山西省康杰中学2010届高三下学期第四次模拟考试试题

2014届高三年级第三次四校联考数学试题（理科）命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 【考试时间120分钟，满分150分】 第Ⅰ卷（选择题 60分） 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设U=R ，A={x ⎢y=x x},B={y ⎢y=－x2}，则A∩(CUB)=( ) A.φ B.R C. {x ⎢x>0}D.{0}2.设复数1z i =+(i 是虚数单位)，则22z z +=( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3.下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.54.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( ) A.3B.－6C.10D.－155.实数,x00≥≤,若z kx y =+的最大值为A. 2 B. 132C. 94D. 56.等比数列{}n a 满足0,n a >n N +∈,且23232(2)n n a a n -=≥g ，则当1n ≥时，2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+=( )A. (21)n n -B . 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -o7.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, ⎥ϕ⎢<π2)的部分图象如图所示，则y=f(x+π6)取得最小值时x 的集合为（ ） A. {x ⎢x= k π-π6, k ∈Z }B. {x ⎢x= k π-π3, k ∈Z }C. {x ⎢x=2k π-π6, k ∈Z }D. {x ⎢x=2k π-π3, k ∈Z }8.右图可能是下列哪个函数的图象（ ） A.y=2x －x2－1 B. y =2xsinx 4x+1C.y=(x2－2x)exD. y=x lnx9.向边长分别为13,6,5的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）A ．181π-B.121π-C.19π-D.41π-10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A ．12种 B.16种 C.24种 D. 36种11. 三棱锥P —ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ， PA ＝2AB ＝6，则该球的体积为( ) A ．163πB ．323πC ．48πD ．643π12.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于,A B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 如果(2x －1)6＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于 . 14. 圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为 .15.已知(0)()(0)x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,1()()2g x f x x b=--有且仅有一个零点时，则b 的取值范围是 .17π12π3 xoy yx16.若数列{}n a 与{}n b 满足1113(1)(1)1,,2n nn n n n n b a b a b n N -++++-+=-+=∈，且12a =,设数列{}n a 的前n 项和为nS ，则63S = .三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．cosA ＝23，sinB．(1)求tanC 的值；(2)若a∆ABC 的面积．18. （本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为32，且每题正确完成与否互不影响.（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望； （2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？ 19. (本小题满分12分) 如图，在几何体ABCDEF 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°, 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1． （1）求证：平面FBC ⊥平面ACFE ； （2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围． 20. (本小题满分12分)抛物线C1：24y x =的焦点与椭圆C2：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A ，C1, C2在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，且OAB∆的面积为3a .(1)求椭圆C2的标准方程；（2）过A 点作直线l 交C1于C,D 两点，连接OC,OD 分别交C2于E,F 两点，记OEF ∆，OCD ∆的面积分别为1S ,2S .问是否存在上述直线l 使得213S S =，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)设函数-1()=x e f x x （1）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；FAB C D EM（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式f(x)-1<a 成立．请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于C B ,两点，且ACAB 31=，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，030=∠EBC （1）求AF 的长；（2）求证：ED AD 3=.23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()312--+=x x x f(1)求函数()x f y =的最小值;(2)若272)(-+≥a ax x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2014届高三年级第三次四校联考 数学（理科）答案 选择题填空题13. 0 14. 3 15．b ≥1或b=12或b ≤0 16. 560三、解答题17．解：(1)∵cosA ＝23 ∴sinA =，……………2分＝sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋sinCcosA＝cosC ＋23sinC ． ……………5分整理得：tanC ……………6分(2) 由（1）知sinC ，cosC由正弦定理知：sin sin a cA C =，故c = ……………9分又∵sinB 615⋅……………10分∴∆ABC 的面积为：S ＝B ac sin 21=． ……………12分18.解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1,2,351)1(362214===C C C P ξ 53)2(361224===C C C P ξ 51)3(360234===C C C P ξ ……………3分ξ 1 2 3P51 53 51所以2513532511=⨯+⨯+⨯=ξE ……………5分（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η因为)32,3(～B η，其分布列为：3,2,1,0,)31()32()(33===-k C k P k k k η 所以2323=⨯=ηE ……………6分又因为5251)23(53)22(51)21(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD3231323=⨯⨯=ηD ……………8分 所以ηξD D <又因为8.05153)2(=+=≥ξP ， 74.02782712)2(≈+=≥ηP ……………10分所以)2()2(≥>≥ηξP P①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强. ……………12分 19.（1）证明：在四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC ⊥AC.∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE∩平面ABCD=AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE.又因为BC ⊂平面FBC ， 所以 平面ACFE ⊥平面FBC ， .............5分(2)解：由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ(0≤λ≤3),则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)， ∴AB →=(－3，1，0)，BM →=(λ，-1，1)，设n1=(x,y,z)为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n1·AB →=0n1·BM →=0,得3x y 0x y z 0,⎧-+=⎪⎨λ-+=⎪⎩，取x=1,则n1=(1,3,3-λ), ∵n2=(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量, ∴cos θ=|n1·n2||n1|·|n2|=11+3+(3－λ)2⨯1=1(3－λ)2+4...........10分∵0≤λ≤3,∴当λ=0时，cosθ有最小值77，当λ=3时，cosθ有最大值12.∴cosθ∈［71,2］..............12分20.解：（1）∵24y x =∴焦点()1,0F ∴1c =即221a b =+……………1分又∵1623OAB B S OA y a ∆=⨯⨯= ∴63B y =……………2分 代入抛物线方程得226(,)3B .又B 点在椭圆上得23b =，24a =∴椭圆C2的标准方程为22143x y +=. ……………4分（2）设直线l 的方程为2x my =+，由224x my y x =+⎧⎨=⎩得2480y my --=设1122(,),(,)C x yD x y ，所以12124,8y y m y y +=⋅=-……………6分又因为21211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD S y y S OE OF y y OE OF EOF ∠===⨯∠直线OC 的斜率为1114y x y =，故直线OC 的方程为14y y x =， 由1224143y y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得221364364E y y ⨯=+，同理222364364F y y ⨯=+ 所以22222212364364643()()36436412148EFy y y y m ⨯⨯⨯=⨯=+++则2222212222112148()3E F S y y m S y y ⋅+==⋅， ……………10分所以221214893m +=，所以24840m =-，故不存在直线l 使得213S S = ……………12分21.解：(1) 由题意知：，f '(x)=xex-(ex-1)x2= (x-1)ex+1x2, ……………2分令h(x)=(x-1)ex+1,则h '(x)=x ex>0,∴h(x)在（0，+∞）上是增函数， ……………3分 又h(0)=0，∴h(x)>0,则f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是单调增函数. ……………5分 (2) f(x)-1=ex- x -1x,不等式f(x)-1<a 可化为ex-(a+1)x-1<0,令G(x)= ex-(a+1)x-1, G '(x)=ex-(a+1), ……………7分 由G '(x)=0得：x=ln(a+1),当0<x< (ln(a+1)时，G '(x)<0, 当x>ln(a+1)时，G '(x)>0,∴当x=ln(a+1)时，G(x)min=a-(a+1)ln(a+1), ……………9分 令ϕ(a)=a a+1- ln(a+1),(a≥0) ϕ'(a)=1(a+1)2-1a+1=－a(a+1)2<0,又ϕ(0)=0,∴当a>0时，ϕ(a)< ϕ(0)=0,即当x=ln(a+1)时，G(x)min=a-(a+1)ln(a+1)<0. ……………11分 故存在正数x=ln(a+1)，使不等式F(x)-1<a 成立． ……………12分22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（1）延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ， 则090=∠BCM ，又,42==BE BM 030=∠EBC ，所以32=BC ，又,31AC AB =可知321==BC AB ，所以33=AC根据切割线定理得93332=⨯=⋅=AC AB AF ，即3=AF 证明：过E 作BC EH ⊥于H ，则ADF EDH ∆∆～，从而有AF EH AD ED =，又由题意知，BC CH 321==2=EB 所以1=EH ，因此31=AD ED ，即ED AD 3= 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲解：（1）由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x两式两边平方相加得：1)3(22=+y x即曲线1C 的普通方程为：1322=+y x由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 22=+θθρ即8cos sin =+θρθρ，所以08=-+y x 即曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x(2)由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为F28)3sin(228sin cos 3-+=-+=παααd所以当1)3sin(=+πα时，d 的最小值为23，此时点P 的坐标为)21,23(24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲答案：（1）由题意得()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---<--=3432123)21(4x x x x x x x f所以 f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21上单调递增. 所以当21-=x 时()x f y =取得最小值此时()27min -=x f（2）由（1）及272)(-+=a ax x g 可知()x g y =恒过点过⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,21 由图象可知11a -≤≤。

教学设计 四平市第十七中学 讲课教师：白晓丽学科：语文课时：1总课时数：1教 学 目] 标知识与技能掌握诗句中重点字词的读音和解释,理解诗歌的内容。

体会诗歌的意境,熟读成诵。

过程与方法从字、词、句入手，理解诗歌的内容及作者的思想感情。

情感态度与价值观理解作者的思想感情， 感悟诗人豁达的胸襟和积极进取的精神。

教材分析教学重点掌握诗句中重点字词的读音和解释,理解诗歌的内容。

教学难点感悟诗人豁达的胸襟和积极进取的精神。

教　学　过　程教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）导语：每个人都经历过离别，同自己的家人、朋友离别时，分别时常引用古诗表达自己的心声, “海内存知己，天涯若比邻。

”这句诗经常被引用到各种毕业照、留念册上。

那么，同学们知不知道这句诗出自何处呢？今天我们将要学习的王勃的《送杜少府之任蜀州》,?理解诗歌的内容，感悟诗人豁达的胸襟和积极进取的精神。

学生根据自己的知识储备, 争先发言调动学生学习的积极性 3教师活动学生活动备注（教学目的、时间分配等）一、提问文学常识： 二、检查学生字词的预习情况:?阙（què）：皇宫前面的望楼。

辅：护卫。

五津：指四川岷江的五个渡口。

?宦（huàn）：做官的意思?。

无为：不要，不须。

? 三、、指导朗读： 语速，语调，节奏 给予鼓励并示范朗读 四、引导学生分析诗句： 设疑：1、经过同学们的预习和刚才的朗读，你们认为哪句诗写得最好？同学们是如何理解这句诗的？ 2、首联点明了哪两个地方？?诗人在长安送别朋友，按理他是不可能望到四川的，但是这里诗人却用“望”字连接这两个地方？为什么？?提示：1、诗人把两个相隔千里之外的地方用“望”字连接，使诗歌营造出开阔的意境。

2、表现了诗人对朋友的今后生活的关心。

? 3、诗歌中的颔联直接提到了“离别”，“同是宦游人”是离别的什么？? 联系我们生活中的实际，与朋友离别时我们通常会说什么？（无非都是嘱咐朋友要保重身体，询问归期等等）但是，诗人在这里并没有对朋友的离开有只言片语的挽留，而是直接到出了离别的原因，这表明诗人是以怎样的态度面对与朋友的离别的？4、?在学习了诗歌的首联和颔联的基础上，我们再回到诗歌的颈联，也就是千古名句，同学们，现在大家对这句诗又有怎样的理解呢？?5、尾联中诗人宽慰友人不要哭泣，那言下之意要怎样呢？表明了诗人怎样的生活态度？（积极进取）?五、总结： 掌握诗歌中字词的解释；理解和感悟诗人乐观豁达、积极进取的情感观和价值观。

康杰中学2013年数学（理）模拟训练卷（四）2013.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}12A =，，则满足{}1234A B ⋃=，，，的集合B 的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 52. 若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|ai -＝（ ） A.13B. 13C. 10D.103. 已知2(0,),cos()6a a ππ∈+=，则tan 2α＝（ ） A.3 B. 3- C. 3 D. 3-4. 求三个不相等的实数,,a b c 最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为（ ） A. a b >?B. a c >?C. d b >或a c >?D. a b >且a c >?5. 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=（ ） A. 6B. 9C. 3D. 46. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示，为了得到函数cos()6y x πω=+的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位 7. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法有（ ） A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 6种8. 不等式组1022020x y x y ax y a -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，表示的平面区域的面积为152，则a ＝（ ）A.47B. 1C. 2D. 39. 如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE, △CDF, △BEF 折起，使A ，C ，B 三点重合于G ，所得三棱锥G －DEF 的俯视图如图的，则该三棱锥正视图的面积为（ ） A.12B.23C.223D.2210. 设F 1、F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12B.23C.34D.4511. 0x 是函数()2sin ln ((0,))f x x x x ππ=-∈的零点，12x x <，则①0(1,)x e ∈②0(,)x e π∈ ③12()()0f x f x -< ④12()()0f x f x ->，其中正确的命题为（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④12. 三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则 四面体A 1ABC ，B 1ABC ，C 1ABC 的公共部分的体积等于（ ） A. 183B. 123C. 93D. 63第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 不等式251451x x->+的解集为 .14. 双曲线C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率6e =，其焦点到渐近线的距离为1，则C 的方程为 .15. 1000名学生成绩近似服从正态分布N(100,100)，则成绩在120分以上的考生人数约为.[注：正态总体2(,)N μσ在区间(,),μσμσ-+(2,2),μσμσ-+(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为0.683, 0.954, 0.997]16. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边a ,b ,c 成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则cosA+cosC= .三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足12311,.39a a a =-= （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设111...1223(1)n n n n b n n +++=+++⨯⨯+，求数列{}n n b a 的前n 项的和.18. （本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计 分析，画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.（1）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关.甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计 成绩优秀成绩不优秀 总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.2()P K k ≥0.25 0.15 0.10 0.05 0.025k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02419. （本小题满分10分）如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. （I ）证明：PF ⊥FD ；（II ）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG//平面PFD ；（III ）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值.20. （本小题满分10分）已知椭圆221:14x C y +=和动圆2222:(0)C x y r r +=>，直线:l y kx m =+与C 1和C 2分别有唯一的公共点A 和B.（I ）求r 的取值范围.（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C 2的方程.21. （本小题满分10分）设2()(1)ln(1)(2)()f x x x m x x m R =++++∈.（I ）当1m =-时，求函数()f x 的单调区间.（II ）若当0x ≥时，()0f x ≤，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线MN 交圆O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM ，交圆O 于点D ，过D 作DE ⊥MN 于E. （I ）求证：DE 是圆O 的切线；（II ）若DE ＝6，AE ＝3，求ABC ∆的面积.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线C 2的参数方程是cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数，0απ≤<），射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线C 1交于极点O 外的三点A ，B ，C.（I ）求证：2|OA|; （II ）当12πϕ=时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m a 与的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||1|,f x x a x a =-+-∈R. （I ）当3a =时，解不等式()4f x ≤；（II ）当(2,1)x ∈-时，()|21|f x x a >--.求a 的取值范围.数学（理）（四）答案1. C 集合B 可以为{3，4}，{3，4，1}，{3，4，2}，{3，4，1，2}.2. A(2)(1)22(1)(1)22a i i a a i i i +-+-=++-,则20a +=，即222,|3|313a ai a =--=+=3. A7(0,),(,)666a a ππππ∈∴+∈，则3,,tan 2tan 641263a a ππππα+====. 4. D a b a c >>且才可输出a . 5. A 解析：方法一：特值法：++0,FA FB FC F ABC ∴∆＝为的重心，（如图），33566),||1,||222B FA FB ∴==（，－）,C （，，||+||+|FA FB FC ∴|＝6. 方法二：设222312123(,),(,),(,)444y y y A y B y B y ，++0,FA FB FC ＝2223121233,0444y y y y y y ∴++=++=，||+||+|FA FB FC ∴|＝222123364y y y +++=6. C 522(),263t Tππππω=⨯-===， ()sin(2)0,,3333f ππππϕϕπϕ=⨯+=+=∴=，6()sin(2)3f x x ππ∴=+−−−−→向左平移2sin[2()]sin(2)sin(2)cos(2)633626y x x x x ππππππ=++=+=++=+7. B ，先拥绑，后排列，33(32)30A +=.8. C 20ax y a --=即(2)0a x y --=，过定点B （2，0），且0a >，10220x y ax y a ++=⎧⎨--=⎩则22232a x a a y a -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩226|2|115225225a aa a --+-++=，则2a =. 9. B 设正视图的高为h ，113211211232232G DEF EF V V h =⨯=⨯⨯⨯⨯－D －G ＝ 23h =∴正视图212232S =⨯=10. C 利用1223||||2()2a F F P F c ==- ∴322()2a c c =- 34e ∴=. 11. B 设()2sin ,()ln h x x g x x π== ()2g e π=>，则交点在0(1,),(1,)e x e ∈()2cos f x x xπ'=-，当(0,),2,()02x f x xππ'∈><时，当,()20,22x f x x πππ'==-<∈时当（,）时，02,cos 0,2x π<<<()0f x '<. 综上，()0,()f x f x '<为减函数，12()()f x f x >. 12. D 公共部分为一个三棱锥，2136233V =⨯=13. 251(1,)4,25145451x x x x-+∞>->⨯++则 2(5)455051551x x x x x -⨯-><->∴>或，14. 2212x y -=，设双曲线的方程为22221x y a b -=，渐近线b y x a=± 则2222261c aa b a b c ⎧=⎪⎪=++=⎪⎩则222213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴双曲线方程为2212x y -=15. 23 (100,100),100,10N μρ== 在(2,2)(80,120)μρμρ-+=之间的为954.∴在120分以上的为1(1000954)232⨯-=.16. 78设A 为最大角，则2,2A C a c b =+= ①sin sin a cA C=，则222,cos 2cos 22a a a b c c C C c ab +-=∴== ② 由①②得2337,cos ,cos cos 2cos 1cos 248a c C A C C C ==+=-+=则.20. 解：（I）由2214xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m+++-=.22. 解：（I）连结OD，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA. 因为∠EAD＝∠OAD，所以∠ODA＝∠EAD. 2分因为∠EAD+∠EDA＝90°，所以∠EDA+∠ODA＝90°，即DE⊥OD.所以DE是圆O的切线. 4分。

2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2） 当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3）， 又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆． （Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ； （Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。