如图1，作垂线段DR，根据直角三角形30度角的性质求DR=2，可知：点D 的横坐标为﹣2，由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x=﹣=﹣2，所以点D在该抛物线的对称轴上；（3）想办法求出P、Q的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）当x=0时，y=8，∴B（0，8），∴OB=8，当y=0时，y=﹣x2﹣x+8=0，x2+4x﹣96=0，（x﹣8）（x+12）=0，x1=8，x2=﹣12，∴A（8，0），∴OA=8，在Rt△AOB中，tan∠ABO===，∴∠ABO=30°，故答案为：8，30；（2）①证明：∵DE∥AB，∴，∵OM=AM，∴OH=BH，∵BN=AN，∴HN∥AM，∴四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，理由是：如图1，过点D作DR⊥y轴于R，∵HN∥OA，∴∠NHB=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠DHB=∠OBA=30°，∵Rt△CDE≌Rt△ABO，∴∠HDG=∠OBA=30°，∴∠HGN=2∠HDG=60°，∴∠HNG=90°﹣∠HGN=90°﹣60°=30°，∴∠HDN=∠HND，∴DH=HN=OA=4，∴Rt△DHR中，DR=DH==2，∴点D的横坐标为﹣2，∵抛物线的对称轴是直线：x=﹣=﹣=﹣2，∴点D在该抛物线的对称轴上；（3）如图3中，连接PQ，作DR⊥PK于R，在DR上取一点T，使得PT=DT．设PR=a．∵NA=NB，∴ON=NA=NB，∵∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴△AON是等边三角形，∴∠NOA=60°=∠ODM+∠OMD，∵∠ODM=30°，∴∠OMD=∠ODM=30°，∴OM=OD=4，易知D（﹣2，﹣2），Q（﹣2，10），∵N（4，4），∴DK=DN==12，∵DR∥x轴，，∴∠KDR=∠OMD=30°∴RK=DK=6，DR=6，∵∠PDK=45°，∴∠TDP=∠TPD=15°，∴∠PTR=∠TDP+∠TPD=30°，∴TP=TD=2a，TR=a，∴a+2a=6，∴a=12﹣18，可得P（﹣2﹣6，10﹣18），∴PQ==12．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．(2017辽宁) 29．（9分）如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．在Rt△ADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．由∠CPA=90°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）①求出D′的坐标；②构建方程组，利用判别式△＞0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断．【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥OA于H．则四边形CDHO是矩形．∵四边形CDHO是矩形，∴OC=DH=6，∵tan∠DAH==2，∴AH=3，∵OA=4，∴CD=OH=1，∴D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，∴抛物线M1的表达式为y=﹣2x2+8x．（2）如图1﹣1中，设P（2，m）．∵∠CPA=90°，∴PC2+PA2=AC2，∴22+（m﹣6）2+22+m2=42+62，解得m=3±，∴P（2，3+），P′（2，3﹣）．（3）①如图2中，易知直线AE的解析式为y=﹣x+4，x=1时，y=3，∴D′（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=﹣2x2+8x﹣m，把点D′坐标代入可得3=﹣2+8﹣m，∴m=3．②由，消去y得到2x2﹣9x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，△＞0，∴92﹣4×2×（4+m）＞0，∴m＜，③x=m时，﹣m+4=﹣2m2+8m﹣m，解得m=2+或2﹣（舍弃），综上所述，当2+≤m＜时，抛物线M2与直线AE有两个交点．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题．(2017四川) 24．（12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为y=﹣x+3，先证明△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，则△EPG为等腰直角三角形，PE= PG，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+3t+，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=1+y2，讨论：当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，18+4+（y﹣3）2=1+y2；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，4+（y﹣3）2=1+y2+18，分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标；②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，得到此时D点坐标为（2，）或（2，），然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）易得BC的解析式为y=﹣x+3，∵直线y=x﹣m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x﹣m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE= PG，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=PH=t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=PG=﹣t2+t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+3t+=﹣t2+4=﹣（t﹣2）2+4，当t=2时，PE+EF的最大值为4；（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，设D（2，y），则BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y=，y2=，此时D点坐标为（2，）或（2，1），所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y ＜．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题．(2017新疆) 24．（12分）（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．【解答】解：（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，∵PE=2ED，∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，﹣7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(2017浙江) 22．（10分）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．【分析】（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE===3，求出P、D的坐标即可解决问题；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，∵A、B关于对称轴对称，∴B（10，5）．（2）①如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．②如图2中，图2当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，∴DE===3，∴点D的坐标为（4，3）．设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∴P（，5），∴直线PD的解析式为y=﹣x+．【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．26．（12分）（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x ﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD 上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A 和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP 与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．(2017湖北) 25. (12分)抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(m，0)，与y轴交于C.(1) 若m＝－3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；(2) 如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE ＝ 103S△ACD，求E点的坐标；(3) 如图2，设F(－1，－4)，FG⊥y轴于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP＝∠FPG?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．x x(2017内蒙古) 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于()()1,0,2,0A B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n =-+与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且4BE EC =. ①求n 的值；②连接,AC CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，AGF ∆与CGD ∆是否全等？请说明理由；（3）直线()0y m m =>与该抛物线的交点为,M N （点M 在点N 的左侧），点 M 关于y轴的对称点为点M '，点H 的坐标为()1,0.若四边形OM NH '的面积为53.求点H 到OM '的距离d 的值.(2017山西) 23．综合与探究如图，抛物线2y x x =++x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD x ⊥轴，与抛物线交于点D ，与BC 交于点E ．连接PD ，与BC 交于点F ．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．（1）求直线BC的函数表达式．（2）①直接写出,P D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．时，求t的值．②在点,P Q运动的过程中，当PQ PD（3）试探究在点,P Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．。

2017全国中考数学真题分类知识点18二次函数概念、性质和图象（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. ．(2017四川广安，10，3分)如图所示，抛物线y ＝ax ²+bx +c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b ²－4ac ＝0 ②a +b +c >0 ③2a －b ＝0 ④c －a ＝3A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B ，解析：由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，∴b ²－4ac ＞0，故结论①不正确；∵抛物线的对称轴为x ＝－1，与x 轴的一个交点A 在点（－3，0）和（－2，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，故结论②不正确．∵抛物线的对称轴x ＝－2ba＝－1，∴2a ＝b ，即2a －b ＝0，故结论③正确；∵抛物线y ＝ax ²+bx+c 的顶点为B （－1，3），∴a －b +c ＝3，∵抛物线的对称轴x ＝－1，∴2a ＝b ，∴a －2a +c ＝3，即c －a ＝3，故结论④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选B ．2. （2017浙江丽水·8·3分）将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位答案：D ． 解析： 选项 知识点结果 A将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位得到函数y ＝(x ＋1)2，其图象经过点（1，4）.×B 将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位得到函数y ＝(x －3)2，其图象经过点（1，4）. ×C 将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位得到函数y ＝x 2＋3，其图象经过点（1，4）. ×D 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位得到函数y ＝x 2－1，其图象不经过点（1，4）.√3. （2017山东枣庄12，3分）已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是A ．当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a >0，则当1x ≥时，y 随x 的增大而增大答案：D ，解析：A 、当a ＝1时，函数解析式为y ＝x 2－2x －1，当x ＝－1时，y ＝1＋2－1＝2， ∴当a ＝1时，函数图象经过点（－1，2），∴A 选项不符合题意； B 、当a ＝2时，函数解析式为y ＝－2x 2＋4x －1，令y ＝－2x 2＋4x －1＝0，则△＝42－4×（－2）×（－1）＝8＞0，∴当a ＝－2时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴B 选项不符合题意；C 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的顶点坐标为（1，－1－a ），当－1－a ＜0时，有a ＞－1，∴C 选项不符合题意；D 、∵y ＝ax 2－2ax －1＝a （x －1）2－1－a ，∴二次函数图象的对称轴为x ＝1．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴D 选项符合题意．故选D ．4. （2017四川成都，10，3分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，下列说法正确的是 （ ）A ．20,40abc b ac <-> B ．20,40abc b ac >->C. 20,40abc b ac <-<D ．20,40abc b ac >-<答案：B ，解析：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则a ＞0，与y 轴交点在y 轴的负半轴上，由c <0，对称轴在y 轴的左侧，则2b a->0，所以b <0，所以0abc >；图象与x 轴有两点交点，则240b ac ->，综上，故选B .5. (2017浙江金华，6，3分)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是A ．对称轴是直线x ＝1，最小值是2B ．对称轴是直线x ＝1，最大值是2C ．对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D ．对称轴是直线x ＝－1，最大值是2 答案：B ，解析：二次函数y ＝－(x －1)2＋2的对称轴是直线x ＝1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下，有最大值，最大值是2.6. （2017安徽中考·9．4分）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y bx ac =+的图象可能是（ ）答案：B ．解析：由公共点的横坐标为1，且在反比例函数by x=的图象上，当x ＝1时，y ＝b ，即公共点坐标为（1，b ），又点（1，b ）在抛物线2y ax bx c =++上，得a ＋b ＋c ＝b ，a ＋c ＝0，由a ≠0知ac ＜0，一次函数y bx ac =+的图象与y 轴交点在负半轴上，反比例函数by x=的图象的一支在第一象限，b ＞0，一次函数y bx ac =+的图象满足y 随x 增大而增大，选项B 符合条件，选B ．7. （2017山东德州，7，3分）下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是（ ）A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1D ．y ＝x1-答案：A ，解析：一次函数y ＝－3x ＋2中，由于k ＝－3＜0，所以y 随着x 的增大而减小，即对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2． 8. （2017山东威海，11，3分）．已知二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图像如图所示．若正比例函数y =(b +c )x 与反比例函数y =a b cx-+在同一坐标系中的大致图像是（ ）答案：C，解析：由抛物线知a＞0，b＜0，c＞0，故a－b+c＞0，反比例函数过一三象限;当x=1时，y=a+b+c ＜0，即b+c＜－a, 因为a＞0，所以b+c＜0，所以正比例函数过二四象限，故选C．9.（2017山东菏泽，8,3分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）答案：A，解析：根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，选项D不符合题意，对称轴x=－2ba＞0，选项B不符合题意，与y轴的交点在y轴负半轴，选项C不符合题意，只有选项A符合题意．10. 10．（2017年四川绵阳，10,3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8答案：D 解析：二次函数向下平移1个单位，再向右平移3个单位后，得到y=（x－3）2+1，再结合与一次函数y=2x+b有公共点，联立方程组，建立关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有解的条件△≥0，可求出b的范围．11. (2017年四川南充，10，3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A．4ac＜b2B．abc＜0 C．b＋c＞3a D．a＜bxOy－－图5（8题图） A. B. C. D答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2b a＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2b a＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2b a＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．12. （2017浙江舟山，10，3分）下列关于函数y ＝x 2－6x +10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3+n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0+1)，其中a >0，b >0，则a <b ．其中真命题的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④答案：C ，解析：因为y ＝x 2－6x +10＝(x －3)2+1，所以当x ＝3时，y 有最小值1，故①错误；n 为任意实数，当x ＝3+n 时，y ＝(3+n －3)2+1＝ n 2+1， 当x ＝3－n 时，y ＝(3－n －3)2+1＝ n 2+1，所以两函数值相等，故②错误；若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，令x ＝n ，则y 1＝(n －3)2+1＝ n 2－6n +10， 令x ＝n +1，则y 2＝(n +1－3)2+1＝ n 2－4n +5， 由于y 2－ y 1＝2n －5，所以之间的整数值的个数是2n －5+1＝2n +4个，故③正确；由二次函数的图象知④错误．令x ＝4，则y ＝(4－3)2+1＝2， 令x ＝5，则y ＝(5－3)2+1＝5，y 的整数值有2，3，4，5，2n －4＝2×4－4＝4个，令x ＝6，则y ＝(6－3)2+1＝10， y 的整数值有5，6，7，8，9，10，2n －4＝2×5－4＝6个，令x ＝7，则y ＝(7－3)2+1＝10， y 的整数值有10，11，12，13，14，15，16，17共8个，2n －4＝2×6－4＝8个， 13. （2017四川攀枝花，9，3分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，则下列命题中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第四象限C ．m （am ＋b ）＋b ＝a （m 是任意实数）D ．3b ＋2c ＞0 答案：D解析：由题意知抛物线对称轴为12b x a =-=-，即12a b =，故A 错误；a ＞0，c ＜0∴一次函数y ＝ax ＋c 的图像不经过第二象限，故B 错误；m （am ＋b ）＋b ＝a ，2b a =可得m ＝－112a b =，故C 错误；又当1x =时，0y a b c =++>，∴102b bc ++>，即320b c +>，故选D ．14. （2017江苏盐城，6，3分）如图，将函数y ＝21(2)12x -+的图像沿y 轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为点A ′、B ′．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是A ．y ＝21(2)22x --B ．y ＝21(2)72x -+C ．y ＝21(2)52x --D ．y ＝21(2)42x -+答案：D ，解析：连接AB 、A ′B ′，则S 阴影＝S 四边形ABB ′A ′．由平移可知，AA ′＝BB ′，AA ′∥BB ′，所以四边形ABB ′A ′是平行四边形．分别延长A ′A 、B ′B 交x 轴于点M 、N ．因为A （1，m ）、B （4，n ），所以MN ＝4－1＝3．因为ABB A S''＝AA ′·MN ，所以9＝3AA ′，解得AA ′＝3，即沿y 轴向上平移了3个单位，所以新图像的函数表达式y ＝21(2)42x -+．B 'A 'ABOyx第6题图2 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4．其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B ，解析：由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，随x 的值增大，y 值先增大后变小可知抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x =32，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大正确；由表可知，方程ax 2+bx +c =0根在-1与0和3与4之间所以正确的2个．此题也可求出解析式进行判断．16.7．（2017江苏连云港，7，3分）已知抛物线20yax a 过12,Ay ，21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是A ．120y yB ．210y y C ．120y yD ．210y y答案：C ，解析：∵20y ax a ∴抛物线的开口向上，对称轴为y 轴，12,Ay 在对称轴的左侧，21,B y 在对称轴的右侧，点A 离开对称轴的距离大于点B 离开对称轴的距离，∴120yy 因此选择C 选项．17. （2017四川达州8，3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则一次函数2y ax b =-与反比例函数cy x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A B C D答案C，解析：由于抛物线的开口向下，∴a<0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，由于抛物线的对称轴是x=-1∴-12ba=-，∴b=2a，∴y=ax-4a，对于方程组4y ax acyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y,可整理成：240ax ax c--=，∆=2164a ac+，∵抛物线过点(-3,0),∴9a-3b+c=0,∴c=-3a,∴2222164=161240a ac a a a+-=>,∴直线与反比例函数有交点，故本题选C．18. 11．（2017四川眉山，11，3分）若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－axA．有最大值a4B．有最大值－a4C．有最小值a4D．有最小值－a4答案：B，解析：因为一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧a＋1＞0，a＜0，因此－1＜a＜0，而y＝ax2－ax＝a(x－12)2－14a，所以二次函数有最大值－a4．19. 8．（2017四川宜宾，8，3分）如图，抛物线211(1)12y x=++与22(4)3y a x=--交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①23a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1＞y2，其中正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C ，解析：抛物线22(4)3y a x =--过点A （1，3），∴3＝9a －3，解得a ＝23，由题意可知E （4，﹣3），点A （1,3）、C 关于x ＝4对称，得到C （7,3），∴AC ＝6，而AE = ，故AC ≠AE ，由抛物线的对称性可知，AD ＝BD 显然．根据抛物线的对称性可知，AD ＝BD ，两个函数比较大小，首先要知道这两个函数图象的交点，则2212(1)1(4)323x x ++=--，解得x 1＝1，x 2＝37，所以当1＜x ＜37时，y 1＞y 2．20. （2017山东滨州，7，3分）将抛物线y ＝2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝2(x －3)2－5B ．y ＝2(x ＋3)2＋5C ．y ＝2(x －3)2＋5D ．y ＝2(x ＋3)2－5答案：A ，解析：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的顶点坐标为（3，﹣5），∴平移后的抛物线解析式为y ＝2(x －3)2－5.故选A.21. 8．（2017江苏苏州，8，3分）若二次函数y =ax 2+1的图象经过点（-2,0），则关于x 的方程 a (x -2)2+1=0的实数根为 A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=—2，x 2=6C ． x 1=32，x 2=52D ．x 1=—4，x 2=0答案：A ，解析：根据“二次函数图象上点的坐标特征”可得4a +1=0，a =-14，则21(2)104x --+=，解一元二次方程得x 1=0，x 2=4．22. 9.(2017甘肃兰州，9，4分）抛物线y =3x ²-3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为A. y =3(x -3)²-3B. y =3x ²C. y =3(x +3)²-3D. y =3x ²-6【答案】A【解析】由题知，y =3x ²-3为顶点式，直接根据二次函数图像左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可。

2017中考数学全国试题汇编------二次函数和直角三角形综合题28（2017江苏徐州）．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（3，0），C（0，﹣4）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到==2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H ⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图2，当PB与⊙C相切时，OE的值最大，过E作EM⊥y轴于M，过P 作PF⊥y轴于F，根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF= OF=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在y=x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，∴B（3，0），C（0，﹣4）；故答案为：3，0；0，﹣4；（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，∵OB=3．OC=4，∴BC=5，∵CP2⊥BP2，CP2=，∴BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，∴==2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，∴==2，∴x=，2x=，∴FP2=，EP2=，∴P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，∴==，∴CH=，P4H=，∴P4（，﹣﹣4）；同理P3（﹣，﹣4）；综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）如图（3），当PB与⊙C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大，∵过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F，∴OB∥EM∥PF，∵E为PB的中点，∴ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，∴OE==．故答案为：．26（2017江苏连云港）.如图，已知二次函数()230y ax bx a =++?的图象经过点()3,0A ，()4,1B ，且与y 轴交于点C ，连接AB 、AC 、BC .(1)求此二次函数的关系式；(2)判断ABC △的形状；若ABC △的外接圆记为M ⊙，请直接写出圆心M 的坐标；(3)若将抛物线沿射线BA 方向平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点1A 、1B 、1C ，111A B C △的外接圆记为1M ⊙，是否存在某个位置，使1M ⊙经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由.28（2017江苏淮安）.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴交于,,A B C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（4，0），连接,AC BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.（1）填空：b=▲，a=▲；（2）在点,P Q运动过程中，APQ∆可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图像上是否存在点M，使P Q M∆是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（-32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q'恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q'的坐标.25（2017山东潍坊）．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P 在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E 点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y 轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+∴S△PEF）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。

）））））））1．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A ， B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC 斜边 AB 上一动点（点 A 、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P ，使△ EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．．如图，关于 x 的二次函数2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （ 1，0）和点 B ，与 y 轴交于点 2 y=x C （ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ． （1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P ，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时， 点 M 、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过 A （﹣ 1，0）、 B （4， 0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点， 连接 PA 分别交 BC 、y 轴于点 E 、F ，若△ PEB 、△ CEF 的面积分别为 S 1、 S 2，求 S 1﹣S 2 的最大值．4．如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数， a ≠ 0）的图象过点 O （ 0，0）和点 A）））））））（4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ，′l 与′线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△B′ON，′P为 l 上′的动点，当△ PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标．5．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1， 0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6 ．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣2﹣ x+8 与 x 轴正半轴1 x交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M ，N 分别是 OA，AB 的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△ CDE始终保持边 ED经过点 M ，边 CD经过点 N，边 DE与 y 轴交于点 H，边 CD 与 y 轴交于点 G．（1）填空： OA 的长是，∠ ABO的度数是度；（2）如图 2，当 DE∥AB，连接 HN．①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图 3，当边 CD经过点 O 时，（此时点 O 与点 G 重合），过点 D 作 DQ∥ OB，交 AB 延长）））））））（点 P， Q 在直线 ED 的同侧），连接 PQ，请直接写出 PQ 的长．7．如图，抛物线 y= x2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D．（1）求 c 的值及直线 AC的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△ APM∽△ AON；②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．8．抛物线 y=4x2﹣2ax+b 与 x 轴相交于 A（ x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜ x2）两点，与 y 轴交于点C．（1）设 AB=2， tan∠ ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△ BCD的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1＜x1＜2 和 1＜x2＜ 2 同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 l 与抛物线交于 A， C 两点，其中点 C 的横坐标为 2．（1）求 A， B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点E，求△ ACE面积的最大值；（3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点 H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理10．如图， Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M 作x 轴的垂线，交x 轴于E，F 两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、 C、 H、 N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．11 ．如图（），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B 点坐标为（ 4，3），抛物线 y= x2+bx+c 1经过矩形 ABCO的顶点 B、C，D 为 BC的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E点，与抛物线y= x2+bx+c交于第四象限的 F 点．（1）求该抛物线解析式与 F 点坐标；（2）如图（ 2），动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒个单位长度的速度向终点 E 运动．过点 P作 PH⊥OA，垂足为 H，连接 MP，MH．设点 P 的运动时间为 t 秒．①问 EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t 的值；如果没有，请说明理由．②若△ PMH 是等腰三角形，请直接写出此时t 的值．2 12．如图，已知直线 y=kx﹣6 与抛物线 y=ax +bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．（2）在（ 1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．13．如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t ＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线l 上，且四边形 DFEG为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△ AOB绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△ A1O1B1，点 A、 O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，动点 P、 Q 同时从 A 点出发，点 P 沿 AB 以每秒）））））））运动，设运动时间为 t 秒．（1）当 t=2 秒时，求证： PQ=CP ；（2）当 2＜ t ≤4 时，等式 “PQ=CP ”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△ CPQ 的面积为 S ，那么 S 与 t 之间的函数关系如何？并问 S 的值能否大于正方形 ABCD 面积的一半？为什么？，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x 2+x+2与 x 轴交于 A ，B 两点（点15．如图 1A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C ． （1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 是线段 BC 中点，点 E 是 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE ，DE ．当△ CDE 的面积最大时，过点 E 作 y 轴垂线，垂足为 F ，点 P 为线段 EF 上一动点，将△ CEF 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°，点 F ，P ，E 的对应点分别是 F ′， P ′， E ′，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到点 F ′处，再沿 F ′C 运动到点 C 处，最后沿适当的路径运动到点 P ′处停止． 求△ CDE 面积的最大值及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，直线 BH 经过点 B 与 y 轴交于点 H （0，3）动点 M 从 O 出发沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度向点 B 运动，同时动点 N 从 B 点沿 BH 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 H 运动，当点 N 运动到 H 点时，点 M ，点 N 同时停止运动，设运动时间为 t ．运动过程中，过点 N 作 OB 的平行线交 y 轴于点 I ，连接 MI ，MN ，将△ MNI 沿 NI 翻折得△ M ′NI ，连接 HM ′，当△ M ′HN 为等腰三角形时，求 t 的值．16．如图 1，直线与 x 轴、 y 轴分别交于 B 、 C 两点，经过 B 、C 两点的抛物线与 x轴的另一交点坐标为 A （﹣ 1，0）．（1）求 B、 C 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P 在线段 BC上的一个动点（与 B、C 不重合），过点 P 作直线 a∥y 轴，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△ BCE的面积为 S．①求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②求 S 的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点 P 作直线 b∥x 轴（图 2），交 AC于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得△ PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形 OABC的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 坐标为（ 10，10），点 P 从O 出发沿 O→C→B运动，速度为 1 个单位每秒，连接 AP．设运动时间为t．（1）若抛物线 y=﹣（ x﹣h）2+k 经过 A、B 两点，求抛物线函数关系式；（2）当 0≤t ≤10 时，如图 1，过点 O 作 OH⊥AP 于点 H，直线 OH交边 BC于点 D，连接 AD，PD，设△ APD的面积为 S，求 S 的最小值；（3）在图 2 中以 A 为圆心， OA 长为半径作⊙ A，当 0≤ t≤20 时，过点 P 作 PQ⊥x 轴（ Q 在P 的上方），且线段 PQ=t+12：①当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 只有一个公共点？当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 有两个公共点？②请将①中求得的 t 的范围作为条件，证明：当 t 取该范围内任何值时，线段 PQ 与⊙ A 总有两个公共点．18．如图，二次函数 y=x2﹣4x 的图象与 x 轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、 B， CD 是线段OB 上的一动线段，且 CD=2，过点 C、D 的两直线都平行于 y 轴，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF．（1）点 A 的坐标为，线段OB的长=；（2）设点 C 的横坐标为 m①当四边形 CDEF是平行四边形时，求m 的值；②连接 AC、 AD，求 m 为何值时，△ ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M．（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形ACPQ的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点N，使△ NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y= x2 +mx+n 与直线 y=﹣x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接AC，BC，已知 A（ 0， 3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠ BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF⊥x 轴，垂足为 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧， PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，△ PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 P 的坐标；（3）求证： CE=EF；（4）连接 PE，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点M，使△ CQM 与△ CPE全等？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[ 注： 3+2 =（+1）2 ] ．22．阅读理解抛物线 y= x2上任意一点到点（ 0，1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=x2的图象交于 A， B两点，分别过 A，B 两点作直线 y=﹣1 的垂线，交于E， F 两点．（1）写出点 C 的坐标，并说明∠ ECF=90°；（2）在△ PEF中， M 为 EF中点， P 为动点．①求证： PE2+PF2=2（ PM2+EM2）；②已知 PE=PF=3，以 EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若 1＜PD＜ 2，试求 CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣ 3，0）， B（1， 0），C（2，）三点，其对称轴交x 轴于点 H，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点 D（点 D 在点 C 的左边），与抛物线的对称轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图 2，设∠ CEH=α，∠ EAH=β，当α＞β时，直接写出 k 的取值范围．24．如图 1，已知直线 EA与 x 轴、 y 轴分别交于点 E 和点 A（ 0， 2），过直线 EA上的两点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0），其中 m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△ AMN 的形状；（2）如果 mn=﹣ 4，（1）中有关△ AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=﹣4，并且 ON=4，求经过 M、A、 N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P，点Q 是对称轴上一动点，以点 P、 Q、N 为顶点的三角形和以点 M 、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动．设 PQ 交直线 AC于点 G．（1）求直线 AC的解析式；（2）设△ PQC的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；（3）在 y 轴上找一点 M ，使△ MAC 和△ MBC 都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；（4）过点 P 作 PE⊥AC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（ 3， 0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线 l：交BD于点E，过点B作直线 BK∥AD 交直线 l 于 K 点．问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）的条件下，若 M、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结 DN、NM、MK，求 DN+NM+MK 和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形 OABC的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E 和F．（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x 轴交于点 A（﹣ 2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（ 0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在直线 CD的上方，y 轴及 y 轴的右侧的平面内找一点 G，使以点 G、F、C 为顶点的三角形与△ COE相似，请直接写出符合要求的点 G 的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x 轴的交点 M，过点 M 作一条直线交∠ ADB 于 T，N 两点，①当∠ DNT=90°时，直接写出的值；②当直线 TN 绕点 M 旋转时，试说明：△ DNT 的面积 S△DNT=DN?DT；并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①， Rt△ABC中，∠ B=90°∠ CAB=30°， AC⊥x 轴．它的顶点 A 的坐标为（ 10，0），顶点 B 的坐标为，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D （0，2）出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．（1）求∠ BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点 P 在 AB 上运动时，△ OPQ 的面积 S 与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点 P 的运动速度．（3）求题（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P 的坐标．（4）如果点 P，Q 保持题（ 2）中的速度不变，当t 取何值时， PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 D，过直线 l 上一点 E 作 EC丄 y 轴于点 C，且 C 点坐标为（ 0，4），过 C、E 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 交 x 轴于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点 Q 从点 C 出发沿线段 CE以 1 单位 / 秒的速度向终点 E 运动，过点 Q 作 QF⊥ED 于点F，交 BD 于点 H，设点 Q 运动时间为 t 秒，△ DFH的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式（并直接写出自变量 t 的取值范围）；（3）若动点 P 为直线 CE上方抛物线上一点，连接 PE，过点 E 作 EM⊥ PE交线段 BD 于点 M ，当△ PEM 是等腰直角三角形时，求四边形 PMBE的面积．．已知在平面直角坐标系中，抛物线2+bx+c（ a≠0，且 a，b，c 为常数）的对称轴为：31 y=ax直线 x= ，与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C（0，﹣），且过点（ 3，﹣ 5），D 为 x 轴正半轴上的动点， E 为 y 轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图 1，当点 D 为（ 3，0）时， DE交该抛物线于点 M，若∠ ADC=∠CDM，求点 M 的坐标；（3）如图 2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED 与新抛物线仅有唯一交点Q 时， y 轴上是否存在一个定点 P 使 PE=PQ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31 小题）1．（2017 秋 ?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC，OA=1， OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 151：代数综合题； 32 ：分类讨论．【分析】（ 1）根据 AC=BC，求出 BC的长，进而得到点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含 m 的式表示出 E，F 的坐标，求出 EF的长度最大时 m 的值，即可求得 E，F 的坐标；（3）分两种情况：∠ E﹣90°和∠ F=90°，分别得到点 P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点 P 的值．【解答】解：（1）∵ OA=1， OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣ 1，0），B（4，5），抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线 AB 解析式为： y=kx+b，直线经过点 A， B 两点，∴，解得：，∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，设点 E 的坐标为（ m， m+1），则点 F（ m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣ m2+2m+3=﹣ m2+3m+4=﹣（ m﹣）2+，∴当 EF最大时， m=，∴点 E（，），F（，）；（3）存在．即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点 P1（，），P2（，），②当∠ EFP=90°时，点 P 的纵坐标为，即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点 P3（，），综上所述， P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（ 3）小题要注意分类讨论，分∠ E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017 秋?鄂城区期中）如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点P，使△ PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点M、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）代入 A（ 1， 0）和 C（0，3），解方程组即可；（2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△ PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① CP=CB；② BP=BC；③ PB=PC；（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处．【解答】解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，解得： b=﹣4，c=3，2∴二次函数的表达式为：y=x ﹣ 4x+3；解得： x=1 或 x=3，∴B（3，0），∴BC=3 ，）））））））①当 CP=CB时， PC=3 ，∴ OP=OC+PC=3+3 或 OP=PC﹣ OC=3 ﹣3∴P1（0，3+3 ），P2（0，3﹣3 ）；②当 BP=BC时， OP=OB=3，∴P3（0，﹣ 3）；③当 PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时 P 与 O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（ 0， 3﹣ 3 ）或（ 0，﹣ 3）或（ 0， 0）；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t ，由 AB=2，得 BM=2﹣t ，则 DN=2t，∴S△MNB= ×（ 2﹣t）× 2t=﹣t2 +2t=﹣（ t﹣ 1）2+1，即当 M（2，0）、 N（ 2， 2）或（ 2，﹣ 2）时△ MNB 面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017?泸州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（﹣ 1，0）、B（4，0）、C（ 0， 2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC、y 轴于点 E、F，若△ PEB、△ CEF的面积分别为 S1、 S2，求 S1﹣S2的最大值．）））））））【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点 D 在 x 轴上方时，则可知当 CD∥AB 时，满足条件，由对称性可求得 D 点坐标；当点D 在 x 轴下方时，可证得 BD∥AC，利用 AC的解析式可求得直线 BD 的解析式，再联立直线 BD 和抛物线的解析式可求得 D 点坐标；（3）过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC于点 H，可设出 P 点坐标，从而可表示出PH 的长，可表示出△ PEB的面积，进一步可表示出直线AP 的解析式，可求得 F 点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出 E 点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得 S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点 D 在 x 轴上方时，过 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D，如图 1，∵A、B 关于对称轴对称， C、 D 关于对称轴对称，∴四边形 ABDC为等腰梯形，∴∠ CAO=∠ DBA，即点 D 满足条件，∴D（3，2）；当点 D 在 x 轴下方时，∵∠ DBA=∠ CAO，∴BD∥ AC，∵C（0，2），∴可设直线 AC解析式为 y=kx+2，把 A（﹣ 1，0）代入可求得 k=2，）））））））∴可设直线 BD 解析式为 y=2x+m ，把 B （4，0）代入可求得 m=﹣8， ∴直线 BD 解析式为 y=2x ﹣8，联立直线 BD 和抛物线解析式可得，解得或，∴D （﹣ 5，﹣ 18）；综上可知满足条件的点 D 的坐标为（ 3， 2）或（﹣ 5，﹣ 18）；（3）过点 P 作 PH ∥y 轴交直线 BC 于点 H ，如图 2，设 P （t ，﹣ t 2+ t+2），由 B 、C 两点的坐标可求得直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+2，∴H （t ，﹣ t+2），∴PH=y P ﹣y H =﹣ t 2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t 2+2t ，设直线 AP 的解析式为 y=px+q ，∴，解得 ，∴直线 AP 的解析式为 y=（﹣ t+2）（x+1），令 x=0 可得 y=2﹣ t ，∴F （0，2﹣ t ），∴CF=2﹣（ 2﹣ t ）= t ，联立直线 AP 和直线 BC 解析式可得，解得 x=，即 E 点的横坐标为，∴S 1（ B ﹣x E ）= （﹣ t 2+2t ）（4﹣ ），S 2= ? ? ，= PH x∴S 1﹣S 2 （﹣ t 2 +2t ）（4﹣ ）﹣ ? ?=﹣ t 2+4t=﹣ （t ﹣ ）2+，=∴当 t= 时，有 S 1﹣S 2 有最大值，最大值为．【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（ 1）中注意待定系数法的应用，在（ 2）中确定出 D 点的位置是解题的关键，在（ 3）中用 P 点的坐标分别表示出两个三角形的面4．（2017?南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点 O （0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣，直线 l 的解析式为 y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ′，l ′线段与 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△ B′ON，′P 为 l ′的动点，当△上 PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，即可解决问题；（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由 E、 B 关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当 P 与 N 重合时，△P ′是′等腰三角形，此时（0，﹣ 3）．②1 1B N P1当 N′=N′时B′，设 P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣ 2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m， 0），∵E′在抛物线上，易知四边形 EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B 关于对称轴对称，∴=2，解得 m=1 或 6（舍弃），∴B（3，0）， C（ 1，﹣ 2），∴直线 l 的′解析式为 y=x﹣3．（3）如图 2 中，①当 P1与 N 重合时，△ P1′是′等腰三角形，此时1（0，﹣ 3）．B N P②当 N′=N′时B′，设 P（ m，m﹣ 3），则有（ m﹣）2+（m﹣ 3﹣）2=（3 ）2，解得 m= 或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点 P 坐标为（ 0，﹣ 3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式）））））））5．（2017?宜宾）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得 C 点坐标，设平移后的点 C 的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可求得 C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m 的值；（3）由（ 2）可求得 E 点坐标，连接 BE交对称轴于点 M，过 E 作 EF⊥x 轴于点 F，当 BE为平行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得△ PQN≌△ EFB，可求得 QN，即可求得 Q 到对称轴的距离，则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q 点坐标；当 BE 为对角线时，由 B、 E 的坐标可求得线段 BE的中点坐标，设 Q（x， y），由 P 点的横坐标则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵ AD=5，且 OA=1，∴OD=6，且 CD=8，∴C（﹣ 6，8），设平移后的点 C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1 或x=3，∴C′点的坐标为（ 1， 8）或（ 3，8），∵C（﹣ 6，8），∴当点 C 落在抛物线上时，向右平移了7 或 9 个单位，∴m 的值为 7 或 9；（3）∵ y=﹣x2+4x+5=﹣（ x﹣2）2+9，。