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解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。
增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。
3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。
b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。
c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。
d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。
4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。
具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。
首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。
c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。
它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。
1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。
设线性方程组中有n个未知数。
2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。
3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。
数值分析在水文地质中的应用摘要：本文通过运用数值分析中线性方程组的直接解法，解决水文地质中具体的问题，本文将地下水的流动的情况通过数学模型将其演示出来，再运用MATLAB 求出地下水的各个参数。
关键词：地下水；追赶法 ；MATLAB 。
1序言数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法，许多实际问题都需要运用数值分析的各种算法来求解，同时联系计算机各种软件来实现解答。
在水文地质中，地下水的流动很难描述，通过地下水的数值模拟将河流描述，运用数值分析的方法运用MATLAB 实现。
2实际问题描述考察通过x=0和x=L 处的长且直的河流为界的承压含水层，如下图，该含水层均质各向同性，顶底板水平，上覆弱透水层，垂向补给强度为W （x ），两河流边界的水位分别为ψ1和ψ2，且不随时间变化。
首先，沿河流的方向取单宽作为计算区，并对计算区进行剖分，即江河间距L 剖分成N 等分，则空间步长为Δx=L/N 。
其次，在网格分割线上任取一点作为节点，节点编号由左向右依次为0,1，……i ，……N 。
任一节点i 的坐标为i Δx ，水位为H i ，已知节点0的水位为ψ1，节点N 的水位为ψ2。
L=800m, ψ1=10m, ψ2=5m,W=0.004m/d,T=100m 2/d.若取Δx=100m 即N=L/Δx=8，则共有9个节点，编号依次为0,1，……8，其中节点1，2，……7的水头是待求值。
从而求1122)2(2)(ϕϕϕ++-+-=TWLL x T W x H3数学模型的建立建立数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤≤=+∂∂==21022)()()0(0)(ϕϕL x x x H x H L x x W x HT 以剖分为基础，针对节点i 建立差分方程：())()(2)()()(22x O x x H x x H x x H x H ∆+∆-∆-+∆+=)()()()(2)(2222x O x x x H x H x x H x H x∆+∆∆++-∆-=∂∂ 式中：H （x+Δx ）、H(X)、H （x+Δx ）在这里分别相当于节点i-1、i 、i+1的水头，用H i-1、H i 、H i+1表示，则)()(2221122x O x H H H x H i i i x∆+∆+-=∂∂+-这里将舍去余项)(2x O ∆，并以i H _表示节点i 的水头H i 的近似值，则有21__1_22)(2x H H H x H i i i x∆+-=∂∂+- 成立。
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
第5章（改）解线性方程组的直接法（演示）数值分析第五章线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。
如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。
因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。
对于n 阶线性方程组=A x b ，若det()0≠A ，则方程组有惟一解。
由克莱姆（Cramer ）法则，其解为d e t ()(1,2,,)d e t ()i i A x i n A == ,其中i A 为用向量b 代替A 中第i 列向量所得矩阵。
每个n 阶行列式共有!n 项，每项都有n 个因子，所以计算一个n 阶行列式需做(1)!n n -?次乘法，我们共需要计算1n +个行列式，要计算出i x ，还要做n 次除法，因此用Cramer 法则求解要做2(1)!n n n -?+次乘除法（不计加减法），计算量十分惊人。
如30n =时，就需作约352.3810?次乘法。
可见Cramer 法则在理论上是绝对正确的，但当n 较大时，在实际计算中却是不可行的。
因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。
线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。
另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占70%以上）。
线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。
但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。
常用的有效算法是Gauss 消去法和矩阵的三角分解法。
迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析第一次上机实习报告——线性方程组直接解法一、问题描述设 H n = [h ij ] ∈ R n ×n 是 Hilbert 矩阵, 即11ij h i j =+- 对n = 2,3,4，…13,(a) 取11n n x R ⨯⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，及n n b H x =，用Gauss 消去法和Cholesky 分解方法来求解n n H y b =，看看误差有多大.(b) 计算条件数：2()n cond H(c) 使用某种正则化方法改善(a)中的结果.二、方法描述1. Gauss 消去法Gauss 消去法一般用于系数矩阵稠密且没有任何特殊结构的线性方程组。
设H =[h ij ]，y = (y 1,y 2,…，y n )T . 首先对系数矩阵H n 进行LU 分解，对于k=1,2，…n,交替进行计算：1111),,1,,1(),1,2,,k kj kj kr rj r k ik ik ir rk r kk u h l u j k k n l a l u i k k n u -=-=⎧=-=+⎪⎪⎨⎪=-=++⎪⎩∑∑…… 由此可以得到下三角矩阵L=[l ij ]和上三角矩阵U=[u ij ]. 依次求解方程组Ly=b 和Ux=y ，111,1,2,,1(),,1,,1i i i ir r r n i i ir r r i ii y b l y i n x y u x i n n u -==+⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑…… 即可确定最终解。
2. Cholesky 分解法对于系数矩阵对称正定的方程组n n H y b =，存在唯一的对角元素为正数的下三角矩阵L ，使得H=LL T 。
因此，首先对矩阵H n 进行Cholesky 分解，即1122111()1()j jj jj jk k j ij ij ik jk k jj l h l l h l l l -=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 1,i j n =+… L 的元素求出之后，依次求解方程组Ly=b 和L T x=y ，即1111111(),2,3,i i i ik k k ii b y l y b l y i n l -=⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩∑… 11(),1,2,n n nn n i i ki k k i nn y x l x y l x i n n l =+⎧=⎪⎪⎨⎪=-=--⎪⎩∑…1 由此求得方程组n n H y b =的解。
题目：煤层瓦斯含量规律分析算法：线性方程组的直接接法组号：22组员：张玉柱薛洪来孔杰商鹏煤层瓦斯含量规律分析张玉柱，薛洪来，孔杰, 商鹏（河南理工大学安全学院，河南焦作454000）摘要：通过煤层瓦斯含量预测数学模型的建立，研究对煤层瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程，为瓦斯含量的预测和估计提供了一定的理论依据。
关键词：瓦斯含量；模拟测试Mathematical models of gas content predictYuzhu-zhang, Honglai-xue, jie-kong, peng-shang(School of Safety Science and Engineering, Henan Polytechnic University，Jiaozuo．454000，China)Abstract: Through the gas content prediction mathematical model. Research on the impact of coal seam gas content prediction top bottom elevation, the buried depth, thickness of the overlying strata, volatile gradation factors. Determine the impact of gas content and multiple regression equation for the gas content prediction and estimate provided theoretical basis.Key words：teetonicslly coal；simulation test0.问题背景瓦斯是指在煤矿生产过程中，从煤层、岩层和采空区放出的各种有害气体的总称，其中甲烷是瓦斯的主体成分，所以狭义的矿井瓦斯一般是指甲烷，主要来自煤层，它构成威胁煤矿开采的主要危险。
它对矿井安全的威胁主要有突出、爆炸、和窒息三种形式，最严重的瓦斯灾害是瓦斯爆炸和瓦斯突出事故，它严重威胁着井下人员的生命和矿井设施的安全[1]。
瓦斯含量是影响煤矿安全生产的重要因素，因此，加强煤层瓦斯含量预测方法及瓦斯涌出的影响因素研究，掌握煤层瓦斯含量预测规律，对改善我国煤矿安全生产状况具有积极的意义[2]。
本文收集、整理和分析了大量实测数据资料，通过实测和数学方法，研究对瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程。
最后，运用该方法对夏店煤矿回采工作面进行了瓦斯含量预测，结果与现场实测数据基本吻合。
根据夏店煤矿的生产实际，对瓦斯含量影响因素进行分析，研究瓦斯含量与煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素之间的关系，对夏店煤矿防治矿井瓦斯灾害，确保煤矿安全生产具有重要意义。
1. 问题分析及模型影响煤层瓦斯含量预测的有煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素。
如何判断这些因素对煤层瓦斯含量的影响程度，建立对煤层瓦斯含量影响程度大的因素的相关方程，是预测煤层瓦斯含量的关键。
通过测量收集煤层瓦斯含量影响因素的实际值，代入相关方程就可以预测煤层瓦斯含量。
瓦斯含量预测过程常用回归分析方法，用来研究煤层瓦斯含量y 与其影响煤层瓦斯含量变量x 之间的关系[3]。
简单的说，就是把对煤层瓦斯含量y 有显著影响的自变量x 逐个引入回归方程。
首先选出与y 相关程度最大的自变量，通过统计检验，表明该自变量的作用显著时，则将其引入回归式。
然后在剩余的自变量中再挑选与y 关系密切的自变量。
当引入的自变量由于后来变量的引入使它对因变量的作用有显著变为不显著时，则随时将他们从回归式中剔除。
因此，逐步回归每次在引入新变量的显著变量之前和剔除不显著变量之后，回归式中只包含显著变量。
如此反复进行，直到再也没有一个自变量可以剔除为止。
最终确定煤层瓦斯含量预测回归方程。
确定回归方程后，把测量和收集的相应自变量数据代入。
通过线性方程组Gauss 消去法求得相应自变量系数，建立煤层瓦斯含量预测方程。
2. 多元线性回归方程原理多元线性回归分析方法，通常是把所有m 个自变量全部引入回归方程，不管自变量对因变量是否有显著影响。
实际上，我们经常需要从许多自变量中“挑选”出有意义的自变量，建立一个“最优”的回归方程。
所谓“最优”的回归方程，就是包含所有对因变量有显著作用的量，而不包含对因变量无显著影响的变量的回归方程[4]。
因此，在线性回归分析中发展了对自变量进行筛选的数学方法，而逐步回归分析中发展了对自变量进行筛选的数学方法，而逐步回归方程目前被认为是一种较合理的方法。
回归分析是瓦斯含量预测过程一种常用的统计分析方法，用来研究某一变量与其他若干变量之间的关系，也可以定量确定一个变量随其变量变化如何变化。
通常被回归的变量用y 表示，称其因变量；影响因变量的其它因素用x 1,x 2,…,x m 表示，称为自变量。
回归分析中，假设进行n 次观测，观测值为（x 1k ,x 2k ,…,x mk ；y k ） （k=1,2,… n ）那么：),,2,1,())((1m j i y y x xl j jk nk i ikij ⋯=⋯⋯--=∑=(2-1)),,2,1,())((10m j i y y x xl k nk iki ⋯=⋯⋯--=∑=(2-2)00l =错误！未找到引用源。
(2-3)∑==nk ky ny 11(2-4)错误！未找到引用源。
∑==nk iki x x 1n1均 错误！未找到引用源。
(i,j=1,2…,m)(2-5)回归方程为：=^y =m m x b x b +⋯+++22110x b b(2-6)式中回归系数b1,b2,……，bm 由下方程组通过Gauss 消去法解出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++02211202222121101212111..................................................m m mm m m m m m m lb l b l b l l b l b l b l l b l b l b l (2-7)常数项b 0= ∑=-mk i ix by 1(2-8)然后用方差分析法对回归方程进行显著性效果检验，说明因变量与自变量密切的相关程度。
3. 算法的M ATLAB 实现3.1 最优回归方程和实验数据由影响夏店煤矿瓦斯含量的重要因素，把煤层底板标高、埋藏深度和上覆基岩厚度作为因变量，瓦斯含量作为因变量（见表1），进行多元回归分析。
整理、计算已采区的瓦斯实际含量数据及对应的顶板泥岩和上覆基岩厚底，选取13组数据。
选择瓦斯含量y 为因变量，煤层厚度x1、埋藏深度x2挥发分x3和底板标高x4三个自变量（表3）建立多元线性回归方程（2-6），采用逐步回归的方法对自变量进行筛选直到建立最优的回归方程。
443322110x b x b x b x b b y ++++= (3-1)式中：b 0——常数项b 1,b 2,b 3,b 4——待定系数回归方程的显著性检验见表2。
F 统计量的值为6.0972，大于查表临界值3.86，回归是显著的，说明瓦斯含量与埋藏深度和上覆基岩厚度两个自变量有密切的相关关系，回归方程具有实际意义。
表1 瓦斯含量影响因素关系表Table 1 factors affecting gas content relation table影响因素（x ） 瓦斯含量（y ）与影响因素（x ）关系式相关系数 底板标高 002.230308.0-+=x y 0.7884 埋藏深度9638.5-0311.0x y = 0.8654上覆基岩厚度9139.4-0299.0x y = 0.8432 上覆30m 内泥岩厚度3095.0-4413.0x y = 0.2332下伏20m 内泥岩厚度2111.3-8948.0x y = 0.5272煤层厚度 195.321369.4-+=x y 0.179 煤的变质程度 （挥发份/%）01.1350.0-+=x y0.203表2 方差分析法进行显著性效果检验Table 2 variance analysis significant effectinspection方差来源平方和均方统计量置信限统计推断 回归∑==ml i i lb 1S 回ms 回回S =余回s s F =a F当F>F a 时，认为回归显著，线性相关密切；当F>F a 时，认为回归不显著，线性相关不密切。
其中F a =3.86126.304942.1016（m,n-m-1)剩余回余S l S -=001--=m n S s 余余39.62434.40276.09723.86表3 夏店煤矿3号煤层瓦斯含量及其影响因素统计表Table 3 No. 3 coal mine of Xiadian factors affecting gas content statistical table样品 煤厚 埋深 上覆30m 内泥岩厚度下伏20m 内泥岩厚度 挥发份顶板岩性 上覆基岩厚度标高 瓦斯含量JJ-1 6.1 435.8 15.3 7.68.55 砂质泥岩 421.26 491.748 5.5ZK3-1 5.9 427.6 14.85 12.55 11.41 泥岩400.8 565.261 3.2 ZK3-3 5.65 523.8 12.8 15 9.62 砂质泥岩517.55 408.635 13样品煤厚埋深上覆30m内泥岩厚度下伏20m内泥岩厚度挥发份顶板岩性上覆基岩厚度标高瓦斯含量ZK1-1 5.54 290.67 7.98 6.29 10.44 砂质泥岩268.3 639.952 1.7 ZK1-2 5.6 368.75 6.5 9.78 砂质泥岩358.65 588.895 1.3 ZK6-2 5.6 426.8 17.37 10.33 9.98 泥岩417.4 500.607 7 ZK7-1 6.2 386.95 14.95 9.55 15.42 泥岩360.4 596.527 5.2 503 5.9 188.41 11.35 泥岩147.02 714.98 1 604 6.32 433.81 13.29 泥岩420.24 458.87 6.7 602 5.72 282.84 10.27 泥岩274.33 675.56 3.3 804 6.15 536.47 9.73 泥岩483.83 458.71 11.3 802 5.23 288.93 12.02 泥岩271.01 640.15 4.1 709 5.93 480.75 11.87 砂质泥岩471.25 441.23 8.3 3.2 Matlab程序代码确定估计系数b0, b1, b2, b3，b4原则是根据线性方程组Gauss消去法[5]，把表3数据输入Matlap程序如下：function b=gauss(A,x) % 高斯求解方程组%b=gauss(A,x)n=length(A);a=[A,x];for k=1:n-1maxa=max(abs(a(k:n,k)));if maxa==0return;endfor i=k:nif abs(a(i,k))==maxay=a(i,k:n+1);a(i,k:n+1)=a(k,k:n+1);a(k,k:n+1)=y; break;endendfor i=k+1:nl(i,k)=a(i,k)/a(k,k);a(i,k+1:n+1)=a(i,k+1:n+1)-l(i,k).*a(k,k+1:n+1); endend%回代if a(n,n)==0 return endx(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1x(i)=(a(i,n+1)-sum(a(i,i+1:n).*x(i+1:n)))/a(i,i); end调用示例如下：>>A=[1,6.1,435.8,8.55,491.748;1,5.9,427.6,11.41,565.261;1,5.65,523.8,9.62,408.635;1,5.54,290.67,10.44,639.952;1,6.2,386.95,15.42,596.527;1,5.72,282.84,10.27,675.56;1,6.15,536.47,9.73,458.71;1,5.93,480.75,11.87,441.23]; >> x=[5.5; 3.2; 13; 1.7; 5.2;3.3;11.3;8.3]; >>b=gauss(A,x)b=18.2583 -1.3535 0.1350 0.1267 -0.0209可求得：b 0=18.2583，b 1=-1.3535，b 2=0.1350，b 3=0.1267，b 4=-0.0209 则回归方程为：y=18.2583-1.3535x 1+0.1350x 2+0.1267x 3-0.0209x 4 (3-2)4. 煤层瓦斯含量预测结果及分析4.1 煤层瓦斯含量预测结果通过以上分析，得出该矿影响瓦斯含量的多元回归方程如下，预测井田北部瓦斯含量。
