【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第3单元《导数及其应用》

第三单元 导数及其应用

第15讲 导数的概念及其运算

1.已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( )

A．2－Δx B．－2－Δx

C．2＋Δx D．(Δx)2－2·Δx

2.下列函数求导运算正确的个数为( )

①(3x)′＝3xlog3e; ②(log2x)′＝1x·ln 2；

③(ex)′＝ex; ④(x·ex)′＝ex＋1.

A．1 B．2

C．3 D．4

3.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝13t3－32t2＋2t，那么速度为零的时刻是( )

A．0 s末 B．1 s末

C．2 s末 D．1 s末和2 s末

4.曲线y＝13x3＋12x2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )

A.4918 B.4936

C.4972 D.49144

5.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(

)

6.曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为________．

7.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是__________．

8.求下列函数的导数：

(1)y＝3－4x2＋3x；

(2)y＝(x2－1)sin x＋xcos x；

(3)y＝1＋sin x1－cos x； (4)y＝x＋15x2.

9.设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

第16讲 导数在函数中的应用

1.下列命题中的真命题是( )

A．“f ′(x)≥0在[a，b]上恒成立”是“连续可导函数f(x)在[a，b]上为增函数”的充要条件

B．若f ′(x0)＝0，则x0一定是y＝f(x)的极值点

C．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值

D．函数在开区间内不存在最大值和最小值

2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(

)

3.函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是( )

A．2 B．1

C．0 D．由a确定

4.函数y＝xex的最小值是( )

A．－1 B．－e

C．－1e D．不存在

5.设函数f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．

6.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．

7.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是__________．

8.设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－12对称，且f′(1)＝0.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值．

9.已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋b在x＝－1处的切线与x轴平行．

(1)求a的值和函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象与抛物线y＝32x2－15x＋3恰有三个不同的交点，求b的取值范围．

第17讲 导数的综合应用(主要含优化问题)

1.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·60－x2(0

A．30 B．40

C．50 D．其他

2.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a)

C．bf(b)≤af(a) D．bf(a)≤af(b)

3.欲制作一个容积为2π立方米的圆柱形储油罐(有盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径和高分别为( )

A．底面半径为0.5米，高为1米

B．底面半径为1米，高为1米

C．底面半径为1米，高为2米

D．底面半径为2米，高为0.5米

4.某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系式是R(x)＝ 400x－12x20≤x≤40080000 x>400，则总利润最大时，年产量是( )

A．100件 B．150件

C．200件 D．300件

5.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请按顺序写出与容器(1)、(2)、(3)、(4)对应的水的高度h与时间t的函数关系图象______________．

6.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f ′(x)－ax－5.若对任意a∈[－1,1]都有g(x)＜0成立，则实数x的取值范围是____________．

7.设函数f(x)＝x－x2＋3ln x，证明：当x>0时，f(x)≤2x－2.

8.某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝10000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式

R＝ －130x3＋ax2＋290x 0

已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.

(1)求a的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．

9.某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB＝2 m，渠深OC＝1.5 m，水面EF距AB为0.5 m.

(1)求截面图中水面的宽度；

(2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的土最少？

第三单元 导数及其应用

第15讲 导数的概念及其运算

1．B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.y＝2x＋3 7.3x＋y＋2＝0

8．解析：(1)y′＝3－4x′2＋3x－3－4x2＋3x′2＋3x2

＝－42＋3x－33－4x2＋3x2

＝－172＋3x2.

(2)y′＝[(x2－1)sin x]′＋(xcos x)′

＝(x2－1)′sin x＋(x2－1)cos x＋cos x－xsin x

＝2xsin x＋(x2－1)cosx－xsin x＋cos x

＝xsin x＋x2cos x.

(3)y′＝cos x1－cos x－1＋sin xsin x1－cos x2

＝cos x－sin x－11－cos x2.

(4)因为y＝x＋1x25＝x35＋x－25，

所以y′＝(x35)′＋(x－25)′＝35x－25－25x－75.

9．解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.

当x＝2时，y＝12.

又f ′(x)＝a＋bx2，于是 2a－b2＝12a＋b4＝74，解得 a＝1b＝3.

故f(x)＝x－3x.

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任意一点．

由y′＝1＋3x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋3x20)(x－x0)，

即y－(x0－3x0)＝(1＋3x20)(x－x0)．

令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以曲线在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为12|－6x0||2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

第16讲 导数在函数中的应用

1．C 2.D 3.C 4.C 5.(－1，＋∞) 6.－2

7．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

8．解析：(1)由f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，

得f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝6(x＋a6)2＋b－a26，