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2018年高考数学二轮专题复习(浙江版) 知能专练(十三)空间几何体的三视图、表面积及体积 Word版 含答案

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知能专练（十三） 空间几何体的三视图、表面积及体积

一、选择题

1．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(

)

解析：选C 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，因此选C.

2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B 该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝2Sa＋b＋c＝2×12×6×86＋8＋10＝2，故选B.

3．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为( )

A．4π B．3π

C．2π D．π

解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(

)

A．45，8 B．45，83

C．4(5＋1)，83 D．8,8

解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22＋12＝5，所以S侧＝4×12×2×5＝45，V＝13×22×2＝83.

5.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A．10 B．12

C．14 D．16

解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，如图所示，其下面是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12，故选B.

6．如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为(

)

A.32 B.33 C.34 D.36

解析：选B 由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB(图略)，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为12×2a×h＝ah＝23.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，所以侧视图的面积为12OB·VO＝12×3a×h＝32ah＝32×23＝33.

7．《九章算术》的商功章中有一道题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底圆周长约为( )

A．1丈3尺 B．5丈4尺

C．9丈2尺 D．48丈6尺

解析：选B 设圆柱底面圆的半径为r，若以尺为单位，则2 000×1.62＝

3r210＋3＋13，解得r＝9(尺)，∴底面圆周长约为2×3×9＝54(尺)，换算单位后为5丈4尺，故选B.

8．(2017·丽水模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为( )

A.3 B．23

C．33 D．43

解析：选B 分析题意可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1截去四棱锥A­BEDC得到的，故其体积V＝34×22×3－13×1＋22×2×3＝23，故选B.

9．(2017·贵阳质检)三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )

A．4 B．6

C．8 D．10

解析：选C 依题意，设题中球的球心为O，半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则4πR33＝500π3，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为R2－r2＝3，因此三棱锥P­ABC的高的最大值为5＋3＝8，故选C.

10．(2017·洛阳模拟)已知三棱锥P­ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P­ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A.16π3 B.40π3 C.64π3 D.80π3

解析：选D 依题意，记三棱锥P­ABC的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面ABC的距离为h，则由VP­ABC＝13S△ABCh＝13×34×42×h＝163得h＝433.又PC为球O的直径，因此球心O到平面ABC的距离等于12h＝233.又正△ABC的外接圆半径为r＝AB2sin 60°＝433，因此R2＝r2＋2332＝203，所以三棱锥P­ABC的外接球的表面积为4πR2＝80π3，故选D.

二、填空题

11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．

解析：由三视图得该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面ABC为直角三角形，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，PA⊥底面ABC，PA＝2，所以AC＝PB＝5，PC＝3，PC2＝PB2＋BC2，∴∠PBC＝90°，则该三棱锥的表面积为12×1×2＋12×1×2＋12×2×5＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.

答案：2＋25 23

12．(2017·诸暨质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的一条棱的长度为________，体积为________．

解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个底面为正三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，其中底面△BCD是正三角形，各边长为2，侧棱AD⊥底面BCD，且AD＝2，底面△BCD的中垂线长DE＝3，∴AC＝AB＝22，V三棱锥A­BCD＝13×S△BCD×AD＝13×12×2×3×2＝233，即该几何体最长的棱长为22，体积为233.

答案：22 233

13．一个直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则截去的几何体为________(从备选项中选择一个填上：三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱)，截去的几何体的体积为________．

解析：作出直观图可得截去的几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，高为4的三棱锥，其体积V＝13×1×22×4＝43.

答案：三棱锥 43

14．(2018届高三·浙江名校联考)某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其外接球的表面积为________．

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2018学高考文科数学练酷专题二轮复习 课时跟踪检测十

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课时跟踪检测（十） 空间几何体的三视图、表面积与体积

[A级——“12＋4”保分小题提速练]

1．(2017·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是(

)

A．2 B．3

C．4 D．5

解析：选C 由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P­ABCD，易知四棱锥P­ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.

2．(2017·沈阳模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是(

)

A．36＋610 B．36＋310

C．54 D．27

解析：选A 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，故表面积为S＝2×12×(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋3×2×10＝36＋610.

3.(2017·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是(

)

解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．故选D.

4．(2018届高三·惠州摸底)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(

)

A．1 B.2

C.3 D．2

解析：选C 四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，故最长棱PA＝12＋12＋12＝3.

5．(2017·陕西模拟)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(

)

A．4＋6π B．8＋6π

C．4＋12π D．8＋12π

解析：选B 该几何体为四棱锥与半个圆柱的上下组合体，其中半个圆柱的底面圆直径为4，母线长为3，四棱锥的底面是长为4，宽为3的矩形，高为2，所以组合体的体积为V＝12×π×22×3＋13×4×3×2＝8＋6π.

2018年高考数学(文)二轮复习讲练测专题2.8 几何体的表面积与体积(讲) 含解析

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2018年高考数学（文）二轮复习讲练测

从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．

1 几何体的表面积

（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

1.1 多面体的表面积

例1【2018届湖南省常德市高三上学期期末】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

1.2旋转体的表面积

例2【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟】已知点在同一个球的球面上， ，

，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据条件可知球心在侧棱中点，从而有垂直，可得，

所以球的半径为，故球的表面积为.

2 几何体的体积

1. 求体积常见技巧

当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．

（1）几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．

2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第1部分重点强化专题专题4第8讲空间几何体的三视图、表面积和体积

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立体几何

第8讲 空间几何体的三视图、表面积和体积

题型1 几何体的三视图、表面积和体积

(对应学生用书第27页)

■核心知识储备………………………………………………………………………·

1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”．

2．柱体、锥体、台体的侧面积公式

(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；

(2)S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；

(3)S台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．

3．柱体、锥体、台体的体积公式

(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；

(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；

(3)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(不要求记忆)．

4．球体的体积公式

V＝43πR3；表面积公式S＝4πR2(其中R为球的半径)．

■典题试解寻法………………………………………………………………………·

【典题1】 (考查多面体的体积问题)如图8­1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(

)

图8­1

A．64 B.643 C．16 D.163

[思路分析] 三视图―→直观图―→多面体的体积．

[解析] 利用正方体还原几何体，如图中的三棱锥D­ABC所示，由三视图可知△ABC的边BC＝2，BC边上的高为4，三棱锥D­ABC的高为CD＝4，故三棱锥D­ABC的体积为V＝13×12×2×4×4＝163.故选D.

[答案] D

【典题2】 (考查组合体的表面积问题)(2016·全国Ⅰ卷)如图8­2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是(

)

图8­2

A．17π B．18π

C．20π D．28π

[思路分析] 三视图―→球体的78―→球体的半径―→几何体的表面积．

的14，得[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球到的几何体如图．设球的半径为R，则43πR3－18×43πR3＝283π，解得R＝2.因此它的表面积为78×4πR2＋34πR2＝17π.故选A.

2018届高三理科数学新课标二轮复习专题整合高频突破习题：专题五 立体几何 专题能力训练13 含答案 精品

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专题能力训练13 空间几何体

能力突破训练

1.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(

)

A.20π B.24π C.28π D.32π

2.(2017浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(

)

A.错误！未找到引用源。+1 B.错误！未找到引用源。+3

C.错误！未找到引用源。+1 D.错误！未找到引用源。+3

3.

如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是错误！未找到引用源。,则它的表面积是( )

A.17π B.18π

C.20π D.28π

4.已知平面α截球O的球面得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为错误！未找到引用源。,且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为( )

A.3 B.错误！未找到引用源。 C.4 D.错误！未找到引用源。

5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,错误！未找到引用源。).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则 ( )

A.S1=S2=S3 B.S2=S1,且S2≠S3

C.S3=S1,且S3≠S2 D.S3=S2,且S3≠S1

6.(2017北京,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(

)

A.3错误！未找到引用源。 B.2错误！未找到引用源。 C.2错误！未找到引用源。 D.2

7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为 .

8.(2017山东,理13)由一个长方体和两个错误！未找到引用源。圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .

9.如图,已知多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为 .