任意初等行列混合变换求解线性方程组

矩阵初等变换解方程组
矩阵初等变换是一种解线性方程组的有效方法。

下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵初等变换来解线性方程组。

假设我们有以下线性方程组：
y + 2z = 2
-x + 2y - z = 3
首先，我们将这个方程组写成增广矩阵的形式：
1 ]
[ 1 -1 2 | 2 ]
[-1 2 -1 | 3 ]。

初等变换包括：
1.交换两行
2.将一行乘以一个非零常数
3.将一行的若干倍加到另一行上
我们的目标是通过初等变换将增广矩阵转换为行最简形式，这样我们就可以直接读取方程的解。

现在，我们开始进行初等变换：
第一步，我们可以交换第一行和第二行，得到：
2 ]
[ 2 1 -1 | 1 ]
[-1 2 -1 | 3 ]
第三行的第一个元素：
1 -1 | 1 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
第三步，我们可以将第二行减去第一行的两倍，以消去第二行的第一个元素：
[ 1 -1 2 | 2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 3 | 5 ]
除以3，以将第三个主元素变为1：
2 ]
[ 0 3 -5 | -3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
，以消去第二行的第三个元素：
]
[ 0 3 0 | 7 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
元素变为1：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
：
1 0 | 7/3 ]
[ 0 0 1 | 5/3 ]
我们可以直接读取方程组的解：
3
z = 5/3
应用中，可能需要根据具体情况进行更多的初等变换步骤。

利用矩阵的初等变换解线性方程组主要利用矩阵的初等变换和矩阵的初等列变换混用这两种方法解一般线性方程组，前一种方法在许多情况下应用起来比较方便。

并简单介绍了用矩阵的初等行变换解一般线性方程组的方法。

文章最后把这三种方法做了详细比较，更好地突出了用矩阵的初等列变换解一般线性方程组这种方法的简便性1.本文分两个部分，即用矩阵的初等行变换解一般线性方程组，综合运用矩阵的初等行变换和列变换解一般线性方程组。

此篇文章对上述两种方法都作了理论证明，也列出了每种方法的求解步骤。

最后都分别列出了几个例题，进一步表明每种方法的求解步骤。

另外，结合北京大学数学系编的《高等代数》课本，细说了一下用矩阵的初等行变换求解一般线性方程组的方法。

最后，把这三种方法进行了详细的比较，突显出了用矩阵的初等列变换解线性方程组这种方法的简便。

对于一个一般非齐次线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎩（1）若设111212122212n n m m mn a a a a a a A aa a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，12n x xX x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，12m b b B b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭则（1）式变为AX B = （2）2. 用矩阵的初等行变换求解线性方程组令(),D A B =，设1n D C E +⎛⎫= ⎪⎝⎭， （3）设矩阵A 的秩为r ，因为每对C 进行一次初等列变换，就相当于在C 的右边乘上一个初等矩阵。

于是，对C 进行一系列的初等列变换，就相当于在C 的右边乘上一系列的初等矩阵。

矩阵的初等变换与线性方程组求解矩阵在数学中扮演着重要的角色，它们被广泛用于各个领域的问题求解。

在矩阵中，初等变换是一种常用的工具，用于改变矩阵的形式，进而帮助我们解决线性方程组的求解问题。

本文将详细介绍矩阵的初等变换的概念和操作，以及如何利用初等变换来求解线性方程组。

一、初等变换的概念初等变换是指在满足一定规则下对矩阵进行的一系列基本操作。

根据初等变换的不同类型，可以将其划分为三类：交换两行或列、某行或列乘以非零常数、某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上。

通过这些操作，我们可以改变矩阵的行列式、秩、高斯消元等性质，从而为线性方程组的求解提供便利。

二、初等变换的操作1. 交换两行或列：通过交换矩阵中任意两行或两列的位置，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

2. 某行或列乘以非零常数：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

3. 某行或列乘以非零常数后加到另一行或列上：将矩阵中某一行或列的所有元素乘以一个非零常数，并加到另一行或列上，可以改变矩阵的行列式和秩，但不改变方程组的解。

三、利用初等变换，我们可以将线性方程组的系数矩阵通过一系列操作，转化为特殊形式的矩阵。

这个特殊形式的矩阵通常被称为行简化阶梯形矩阵或行最简矩阵。

行简化阶梯形矩阵的主对角线上的元素全为1，并且每个主对角线上方的元素全为0。

得到行简化阶梯形矩阵后，就可以利用高斯消元法等技巧，快速求解线性方程组的解。

通过矩阵变换的过程，我们可以发现行简化阶梯形矩阵的解可以直接得到，而不需要进行繁琐的计算。

四、实例分析为了更好地理解矩阵的初等变换与线性方程组求解的过程，我们来看一个具体的例子。

考虑以下线性方程组：x + y + z = 62x + 3y + 4z = 174x + 5y + 6z = 28将其转化为矩阵形式：( 1 1 1 | 6 )( 2 3 4 | 17 )( 4 5 6 | 28 )接下来，我们利用初等变换将矩阵转化为行简化阶梯形矩阵。

任意初等行列混合变换求解线性方程组冯林安;吴茂念【摘要】提出一种任意施行初等行列混合变换求解线性方程组的新方法，分两种情形：1．系数矩阵为可逆矩阵；2．系数矩阵为一般m×n矩阵，两种方法都简便易行。

%This paper gives a new method to solve the system of linear equations with elementary row and column trans formation, and discuss two cases： 1. Coefficient matrixes are invertible; 2. Cofficient matrixes are general m x n matri- xes. This method is easy to operate and the conclusion is significant.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(006)003【总页数】3页(P4-6)【关键词】初等矩阵;初等变换;可逆矩阵;秩;线性方程组【作者】冯林安;吴茂念【作者单位】贵州大学理学院,贵州贵阳550025;贵阳学院数学系,贵州贵阳550005;贵州大学理学院,贵州贵阳550025【正文语种】中文【中图分类】O151.2线性方程组的理论是代数学中的基本理论，它在数学以及其他自然科学领域有着广泛的应用。

关于它的求解方法——初等行变换法，几乎所有《线性代数》教材都有完善的介绍。

本文提出一种任意施行初等行列混合变换，并且对初等列变换不作任何标注来求解线性方程组的新方法，取得较为完善的结果，且该方法突破了传统的思维定式，因此有一定的理论及应用价值。

引理1 对矩阵A施行一次初等行变换就相当于在A的左边乘以一个相应的初等矩阵，对A施行一次初等列变换就相当于在A的右边乘以一个相应的初等矩阵。

初等变换可以同时进行行变换和列变换。

初等变换不会改变行列式的值，无论是行变换还是列变换，同时进行也不会改变行列式的值，因为每一步初等变换都不改变行列式的值。

比如求矩阵的逆，解方程组，单纯说初等变换的
话可以使行变换也可以是列变换。

在使用时候，还是要分情况：
1、求矩阵的秩（极大线性无关组）可以行初等变换和列初等变换混用，因为“经初等变换矩
阵的秩不变”。

（用可逆变换）
2、行列式求值可以随便使用行变换和列变换，以及其它手段。

行列式的计算只要得出结果
出来就行了。

3、解线性方程组只能用初等行变换，才能保证同解。

4、求矩阵的逆矩阵也只能用初等行变换（左右式A｜E）。

（或叠加排列式A／E只能列变换）
扩展资料
举例：
3x－y＋z＝3
2x＋y－3z＝1
x＋y＋z＝12
矩阵是把他们的系数单列出来，如果行列变换不形象方程的未知数的值的话，就是可以的，显然，行变换不会影响的，列变化其实也是可以的，只是未知数顺序不同而已。

基于列变换的非齐次线性方程组的解法发布时间：2021-09-03T02:23:13.727Z 来源：《教育学文摘》2021年18期作者：陈东升陈明璨[导读] 指出解非齐次线性方程组不能用初等列变换的原因. 证明了利用列交换（初等列变换）解非齐次线性方程组的相关定理，并通过例题进行了检验.该方法对行简化的阶梯形矩阵的左上角是或不是单位矩阵类型的非齐次线性方程组，能有效、方便的求出其基础解系和通解.陈东升陈明璨（郑州商学院通识教育中心数学教研室，河南巩义451200）（河南经贸职业学院管理学院，河南郑州 450000）摘要：指出解非齐次线性方程组不能用初等列变换的原因. 证明了利用列交换（初等列变换）解非齐次线性方程组的相关定理，并通过例题进行了检验.该方法对行简化的阶梯形矩阵的左上角是或不是单位矩阵类型的非齐次线性方程组，能有效、方便的求出其基础解系和通解.关键词：非齐次线性方程组；基础解系；初等行变换；初等列变换；通解中图分类号：O151.2 文献标识码：A 0. 引言解非齐次线性方程组时，通常要对增广矩阵施行初等行变换，一般不用初等列变换，这是由于增广矩阵中元素的位置与各未知量及常数项是对应的，如果进行列变换，各未知量及常数项的关系会产生混乱[1]. 由于矩阵的初等列变换在矩阵理论中也占有非常重要的地位，因此研究初等列变换解线性方程组，对于方程组的理论研究及实际应用都具有重要的意义.文献[3]、[4]作了一些列变换的探索，但方法比较繁琐，学生不易掌握，这是由于行、列同时交换容易造成混乱.本文对文献[2]的定理1进行推广，探讨对增广矩阵的前列对换的列初等变换解非齐次线性方程组的方法，该方法易于掌握，能有效、方便的求出非齐次线性方程组的基础解系和通解.1.非齐次线性方程组的通解2.结束语基础解系是解非齐次线性方程组的基础，目前大多数方法都用的是初等行变换求基础解系和通解[5]，因此从理论研究来说，探索列变换求基础解系和通解显得尤为突出，只有这样才能对称、平衡.本文探讨了列变换解非齐次线性方程组的方法，这种方法只要把握住通过列交换把行简化阶梯形矩阵的左上角变为单位矩阵这个要素即可求出基础解系和通解.其在理论和应用上都有一定的价值.参考文献:[1] 陈东升. .线性代数与空间解析几何案例教程[M]. 北京：高等教育出版社，2016.08:227-229.[2] 陈东升. 利用增广矩阵判定线性方程组的相容性[J]. 河南师范大学学报（自然科学版），1995,23（增刊）：49-51.[3] 冯林安，吴茂念. 任意行列混合变换解线性方程组[J]. 贵阳学院学报（自然科学版），2011,6(3):4-6.[4] 姚俊，文传军. 关于n元线性方程组求解的探讨[J]. 常州工学院学报，2004，17(4)：25-29.[5] 彭刚，刘广平. 线性方程组的一种新解法[J]. 数学学习与研究，2011（13）：84-85. 作者简介：陈东升，男，1957年12月生，理学学士，教授.研究方向：应用数学；陈明璨，男，1985年6月生，计算机硕士，讲师.研究方向：计算数学及应用课程项目：河南省精品资源共享课程——线性代数与空间解析几何（2015951）。