向量的数量积在中学数学解题中的应用
- 格式：pdf
- 大小：157.36 KB
- 文档页数：3
中学教学参考
一 一 解题方法与技巧
向量的数量积在中学数学解题中的应用
广西贺州市桂梧高级中学（５４２８００） 唐咸桂
向量的数量积作为向量乘法的一种重要运算，在
向量理论中占有十分重要的位置，对证明垂直、平行、
解方程、证明不等式等问题有独特的功效，具有新颖、
直观、简明等优点．特别是一些探索性问题，若能用向
量法去思考，则能另辟蹊径，大大降低求解难度．
一、证明等式、不等式问题
【侈０ １】 已知“，６∈Ｒ，且ａ￣／ｌ一６ ＋６￣／１一ｎ
＝ｌ，求证：“ ＋６ 一１．
证明：构造向量ｍ一（“，￣／１ “ ），ｎ一（￣／１ ６７，
６），设向量ｍ，，ｌ的夹角为 ，则Ｉ ｍ Ｉ一＆。＋（１一Ⅱ ）一
１，ｌ ｎ ｌ一（１一『） ）＋６ ＝１，．‘．｝ｍ ｌ＝ｌ Ｈ Ｉ．①
且ｃ。ｓ 一 “ ＋６ １
１，而 ∈［０， ］，．‘． ＝０．②
有ｃｊＡｊ种分配方案；当分组为１，２，２时，有 种 厂 厂
ｌ 由①②可得，，ｌ一，ｌ，则ｎ一￣／１一『） ，６一、／／１一ｎ ，
即ｎ ＋ 一ｌ一６ ＋１一ａ ．
．‘．ｄ ＋６。一１．
点评：向量的数量积除用来证明等式外，还可以
用来证明不等式，一般比用常规方法证明来得简明．
二、求函数最值问题
【例２】 求函数－厂（ ）一ｖ／ ＋、／， 的最大
值．
解：令ｎ一（ ，１），西＝（ ， ），则－厂（ ）一
ｎ・６≤ｌ ｎ Ｉ・ｌ Ｉ一６，当且仅当 一 （是＞０）时取等
号．故由 ：华一是＞０，得 一５，是一１．
√
即ｚ一５时， （ ）…一６．
分组方法，分配到３个奥运场馆有Ａｊ种方法，共有
×Ａｊ种分配方案．综上可得每个场馆至少分配 １２
一名志愿者的方案为ｃｉＡｉ＋ ×Ａｊ一１５ｏ种．
考点６考查等价转化的计数问题
考点剖析：几何图形的计数问题是常考点．求解
时一要熟悉几何图形概念性质；二要按同一标准分
类；三若直接求解困难，则可从反面人手．
【例６】 （２【）（］８，湖北）过点（１ １，２）作圆 。＋
＋２ｚ一４ 一１６４—０的弦，其中弦长为整数的共
有（ ）．
Ａ．１６条 Ｂ．１７条
Ｃ．３２条 Ｄ．３４条
解析：圆（ ＋１）。＋（ 一２） 一１３ （ ＋１） ＋（ 一
２）。一１３ ，点Ａ（１ｌ，２）在圆内，且点Ａ与圆心间的距
离 一￣／（１１＋１）。十（２—２） 一１２，则过点Ａ的最短
弦长为２￣／１３ 一 ，最长弦长为２×ｌ３＝２６．故过点
Ａ的弦长范围为［１Ｏ，２６］．在（１Ｏ，２６）问的整数共有
１５个．由圆的对称性知弦长为整数的共有３２条．
（责任编辑：金铃）
三、解决立体几何中有关角度的问题 【例３】 如图１—１，已知点Ｐ在正方体Ａ Ｂ ｃ
Ｄ 的对角线ＢＤ 上， ＰＤＡ一６Ｏ。．
图１—１
（１）求ＤＰ与 Ｃ 所成角的大小； （２）求ＤＰ与平面ＡＡ Ｄ Ｄ所成角的大小．
解：如图１—２，以Ｄ为原点，ＤＡ为单位长建立空
间直角坐标系Ｄ— ｚ．则ＤＡ＝＝＝（１，０，０），ＣＣ 一（０，
０，１）．连结Ｂ Ｄ ，在平面ＢＢ Ｄ Ｄ中，延长ＤＰ交 Ｂ Ｄ 于Ｈ．设 茸一（Ⅲ， ，１）（ ＞ｏ）．
图ｌ一２
由已知＜荫， ＞＝６０。，
．・． ．荫一ｌ １．Ｉ荫ｌ ｃｏｓ＜荫， ＞，
ｍ一 ，解得 一 ，所以荫一（ ，
，１）．
㈩因为 莉， 一 １×√２
一 ，所以＜ 苘， ＞一４５。，即ＤＰ与ｃｃ 所成的角 厶 为４５。．
（２）平面ＡＡ Ｄ Ｄ的一个法向量是 一（０，１，Ｏ）．
×０＋ ×１＋１×０ 因为ｃｏｓ＜ 茸， ＞一 ——— ．＿ —一一 １ Ｘ√２
，所以＜ 荷， ＞一６ｏ。，可得ＤＰ与平面ＡＡ Ｄ Ｄ 厶 所成的角为３Ｏ。．
点评：本例用向量方法求立体几何中“线线角”、
“线面角”的优势十分明显，避开了找角的麻烦，更使
运算趋于简单．另外求二面角也可以通过法向量转化
为“线线角”来解决．
四、解决解析几何中有关角度的问题
【例４】如图２，设抛物线Ｃ：．ｙ＝＝＝ 的焦点为Ｆ， 解题方法与技巧
动点Ｐ在直线ｚ：ｚ— 一２—０上运动，过Ｐ作抛物线
Ｃ的两条切线ＰＡ、ＰＢ，切点分别为Ａ、Ｂ．
求证： ＡＦＰ一 ＢＦＰ．
２ 证明：设切点Ａ、Ｂ的坐标分别为（ 。， ；）和（ ，
ｚ ）（ ≠ 。），可得切线ＡＰ的方程为：２ 。 一 一 ；
一０；切线ＢＰ的方程为：２ ｚ一．ｙ— 一０．解得点Ｐ
的坐标为： 一 ，．ｙ卢一ｚ。 ．
则 一（ｚ。，ｚ；一÷）， －－（华， 。 一
÷），葡一（ ｚ 一｛）．
由于点Ｐ在抛物线外，即】 Ｉ≠０， 所以ｃ。ｓ ＡＦＰ一褊
等・ ＋（ 。 一｛）（ ：一丢） 。ｚ ＋｛
Ｉ Ｉ√ ：＋（ 一｛）
同理有ｃ。ｓ ＢＦＰ一
生 ・ ＋（ 。 一丢）（ 一｛）
Ｉ Ｉ√ ；＋（ 一÷）‘
ｏ 】十
’
综上可知 ＡＦＰ一 ＢＦＰ．
点评：解决与角有关的一类问题，多数都可以从
数量积人手．把几何关系转化为数量关系，通过“计
算”得出所要的结果．
五、求参变量的取值范围 【例５】 如图３—１，设动点Ｐ在棱长为１的正方
体ＡＢｃＤ—Ａ Ｂ ｃ Ｄ 的对角线ＢＤ 上，记 一 ．
当 ＡＰＣ为钝角时，求 的取值范围． 解：由题设可知，以 、 、茄 为单位正交基
底，建立如图３—２所示的空间角坐标系Ｄ— ．ｙ ，则
有Ａ（１，Ｏ，０），Ｂ（１，１，０），Ｃ（０，１，Ｏ），（０，Ｏ，１）．
由 一（１，１，一１），得 一 一（ ， — ），
所以 一 ＋ 一（一 ，一 ， ）＋（１，０，一１）一
（１一 ，一 ， 一１）， 一 ＋ 一（一 ，一 ， ）＋
Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｌｋ＠１６３．ｃｏｍ
Ｉ
中学教学参考
解题方法与技巧
（Ｏ，１，一１）一（一 ，１一 ， —１）．
图３—１ 图３—２ √３・√３ｃｏｓ 一３，有ｃｏｓ 一ｌ，其中口一＜“，ｙ＞．所以两向 量平行，因此，Ｈ，ｖ两向量的坐标成比例，即有 — —
— ，代入方程有 — —ｚ一１． 点评：此问题可推广为解方程组
ｆｚｌ＋ ２＋…＋ｚ 一 ， ｛２ Ｉ ２ Ｉ 【 ２ ＼ 十 ｉ十…十ｚ；一 ． 八、证向量形式的三角形面积公式
【例８】 在△ＡＢｃ中，若
一ｎ， 一６，则△ＡＢｃ的面积为ｓ 显然 ＡＰｃ不是平角，所以 Ｃ＿ 钝角等价 一 ｖ厂 Ｔ 二 ．
ｃ 。一甫 ＜Ｏ邀 ２ ．． 等价于 ・ ＜ｏ
，即（１一 ）（一 ）＋（一 ）（１一 ） 一 “ 。 ２ ～。
＋（ 一１）！一（ 一１）（３ 一１）＜ｏ，解得 ＜ ＜１．因 ｌ ｌ・ｓｉ ．ｓ＝专Ｉ ｎ ｌ・Ｉ ６ ｌ・
。
此， 的取值范围为（÷，１）．
六、求线段的长度（点到平面的距离） 【例６】如图４—１，在三棱锥
Ｐ—ＡＢＣ中，ＡＣ—ＢＣ一２， ＡＢＣ 一９０ ，ＡＰ—ＢＰ＝＝ＡＢ，ＰＣ Ｉ ＡＣ． （１）求证：ＰＣ＿上ＩＡＢ； （２）求二面角Ｂ—ＡＰ—Ｃ的 大小； Ｃ
图４—１
（３）求点Ｃ到平面ＡＰＢ的距 离． 解：（１）（２）略． （３）如图４—２，以Ｃ为原点建立空间直角坐标系 Ｃ一 ．则Ｃ（０，Ｏ，０），Ａ（０，２，Ｏ），Ｂ（２，０，０），设Ｐ（０，
０，ｆ），‘．‘Ｉ ＰＢ—ＡＢ ｊ一２ ，
．’． 一２，Ｐ（０，Ｏ， ２），Ｅ（０．１，１）．
．‘．Ａ —ＢＣ—ＰＣ，
．‘．Ｃ在平面ＡＰＢ
内的射影为正△ＡＰＢ 的中心Ｈ，且ＣＨ的长
为点Ｃ到平面ＡＰＢ的 距离．
・．・荫：２面， 图４—２
．’点Ｈ的坐标为（詈，寻，寻），
．・．Ｉ荫Ｉ一 ，
．・点ｃ到平面ＡＰＢ的距离为 ．
点评：求“线线”、“线面”、“面面”距离也可以利用
向量法来进行求解．
七、解方程（组）问题
７】解方程组 ３． 解：令ｌｌ＝｛１，１，１｝，ｖ一｛ ， ，ｚ）．
由于“・ — ＋ ＋ 一√３￣／Ｉ『 ＋ ＋ｚ ｃｏｓ 一
６６ 中学教学参考２０ｏ９．５总第１４期 图５ Ｃ
ｓ１ｎＡ．
．。．ｓ ＝÷ｌ ｎ ｌ ・Ｉ ６ Ｉ ・（１一ｃｏｓ。Ａ）＝÷ｌ ｎ ｌ ・
．［１一（ 用一丢．｝ｎｌ２． 一丢（ｎ㈨ ，
．。．ｓ一÷￣／ｌｎｌ・Ｉ６ｌ一（口・６） ．
点评：这个面积公式应用于已知三角形三个顶点 求三角形面积，计算量小，非常方便． 九、求线性规划问题中目标函数的最值
【例９】设ｚ一２ — ，式中变量 、 满足下列条 ｆ２ｚ— ≥一１， 件｛３ ＋２ ≤２３，则ｚ的最大值为 ．
≥１， 解：作出可行域，如图６，取Ｍ（一ｌ，２），设Ｎ（ ，
）为可行域内任一点，则 一 ・ 一ｌ ｌ・ｌ
ｃｏｓ Ｎ．而Ｉ Ｍ０Ｎ为向量ｌ ｌ在
上的投影，故当点『＼，在点Ａ（３，７）时，ｚ…一 ・
一一］×３＋２×７—１】．
图６ 向量是高中数学新教材中增加的内容，它既能体
现“形”的直观位置特征，又具有“数”的运算性质，是
数形结合的一个典范．因此在向量与平面几何、立体 几何、解析几何、三角函数、数列等知识的交汇处设计
试题，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，现已逐 渐成为高考命题的一个新亮点．由于向量的知识，向 量观点在数学、物理等学科中有着广泛的应用，因此
我们在教学时要注意渗透数形结合的思想及突出向
量的应用意识． （责任编辑：金铃）
