相交线练习1

七年级下册第5章《相交线与平行线》解答题专项练习（一）1．如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．在下列解答中，填空：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（）．∴∠ABC＝∠BCD（）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（）（）．∴∠PBC＝（）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（），∠2＝∠BCD﹣（），∴∠1＝∠2（等量代换）．2．综合探究：已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．3．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．4．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为a（0°＜α≤45°），得到△ABC'．BC'交CD于O．（1）当α＝度时，AB∥DC；当旋转到图③所示位置时，α＝度．（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC'+∠CAC'+∠BDC值的大小变化情况，并说明理由．5．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．6．已知：如图，DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．证明：∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），∴∠DGH＝∠EHF＝90°（）．∴DB∥EC（）．∴∠C＝（）．∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝（）．∴DF∥AC（）．∴∠A＝∠F（）．7．如图，在△ABC的三边上有D，E，F三点，点G在线段DF上，∠1与∠2互补，∠3＝∠C．（1）若∠C＝40°，求∠BFD的度数；（2）判断DE与BC的位置关系，并说明理由．8．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD＝4：5，求∠BOD的度数．9．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？为什么？10．平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．11．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠COB，OF是∠EOD的角平分线．（1）说明：∠AOD＝2∠COE；（2）若∠AOC＝50°，求∠EOF的度数；（3）若∠BOF＝15°，求∠AOC的度数．12．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF＝∠EFH．（1）直接写出∠EFH的度数为；（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为．13．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC 的度数．14．已知：直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．15．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．参考答案1．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．∵∠P＝∠Q（已知），∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．2．解：（1）如图1，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，∵GM⊥GN，∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°；答：∠AMG+∠CNG的度数为90°；（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∥CD，∴∠KGN＝∠GND＝α，∵GK∥AB，∠BMG＝40°，∴∠MGK＝∠BMG＝40°，∵MG平分∠BMP，∴∠GMP＝∠BMG＝40°，∴∠BMP＝80°，∵ND平分∠GNP，∴∠DNP＝∠GND＝α，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN＝∠DNP＝α，∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°．3．解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD．∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；（2）如图，过点F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD．∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．∵∠EFG＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）α+β＝300°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°．即α﹣30°+β﹣90°＝180°，整理得α+β＝180°+120°＝300°．4．解：（1）∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD＝30°，∴∠CAC'＝α＝15°．当旋转到图③所示位置时，∠C'AB＝45°，∴α＝∠C'AB＝45°；故答案为：15；45；（2）∠DBC'+∠CAC'+∠BDC值的大小不变，理由如下：设BC'与CD交于点H，如图②所示：∵∠EHC'＝∠BDC+∠DBC'，∠CEC'＝∠CAC'+∠C，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC＝∠EHC'+∠CEC'﹣∠C，∵∠EHC'+∠CEC'+∠C'＝180°，∴∠EHC'+∠CEC'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC＝135°﹣∠C＝135°﹣30°＝105°，即∠DBC'+∠CAC'+∠BDC值的大小不变．5．解：（1）DE∥BC，理由如下：∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，∴∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠B，∴∠5＝∠B，∴DE∥BC，（2）∵DE平分∠ADC，∴∠5＝∠6，∵DE∥BC，∴∠5＝∠B，∵∠2＝3∠B，∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠2＝108°，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝72°．6．解：∵DB⊥AF于点G，EC⊥AF于点H（已知），∴∠DGH＝∠EHF＝90°（垂直的定义），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠DBA（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠D＝∠DBA（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠DBA，两直线平行，同位角相等；∠DBA，等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．7．解：（1）∵∠1与∠2互补，∴AC∥DF，∴∠BFD＝∠C＝40°；（2）DE∥BC，理由如下：由（1）可知：∠BFD＝∠C，∵∠C＝∠3，∴∠BFD＝∠3，∴DE∥BC．8．解：（1）∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝4x，则∠EOD＝5x，∴5x+4x＝180°，解得x＝20°，则∠EOC＝80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°．9．解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，∠BOD＝∠AOC＝75°，∴2x+3x＝75°，解得x＝15°，则2x＝30°，3x＝45°，∴∠BOE＝30°；（2）∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝75°，∴∠AOC＝∠AOF．10．解：（1）∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；（2）∵∠AOE＝x°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴；∴∠AOE＝2∠BOD；（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．11．解：（1）∵OE平分∠COB，∴∠COE＝∠COB，∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD＝2∠COE；（2）∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∴∠EOC＝∠BOC＝65°，∴∠DOE＝180°﹣∠EOC＝180°﹣65°＝115°，∵OF平分∠DOE，∴∠EOF＝∠DOE＝57.5°；（3）设∠AOC＝∠BOD＝α，则∠DOF＝α+15°，∴∠EOF＝∠DOF＝α+15°，∴∠EOB＝∠EOF+∠BOF＝α+30°，∴∠COB＝2∠EOB＝2α+60°，而∠COB+∠BOD＝180°，即，3α+60°＝180°，解得，α＝40°，即，∠AOC＝40°．12．解：（1）过点F作MN∥AB，如图1所示：则∠BEF＝∠EFM，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠DHF＝∠HFM，∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，∵∠AEF+∠CHF＝∠EFH，故∠EFH＝108°，故答案为108°；（2）过点F作FF′∥AB，过点M作MM′∥AB．∵AB∥CD，∴FF′∥MM′∥AB∥CD，∴∠F′FH＝∠FHD，∴∠3＝∠EFH﹣∠F′FH＝108°﹣∠FHD，∴∠M′MF＝∠3＝108°﹣∠FHD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝，∵MM′∥CD，∴∠M′MH＝∠1，∴∠FMH+108°﹣∠FHD＝，∴∠FHD﹣2∠FMH＝36°；（3）延长NK交CD于点R，∵∠AEF+∠CHF＝∠EFH，即∠1+∠2＝∠3，而∠1+∠2+∠3＝360°，故∠1+∠2＝252°，设∠NEB＝α，则∠PEN＝2∠NEB＝2α，则∠1＝∠PEB＝3α，而∠2＝180°﹣∠4，故3α﹣∠4＝72°，则2∠FHD﹣3∠ENK＝2∠4﹣3（∠NKB﹣∠NEB）＝2∠4﹣3（∠4﹣α）＝3α﹣∠4＝72°，故答案为72°．13．解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．14．（1）证明：∵EM∥FN，∴∠EFN＝∠FEM．∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．∴∠CFE＝∠BEF．∴AB∥CD．（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°，∵FN平分∠CFE，∴∠CFE＝2∠CFN，∵∠AEF＝2∠CFN，∴∠AEF＝∠CFE＝90°，∴∠CFN＝∠EFN＝45°，∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，同理：∠AEM＝∠GEM＝135°．∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．15．解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．。

新初中数学相交线与平行线技巧及练习题附答案(1)一、选择题1．把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．82.5°【答案】C【解析】【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．【详解】如图，作直线l平行于直角三角板的斜边，可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°，故∠1的度数是：45°+30°=75°，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．2．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是()A．50°B．70°C．80°D．110°【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BAD=∠1，再根据AD是∠BAC的平分线，进而可得∠BAC的度数，再根据补角定义可得答案．【详解】因为a∥b，所以∠1=∠BAD=50°，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAC=2∠BAD=100°，所以∠2=180°-∠BAC=180°-100°=80°.故本题正确答案为C.【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等．3．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG平分∠AEF，如果∠1=32°，那么∠2的度数是()A．64°B．68°C．58°D．60°【答案】A【解析】【分析】首先根据平行线性质得出∠1=∠AEG，再进一步利用角平分线性质可得∠AEF的度数，最后再利用平行线性质进一步求解即可.【详解】∵AB∥CD，∴∠1=∠AEG．∵EG平分∠AEF，∴∠AEF=2∠AEG，∴∠AEF=2∠1=64°，∵AB∥CD，∴∠2=64°．故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线性质以及平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.4．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是（）A．∠BAO与∠CAO相等B．∠BAC与∠ABD互补C．∠BAO与∠ABO互余D．∠ABO与∠DBO不等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B正确；因AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A正确，选项D不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A正确，故选D.5．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）A．∠D＝∠DCE B．∠D＋∠ACD＝180° C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.【详解】A.由∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；D.由∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．7．如图，下列推理错误的是( )A．因为∠1＝∠2，所以c∥d B．因为∠3＝∠4，所以c∥dC．因为∠1＝∠3，所以a∥b D．因为∠1＝∠4，所以a∥b【答案】C【解析】分析：由平行线的判定方法得出A、B、C正确，D错误；即可得出结论．详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c∥d，故正确；根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c∥d，故正确；因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a∥b，故正确.故选：C.点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．8．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB ∥CD ，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB ∥CD ，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．9．如图，下列能判定AB CD ∥的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒； （2）12∠=∠；（3）34∠=∠； （4）5B ∠=∠．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可.【详解】∵180B BCD ∠+∠=︒，∴AB ∥CD ，故（1）正确；∵12∠=∠，∴AD ∥BC ，故（2）不符合题意；∵34∠=∠，∴AB ∥CD ，故（3）正确；∵5B ∠=∠，∴AB ∥CD ，故（4）正确；故选：C.【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记定理及两个角之间的位置关系是解题的关键.10．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是( )A ．37.5°B ．75°C ．50°D ．65°【答案】D【解析】【分析】 先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．【详解】）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，∴∠1=180°-∠3=50°，∵∠2-∠1=15°，∴∠2=15°+∠1=65°；故答案为D.【点睛】本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.11．若a ⊥b ，c ⊥d ，则a 与c 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都不对【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：①当b ∥d 时；②当b 和d 相交但不垂直时；③当b 和d 垂直时；即可得出a 与c 的关系．【详解】当b ∥d 时a ∥c ；当b 和d 相交但不垂直时，a 与c 相交；当b 和d 垂直时，a 与c 垂直；a 和c 可能平行，也可能相交，还可能垂直．故选：D ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，掌握平行、垂直、相交的性质是解题的关键．12．如图，△ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是 ( )A ．线段ABB ．线段AC C ．线段BCD ．无法确定【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离定义得出答案．【详解】解：如图，三角形ABC 中，∠C=90°，则点B 到直线AC 的距离是：线段BC ．故选：C ．【点睛】本题考查点到之间的距离，正确把握相关定义是解题关键．13．若∠A 与∠B 是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )A ．互相垂直B ．互相平行C ．既不垂直也不平行D ．不能确定【答案】A【解析】∵∠A 与∠B 是对顶角，∴∠A=∠B ，又∵∠A 与∠B 互补，∴∠A+∠B=180°，可求∠A=90°．故选A ．14．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和3OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE 32，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC 23即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE V 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠OED=3OE ∴DE=2EH=3OE ∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵DE=3OE ∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为OE′=3a ∴DE 的最小值为3×3a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，故选A ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，D 、E 两点分别在边AC 、BC 上，BD 平分∠ABC ，DE ∥AB ．图中的等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】C【解析】【分析】 已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∴∠BDC ＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠ABD ＝36°，∴∠EDC ＝72°﹣36°＝36°，∴∠DEC ＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠A ＝∠ABD ，∠DBE ＝∠BDE ，∠DEC ＝∠C ，∠BDC ＝∠C ，∠ABC ＝∠C ，∴△ABC 、△ABD 、△DEB 、△BDC 、△DEC 都是等腰三角形，共5个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是解题的关键．16．如图，直线//a b ，将一块含45︒角的直角三角尺（90︒∠=C ）按所示摆放．若180︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．80︒B ．75︒C ．55︒D ．35︒【答案】C【解析】【分析】 先根据//a b 得到31∠=∠，再通过对顶角的性质得到34,25∠=∠∠=∠，最后利用三角形的内角和即可求出答案.【详解】解：给图中各角标上序号，如图所示：∵//a b∴3180︒∠=∠=（两直线平行，同位角相等），又∵34,25∠=∠∠=∠（对顶角相等），∴251804180804555A ∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故C 为答案.【点睛】本题主要考查了直线平行的性质（两直线平行，同位角相等）、对顶角的性质（对顶角相等），熟练掌握直线平行的性质是解题的关键.17．如图，直线,a b 被直线c 所截，则图中的1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角【答案】B【解析】【分析】 根据1∠与2∠的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.【详解】解：∵1∠与2∠在截线,a b 之内，并且在直线c 的两侧，∴由内错角的定义得到1∠与2∠是内错角，故B 为答案.【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.18．如图，直线,a b 被直线,c d 所截，1110,270,360︒︒︒∠=∠=∠=，则4∠的大小是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒【答案】A【解析】【分析】先根据对顶角相等得到15∠=∠，再根据平行线的判定得到a ∥b ，再根据平行线的性质得到34∠=∠即可得到答案.【详解】解：5∠标记为如下图所示，∵1,5∠∠是对顶角，∴15∠=∠（对顶角相等），又∵1110,270︒︒∠=∠=，∴1251107800︒︒+∠=∠=+︒，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行），∴34∠=∠（两直线平行，内错角相等），∴4360∠=∠=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的判定（同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质（两直线平行，内错角相等），能灵活运用所学知识是解题的关键..19．如图，AB ∥CD ，DE ⊥CE ，∠1=34°，则∠DCE 的度数为（ ）A ．34°B ．56°C ．66°D ．54°【答案】B【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠D=∠1=34°，∵DE ⊥CE ，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B ．考点：平行线的性质．20．下列五个命题：①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；②内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．其中真命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数，进行判断即可.【详解】①正确；②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；③正确；④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；故选：B．【点睛】本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．。

新初中数学相交线与平行线技巧及练习题附解析(1)一、选择题1．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O(AD>AB).下列说法：①AB=CD;②AOB AOD S S ∆∆=;③∠ABD=∠CBD;④对边AB,CD 之间的距离相等且等于BC 的长。

其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 根据平行四边形的性质、三角形的面积公式、平行线的性质、等腰三角形的性质、直线之间的距离逐个判断即可得．【详解】Q 四边形ABCD 是平行四边形//,//,,AB CD AD BC AB CD OB OD ∴==，则①正确AOB ∆Q 边OB 上的高与AOD ∆边OD 上的高是同一条高，且OB OD =AOB AOD S S ∆∆∴=，则②正确//AD BC QADB CBD ∴∠=∠若ABD CBD ∠=∠，则ABD ADB ∠=∠AD AB ∴=，这与已知条件AD AB >矛盾，则③错误如图，过点A 作AE CD ⊥于点E//AB CD Q∴对边,AB CD 之间的距离相等，且等于AE 的长BC Q 不一定垂直于CDBC ∴不一定等于AE ，则④错误综上，结论正确的个数为2个故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各性质是解题关键．2．一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、点A，且∠CED＝50°，那么∠BAF＝（）A．10°B．50°C．45°D．40°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CED＝50°，DE∥AF，即可得到∠CAF＝50°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】∵DE∥AF，∠CED＝50°，∴∠CAF＝∠CED＝50°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣50°＝10°，故选：A．【点睛】此题考查平行线的性质，几何图形中角的和差关系，掌握平行线的性质是解题的关键. 3．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）A．∠D＝∠DCE B．∠D＋∠ACD＝180° C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.【详解】A.由∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；D.由 ∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE ，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.4．如图AD ∥BC ,∠B =30o ,DB 平分∠ADE ,则∠DEC 的度数为 （ ）A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o【答案】B【解析】∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵DB 平分∠ADE ，∴∠ADB=∠ADE ，∵∠B=30°，∴∠ADB=∠BDE=30°，则∠DEC=∠B+∠BDE=60°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠ADB 的度数是解题关键．5．如图，OC 平分AOB ∠，//CD OB ．若3DC =，C 到OB 的距离是2.4，则ODC ∆的面积等于（ ）A ．3.6B ．4.8C ．1.8D ．7.2【答案】A【解析】【分析】 由角平分线的定义可得出∠BOC=∠DOC ，由CD ∥OB ，得出∠BOC=∠DCO ，进而可证出OD=CD=3．再由角平分线的性质可知C 到OA 的距离是2.4，然后根据三角形的面积公式可求ODC ∆的面积．【详解】证明：∵OC 平分∠AOB ，∴∠BOC=∠DOC ．∵CD ∥OB ，∴∠BOC=∠DCO ，∴∠DOC=∠DCO ，∴OD=CD=3．∵C 到OB 的距离是2.4，∴C 到OA 的距离是2.4，∴ODC ∆的面积=13 2.4=3.62⨯⨯． 故选A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、以及角平分线的性质，利用角平分线的性质得出C 到OA 的距离是2.4是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 中，//,,AB CD AD CD E F =、分别是AB BC 、的中点，若140,∠=︒则D ∠=（ ）A ．40︒B ．100︒C ．80︒D ．110︒【答案】B【解析】【分析】 利用E 、F 分别是线段BC 、BA 的中点得到EF 是△BAC 的中位线，得出∠CAB 的大小，再利用CD ∥AB 得到∠DCA 的大小，最后在等腰△DCA 中推导得到∠D.【详解】∵点E 、F 分别是线段CB 、AB 的中点，∴EF 是△BAC 的中位线∴EF ∥AC∵∠1=40°，∴∠CAB=40°∵CD ∥BA∴∠DCA=∠CAB=40°∵CD=DA∴∠DAC=∠DCA=40°∴在△DCA 中，∠D=100°故选：B【点睛】本题考查中位线的性质和平行线的性质，解题关键是推导得出EF 是△ABC 的中位线.7．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=︒，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=︒，则AEC ∠的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°【答案】C【解析】【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长CE 交AB 于点F ，∵AB ∥CD ，∴∠AFE ＝∠C ＝60°，在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N 两点，将一个含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置（30PNG ∠=︒），若75EMB ∠=︒，则PNM ∠的度数是（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】根据75EMB ∠=︒，可以计算75END ∠=︒（两直线平行，同位角相等），又由75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，30PNG ∠=︒从而得到PNM ∠的度数.【详解】解：∵//AB CD ，∴75EMB EFD ∠=∠=︒（两直线平行，同位角相等），又∵30PNG ∠=︒，75END PNM PNG ∠=∠+∠=︒，∴753045PNM END PNG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为B.【点睛】本题主要考查了两直线平行的性质. 牢记知识点: 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；9．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】 根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC ∥DE ，故①正确；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC ∥DE ，AC ⊥BC ，∴DE ⊥BC ，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB ，故③正确，④错误；∵AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B ，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C ．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．10．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE P ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD Q ，D G ∴∠=∠，//BF DE Q ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠，BF Q 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．11．在下图中，∠1,∠2是对顶角的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略12．给出下列说法,其中正确的是( )A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；B．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；C．相等的两个角是对顶角；D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．【答案】B【解析】【分析】正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．【详解】A选项：同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；B选项：强调了在平面内，正确；C选项：不符合对顶角的定义，错误；D选项：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．故选：B.【点睛】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．13．如图，下列说法一定正确的是（）A．∠1和∠4是内错角B．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】 根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．14．若∠A 与∠B 是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )A ．互相垂直B ．互相平行C ．既不垂直也不平行D ．不能确定【答案】A【解析】∵∠A 与∠B 是对顶角，∴∠A=∠B ，又∵∠A 与∠B 互补，∴∠A+∠B=180°，可求∠A=90°．故选A ．15．如图，直线,a b 被直线c 所截，则图中的1∠与2∠是（ ）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角【答案】B【解析】【分析】根据1∠与2∠的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.【详解】解：∵1∠与2∠在截线,a b 之内，并且在直线c 的两侧，∴由内错角的定义得到1∠与2∠是内错角，故B 为答案.【点睛】本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.16．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（ ）①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=︒A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ，再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ，其余选项也可判断.【详解】∵∠1=∠B∴AD ∥BC ，①正确；∴∠2+∠B=180°，④正确；∵∠2=∠C∴∠C+∠B=180°∴AB ∥CD ，③正确∴∠1=∠D ，∴∠D=∠B ，②正确故选：A【点睛】本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°，为证AB ∥DC 作准备.17．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．120°C．145°D．135°【答案】D【解析】【分析】由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．18．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（）A．65°B．70°C．75°D．80°【答案】D【解析】【分析】由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b ∥c⇒a∥c．19．下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】（1）应强调过直线外一点，故错误；（2）正确；（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.20．如图，ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为( )A．75°B．72°C．70°D．65°【答案】B【解析】【分析】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，已知AB∥CD，根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1，再由∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，可得5∠2=180°，即可求得∠2=36°，所以∠AEF=∠3=∠1=72°【详解】如图，由折叠的性质可知∠3=∠4，∵AB∥CD，∴∠3=∠1，∵∠1=2∠2，∠3+∠4+∠2=180°，∴5∠2=180°，即∠2=36°，∴∠AEF=∠3=∠1=72°故选B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．。

最新初中数学相交线与平行线技巧及练习题附解析(1)一、选择题1．如图，下列说法一定正确的是（ ）A ．∠1和∠4是内错角B ．∠1和∠3是同位角C ．∠3和∠4是同旁内角D ．∠1和∠C 是同位角【答案】D【解析】【分析】 根据内错角、同位角以及同旁内角的定义进行判断即可．【详解】解：A 、∠2和∠4是内错角，故本选项错误；B 、∠1和∠C 是同位角，故本选项错误；C 、∠3和∠4是邻补角，故本选项错误；D 、∠1和∠C 是同位角，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．2．如图，不能判断12//l l 的条件是（ ）A ．13∠=∠B ．24180∠+∠=︒C ．45∠=∠D ．23∠∠=【答案】D【解析】【分析】 根据题意，结合图形对选项一一分析，排除错误答案．【详解】A 、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；B 、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；C 、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；D 、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行． 故选：D ．【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义．3．如图，点,D E 分别在BAC ∠的边,AB AC 上，点F 在BAC ∠的内部，若1,250F ︒∠=∠∠=，则A ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．40︒C ．45︒D ．130︒【答案】A【解析】【分析】 利用平行线定理即可解答.【详解】解：根据∠1=∠F ，可得AB//EF ，故∠2=∠A=50°.故选A.【点睛】本题考查平行线定理：内错角相等，两直线平行.4．如图，点D 在AC 上，点F 、G 分别在AC 、BC 的延长线上，CE 平分∠ACB 交BD 于点O ，且∠EOD+∠OBF ＝180°，∠F ＝∠G ，则图中与∠ECB 相等的角有( )A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】B【解析】【分析】由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.【详解】解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，故选择B.【点睛】本题综合考查了平行线的判定及性质.5．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（）A．∠D＝∠DCE B．∠D＋∠ACD＝180° C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠4【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.【详解】A.由∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；D.由∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.6．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A．65°B．115°C．125°D．130°【答案】B【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°﹣50°=130°，∵AE 平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣65°=115°，故选B．考点：平行线的性质．7．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（）A．24°B．34°C．56°D．124°【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°，根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°．故答案选C.考点：平行线的性质.8．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于()A ．81°B ．99°C ．108°D ．120°【答案】B【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，∵AE ∥CF ，∴BD ∥CF ，∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o，∵153C ∠=o ，∴27DBC ∠=o ，则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.9．下列说法中，正确的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．垂于同一条直线的两条直线平行D ．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角一定相等【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和判定，平行线公理及推论逐个判断即可．【详解】A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项不符合题意；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项符合题意；C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故本选项不符合题意；D 、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】此题考查平行线的性质和判定，平行线公理及推论，能熟记知识点的内容是解题的关键．10．如图，现将一块含有60︒角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若12∠=∠，那么∠的度数为（）1A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】B【解析】【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．【详解】∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴2∠3+60°=180°，∴∠3=60°，∴∠1=60°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．11．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【答案】A【解析】【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．【详解】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°，∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此时的航行方向为北偏东30°，故选A．【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12．如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（不含它本身）的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】解：∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=∠DFM=12∠CFE．∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=12∠AEF．∵EM平分∠BEF，∴∠BEM=∠FEM=12∠BEF，∴∠GEF+∠FEM=12（∠AEF+∠BEF）=90°，即∠GEM=90°，∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠CFE）．∵AB∥CD，∴∠EGF=∠AEG，∠CFE=∠AEF，∴∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠CFE）=12（BEF+∠AEF）=90°，∴在△EMF中，∠EMF=90°，∴∠GEM=∠EMF，∴EG∥FM，∴与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对顶角．故选C．点睛：重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂．13．若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )A．互相垂直B．互相平行C ．既不垂直也不平行D ．不能确定【答案】A【解析】∵∠A 与∠B 是对顶角，∴∠A=∠B ，又∵∠A 与∠B 互补，∴∠A+∠B=180°，可求∠A=90°．故选A ．14．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；③符合平行线的判定定理，故本小题正确；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．故选B ．15．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE=4OE 2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC=212即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE V 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠∴∴S △ODE =12DE·2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确； ∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵3OE∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为OE′=36a ∴DE 336a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，故选A ．【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．16．如图//,AB CD EG EH FH ，、、分别平分,,,CEF DEF EFB ∠∠∠则图中与BFH ∠相等的角（不含它本身）的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到CEF EFB ∠=∠，CEG EGB ∠=∠，再利用把角平分线的性质得到CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠，最后对顶角相等和等量替换得到答案.【详解】解：如图，做如下标记，∵//AB CD ，∴,CEF EFB ∠=∠CEG EGB ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵EG 、FH 分别平分,,CEF EFB ∠∠∴CEG FEG EFH BFH ∠=∠=∠=∠,又∵CEG NEG ∠=∠，FEG MEN ∠=∠，EGB AGP ∠=∠（对顶角相等），∴BFH ∠=CEG FEG EFH MEN NED EGF AGP ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠（等量替换）故与BFH ∠相等的角有7个，故C 为答案.【点睛】本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键.17．如图，直线//,175a b ︒∠=，则2∠的大小是（ ）A ．75︒B ．85︒C ．95︒D ．105︒【答案】D【解析】【分析】 把2∠的对顶角标记为3∠，根据对顶角的性质得到2∠与3∠得关系，再根据直线平行的性质得到1∠与3∠得关系，最后由等量替换得到2∠得度数.【详解】解：如图，把2∠的对顶角标记为3∠，∵2∠与3∠互为对顶角，∴23∠∠=，又∵//a b ，175︒∠=，∴13180∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），∴12180∠+∠=︒（等量替换），∴2180118075105∠=︒-∠=︒-︒=︒故D 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）、直线平行的性质（两直线平行，同旁内角互补），学会运用等量替换原则是解题的关键.18．如图，直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ︒∠=⊥，则DOE ∠的大小是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．90︒【答案】A【解析】【分析】 根据对顶角的性质，把BOD ∠的度数计算出来，再结合OE AB ⊥，即可得到答案.【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴50BOD ∠=︒（对顶角相等），又∵OE AB ⊥，∴90EOB ∠=︒，∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故A 为答案.【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等），判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.19．下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线叫做平行线；(4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】（1）应强调过直线外一点，故错误；（2）正确；（3）不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否是在同一平面内，所以错误；（4）有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，角平分线的两个角也满足，但可以不是,故错误.错误的有3个，故选C.20．如图，在下列四组条件中，不能判断AB ∥CD 的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠ABD＝∠BDC D．∠ABC+∠BCD＝180°【答案】A【解析】【分析】根据各选项中各角的关系，利用平行线的判定定理，分别分析判断AB、CD是否平行即可．【详解】A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故A不能判断；B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故B能判断；C、∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故C能判断；D、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故D能判断，故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定．掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．。