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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查13 变化率与导数、导数的计算

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开卷速查(十三) 变化率与导数、导数的计算
A级 基础巩固练
1．[2014·课标全国Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方
程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D.3

解析：y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，

即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
2．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜
角，则α的取值范围是( )
A.0，π4 B.π4，π2
C.π2，3π4 D.3π4，π
解析：y′＝－4exex＋12＝－4ex＋2＋1ex≥－1(当且仅当ex＝1，即x＝0时

取等号)，即－1≤tanα＜0，所以3π4≤α＜π.
答案：D
3．已知函数f(x)＝23x3－2ax2－3x(a∈R)，若函数f(x)的图像上点
P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，则m的值为( )
A．－13 B.－12
- 2 -

C.13 D.12
解析：∵f(x)＝23x3－2ax2－3x，
∴f′(x)＝2x2－4ax－3，
∴过点P(1，m)的切线斜率k＝f′(1)＝－1－4a.
又点P(1，m)处的切线方程为3x－y＋b＝0，
∴－1－4a＝3，∴a＝－1，
∴f(x)＝23x3＋2x2－3x.
又点P在函数f(x)的图像上，
∴m＝f(1)＝－13，故选A.
答案：A
4．已知曲线y＝14x2－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点横坐
标为( )
A．－2 B.3
C．2或－3 D.2

解析：设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝12x－3x，

∴y′|x＝x0＝12x0－3x0＝－12，即x20＋x0－6＝0，解得x0＝2或－3(舍)．
答案：D
5．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的
三角形的面积为( )
- 3 -

A.13 B.12
C.23 D.1
解析：y′|x＝0＝(－2e－2x)|x＝0＝－2，故曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)
处的切线方程为y＝－2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分
别为(1,0)，23，23，故围成的三角形的面积为12×1×23＝13.
答案：A
6．下列四个图像中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a
∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(1)＝( )

A.103 B.43
C．－23 D.1
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－4，因为a≠0，所以f′(x)不是偶函数，
排除第一、二个图像，由于开口向上，所以第三个图像是f′(x)的图像，






f′0＝0，

－2a2>0.
a＝－2，f(x)＝13x3－2x2＋1，f(1)＝－23.选C.

答案：C
7．已知函数f(x)＝f ′π2sinx＋cosx，则fπ4＝__________.
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解析：由已知：f ′(x)＝f ′π2cosx－sinx.则f ′π2
＝－1，因此f(x)＝－sinx＋cosx, fπ4＝0.
答案：0
8．若以曲线y＝13x3＋bx2＋4x＋c (c为常数)上任意一点为切点的切
线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为__________．
解析：y′＝x2＋2bx＋4，∵y′≥0恒成立，
∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.
答案：[－2,2]
9．曲线f(x)＝f′1eex－f(0)x＋12x2在点(1，f(1))处的切线方程为
__________．
解析：f′(x)＝f′1eex－f(0)＋x⇒f′(1)＝f′1ee1－f(0)＋1⇒f(0)＝

1.在函数f(x)＝f′1eex－f(0)＋12x2中，令x＝0，则得f′(1)＝e.所以f(1)
＝e－12，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋f(1)＝ex－12，
即y＝ex－12.
答案：y＝ex－12
10．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M
处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
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(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

∴当x＝2时，y′＝－1，y＝53.
∴斜率最小的切线过点2，53，斜率k＝－1.
∴切线方程为x＋y－113＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tanα≥－1，
∴α∈0，π2∪3π4，π.
B级 能力提升练
11．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为
4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵
坐标为( )
A．1 B.3
C．－4 D.－8
解析：依题意，得P(4,8)，Q(－2,2)．

由y＝x22，得y′＝x.
∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.①
在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，
即y＝－2x－2.②
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联立①，②得点A(1，－4)，故选C.
答案：C
12．已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝
f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1＋log2 013x
2

＋…＋log2 013x2 012的值为__________．

解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，

∴x1·x2·…·x2 012＝12×23×34×…×2 0112 012×2 0122 013＝12 013，则log2 013x
1

＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012＝log2 013(x1x2…x2 012)＝－1.
答案：－1
13．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－lnx)(a＞0)．若曲线y＝f(x)
与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线
是否为同一条直线．
解析：根据题意有
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，又f(1)＝－
1，
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得：y＋1＝3(x－1)，
即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．又g(1)＝
－6.
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线．
14．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切
点坐标；

(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐
标与切线的方程．
解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，
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又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，
整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，
解得x0＝±1.

∴ x0＝1，y0＝－14或 x0＝－1，y0＝－18.
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.

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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分30等比数列及其前n项和

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分30等比数列及其前n项和

开卷速查(三十) 等比数列及其前n 项和A 级 基础巩固练1．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511 D.1 023 解析：∵2a 4，a 6,48成等差数列， ∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，又∵q ＝2，∴a 1＝1， ∴S 8＝1×(1－28)1－2＝255.答案：B2．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1 B.2 C ．4 D.8 解析：∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，故b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8.答案：D3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3 B.4 C ．5 D.6解析：由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.答案：C4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1 B.4n －1 C ．2n －1 D.2n －1 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝42n .∴S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .∴S n a n＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.答案：D5．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12 B.10 C ．8 D.2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7， 又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9，而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395＝log 3310＝10. 答案：B6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16 B.8 C ．22D.4 解析：由题意知a 4＞0，a 14＞0，a 4·a 14＝8，a 7＞0，a 11＞0，则2a 7＋a 11≥22a 7·a 11＝22a 4·a 14＝216＝8，当且仅当⎩⎨⎧a 7·a 11＝8，2a 7＝a 11，即a 7＝2，a 11＝4时取等号，故2a 7＋a 11的最小值为8，故选B.答案：B7．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则该数列的前4项和为__________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则a 1q＋a 1q 2＝12，解得q ＝2，故S 4＝2×(1－24)1－2＝30.答案：308．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________，前n 项和S n ＝________.解析：由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝4020＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2.∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－29．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝__________.解析：∵1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，而a 8a 9＝a 7a 10，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98＝－53. 答案：－5310．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6. 所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1.(2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1， c n ＋1c n＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝8(1－4n )1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n . B 级 能力提升练11．已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d (0＜d ＜2π)的等差数列，若数列{cos a n }是等比数列，则其公比为( )A ．1B.－1C ．±1 D.2解析：因为数列{cos a n }是等比数列， 所以cos 2(a 1＋d )＝cos a 1·cos(a 1＋2d )， cos 2(a 1＋d )＝cos(a 1＋d －d )·cos(a 1＋d ＋d ) ＝cos 2(a 1＋d )cos 2d －sin 2(a 1＋d )sin 2d ， 所以sin 2d [cos 2(a 1＋d )＋sin 2(a 1＋d )]＝0， 所以sin 2d ＝0，sin d ＝0， 因为0＜d ＜2π，所以d ＝π.公比q ＝cos (a 1＋d )cos a 1＝cos (a 1＋π)cos a 1＝－1.答案：B12．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a mn ＋ma m (n －1)＋m＝q mn ＋m －m (n －1)－m ＝q m .∴c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋m a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝(q m )m ＝qm 2. 答案：C13．[2015·唐山市一中期中考试]在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n －n ＋1，n ∈N *.(1)求证：{a n －n }是等比数列；(2)令b n ＝a n2n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n 的表达式． 解析：(1)证明：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n －n ＋1，n ∈N *，可得 a n ＋1－(n ＋1)＝2(a n －n )，a 1－1＝－2≠0，所以数列{a n －n }是以－2为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)得：a n －n ＝－2×2n －1＝－2n ， 所以a n ＝n －2n，b n ＝n2n －1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋222＋…＋n 2n －n .令T n ＝12＋222＋…＋n2n ， 则12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1所以T n ＝2－n ＋22n ，即S n ＝2－n ＋22n －n .14．[2015·贵州七校第一次联考]已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n ＜a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解析：(1)由题意得⎩⎨⎧q 2(3＋3d )＝36q (2＋d )＝8，解得⎩⎨⎧d ＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23q ＝6，∴⎩⎨⎧a n ＝2n －1b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝13(5－2n )b n ＝6n －1.(2)若a n ＜a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-6

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自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，∴f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1.∴f (x )＋f (－x )＝ln1＋1＋1＝2.又lg 12＝－lg2，∴f (lg2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选D 项． 答案：D2．函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：设f (x )与g (x )图像的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x ＝0，得x 1＝1＋2，x 2＝1－2(舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1＋2)时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1＋2，＋∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln2＜0，h (4)＝5－2ln4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故选B 项．答案：B3．若实数t 满足f (t )＝－t ，则称t 是函数f (x )的一个次不动点．设函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则( )A ．m ＜0B ．m ＝0C ．0＜m ＜1D ．m ＞1解析：函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x 互为反函数，则它们的图像关于直线y ＝x 对称，而函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x 各自的次不动点均在直线y ＝－x 上，所以m ＝0.答案：B4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．由0＜a ＜b ＜c ，知f (a )＞f (b )＞f (c )．又f (a )·f (b )·f (c )＜0，故f (c )＜0，从而f (a )·f (b )＞0.又f (x )的图像在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，故x 0＞c 不可能成立．选D.答案：D5．设a >0且a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3) 有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为__________．解析：∵函数y ＝lg(x 2－2x ＋3)有最小值，f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，∴0<a <1.∴由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3.∴不等式log a(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．答案：(2,3)。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 3-3

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 3-3

自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.答案：A2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3解析：∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案：B3．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.答案：B4．已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. ∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间，故选C.答案：C5．[2014·课标全国Ⅱ]函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为__________．解析：f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.答案：1。

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-5

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-5

自主园地备考套餐加固训练练透考点1．给出下列结论：①当a<0时，(a2)32＝a3；②na n＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)12－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2，且x≠73}；④若2x＝16,3y＝127，则x＋y＝7.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：(a2)32>0，a3<0，故①错，∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝127，∴y＝－3.∴x＋y＝4＋(－3)＝1，故④错．答案：B2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图像经过点(2,1)，则f(x)的值域()A．[9,81] B．[3,9]C. [1,9] D．[1，＋∞)解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C正确．答案：C3．设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则()A. f (－2)>f (－1)B. f (－1)>f (－2)C. f (1)>f (2)D. f (－2)<f (2)解析：∵f (2)＝4，∴a －|2|＝4，a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，则函数f (x )为偶函数，x ≥0时，递增，x <0时，递减，故选A 项．答案：A4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2x －x 2的值域为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2]解析：令t ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≥12. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，故选A 项．答案：A5．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为__________．解析：由题易知，定点为(1,1)，所以m ＋n ＝1，1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋nn ＝n m ＋m n ＋2≥2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时等号成立)．答案：4。