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3-2函数极限的性质

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数学分析数学与信息科学学院罗仕乐3.2 函数极限的性质一.极限的性质二. 利用函数极限的性质计算某些函数的极限定理3.2如果当x →x 0时f (x )的极限存, 那么这极限是唯一的.证明，x x f B A 时的极限当都是设0,→,)(0,0,0101e d d e <-<-<>$>"A x f x x 时有当则,)(0,0202e d d <-<-<>$B x f x x 时有当故有同时成立时则当取，x x )2(),1(0),,min(021d d d d <-<=.2)()())(())((e <-+-≤---=-B x f A x f B x f A x f B ..即其极限唯一的任意性得由B A =e (1)(2)一函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性定理3.3 若在某个过程下,)(x f 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(x f 有界.若极限)(lim 0x f xx →存在，)(x f 0x 则函数在的某一空心邻域上有界。

证明有使得则取设);(,0,1,)(lim 0d de x U x A xf xx o ∈">$==→.1)(1)(+<⇒<-A x f A x f .);()(0内有界在即d x U x f o3. 局部保号性).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim 000<>d ∈>d $<>=→x f x f x U x A A A x f x x 或时当则或且若定理3.4证明设A ＞0,对任何()0,,A-,r A r e ∈=取d则存在＞0,使得对一切()0;x U x d ∈有(),f x A r e -=＞这就证得结论.对于A ＜0的情形可类似地证明.).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim 00≤≥≤≥d ∈>d $=→A A x f x f x U x A x f xx或则或时当且若推论定理3.4(函数极限的局部保号性)如果f (x )→A (x →x 0),而且A >0(或A <0),那么对任何正数r<A (或r <-A),在x 0的某一去心邻域内,有f (x )>r>0 (或f (x )<-r < 0).证明);(,0,),1,0(,00d d e x U x r A r A ∈">$-=∈">使得则取设.)(r A x f =->e 有.0的情形类似可证对于<r •推论如果在x 0的某一去心邻域内f (x )≥0(或f (x )≤0),而且)→A (x →x 0),那么A ≥0(或A ≤0).3. 局部保号性定理3.5(函数极限的保不等式性)).(lim )(lim ),()();()(),(0'00x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x →→≤≤→则内有极限都存在且在时如果d o ,)(lim ,)(lim 0B x g A x f xx xx ==→→设)1(),(0,0,0101x f A x x <-<-<>$>"e d d e 时有当则)2(.)(0,0202e d d +<<-<>$B x g x x 时有当于是有同时成立与不等式时则当令，x g x f x x )2(),1()()(,0},,,min{021'≤<-<=d d d d d ,)()(e e +<≤<-B x g x f A 4 保不等式).()(),,(,0,)(lim ,)(lim 00x g x f x U x BA B x g A x f x x x x <d ∈">d $<==→→有则且设推论定理3.6如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1)g (x )≤f (x )≤h (x ),(2)lim g (x )=A ,lim h (x )=A ,那么lim f (x )存在,且lim f (x )=A .证明),(0,0,0101x g A x x ，<-<-<>$>"e d d e 时有当按假设.)(0,0202e d d +<<-<>$A x h x x 时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,()()(0},,min{021x h x f x g x x ≤≤<-<=d d d d ,)()()(e e +<≤≤<-A x h x f x g A .)(lim )(0A x f ，A x f xx =<-→即由此得e 5 迫敛性A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0定理3.7设, 则BA x g x f x x ±=±→)()(lim 0BA x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0BAx g x f B x x =≠→)()(lim ,001）2）3）6 四则运算法则定理3.7之3）的证明只要证Bx g x x 1)(1lim 0=→，令02>=B e ，由Bx g x x =→)(lim 0，01>$d使得当100d <-<x x 时，有2)(BB x g <-，即22)()(BB B B x g B x g =-≥--≥0>"e , 仍然由B x g x x =→)(lim 0，.02>$d ，使得当200d <-<x x 时，有e 2)(2BB x g <-.取),m in(21d d d =，则当d <-<00x x 时，有e e =⋅<-≤-=22)(2)()(1222B BB x g B B x g B x g B B x g x x 1)(1lim=→即推论1).(lim )](lim[,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim )](lim[,,)(lim nnx f x f n x f =则是正整数而存在如果⑤定理的条件：)(lim ),(lim x g x f 存在商的情形还须加上分母的极限不为0⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限..已证明过以下几个极限：;cos cos lim ,sin sin lim ,lim ,lim 000000x x x x x x C C x x x x x x x x ====→→→→（注意前四个极限中极限就是函数值）利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：, 把所求极限化为基本极限, 代入基本, 即计算得所求极限.这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅[4]P37—38. 我们将陆续证明这些公式..2arctan lim ,01lim π±==±∞→∞→x xx x利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。

例１求01lim x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例２求.例３求.224sin sin lim 4==→ππx x .22cos lim 4=→x x π( 利用极限和) 3113lim . ( 1 )11x x x →-⎛⎫-- ⎪++⎝⎭).1tan (lim 4-→x x x πee +<<-11xa 只须)1(log )1(log e e +<<-a a x 又只须)}1(log ,11min{log e ed +-=a a 令时当d <<||0x )1(log 11log e d d e+<<<-<--a a x e e +<<-⇒11xa e<-|1|xa 即1lim 0=⇒→xx a 例4 证明)1(1lim 0>=→a a xx 证0>"e （不妨设ε＜1）e<-|1|xa 要使数学分析第3.2节.523735lim 233+++-∞→x x x x x 例6求例5求x ∞→x 註: 关于的有理分式当时的极限. 参阅[4]P37.11lim 1071--→x x x ).1)(1(121++++-=---a aaa a n n n[ 利用公式].74lim 222-=-++→B x BAx x x 求A 和B.1620(, .)33A B =-=补充题: 已知求极限方法举例例7.531lim 232+--→x x x x 求解)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=,03≠=531lim 232+--∴→x x x x )53(lim 1lim lim 22232+--=→→→x x x x x x 3123-=.37=小结:则有设,)(.1110n n na xa x a x f +++=- nn x x nx x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0n n n a x a x a +++=- 1100).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(00x Q x P =).(0x f =.,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例8.3214lim 21-+-→x x x x 求解)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .030==由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim 21∞=-+-→x x x x例9.321lim 221-+-→x x x x 求解.,,1分母的极限都是零分子时→x )(型.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x )1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim1++=→x x x .21=(消去零因子法)例10.147532lim 2323-+++∞→x x x x x 求解.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x )(型∞∞.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim xx x x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72=(无穷小因子分出法)小结:为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 00110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例11).21(lim 222nnn n n +++∞→ 求解是无穷小之和．时,∞→n 先变形再求极限.222221lim )21(lim nn n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2)1(21lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21=由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。

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高中二年级函数的极限与连续

高中二年级函数的极限与连续

高中二年级函数的极限与连续函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

而函数的极限与连续是函数的基本性质之一，也是高中数学课程中的重要内容。

本文将从极限的概念开始，逐步介绍函数的极限与连续。

1. 极限的概念函数的极限是指在某一点趋近于某个值时，函数的取值会无限接近于某个特定的值。

用符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a，f(x)表示函数f在x处的取值，L表示函数f在极限处的取值。

2. 函数的极限运算法则函数的极限运算法则是在计算函数极限时常用的规则，包括加减乘除法则、乘方法则、复合函数法则等。

这些法则可以简化函数极限的计算过程，提高计算的效率。

3. 函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点的极限存在且与该点处的函数值相等。

也就是说，在函数的定义域内，函数的每个点都是连续的。

连续性是函数在数学分析中的重要性质，它保证了函数的平滑性和定义域的连续性。

4. 连续函数与间断点根据函数的连续性，可以将函数分为连续函数和间断函数两类。

连续函数在其定义域内的每个点都是连续的，而间断函数在某些点上存在间断现象。

常见的间断点包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等，它们的特点和性质各不相同。

5. 极限与连续的应用函数的极限与连续性在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

例如，在微积分中，函数的极限与连续性是求导和积分的基础；在物理学中，函数的极限与连续性是描述物体运动和力学性质的数学工具。

结语：高中二年级函数的极限与连续是数学课程中的重要内容，通过学习和理解极限的概念、运算法则以及函数的连续性，我们能够更好地理解和应用函数。

在学习过程中，我们要注重实际问题的应用，培养逻辑思维和数学推理能力，提高数学解决问题的能力，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。

本文从极限的概念开始，逐步介绍了函数的极限与连续的相关内容。

希望读者能够通过学习掌握这些知识，提高数学水平和解决问题的能力。

数学必修二知识点归纳

数学必修二知识点归纳

数学必修二知识点归纳一、函数的概念与性质1. 函数的定义：函数是从一个集合（称为定义域）到另一个集合（称为值域）的映射，每个定义域中的元素都有一个唯一的值与之对应。

2. 函数的表示方法：常用f(x) = y，其中x是自变量，y是因变量。

3. 函数的性质：包括单调性、奇偶性、周期性和有界性等。

- 单调性：函数在某个区间内单调递增或递减。

- 奇偶性：函数可能是奇函数（f(-x) = -f(x)）或偶函数（f(-x) = f(x)）。

- 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x都有f(x + T) = f(x)，则称函数具有周期T。

- 有界性：函数的值在某个范围内，即存在上界和下界。

二、基本初等函数1. 幂函数：形如y = x^n的函数，其中n是实数。

2. 指数函数：形如y = a^x的函数，其中a > 0且a ≠ 1。

3. 对数函数：形如y = log_a(x)的函数，其中a > 0且a ≠ 1。

4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

- 正弦函数：y = sin(x)- 余弦函数：y = cos(x)- 正切函数：y = tan(x)三、函数的图像与变换1. 函数图像的绘制：通过坐标系中的点来表示函数的图像。

2. 函数的平移：包括水平平移（左加右减）和垂直平移（上加下减）。

3. 函数的伸缩：包括水平伸缩（y = af(x)）和垂直伸缩（y =f(bx)）。

4. 函数的对称性：函数图像关于x轴、y轴或原点的对称性。

四、函数的应用1. 实际问题的建模：将实际问题转化为函数关系式进行求解。

2. 最值问题：求解函数的最大值和最小值。

3. 函数的复合：两个或多个函数的组合，如(f ∘ g)(x) = f(g(x))。

五、极限与连续性1. 极限的概念：描述函数在某一点附近的行为。

2. 极限的性质：包括唯一性、局部有界性、保号性等。

3. 连续函数：在定义域内任意一点都连续的函数。

函数无界和极限存在的关系

函数无界和极限存在的关系

函数无界和极限存在的关系函数无界和极限存在的关系在求解数学问题时，函数无界和极限存在是两个常被研究的概念。

本文将详细介绍函数无界和极限存在的定义、性质以及二者之间的关系。

一、函数无界的定义和性质1. 函数无界的定义如果对于一个函数f(x)，在定义域的某个区间内，无论取多大的自变量值，函数值总是会出现越来越大或者越来越小的趋势，这个函数f(x)就是无界的。

以函数y = sinx为例，其定义域为实数集。

显然，该函数在整个定义域上都是有界的，但是当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值将不断在[-1,1]之间摇摆，因此该函数是无界的。

2. 函数无界的性质• 无界函数在某些区间内可能具有最大值或最小值，但是在整个定义域内却不存在。

• 一个函数如果是无界的，那么这个函数一定不是一致连续的，即它不能在定义域上保持一定精度的连续性。

• 一个函数如果是无界的，那么它不一定是发散的，因为某些表达式无界但仍然有界导致函数最终趋于某个值。

二、极限存在的定义和性质1. 极限存在的定义如果函数f(x)在某一点x0处，左极限和右极限都存在且相同，那么函数f(x)在x0处的极限就存在，记为lim f(x) = L（x→x0）其中L为函数f(x)在x0处的极限值。

以函数y = 1 / x为例，当x趋近于0时，函数值将无穷逼近于正无穷或负无穷，因此该函数在x=0处的极限不存在。

2. 极限的性质• 极限具有唯一性，即一个函数的极限只有一个。

• 常数函数的极限恒等于该常数。

• 有理函数在不等于分母以0为根的点上存在极限。

三、函数无界和极限的关系1. 无界函数可能存在极限一个函数无界不代表它一定不存在极限。

例如函数y = x / (x -1)，当x无限接近1时，该函数值无限大但具有极限值2。

2. 极限存在不代表函数有界一个函数的极限存在并不意味着该函数是有界的。

例如函数y = x，在整个定义域上都是无界的，但是当x趋近于0时，函数值趋近于0，具有极限。

五大类函数图像及性质总结

五大类函数图像及性质总结

五大类函数图像及性质总结一次函数的图像是一条直线，写作形式为y=ax+b（a≠0），它的性质有以下几点：（1）任意两点确定一条直线，当给定任意两个点（x1,y1）,（x2,y2），则直线的斜率为：【m= (y1-y2)/(x1-x2)】（2）当x=0时，y=b，可以得出结论，一次函数图像通过原点。

（3）此外，一次函数图像也具有一定的对称性，当x=x时，y=b，则y=-(x-x)+b，图像对称轴为y=x。

二、二次函数图像及性质二次函数的图像为抛物线，写作形式为y=ax+bx+c（a≠0），它的性质有以下几点：（1）当x=0，y=c，可以得出结论，二次函数图像通过原点。

（2）当x=x,y=0时，判断抛物线是向上还是向下凹，只需判断系数a的正负性即可：若a>0，则抛物线向上凹；若a<0，则抛物线向下凹。

（3）此外，当y＝0时，可得出二次函数的两个根：【x = [-b± (b-4ac)]/(2a)】。

三、单调函数图像及性质单调函数的图像为一次或多次函数的图像，它的性质有以下几点：（1）单调函数图像在任意一点上发生的变化方向是确定的，不管是向上还是向下，它只能沿着一个方向变化；（2）单调函数图像满足单调性；（3）单调函数图像是连续变化图像，就是说图像在每到一个点处，图像均无折现现象。

四、指数函数图像及性质指数函数的图像为一条曲线，写作形式为y=ax（a≠0），它的性质有以下几点：（1）当x=0，y=a，可以得出结论，指数函数图像通过原点。

（2）指数函数图像具有一定的对称性，当x=x时，y=a，则y=a/x，图像对称轴为y=x。

（3）此外，指数函数与有理函数具有相同的极限性质，当x趋于正无穷时，y趋于正无穷；当x趋于负无穷时，y趋于零。

五、对数函数图像及性质对数函数的图像为一条曲线，写作形式为y=loga(x)（a>0，a≠1），它的性质有以下几点：（1）当x=1，y=loga(1)，可以得出结论，对数函数图像通过原点。