北京市东城区2020学年高一数学下学期期末考试试题

北京市东城区2020学年下学期高一年级期末考试数学试卷

本试卷共100分，考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共36分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩（x）高于85分，数学成绩（y）不低于80分，用不等式组可以表示为

A.

.80,85yx B.

.80,85yx C.

.80,85yx D.

.80,85yx

2. 在数列}{na中，*1,1Nnaann，则数列的通项可以是

A. 1nan B. 1nan C. nna2 D. 2nan

3. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为

A. 21

B. 22

C. 23 D. 1

4. 在等差数列}{na中，已知15,2853aaa，则10a＝

A. 64 B. 26 C. 18 D. 13

5. 执行如图所示的程序框图，则输出的s值为

A. 21 B. 32 C. 2 D. 3

6. 现有八个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这八个数中随机抽取一个数，则它大于8的概率是

A. 87 B. 85 C. 21 D. 83 7. 若不等式nm与nm11（m，n为实数）同时成立，则

A. 0nm B. nm0 C. nm0 D. 0mn

8. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据：6≈2.45，sin75°≈0.97）

A. 170米 B. 110米 C. 95米 D. 80米

9. 已知}{na为等比数列，nS为其前n项和。若5,151213aaaa，则4S＝

A. 75 B. 80 C. 155

D. 160

10. 甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图所示。若s甲，s乙，s丙分别表示他们测试成绩的标准差，则它们的大小关系为

A. 乙甲丙sss B. 乙丙甲sss

C. 甲丙乙sss D. 甲乙丙sss

11. 若在区间［0，2］中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是

A. 91 B. 31 C. 94 D. 32

12. 已知数列2020，2020，1，－2020，－2020，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2020项之和等于

A. 0 B. 2020 C. 2020 D. 4033

第二部分（非选择题 共64分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。将答案填在题中横线上。

13. 不等式022xx的解集为___________。

14. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表所示。已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则x＝________。现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为__________。

一班 二班 三班

女生人数 20 x y

男生人数 20 20 z

15. 小亮开通了一个微信公众号，每天推送一篇文章。通常将阅读量作为微信公众号受关注度的评判标准，为了提升公众号的关注度，进一步了解大家的需求，小亮对之前推送的100篇文章的阅读量进行了统计，得到如下的频率分布直方图：

则图中的a＝__________。

16. 当0x时，不等式axx1恒成立，则实数a的取值范围是__________。

17. 已知数列}{na的前n项和为nS，且*,1NnSann，则1a＝_______；na＝___________。

18. 某共享单车公司欲在某社区投放一批共享单车，单车总数不超过100辆。现有A，B两种型号的单车：其中A型为运动型，成本为500元/车，骑行半小时需花费0.5元；B型车为轻便型，成本为3 000元/车，骑行半小时需花费1元。若公司投入成本资金不能超过10万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时（不足半小时按半小时计算），则在该社区单车公司每天可获得的总收入最多为_________元。

三、解答题：本大题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （本题满分7分）

在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3。 （Ⅰ）求∠ADC的大小；

（Ⅱ）求AB的长。

20. （本题满分7分）

已知}{na为等差数列，6512,12aaa。

（Ⅰ）求数列}{na的通项公式以及前n项和nS；

（Ⅱ）求使得14nS的最小正整数n的值。

21. （本题满分10分）

已知0cos2sin。

（Ⅰ）求)4tan(的值；

（Ⅱ）求sinsincos2sin的值。

22. （本题满分10分）

长时间使用手机上网，会严重影响学生的身体健康。某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长（小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）。

（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；

（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a>b的概率。

23. （本题满分12分）

已知函数)(xf，给出如下定义：若),(),(21xfxf…，)(xfn，…均为定义在同一个数集下的函数，且))(()(,)(11xffxfxxfnn，其中4,3,2n，…，则称)(),(21xfxf，…，)(xfn，…为一个嵌套函数列，记为)}({xfn。若存在非零实数，使得嵌套函数列)}({xfn满足)()(1xfxfnn，则称)}({xfn为类等比函数列。

（Ⅰ）已知)}({xfn是定义在R上的嵌套函数列，若412)(xxf。

①求)2(),2(),2(321fff；

②证明}21)({xfn是类等比函数列。

（Ⅱ）已知)}({xgn是定义在),1(上的嵌套函数列。

若)1(21)(xxxg，求证：xxxgxgnnn121|)()(|1。

【试题答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 A B C D B D C C A A C

B

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

题号 13 14 15 16 17

18

答案 ]21,0[ 24 9 0.0015 ]2,( 21 n)21(

120

注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分。

三、解答题：本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （本题满分7分）

解：（I）在△ADC中，

由余弦定理，得cos∠ADC＝DCADACDCAD2222

2135249925。 2分

又∠ADC（0，180°），

所以∠ADC＝120°。 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ADC＝120°，

所以在△ABD中，∠ADB＝60°。

由正弦定理，得BADADBABsinsin， 5分

所以6252223545sin60sin5sinsinBADBADAB。 7分

20. （本题满分7分）

解：（Ⅰ）设数列}{na的公差为d，则有)5(2411dada，即061da。

由121a，可得2d，

故*,142)1(212Nnnnan， 2分

nnnnSn132142122。 4分 （Ⅱ）由14nS可得14132nn，解得14n或1n（舍），

所以满足条件的最小正整数15n。 7分

21. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）由已知，得2tan， 2分

所以32112tan11tan)4tan(。 4分

（Ⅱ）原式＝2cossin)1cos2(sinsinsincossin222， 7分

53tan1tan1cossinsincossincos2cos22222222。 10分

注：其他方法相应给分。

22. （本题满分10分）

解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为17)312014119(51，

B班样本数据的平均值为19)2625211211(51，

据此估计B班学生平均每周上网时间较长。…………………………………4分

（Ⅱ）依题意，从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b的取法共有12种，分别为（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），（20，11），（20，12），（20，21）。

其中满足条件“a>b”的共有4种，分别为（14，11），（14，12），（20，11），（20，12）。

设“a>b”为事件D，

则31124)(DP。

答：ba的概率为31。 10分

23. （本题满分12分）

解：（Ⅰ）①87)2(;45)2(;2)2(321fff； 4分

②)21)((21412)(21412)(21))((21)(1xfxfxfxffxfnnnnn

所以}21)({xfn是类等比函数列。 7分