高中版论文： 方程组法解高中运动学问题 理论结合实际.doc

方程组法解高中运动学问题金贺浩（太和第二中学 安徽 太和 236600）摘要：本文通过分析高中物理的精确独到分析，采用方程组思想和公式推导的方法，解决各种“盘根错节”的、错综复杂的、纠缠不清的，对建立物理继续学习的信心有极大帮助，对物理学领悟较少的同学有特殊疗效，对苦于束手无策的教师提供有益参考。

关键词:匀变速直线运动;公式推导;规律;摘要：本文借助高中物理的运动学部分的经典题，采用一题多解的方法，综合利用方程组思想和函数思想解决各种“疑难杂症”，对建立物理继续学习的信心有极大帮助，对物理学领悟较少的同学有特殊疗效，对苦于束手无策的教师提供有益参考。

关键词:匀变速直线运动;公式推导;规律;许多学生感觉物理和数学中的应用题难做，那是因为他们还未对物理学进行深度思考总结，其实高中的物理题就是由基本公式参与构成的解方程组和函数分析问题。

只要掌握列方程解题的基本步骤，再难的物理题都可以化为解方程组的问题，从而实现学生思维上质的突破，不再对应用题惧怕，站在战略的角度即利用方程组思想使之养成良好的解题习惯与必胜的信心，形成统一的解题思路与技巧，实现战略战术的完美整合（重组与结合）。

方程组思想，顾名思义，就是通过列方程组解决问题。

当一个题目含较多量时，即涉及到的量（包括已知的与未知的）较多较复杂时，常常采用的方法。

此法特别适合学习有困难者，可以极其快速地实现成绩提升以及建立极强的自信心 。

这与化学计算类似，先写出每一个化学反应的方程式，采取“铁板一块”的整体战略，而不是看成孤立的过程，所有的量都是紧密结合起来的，是息息相关的。

物理的运动学、动力学同化学配平相同，不管三七二十一，根据每一句话列出等式，再组合起来就是解决盘根错节、纠缠混乱问题的良方——“快刀斩乱麻”，这是较高效的“万能药方”——“对症下药”，是解决错综复杂问题的金钥匙。

采取中医的“综合疗法”，而非西方的过度量化的冷酷的冷冰冰的“头痛医头、脚痛医脚”法，最明显的“不战而驱敌之兵”的整体代换法，先看下面的例题：例题一：宇航员在某行星上从高度32m 处自由释放一重物，测得在下落最后1s 通过的距离为14m 。

则重物下落的时间和该星球的重力加速度分别是多少？例题二：一条3m 长的细软绳子两端各系一石块，拿着上端的石块站在桥上并使石块与桥面相平，另一端自然下垂于桥面下，放手后石块自由下落，二石块落水相隔0.2s ，问桥面离水面多高？例题三：小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后的10min 到达对岸下游120m 处；若船头保持与河岸成α角度向上游航行，在出发后12.5min 时到达正对岸，求：⑴水流的速度；⑵船在静水中的速度；⑶河的宽度；⑷船头与河岸的夹角α.我们可以看到，例题有几个问题，一般学生认为它们很难，可能写了一大堆算式或公式，或陷入“鬼打墙”——逻辑混乱，很像鸡生蛋与蛋生鸡问题；或根本入不了“门槛”——不知如何下手，很像作茧自缚、画地为牢。

究其原因，就在于他们已形成的思维定势，非要一个接一个的按顺序解题目罗列的问题，这便是症结所在。

我们要打破常规，不能按套路出牌。

方程组思想的精髓就是问什么就设什么未知数，甚至多设一些未知量，为了能用更基本的公式或更一般的规律列方程组，这特别适合思维或基础有困难的学生。

要把整个题目所有的物理量都看作一个统一整体，极像是快刀斩乱麻。

要从每一句话、每个数据中找到可能对应的一个方程，通常几个未知量对应几个方程，写多了可能有等价式或其中一些可从其他算式中推出即冗余；写少了一般又解不出来。

这不需要任何特殊的思维，最原始最繁杂的解法多数时候又是最简单最聪明的解法，类似大智若愚、笨方法又是最简洁、最巧妙、最高效的解法。

从一楼到六楼，某人站着不动时乘扶梯用时间1t ；当扶梯因故障“罢工”不动时，某人行走用时2t ,为了赶时间,某人在扶梯向上运动时，人也向上行走,求用时t 。

解析：以地面为参考系，设人的速度1v ,电梯的速度2v ,人与电梯都运动时速度为v ,则满足21v v v +=,设位移是x （不变量）,11t x v =,22t x v =,txv = 即可得21t x t x t x +=, 化简为21111t t t+=或2121t t t t t +=. 2．甲乙两地相距s 为60 km ， A 、B 两辆车同时从A 地点出发到B 地，甲车的速度比乙车的速度高20km/h,乙车比甲车迟30分钟到达，求：（1）甲车到达B 地所需要的时间； （2）乙车的速度是多少米每秒。

解析：设乙车的速度乙v ，用的时间为列方程组20-=乙甲v v km/h ①，5.0-=甲乙t t h ②，联立①②化为5.0-20-=甲甲v sv s ,解得60=甲v km/h ，40=乙v km/h ，h 5.1=乙t ，h t 1=甲。

3．一船在上游与下游之间往返，顺流时用时4h, 逆时用时6h ，则漂流时用时多少？ 解析：设船在静水中速度为船v （或静v ），流水的速度为水v ，依题意，列出水船顺v v v +=①水船逆v v v -=②)(21逆顺水漂v v v v +==③由S 路程不变，则漂漂逆逆顺顺t v t v t v S===，也改写成顺水船t S v v /=+或逆水船t S v v /=-或水逆顺水t S v v v /2/)-(==. 联立①②③,解得逆顺漂t S t S t S /-//2=，化简为逆顺漂t t t /1-/1/2=，即h h t t t t t 24)4-6/(462)-/(2=⨯⨯==顺逆顺逆漂.4.地震有速度为纵v 的纵波和横v 的横波，某人巧合房子在震源的正上方，他感到房子上下和左右方向的振动时间间隔为t ∆，求他离震源的距离S 。

解析：不变量为s ，先听到的时间是1t ，后来听得的时间是2t ，则21t v t v S 横纵==①，12t t t -=∆②，联立①②，建立关于已知与未知量的方程，横横v S v S t /-/=∆，解得横横横横v v v tv S -∆=。

6、某人为了估测云层的高度，在地面做一次爆破实验，离爆炸地点s 处听到两次传来的爆炸声的相隔时间是t ∆，声速v ，求云层的高度。

解：设云层的高度是h ,先听到的时间是1t ，后来听得的时间是2t ，则直线传播的是1vt S =①，反射折线传播的22221vt h S =+）（②，12t t t -=∆③，联立①②③，建立关于已知与未知量的方程，v S v h S t /-/2122+=∆）（，解得S h S t v -2122+=∆）（，22221-h S S t v =+∆）（）（，即2243-)(2S t v tS v h ∆+∆=。

现就设未知数的方法举例。

如在例题1中：设重物下落的时间为t ，该星球的重力加速度为g ，已知m 23=h ，14m '=h 由题意列方程得，221gt h =（t 与h 对应） ① 2')1(21-=-t g h h （1-t 与'h h -对应）②这里仅仅利用了自由落体的最基本、最简单的公式，学生很容易理解并掌握。

在例题2中：设桥面离水面高为h ,下端的石块自由下落到水面用时为t ，已知细软绳子长度m l 3=,时间间隔s t 2.0=∆，由题意列方程得，221gt l h =-① 2)(21t t g h ∆+=② 多设了未知量t ，是为了能更好地用最基本的公式，实现自由落体问题中变量t 与h 的“双簧戏”组合。

在例题3中：设水流与船在静水中的速度的速度分别为水v 与船v ，河的宽度为d ，已知m s 100=，min 101=t ，min 5.122=t 。

由等时性和对立性，可列方程组得，s m s m t s v /2.0/60101201=⨯==水① 1t v d 船=②2t v d 合=③解方程组的方法如下：就是联立所有方程，先找准一个待求的量，再通过加减乘除逐步有目的、有计划地削减、减少未知数，最后简化到剩下只含该待求变量的一个方程，即可找到解方程组的突破口，其他未知量也就会如兵败如山倒，就像一个天大的谜团突然真相大白，一宗极其复杂的案件突然水落石出。

即先各个击破，再步步为营，最后一气呵成。

其方法简单在于不需要用特殊、复杂的规律以及在盘根错节的关系网中理清各种关系，只要先设出未知数，再根据数据或是能列方程的语句只要利用基本公式列方程组，最后联立方程解出即可。

上面的例题方程组解法如下：例题1：由于加减无法消去任何一变量，转而采用乘除中的除法，即②/①,得)21/()1(2122'gt t g h h h -=- ,化简得， 169321432)1(2=-=-t t ，43111=-=-t t t 从而得s s t 44311=-=，将其带入①，得2222443222--⋅=⋅⨯==s m s m t h g 例题2：联立①②，②-①，消去h ，得)2(212t t t g l ∆+∆=③由此解得,s s t t tg l t 4.1)22.0102.03(2222=-⨯=∆∆-∆=,将其带入①，得m m t t g h 8.12)2.04.1(1021)(2122=+⨯⨯=∆+=例题3：题目中有几小问，倘若各个击破那就如同抽丝剥茧或陷入一个死循环，很难在错综复杂的语境中与盘根错节的关系中保持清醒和淡定。

与其拆卸“铁板一块”，反而不如将计就计，而把它们看做一个不可分割的有机整体，“浑水摸鱼”反而问题能迎刃而解，开放思想就能拨云见日，撩开神秘面纱，解开层层悬疑，使之豁然开朗。

②/③,得21sin t t v v ==α船合， 即8.0545.1210sin ===α（突破口），6.053cos ==α， 由船水v v =αcos 得，s m v v /316.02.0cos ===α水船， 进而m m t v d 2006010311=⨯⨯==船. 这很像是“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，“山穷水尽疑已无路，柳暗花明又一村”，从黑暗走向光明。

使成绩平平甚至学习有困难的一记良药与猛药,使其在”久病”(坐晕车,浑浑噩噩,迷迷糊糊)或漫长的黑夜(一直稳居倒数)之后可以重见光明,如拨云见日、醍醐灌顶、久旱逢甘露，顶上被压的泰山终于可以卸掉了，如获重释，推翻了三座大山的压迫，以迅雷不及掩耳之势，实现人的突变与质变。

再看几个例子。

例题4：甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v －t 图象如图所示。

两图象在t ＝t 1时相交于P 点，P 在横轴上的投影为Q ，ΔOPQ 的面积为S 。

在t ＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为D ．已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t ′，则下面四组t ′和d 的组合可能是（ ）A ．1't t =，S d = B ．1'21t t =，S d 41=B ．C ．1'21t t =，S d 21= D ．1'21t t =，S d 43= 解：由题意，甲乙满足关系d x x +=乙甲， 且't v x 甲甲=，2'21t a x 乙乙=. 即d t a t v +=2''21乙甲. 由图像得OPQ 三角形的面积2121t a S 乙=,交点P 说明此时速度相等，即1t a v 乙甲=, 解得212t S a =乙,112t S t a v ==乙甲,再带入位置关系方程,得 d t t S t t S +=2'21'12212,化简为 0221'12'=+-t Sd t t t 0)1(44)2(2121'21>-=-=∆Sd t t S d t t ,.解得1,01<>-S dS d 即得S d <)11()122(21111'Sd t S d t t t --=-±=.当S d 43=时, 411=-S d ，2111=-±S d 或 23,得第一次相遇时1'21t t =（选B ），第二次相遇时1'23t t =. 例题五：甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现，甲经过短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。