C_TEV约束下增强型指数基金管理实证研究

第4期（总第329期）2011年4月财经问题研究ResearchonFinancialandEconomicIssuesNumber4（GeneralSerialNo.329）April，2011

·金融与投资·

C-TEV约束下增强型

指数基金管理实证研究

巴曙松1，2，汪鑫1

（1.中国科学技术大学管理学院，安徽合肥230026；2.国务院发展研究中心金融研究所，北京100010）

摘要：本文使用上证综合指数权重前50的股票作为投资范围，运用指数滑动平均方法（EWMA）估计其协方差阵，分别在允许卖空和禁止卖空的情况下考察了积极型组合管理的马科维茨（Markowitz）有效率边界和常量跟踪误差波动（C-TEV）有效率边界，给出了C-TEV模型约束下从输入列表（协方差阵、预期收益）的估计到最优权重的确定的指数基金组合管理的完整例子，比较了允许卖空和禁止卖空两种情形下基于C-TEV模型策略构建的增强型指数基金的事后跟踪误差。在我国基于C-TEV模型构建策略的增强型指数基金面临着两难的困境，即在允许卖空时基金的事后跟踪误差往往超出预先的限制，而在禁止卖空时增强型指数基金又会“退化”成复制型指数基金。关键词：指数基金；跟踪误差；卖空限制；有效率边界中图分类号：F830.91文献标识码：A文章编号：1000-176X（2011）04-0053-08

一、引言

截至2009年6月30日，我国共有开放式指数基金22只，资产净值占全部510只开放式基金的7.53%。仅仅半年之后，2009年12月底，我国开放式指数基金达到了48只，资产净值占全部590只

开放式基金资产净值的比重上升到13.04%。无论是从基金数目还是从资产规模上都有了很大的发

展，2009年可以说是指数年。在48只指数基金中，复制型指数基金和增强型指数基金分别占到了37

只和11只。资产净值占指数基金总体的9.68%和3.36%。对于指数基金，跟踪误差是其最重要的特

性之一。增强型指数基金和复制型指数基金的区别也可以通过跟踪误差的不同地位来描述：复制型指

数基金以跟踪误差最小化为投资目标；增强型指数基金则把跟踪误差当成一种约束，其投资目标与一

般的基金投资一样，是为了获得最大的收益，只不过这种收益要在满足跟踪误差约束的前提下实现。

复制型指数基金被动地跟踪指数，增强型指数基金通过调整组合中各证券的权重对组合进行积极的管

理。那么，在我国当前融资融券刚刚打开、卖空手段仍然匮乏的证券市场中，增强型指数基金和复制

型指数基金的区别何在呢？本文将基于C-TEV模型的权重策略分别对允许卖空和不允许卖空条件下

两种基金的跟踪误差进行分析。

本文选取上证综合指数权重排名前50的股票（总市值占上证综合指数的67.56%）构建一个股

票池，①将C-TEV模型应用于这个股票池，研究C-TEV约束对于组合权重选择的影响。我们选取的时

①权重排名使用的是2009年4月1日的数据，剔除了2008年1月1日以后上市的股票。收稿日期：2011-01-10作者简介：巴曙松（1969－），男，湖北新洲人，博士，研究员，博士生导师，国务院发展研究中心金融研究所副所长，中国银行业协会首席经济学家，主要从事金融市场与金融政策方面的研究。E-mail：bashusong@163.com间窗口是2008－01－01至2009－12－31，这个时段有一个明显的熊市和牛市，为本文的比较分析提

供了条件。另外，结合我国实际，本文分别考虑了允许卖空和不允许卖空两种情形。

二、相关理论和文献回顾

由于基金经理的业绩通常通过与一个基准相比较来进行评价，所以实际上在理论研究之前，基金

经理就已经通过类似马科维茨有效率边界理论的均值—方差方法管理其投资组合。Roll［1］对这种策略

进行了总结和发展，并称之为跟踪误差约束模型（TEV）。即先确定一个超额收益率（基金的收益率

超过基准收益率的部分），然后将跟踪误差最小化。同时，Roll指出TEV模型的一个系统性缺陷，即

基于TEV模型构建的组合收益的波动性总是比基准指数大。Jorion［2］对TEV模型进行了另一种表述，

先确定一个跟踪误差，在这个跟踪误差下最大化超额收益（本文使用的TEV模型即是这种表述）。并

且Jorion针对TEV模型的上述系统性缺陷，提出了常数跟踪误差约束模型（C-TEV），在TEV模型的

基础上再加入组合总体收益波动性约束，并从理论上证明了C-TEV模型可以更加有效地控制组合的

总体风险。

基于上述理论，国外的很多文献进行了大量的实证研究。这些研究大致围绕两个主题展开：一是

关于输入列表（预期收益均值和预期收益协方差阵）的预测方法；二是对权重的取值范围添加限制

条件（如不允许为负值，即不允许卖空等）。研究者一致认为期望收益的预测是重要的，但也是十分

困难的。相对地，收益协方差阵则较易从历史数据预测。当然协方差阵预测的难度也决不可被低估。

目前大部分文献仍集中在研究不同的协方差阵预测方法，而对于收益均值往往采用一个简单的模型，

如本文中的单因素模型。实际的运用中，基金经理可以用考虑了多种因素之后对于收益率期望值的预

测代替研究文献中的预测。Louis等［3］比较了样本协方差阵、因子模型和常数协方差阵3种不同方法

预测协方差阵对TEV模型预测的影响，发现TEV模型对于协方差阵的要求比马科维茨模型要求更

高。Hwang和Satchell［4］对于跟踪误差的事前和事后测量进行了深入的研究。El－Hassan和Kofman［5］

对澳大利亚股票市场数据进行了基于C-TEV模型构建积极投资组合的实证分析。另外，随着计算技

术的进步，实证研究通过增加所考虑的资产池的资产数目和延长所考虑历史数据的时间区间来获得更

接近实际的结果。

国内对于C-TEV模型的直接研究较少。马永开和唐小我［6］介绍了TEV模型的提出和求解，并分

析了利用TEV模型构建的投资组合的有效性。屈颖爽等［7］以4只指数为投资范围，分别以总样本协

方差法、单指数模型法、常量相关模型法（即假设股票之间的相关系数相等）、单位矩阵法（即假设

股票之间相关系数为0，股票收益率方差相同）和两参数法（即假设各股票方差相同，相关系数相

同）估计协方差阵，对于TEV模型和C-TEV模型的应用做了实证研究。

本文将C-TEV模型应用于中国股票市场。本文得益于计算技术的进步，本文所选取的投资范围

比较大，包含50只股票；本文对于禁止卖空时的情况做了研究，这使得C-TEV模型在当前卖空手段

匮乏的中国股市更有实际意义；本文使用指数滑动平均方法（EWMA）估计协方差阵，相对于两参

数模型等方法没有添加过多的假设，对于协方差阵的估计相对合理。另外，本文在使用EWMA模型

时针对具体数据计算了最优衰减因子。

三、模型介绍（一）EWMA模型和协方差阵

在维数较低时，多维GARCH模型可以对股票之间的波动溢出提供很好的描述，因此常用来估计

协方差阵。但是在维数较高时，如本文中为50维，GARCH模型几乎是不能解的。RiskMetrics［8］针对GARCH模型的这一缺陷，提出了指数加权滑动平均模型EWMA，具体的模型假设为：

rt+1|Ft～Nn（O，Ωt+1）（1）Ωt+1=（hi，j，t+1）n×n（2）hi，j，t+1=（1－λ）∑∞m=0λiri，t－mrj，t－m（3）

即假设基于t之前的历史信息，t+1时刻的收益率向量rt+1的条件分布为n维（n=50）正态分

布。其协方差阵的每一个元素都满足（3）式，即历史方差或协方差的指数加权平均。45财经问题研究2011年第4期总第329期在实际运用中，通常设定一个最大滞后期k，即用下式代替（3）式：

hi，j，t+1=（1－λ）∑km=0λiri，t－mrj，t－m（4）

最大滞后期k由容忍因子rL决定：

rL=（1－λ）∑∞t=kλt=λk（5）

容忍因子表示设定最大滞后期k所带来的相对误差（相对于最大滞后期为正无穷大）。本文选取rL=1%，故：

k=ln0.01lnλ（6）

EWMA模型的关键是选定合适的衰减因子λ值。RiskMetrics［8］计算了20多个国家和地区的经济

数据的最优值，并且提出了一个简化的建议：对于日数据，取λ=0.94；而对于月度数据，取λ=

0.97。这个建议一方面使得EWMA模型应用起来更加方便，但另一方面也倍受非议，因为这种不考

虑具体数据而强加一个λ值的做法不见得对任何数据都适用。实际上，RiskMetrics计算的20多个国

家和地区的λ值也各不相同。因此本文没有直接使用建议值，而是使用最小化方差预测值hji的误差RMSEi的方法分别计算每只股票的最优衰减因子λi，最后对所有的λi进行加权平均获得一个总体的

最优衰减因子λ。RMSEi的定义如下：

RMSEi=1T∑Tt=1（r2t+1－hji，t+1（λ））槡2（7）

λi的权重定义如下：

i=1/τi∑ni=11/τi（8）

上式中τi是λi对应的RMSEi的最小值。

（二）组合优化模型理论回顾1.经典的Markowitz优化问题minqq'Ωq

s.t.1'q=1（9）q'E=μ其中，E表示预期收益向量，Ω表示预期的协方差阵，μ表示目标收益。在没有卖空限制的情况下，这个优化问题有解析解。最优组合的个股权重向量qp及其方差σ2p分别为：

qp=a－bμdΩ－11c+bμ－b2cdΩ－1Eb（10）

σ2p=1d［μ－bc］2+1c（11）

其中，a=E'Ω－1E，b=E'Ω－11，c=1'Ω－11，d=a－b2c。

有效率边界曲线（11）是均值—标准差空间中的双曲线。

2.TEV约束模型

该模型把组合管理者管理的组合分成两个部分：一是对基准组合的完全复制；二是实际组合与基

准组合的差，即：

qp=qB+x（12）

其中，qB表示基准的权重向量，qp表示实际管理的组合的权重向量，x表示组合收益与基准的

偏差。由于1'qB=1且1'qP=1，故1'x=0，可以认为x是一个对冲基金。基于跟踪误差约束波动

（TEV）约束模型的组合管理的问题即为下面的最优化问题：

maxxx'E

s.t.1'x=0x'Ωx≤T（13）55C-TEV约束下增强型指数基金管理实证研究在允许卖空的情况下，优化问题（13）的解是：

x=±TdΩ－1（E－bc1槡）

μp=（qB+x）'E（14）

σ2p=（qB+x）'Ω（qB+x）（15）

有效率边界是均值—标准差空间中的双曲线，不过该双曲线相对于Markowitz有效率曲线向右上

方移动了。

3.C-TEV约束模型

常数跟踪误差波动（C-TEV）约束模型在TEV模型的基础上增加了总风险约束，其优化问题

如下：

maxxx'E

s.t.1'x=0x'Ωx=T（qB+x）'Ω（qB+x）=σ2p（16）

在允许卖空的情况下，优化问题（16）解得的有效率边界是均值—方差空间中的椭圆：

d（σ2p－σ2B－T）2+4（σ2B－1c）（μP－μB）2－4（μB－bc）（μP－μB）（σ2P－σ2B－T）

－4Tdσ2B－1()c－μB－b()c[]2－0（17）

上式中的a、b、c、d同前。

4.不允许卖空的情况

不允许卖空即对最优组合的权重向量添加限制。即对Markowitz优化（9）添加约束条件（18），

对TEV约束优化（11）和C-TEV约束优化（16）添加约束条件（19）：

qi≥0，i=1，…，n（18）xi≥－qB，i（19）