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函数极限的定义性质及作用

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函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。

就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在∆的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。

限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列{}n x ，若存在常数a ，对于任意0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，n x a ε-<成立，那么称a 是数列{}n x 的极限。

函数极限标准定义：设函数(),f x x 大于某一正数时有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数X ，使得当x X >时，n x A ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在无穷大处的极限。

设函数()f x 在0x 处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正数δ，使得当0x x δ-<时，0x x ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在0x 处的极限。

函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果()lim x af x →存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界性质 3（保序性） 设()()lim ,lim x ax af x b f x c →→==性质4（迫敛性）设00lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。

可以说，没有极限理论就没有微积分。

二、函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。

求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。

夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。

洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。

还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设n X {}是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε>0,总存在一个正整数N ，当n N >时,都有n X a -<ε,我们就称a 是数列n X {}的极限.记为lim n n X a →∞=.例1: 按定义证明0!1lim =∞→n n . 解:11112n n n n n =(-)(-)⋯1≤! 令1n <ε,则让n >ε1即可, 存在1N ε=[],当n N >时,不等式: ()()111n 1n 21n!n n =--⋯≤<ε成立,所以0!1lim =∞→n n2.利用极限四则运算法则应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为0,因此,为了利用四则运算定理计算数列或函数极限成为收敛数列或函数,需以原分子、原分母中随n 或x 增大最快的项除分子、分母,使恒等变形后的分子、分母为满足数列或函数极限四则运算定理条件的收敛数列或函数,值得我们注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。

例2: 求nnn b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim ,其中1,1<<b a .解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式=1111lim111111lim11n n n n a b a a b ab b +→∞+→∞----==---- 3.利用夹逼性定理求极限当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等于公共值。

特别是当在连加或连乘的极限里,可通过各项或各因子的放大与缩小来获得所需的不等式。

例3:求{21n n+}的极限。

解: 对任意正整数n,显然有n n n n n n 221122=≤+<, 而01→n ,02→n ,由夹逼性定理得01lim 2=+∞→nnn4.利用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

例4：求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1x+，最后凑指数部分。

解：2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→5.利迫敛性来求极限设00lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==,且在某),('0δx u o 内有()()()f x h x g x ≤≤,则lim ()x x h x A →=例5：求01lim x x x-→⎡⎤⎢⎥⎣⎦的极限 解： 11x 1x x⎡⎤≤<-⎢⎥⎣⎦. 且0lim(1)1x x -→-=由迫敛性知∴ 01lim x x x -→⎡⎤⎢⎥⎣⎦做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

6.用洛必达法则求极限洛必达法则为：假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数()x ƒ和()g x 满足：1（）()x ƒ和()g x 的极限都是0或都是无穷大；（2）()x ƒ和()g x 都可导，且()g x 的导数不为0；（3）'()lim '()f x g x 存在（或是无穷大），则极限()lim ()f xg x 也一定存在，且等于'()lim'()f x g x ，即()lim ()f x g x ='()lim '()f xg x 。

利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。

例6:求20cos 1limx xx -→解: 是00待定型20cos 1lim xx x -→=212sin lim 0=→x x x 注：运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导。

2、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

7.利用定积分求极限设函数()f x 在区间[],a b 上连续，将区间[],a b 分成n 个子区间[](](](]00112,,,,,,,,.i a x x x x x x b ⋅⋅⋅在每个子区()1,i i x x -任取一点()i 1,2,,n i ξ=⋯，作和式（见右下图），当0λ→时，(λ属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间()a,b 的定积分。

要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1、定积分的概念及性质。

2、定积分的换元法和分部积分法，3、变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿（Newton ）—莱布尼兹（Leibniz ）公式。

要求一般理解与掌握的内容有：4、广义积分的概念与计算。

例7:求1123lim (0)p p p pp n n p n+→+∞+++∧+> 解: )0(321lim1>++++++∞→p n n p p p p p n =11lim ()n p n i i n n→+∞=∑设px x f =)(,则)(x f 在[]0,1内连续,],1[,1ni n i n i n x i i -∈==∆ξ取 所以, p i n if )()(=ξ所以原式=111+=⎰p dx x p难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。

8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。

在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。

例8：求21limsin x x x →∞的值 解：因为21lim x x →∞是无穷小量，而limsin x x →∞是有界变量，所以21lim sin x x x→∞还是无穷小量，即21lim sin 0x x x→∞=9.利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程。

最常用的方法就是等价无穷小的代换。

例9： 已知lim ,lim n n n n x a y b →∞→∞==试证11211limn m n x y x y L x y ab n-→∞+++=证明：令,n n n n x a y b αβ=+=则121111||||||0||0n n n n n L L Mnnαβ+αβ+αβ β+ββ--++<≤→时，,0n n αβ→于是121111211()()()()()()limn n n n m n a b a b L a b x y x y L x y n nαβαβαβ--→∞++++++++++++=12121211nnn n n L L L ab abnnnβ+ββα+α+ααβ+αβ+αβ-+++=+++易知当n →∞时第二、三项趋于零，现证第四项极限亦为零。

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第三节函数的极限

第三节函数的极限


数列极限：
相当于
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无 限增大的运动过程中，函数的变化趋势。 函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果 对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确 定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
一、 自变量 x x0 时函数的极限
如何刻画 x x0 ?
即 x0 的去心 邻域， 是个较小的正数。
如何刻画对应函数值的变化？ 要有对应函数值，就要先使函数在 x0 的去心 邻域 内有定义，而函数在 x0 有无定义则无要求。 如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数 A ？
1. 自变量 x x0 时函数的极限定义
设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存 在常数 A ，对任意给定的正数 （无论它有多小），总 存在正数 ，使得当 x 满足 0 < | xx0 | < 时，对应的 函数值都有 | f (x) A |< ，则称 A 为函数 f (x) 当x x0 时的极限, 记作 或 几何解释:
有时找到使不等式| f (x) －A | < 成立的几个正数 ，
再取其最小者作为证明部分需要的 . 而证明部分的
思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到 ，
意味着满足定义条件的正数 存在，这就完成了证明。
2. 左极限与右极限（单侧极限） 左极限 :

右极限 : 易见，
x x0
其中 X 是个较大的数。 如何刻画对应函数值 f (x)的变化？ 要有对应函数值，首先要使函数在| x | > X 内有定义。
如何刻画对应的函数值 f (x) 无限接近于某个常数 A ？
1.
自变量 x 时函数的极限定义
函数极限的性质和收敛准则

函数极限的性质和收敛准则

函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。

在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。

一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。

也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。

这个性质可以通过反证法来证明。

假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。

2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。

也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。

这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。

3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。

也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。

这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。

4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。

二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。

那么函数f(x)在x→a时收敛。

使用极限的性质求解函数的连续性问题

使用极限的性质求解函数的连续性问题

使用极限的性质求解函数的连续性问题在数学中，函数的连续性问题一直是一个重要的研究领域。

为了解决这些问题，数学家们经常运用极限的性质进行推导和证明。

本文将通过几个例子来探讨如何使用极限的性质来求解函数的连续性问题。

一、函数极限的定义在讨论函数的连续性之前，我们首先需要了解函数极限的定义。

对于一个实数函数$f(x)$，当$x$趋近于某个实数$a$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，则我们称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x\to a} f(x) = L$。

二、极限运算法则在研究函数连续性问题时，经常需要运用极限运算法则来简化计算。

这些法则包括加减乘除、复合函数、函数比较等。

下面通过几个例子来说明如何使用这些极限运算法则。

例1：求解函数$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的极限。

我们可以通过因式分解将$f(x)$分解为$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$。

注意到当$x\neq 1$时，分母和分子都不为零，因此可以约去分子和分母的公因式$(x-1)$，得到$f(x) = x+1$。

显然，当$x$趋近于1时，$f(x)$趋近于2。

因此，$\lim_{x\to 1} f(x) = 2$。

三、函数连续性的定义在研究函数连续性问题时，我们需要了解函数连续性的定义。

对于一个函数$f(x)$，如果对于任意给定的$x=a$，函数在$x=a$处的极限存在且与函数在$x=a$处的取值相等，则称函数$f(x)$在$x=a$处连续。

四、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们判断函数是否连续。

1. 有界性：连续函数在一个闭区间上一定有界。

2. 介值性：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a) \neq f(b)$，则对于介于$f(a)$和$f(b)$之间的任意实数$L$，存在一个实数$c$，使得$f(c)=L$。

函数的limsup和liminf的定义

函数的limsup和liminf的定义

函数的limsup和liminf的定义在数学中，函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

其中，函数的limsup和liminf是极限的两种特殊形式，它们分别表示函数在某一点附近最大值和最小值的极限。

下面，我们将详细介绍函数的limsup和liminf的定义及其应用。

一、limsup的定义函数的limsup是指函数在某一点附近最大值的极限。

具体地说，设函数f(x)在点a附近有定义，则函数f(x)在点a的limsup为：limsup┬(x→a)⁡〖f(x)〗=lim┬(n→∞)⁡〖sup┬{x∈(a-1/n,a+1/n)}⁡f(x)〗其中，sup表示上确界，即在给定区间内函数的最大值。

也就是说，limsup是指在a点附近取一个无限小的区间，然后在这个区间内取函数的最大值，然后再求这个最大值的极限值。

如果这个极限值存在，那么它就是函数在点a的limsup。

二、liminf的定义函数的liminf是指函数在某一点附近最小值的极限。

具体地说，设函数f(x)在点a附近有定义，则函数f(x)在点a的liminf为：l iminf┬(x→a)⁡〖f(x)〗=lim┬(n→∞)⁡〖inf┬{x∈(a-1/n,a+1/n)}⁡f(x)〗其中，inf表示下确界，即在给定区间内函数的最小值。

也就是说，liminf是指在a点附近取一个无限小的区间，然后在这个区间内取函数的最小值，然后再求这个最小值的极限值。

如果这个极限值存在，那么它就是函数在点a的liminf。

三、函数的limsup和liminf的应用函数的limsup和liminf在实际应用中有着广泛的应用。

其中，以下几点是比较典型的应用：1. 判断函数的收敛性函数的limsup和liminf可以帮助我们判断函数的收敛性。

如果函数的limsup和liminf相等，且都存在，那么函数就是收敛的；如果limsup 和liminf不相等，或其中一个不存在，那么函数就是发散的。