2018年高考数学一轮复习专题5.5数系的扩充和复数的引入(讲)

=3 2 × 1 × -
1
2
-1 =-6.
(3)设 a,b 的夹角为 θ.∵|a|=1,|b|= 2,且 a⊥(a-b),
2
∴a·
(a-b)=a2-a·
b=1-1× 2×cos θ=0,∴cos θ= ,
2
2
∴向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos θ= .
2
-24考点1
考点2
考点3
考点 2
但对于向量a,b却有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),则b=c不一定成立,
原因是a·b=|a||b|cos θ,当cos θ=0时,b与c不一定相等.
4.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于
a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一
当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6.
故 ·的最大值为 6.
(方法 2)设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),
=(x+2,y), ·=2x+4,故 ·的最大值为 6.
-20考点1
考点2
考点3
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(2)已知点 P 在圆 x2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 ·
6
的最大值为
.
思考求向量数量积的运算有几种形式?
-17考点1
考点2
考点3
解析：(1)法一(基向量法):
如图所示,选取, 为基底,则 = + + = +
1
1
1

选修2-2 第三章（选修1-2第三章） 数系的扩充与复数的引入第58课时 数系的扩充与复数的引入【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标考试大纲要求：“能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．”因此，高考将重点考查复数代数形式的四则运算，也可能与向量结合考查加、减运算的几何意义，或者以复数的代数运算为载体命制创新题，但总体上难度不大．考点一: 复数的概念1.虚数单位i 的平方等于－1，实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.2.形如a +b i （a 、b ∈R ）的数，叫做复数.全体复数所成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示.3.复数表示成a +b i 的形式叫做复数的代数形式.4.对于复数a +b i,当且仅当b =0时，它是实数a ;当且仅当a =b =0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a =0且b ≠0时，叫做纯虚数； a 与b 分别叫做复数a +b i 的实部与虚部.5.如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.6.当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.特别地,实数a 的共轭复数仍是它本身.7.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.8.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z =a +b i −−−→←一一对应复平面内的点Z （a,b ），这是复数的一个几何意义.9.在复数集C 中，当b 2－4ac <0时，实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为x 1=a b ac b 2i 42-+-,x 2=a b ac b 2i 42---.此时,x 1+x 2= －ab ,x 1x 2=ac .考点二: 复数的运算1.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即 （a +b i ）±（c +d i ）=（a ±c ）+（b ±d ）i.2.设z 1=a +b i,z 2=c +d i 是任意两个复数，那么它们的积（a+bi ）（c+di ）= （ac －bd ）+（bc +ad ）i;它们的商（a +b i ）÷（c +d i ）=22d c bd ac +++22dc adbc +-i （c +d i ≠0）. 3.在进行复数除法运算时，通常先把（a +b i ）÷（c +d i ）写成iid c b a ++的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数（c －d i ）.考点三: 复数与平面向量、三角函数的联系1.设复平面内的点Z （a,b ）表示复数z =a+b i,则复数Z 用向量OZ表示.2.复数加法的几何意义是按向量加法的平行四边形法则进行.3.复数减法的几何意义是按向量减法的三角形法则进行.4.复数z =a+b i 的模r =22b a +,复数z 的的模常用|z |表示.5.复数z 的模为r ,辐角为θ，则复数z 的三角形式是r （cos θ+isin θ）.6.两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和.【小题热身】明确考点，自省反思1. (江苏卷)设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为________.2. (2009江苏卷)若复数12429,69,z i z i =+=+其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 ．3.(2008江苏卷)若将复数11ii+-表示为(,,a bi ab R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ．【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例 1. i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，）思路透析: 238238234567844i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅+=--++--+=-.点评:复数是高中数学的重要内容，是解决数学的重要工具，本题考查了复数的概念及复数的引入原则,介绍了21i =-的实际应用,属基础运算题.本题中含有8项纯虚数式,其本身蕴藏减一定的规律,考生在书写这些规律时出现了一些小错误,解题过程中应当充分把握住21i =-的不断的循环使用,找出其中的规律,化简并求值.例2.若cos sin z i θθ=+（i 虚数单位），则21z =-使的θ的值可能是 .思路透析:22(cos sin )cos2sin 2z i i θθθθ=+=+,由21z =-可得cos 21,sin 20,θθ=-⎧⎨=⎩ 解之得22,k k Z θππ=+∈,即得,2k k Z πθπ=+∈,点评:本题以复数的三角形式为命题背景,考查了复数的三角运算及三角函数方程的求解,体现了复数的产生与引入的过程.部分考三角方程的求不过关,解题过程中出现不少考生选择了B 答案,对于复数的三角形式其符合21z =-的结论应当有两个, 即z i =±,如果从这个本原上去分析问题,则结论来得更快,正确率也高.例3.已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=w wz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.思路透析:解法一i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， i 3|i |i25+=-+-=∴z . 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . 解法二: 设ib a w +=R)(∈b a 、b a b a 2i 2i 34i +-=-+，得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ,以下解法同解法一.点评:本题考查复数的有关知识及实系数一元二次方程，若有虚根必成对出现这一灵活性，考查复数及共轭复数的有关知识根的规律：复系数一元n 次方程有且只有n 个根，实系数一元n 次方程的虚根成对共轭出现.例4.复平面上动点z 1的轨迹方程为：|z 1-z 0|＝|z 1|，z 0≠0，另一动点z 满足z 1·z=-1，求点z 的轨迹.思路透析:由|z 1-z 0|＝|z 1|，知点z 1的轨迹为连结原点O 和定点z 0的线段的垂直平分线．将此式整体代入点z1的方程，得011||||z z z--=- . 即011||||z z z +=,两边同乘以0||z z 得001||||z z z z +=. ∴在复平面内, 点z 的轨迹是以01z -对应的点为圆心, 01||z 为半径的圆（除去原点）. 点评:解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力. 【即时测评】学以致用，小试牛刀1. 若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -22. 复数43i1+2i+的实部是( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3.（宁夏海南卷）已知复数1z =，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= ( )A.12 B. 14C. 1D. 4 4. 已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是( )A. 45p q =-=，B. 45p q ==，C. 45p q =-=-，D. 45p q ==-，【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题: 1. i 是虚数单位，51034ii-+=+ ．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）2. 若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为 . 3. 如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是 .4. 若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一个根为1i +（i 是虚数单位），则=q ．5. 定义运算bc ad d c b a-=，若复数x 满足==x x ixi 则,22322 . 6. 对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 二、解答题:7.如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0，3+2i ，-2＋4i ，试求：（Ⅰ）AO 表示的复数，BC表示的复数； （Ⅱ）对角线CA表示的复数.8.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n －1，n ∈N ｝． （Ⅰ）设α是方程x ＋21=x的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z ．第58课时 数系的扩充与复数的引入参考答案【小题热身】1. 22. -203. 1 【即时测评】1. C2. C3. B4. A【课后作业】一、填空题: 1. 12i + 2. 833. 14. 25. 2-±6. ②④ 二、解答题:7.解析:（Ⅰ）∵AO OA =- ，∴AO表示的复数－3－2i ， ∵BC ＝AO ，∴BC表示的复数－3－2i ，（Ⅱ）∵CA OA OC =- ，∴CA表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i.8.解析:（Ⅰ）∵α是方程x 2－2x ＋1＝0的根 ∴α1＝22（1＋i ）或α2＝22（1－i ）当α1＝22（1＋i ）时，∵α12＝i ，α12n －1＝1121)(αααn n i = ∴)}1(22),1(22),1(22),1(22{}1,,1,{11111i i i i i iM -+---+=--=ααααα当α2＝22（1－i ）时，∵α22＝－i ,∴12}1,,1,{2222ααααααM i i M =--= ∴M α＝)1(22),1(22),1(22),1(22{i i i i -+---+｝ （Ⅱ）证明：∵ω∈M z ，∴存在M ∈N ，使得ω＝z 2m －1于是对任意n ∈N ，ω2n －1＝z (2m －1)(2n －1)由于（2m －1）（2n －1）是正奇数，ω2n －1∈M z ，∴M ω⊆M z ．。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数5.5 复数教师用书1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 A解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 答案 C解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3．(2016·嘉兴一模)设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B. 4．i2 011＋i2 012＋i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＝________.答案 1解析 原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一 复数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 (1)A (2)A (3)1解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i＝1－i ，∴其实部为1. 引申探究1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值． 解 (1＋i)(2－3i)＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ， 所以a ＝5，b ＝－1.2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部． 解 z ＝2＋3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)(2016·苏北四市调研二)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)A (2)2i解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i1－2i＝＋a＋5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)， 则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4， 因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2， 又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 题型二 复数的运算 命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________.答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝＋＋－＋＝5i5＝i. (3)原式＝[＋22]6＋2＋33＋232＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |等于( ) A ．1 B ．－1 C.45＋35i D.45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i ＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.(2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i (2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________.(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________.答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i)2 017＝[1＋2－＋]2 017＝i2 017＝i.(3)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 017＝＋231＋23i＋(21－i )[(21－i)2]1 008 ＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i. 题型三 复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2) 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．12．解决复数问题的实数化思想典例 (14分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题的易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解． 规范解答解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， [4分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[6分] 根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－a 2＋b 2＝－6，[8分]解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. [10分]故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[14分]1．(2016·绍兴二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b 等于( ) A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4.2．(2016·杭州质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4答案 D解析 ∵2i－a 1－i＝2i －a＋－＋＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4. 3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析 由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2016·杭州模拟)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.5．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数个答案 C解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．6．(2016·台州五校联考一)集合M ＝{4，－3m ＋(m －3)i}(其中i 为虚数单位)，N ＝{－9,3}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．3或－3D ．3答案 D解析 由题意可知－3m ＋(m －3)i 必为实数，则m ＝3，经检验符合题意．*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i 1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定答案 A解析 ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i ＝＋＋2＝12＋32i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2， ∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．(2016·温州高三8月模拟)已知i 是虚数单位，则满足z －i ＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 ∵z －i ＝|3＋4i|＝5，∴z ＝5＋i ，∴复数z 在复平面上对应点在第一象限．9．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，23) 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 10．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．11．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i )2 017＝________. 答案 i解析 由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1，所以(m ＋n i m －n i )2 017＝(1＋i 1－i)2 017＝i 2 017＝i. 12．已知i 为虚数单位，则5－i 1＋i ＝________. 答案 2－3i解析 5－i 1＋i ＝－－＋－＝5－6i －12＝2－3i. 13．(2016·金华、丽水、衢州十二校高三8月联考)设a ∈R ，若复数z ＝a ＋i 1＋i(i 为虚数单位)的实部和虚部相等，则a ＝________，|z |＝________.答案 0 22 解析a ＋i 1＋i ＝a ＋－2＝a ＋12＋1－a 2i ， 由a ＋12＝1－a 2，可得a ＝0，∴z ＝12＋12i ，z ＝12－12i ，∴|z |＝22. 14．(2016·浙江名校高三第二次联考)已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z2＋az ＝0，则实数a ＝________，|z ＋a |＝________.答案 2 2 3 解析 z ＝1＋3i ，由z 2＋az ＝0，得(1＋3i)2＋a (1－3i)＝0，∴－2＋a ＋(23－3a )i ＝0，∴a ＝2，∴z ＋2＝3－3i ，∴|z ＋a |＝2 3. *15.若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案 －2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知， ⎩⎨⎧ ＋2＋－2＝－b ，＋2－2＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.。

+
3 4
������������, ������������
=
������������
−
������������ .
故������������ ·������������ =
1 2
������������
+
3 4
������������
·(������������
−
������������ )=34
-4-
知识梳理
双基自测
自测点评
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(5)已知两非零向量a与
b,a⊥b⇔a·b=0⇔
x1x2+y1y2=;0a∥b⇔a·b=±|a||b|.
(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立),即
|x1x2+y1y2|≤ ������12 + ������12 · ������22 + ������22.
-11-
)
(6)若������������ ∥ ������������,则 A,B,C 三点共线. (
)
(7)在△ABC 中,若������������ ·������������<0,则△ABC 为钝角三角形. (
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
)
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答案
知识梳理
双基自测
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知识梳理
双基自测
自测点评
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2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设(1)向数量量a积=:(ax·1b,y=1)|,ab|=|b(|xc2o,ys2θ),=θ为向量ax,b1x的2+夹y1y角2. .
(2)模:|a|= ������·������ = ������12 + ������12. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离