解线性方程组的迭代方法研究

第二章解线性代数方程组的迭代法2. 1 引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。

迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。

山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。

那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。

因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。

本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收敛法。

2. 2 基本迭代法考虑线性方程组如坷+如勺+…+气兀”二勺a2t x i+a22x2 + - + a2…x n =b2■•••••••••••(2. 1)采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成Ax = h(2.2)其中，为非奇异矩阵，设下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。

为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：4SD-U,(2.3)其中-a2\-a n\(1)雅可比迭代的基本思想从式(2.1)的第i个方程中解出X t=(/ = 1,2,•••,«)我们把迭代前面的值代入上式右边，山计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。

实验五 线性方程组的迭代法实验一. 实验目的（1）深入理解线性方程组的迭代法的设计思想，学会利用系数矩阵的性质以保证迭代过程的收敛性，以及解决某些实际的线性方程组求解问题。

（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。

二. 实验要求建立Jacobi 迭代公式、Gauss-Seidel 迭代公式和超松弛迭代公式，用Matlab 软件实现线性方程组求解的Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法和超松弛迭代法，并用实例在计算机上计算。

三. 实验内容1. 实验题目（1）分别利用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代求解下列线性方程组，取()T 0,0,0,0,0,0=x ，要求精度510-=ε：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------------626050410100141010014001100410010141001014654321x x x x x x ①Jacobi 迭代：②Gauss-Seidel迭代：（2）分别取1ω、1.05、1.1、1.25和1.8，用超松弛法求解上面的方程组，要求精度=为5ε。

=10-超松弛迭代代码如下所示：运行时初始化如下：分别以不同的松弛因子代入，W=1：W=1.05W=1.1：W=1.25W=1.8：当最大迭代次数增加时，我们可以看到，x向量的各个元素都变无穷大了，迭代发散2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。

求解线性方程组的迭代法，其实质是将所给的方程组逐步地对角化或三角化，即将线性方程组的求解过程加工成对角方程组或三角方程组求解过程的重复。

⑴Jacobi迭代:将一般形式的线性方程组归结为对角方程组求解过程的重复；⑵Gauss-Seidel迭代：将一般形式的线性方程组的求解归结为下三角方程组求解过程的重复；⑶超松弛法：选择合适的松弛因子，利用旧值生成新值，使迭代加速；四.实验体会对实验过程进行分析总结，对比求解线性方程组的不同方法的优缺点，指出每种方法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对线性方程组求解问题的各种解法的理解。

线性方程组的迭代式求解方法迭代法解方程的基本原理1.概述把 Ax=b 改写成 x=Bx+f ，如果这一迭代格式收敛，对这个式子不断迭代计算就可以得到方程组的解。

道理很简单：对 x^{(k+1)}=bx^{(k)}+f 两边取极限，显然如果收敛，则最终得到的解满足 \lim_{k\rightarrow\infty } x^{(k)}=x^*=Bx^*+f ，从而必然满足原方程 Ax^*=b 。

迭代方法的本质在于这一次的输出可以当作下一次的输入，从而能够实现循环往复的求解，方法收敛时，计算次数越多越接近真实值。

2.收敛条件充要条件：迭代格式 x=Bx+f 收敛的充要条件是 \rho (B)<1充分条件： \Vert B\Vert <1即 \Vert B\Vert <1 \Rightarrow \rho(B)<1\Leftrightarrow 迭代收敛一、Jacobi迭代法怎样改写Ax=b ，从而进行迭代求解呢？一种最简单的迭代方法就是把第i行的 x_i 分离出来(假定 a_{ii} \ne 0 )：\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i\Rightarrow x_i=\frac{b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j}{a_{ii}}\quad \\这就是Jacobi(雅可比)迭代法。

迭代格式给定x^{(0)}=\left[x_1^{(0)},x_2^{(0)},\cdots,x_n^{(0)}\rig ht]^T ，则Jacobi法的迭代格式（也称分量形式）为x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left ( {b_i-\sum_{j=1,j\ne i}^{n}a_{ij}x_j^{(k)}}\right),\quadi=1,2,\cdots,n\\矩阵形式设 A=D-L-U。

Jacobi法的矩阵形式（也称向量形式）为x^{(k+1)}=B_Jx^{(k)}+D^{-1}b\\其中迭代矩阵 B_J=D^{-1}(L+U)收敛条件\begin{eqnarray} \left. \begin{array}{lll} \VertB_J\Vert <1 \\ A 严格对角占优\\ A, 2D-A对称正定\end{array} \right \} \end{eqnarray} \Rightarrow \rho (B_J)<1\Leftrightarrow 迭代收敛特别地，若 A 对称正定且为三对角，则 \rho^2(B_J)=\rho (B_G)<1 。

仿真平台与工具应用实践Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告院系:专业班级:姓名:学号:指导老师:一、实验目的熟悉Jacobi迭代法原理；学习使用Jacobi迭代法求解线性方程组；编程实现该方法；二、实验内容应用Jacobi迭代法解如下线性方程组:, 要求计算精度为三、实验过程（1）、算法理论迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想: 构造一个向量系列, 使其收敛至某个极限, 则就是要求的方程组的准确解。

Jacobi迭代将方程组:在假设, 改写成如果引用系数矩阵, 及向量, , ,方程组（1）和（2）分别可写为: 及, 这样就得到了迭代格式用迭代解方程组时, 就可任意取初值带入迭代可知式, 然后求。

但是, 比较大的时候, 写方程组和是很麻烦的, 如果直接由, 能直接得到, 就是矩阵与向量的运算了, 那么如何得到, 呢？实际上, 如果引进非奇异对角矩阵将分解成：要求的解, 实质上就有而是非奇异的, 所以存在, 从而有我们在这里不妨令就得到迭代格式：（2）算法框图（3）、算法程序m 文件:function x=jacobi(A,b,P,delta,n)N=length(b); %返回矩阵b的最大长度for k=1:nfor j=1:Nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);enderr=abs(norm(x'-P)); %求（x'-P）模的绝对值P=x';if(err<delta) %判断是否符合精度要求break;endendE=eye(N,N); %产生N行N列矩阵D=diag(diag(A));f=A*inv(D); %f是A乘D的逆矩阵B=E-f;Px=x';k,errBMATLAB代码:>> clear allA=[4, -1, 1;4, -8, 1;-2, 1, 5];b=[7, -21, 15]';P=[0,0,0]';x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)（4）、算法实现用迭代法求解方程组:正常计算结果是2, 3, 4 , 下面是程序输出结果：P =2.00004.00003.0000k =17err =9.3859e-008B =0 -0.1250 -0.2000-1.0000 0 -0.20000.5000 0.1250 0x =2.00004.00003.0000四、实验体会五、MATLAB是非常实用的软件, 能够避免大量计算, 简化我们的工作, 带来便捷。

求解大规模线性方程组的迭代方法研究迭代方法是求解大规模线性方程组的一种有效方法。

本文将对迭代方法的研究进行探讨，并介绍其在求解大规模线性方程组中的应用。

一、引言在科学计算和工程领域，常常遇到需要求解大规模线性方程组的问题。

传统的直接方法，如高斯消元法和LU分解法，在面对大规模方程组时，计算量巨大且消耗资源多，因此迭代方法成为了求解大规模线性方程组的有效途径。

二、迭代方法原理迭代方法是一种近似求解线性方程组的方法，其基本思想是通过迭代计算，逐步逼近线性方程组的解。

最常用的迭代方法包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。

1. Jacobi迭代法Jacobi迭代法是最基本的迭代方法之一。

它通过将方程组中的每个未知数从上一次的迭代值中解出，得到新的逼近解。

具体步骤如下：（略）2. Gauss-Seidel迭代法相较于Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法对方程组的逼近解进行了改进。

具体步骤如下：（略）3. SOR迭代法SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法是进一步优化Gauss-Seidel迭代法的方法。

通过引入松弛因子ω，可以加快迭代的收敛速度。

具体步骤如下：（略）三、迭代方法的性能评估迭代方法的性能评估主要包括收敛性、稳定性和计算复杂度。

1. 收敛性迭代方法的收敛性是指在迭代过程中逼近解是否能够逐渐趋近于方程组的真实解。

通常通过控制收敛准则，如误差限或迭代次数，来评估迭代方法的收敛性。

2. 稳定性稳定性是指迭代方法在计算过程中是否能够保持良好的数值稳定性，即避免产生误差累积或数值不稳定的情况。

一种常见的评估稳定性的方法是研究迭代方法的矩阵收敛性。

3. 计算复杂度计算复杂度是评估迭代方法效率的一个重要指标。

主要包括迭代次数、计算量和存储需求等方面。

通过分析计算复杂度，可以选择最适合实际应用场景的迭代方法。

四、迭代方法在大规模线性方程组求解中的应用迭代方法由于其较小的计算和存储需求，得到了广泛的应用。

稀疏矩阵与线性方程组的迭代解法研究在数学和计算机科学领域中，矩阵是一种重要的数学结构，而线性方程组则是矩阵应用的重要问题之一。

当矩阵中的绝大部分元素都为零时，我们称之为稀疏矩阵。

稀疏矩阵在实际问题中的应用非常广泛，如网络图、电力系统、图像处理等。

然而，由于其特殊的性质，传统的线性方程组求解方法在处理稀疏矩阵时效率较低。

因此，研究稀疏矩阵与线性方程组的迭代解法成为一项重要的课题。

稀疏矩阵的特点在于大部分元素为零，只有少数非零元素。

这意味着我们可以通过压缩存储的方式来节省内存空间。

常见的稀疏矩阵存储格式有三元组表示法、行压缩存储法等。

这些存储格式的设计旨在提高矩阵运算的效率，减少存储空间的占用。

针对稀疏矩阵的特点，研究者们提出了一系列高效的线性方程组迭代解法。

其中，最著名的方法之一是迭代法。

迭代法的基本思想是通过迭代逼近线性方程组的解，直到达到一定的精度要求。

常见的迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法等。

雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。

它的基本思想是将线性方程组中的每个方程都看作一个近似解的更新方程。

具体来说，给定一个初始近似解，我们可以通过迭代更新每个方程的解，直到满足一定的收敛条件。

然而，雅可比迭代法的收敛速度较慢，特别是对于大规模稀疏矩阵而言，迭代次数较多，效率较低。

为了提高迭代法的收敛速度，研究者们提出了一系列改进的方法。

其中，高斯-赛德尔迭代法是一种经典的改进方法。

与雅可比迭代法不同的是，高斯-赛德尔迭代法在更新方程时利用了已经计算出的新近似解。

这种方法可以加快迭代的收敛速度，提高求解效率。

除了高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法也是一种常用的改进方法。

超松弛迭代法通过引入松弛因子来调整每次迭代的步长，从而加快收敛速度。

松弛因子的选择对迭代的效果有很大的影响，过小或过大的松弛因子都会导致迭代无法收敛。

因此，合理选择松弛因子是使用超松弛迭代法的关键。

除了迭代法，共轭梯度法也是一种常用的线性方程组求解方法。

1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。

实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。

通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。

实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。

1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。

Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。

迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。

广东金融学院实验报告课程名称：数值分析实验目的及要求实验目的：题一：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向最的微小变化对解向最的影响。

比较各种直接接法在解线性方程组中的效果；题二：认识齐种迭代法收敛的含义、影响齐迭代法收敛速度的因素。

实验要求：题一：(1)在MATLAB中编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述方程组，输出曲b中矩阵A 及向量b和A二LU分解中的L及U, detA及解向量X.(2)将方程组中的2. 099999改为2. 1, 5. 900001改为5. 9,用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向最x及detA,并与(1)中的结果比较。

(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出方程组的解。

请与列主元高斯消公法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。

用MATLAB的内部曲数det求出系数行列式的值，并与(1)、(2)中输出的系数行列式的值进行比较。

(4)比较以上各种直接解法在解线性方程组中的效果。

题二：(1)选取不同的初始向M：X(0)及右端向最b,给泄迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。

列岀算法清单。

(2)用SOR迭代法求上述方程组的解，松弛系数血取1<69<2的不同的三个值，在< 10"5时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结呆与松弛系数血的关系并得出你的结论。

(3)用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵.再输入命令^inv(A)*b>即可求出上述各个方程组的解.并与上述三种方法求出的解进行比较。

请将比较结果列入卜表。

方程组的解X1 Xr■迭代次数误差楮确解Jacibi解法Gause・seidel 解法SOR 解法00= 60= 60=实验环境及相关情况（包含使用软件、实验设备、主要仪器及材料等）1. Win72. Mat lab 7.0实验内容及步骤（包含简要的实验步骤流程） 实验内容：题一：解卜列线性方程组'10 -7‘X 】、(8、-3 2.099999 62Xr5.9000015-1 5 -15、12> 0< 1 >题二研究解线性方程组 做=b 迭代法的收敛性、收敛速度以及SOR 方法中/佳松弛因子的选取问题, 用迭代法求解做二b,其中・4 -1r■7 A=4 -81 ,b =-21-2 ■1515实验结果（包括程序或图表、结论陈述.数据记录及分析等，可附页）题一：直接解法解线性方程组（1）列主兀高斯消去法与LU 分解求解列主元高斯消去法:编写matalab 程序（见附录gaosi.m ）,输出矩阵10.000 -7.000 0.000= 0.000 2.5000-5.000一 0.000 0.0006.0000020.000 0.000 0.000向量8 b =1 8.300 L5.0800J解向量:X = （0 ・-1 , 1 r I ）7 其中系数行列式的值det （A ）=762.00009LU 分解求解：编J matalab 程序（见附录zhjLU. m 和LU ・m ）,执行输出：-1.5 2.300 5.080-3.0001.000000.00000.5000 -25000001.0000 0.2000 -24000000.9600 10.0000 -7.0000 0.0000 1.0000n = 0.0000-0.0000010.0000 2.3000 —0.0000 0.000015000000 57500000.0000 0.0000 0.0000 5.0800在matlab 命令窗II 输入L*U ,可以得到A 二L*U ，即分解结果正确。

线性方程组求解的迭代算法线性方程组是数学中常见的问题之一，求解线性方程组是很多科学和工程领域中必需的基本任务。

而迭代算法是一种常见的求解线性方程组的方法之一，通过不断逼近线性方程组的解来达到求解的目的。

本文将介绍一些常见的线性方程组迭代算法及其原理。

一、雅可比迭代法雅可比迭代法是最早被提出的线性方程组迭代算法之一。

其思想是通过不断迭代，在每一步都利用先前求得的近似解来逼近方程组的解。

具体算法如下：假设给定的线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。

1. 首先，将方程组转化为x=D^-1(b-Rx)，其中D为一个对角矩阵，R为矩阵A的剩余部分。

2. 设定一个初始解向量x0。

3. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。

a. 计算下一次迭代的解向量：x_k+1 = D^-1(b-Rx_k)，其中k为当前迭代的次数。

b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。

雅可比迭代法的收敛性与系数矩阵A的特征值有关。

当A是严格对角占优矩阵时，迭代法收敛。

二、高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的一种改进方法。

在每一次迭代中，新的解向量x_k+1的计算会利用到之前已经计算得到的近似解向量的信息，从而加快迭代的速度。

具体算法如下：1. 设定一个初始解向量x0。

2. 迭代计算：重复执行以下步骤，直到满足终止条件。

a. 对于每个方程i，计算下一次迭代的解向量的每个分量：x_k+1[i] = (1/A[i][i]) * (b[i]-Σ(A[i][j]*x_k[j]，其中j为1到i-1之间的所有整数。

b. 检查终止条件是否被满足，如果是，则停止迭代；否则，返回步骤a。

高斯-赛德尔迭代法相比于雅可比迭代法，在每一次迭代中都会利用到之前计算得到的近似解向量的信息，因此收敛速度更快。

三、超松弛迭代法超松弛迭代法是对雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的进一步改进。

通过引入松弛因子ω，可以加速迭代的收敛速度。