上海市崇明区2019届高三一模数学卷word版附详细复习资料

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则AB =2. 双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =，则u v = 3. 设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -=4. 在52()x x-的展开式中，x 的系数为5. 若复数(i)(34i)z a =++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z 的共轭复数的模等于6. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若222()a b c ++=，则角B 的值为 （用反正切表示）8. 椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 9. 函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为 10. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年11. 点P 1=上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是158，(0,0)O ，(4,0)F ，若OP xOF yOE =+，则x y +的最大值是12. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ） A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-14. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞ D. (0,2)16. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ）A. 25B. 50C. 51D. 100三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点. （1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的体积是，求异面直线1A D 与1AB 所成角的大小.18. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.19. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为25()|log (1)|21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈，其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（1）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中()f x 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？20. 已知抛物线2y x =上的A 、B 两点满足2OA OB ⋅=，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F . （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得||||MF MO λ=（0λ>），若请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标.21. 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.（1）前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+（n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.参考答案一. 填空题1. R2. 3. 2log (1)x -，1x > 4. 405. 6.157. 8. 25(3,4)(4,)49. [2,1]- 10. 戊戌 11. 472012.二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 解答题17、（1）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥……1分 又AB AC =，D 是BC 的中点，BC AD ⊥……2分 1AA 与AD 交于A……1分 所以BC ⊥平面1A AD……2分（2）根据90,,4BAC AB AC BC ︒∠===求得AB AC ==ABC ∆的面积等于4……2分三棱柱111ABC A B C -的体积是4ABC S AA AA AA '''∆⋅=⋅== ……2分如图所示，建立空间直角坐标系，1(0,0,0),D A B 11(2,2,23)(22,0,2A D AB =-=异面直线1A D 和1AB所成的角为θ1111cos AB A D AB A Dθ⋅∴==⋯=1AB所成的角为arccos5. ……4分18、（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点， 则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=……2分sin 032sin 1230A A πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩……4分所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭……1分（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点， 则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=……2分()2sin 03sin 1203A A πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎧⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=--<<⎪⎪⎩⎪⎩……4分所以函数2()43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭……1分19、（1）2511,()log (1)2,[0,24]22a f x x x ==+-+∈ ……2分251()log (1)222f x x =+-+≥……4分 当且仅当4x =时，一天中凌晨4时该市的空气污染指数最低……2分（2）25()log (1)213f x x a a =+-++≤2532log (1)2a x a ∴-≤+≤-……2分25log (1),[0,24]y x x =+∈单调递增∴2132001a a a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<<⎩ ……2分203a ∴<≤……2分20、（1）()2(2,4),,B A t t ，则2242,1t t t +==-，所以(1,1)A -……3分（2）由条件知()2222214x y x y λ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，把2y x =代入得()2221110216yy λλ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭……2分2234λλ⎛⎫∆=- ⎪⎝⎭1,M λ=有2个点……1分2M λ=点存在……1分1,2M λ<<点有4个 ……1分 1,M λ>点有2个……1分0M λ<<点不存在……1分（五类，一类1分）（3）()()222211221212,,,2B x x A x x x x x x +=，解得122x x =-……1分设直线AB 的方程为y kx m =+联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩ 得20x kx t --=，得12,2x x t t =-∴=，所以直线经过定点(0,2)……1分()121OABC 1112224OAB OBC OAB OBF S S S S S x x x ∆∆∆∆=+=+=⨯⨯-+⨯⨯四边形11928x x =+ ……2分3≥= 当且仅当14416,,339x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，面积最小……2分21、（1）1*112(2,)2n n n n S S n n a S --⎧-=≥∈=⎨=⎩N……2分显然1n =时，存在正整数1m =使得11S a =成立符合题意……1分（必须要指出） 2n ≥时，对任意的n 存在正整数1m n =-使得n m S a =成立……1分（注意任意和存在言语的描述，必须要指出正整数1m n =-，这是证明题，否则不给分）（2）因为{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <所以对任意的n 存在正整数m 使得(1)1(1)2n n n d m d -+=+-成立 ……2分当2n =时12m d=+，公差0d <，所以正整数m 只能是1，所以1d =- ……2分验证：2n ≥时，对任意的n 存在正整数(3)42n n m Z -+=∈使得n m S a =成立 ……2分（3）由（2）知，可以构造一个回归的等差数列1(2)n b n a =- 验证：2n ≥时，n 是奇数，3n -是偶数，n 是偶数，3n -是奇数，(3)42n n m Z -+∴=∈……1分对任意的n 存在正整数(3)42n n m -+=，使得n m S b =成立……2分对任意的一个等差数列1(1)n a a n d =+-， 一定得到11(1)(2)n n n c a b a n d n a =-=+---()11n n c c d a -∴-=+是常数，n c ∴是等差数列，首项为0……2分任意的n ，它的前n 项和()1(1)02n n n d a -⨯++，假设它是回归数列，则存在正整数'm 使2得'n m S c =成立，()()()11(1)'12n n d a m d a -∴-=--成立 解得(1)'12n n m Z -=+∈ ……3分。

（第11题图）虹口区2018学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim ________.54n nnnn +→+∞-=+ 2. 不等式21xx >-的解集为_________. 3．设全集{}{}3,2,1,0,1,2log (1),U R A B x y x ==--==-若，则()U A B =I ð_______． 4. 设常数,a R ∈若函数()()3log f x x a =+的反函数的图像经过点()2,1，则a =_______. 5. 若一个球的表面积为4,π 则它的体积为________. 6. 函数8()f x x x=+[)(2,8)x ∈的值域为________. 7．二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为________．8. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为_________.9. 若复数z =sin 1cos i iθθ-（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为_________. 10.已知7个实数1,2,4,,,,a b c d -依次构成等比数列，若从这7个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为__________.11.如图，已知半圆O 的直径4,AB = OAC ∆是 等边三角形，若点P 是边AC （包含端点,A C ）上的动点，点Q 在弧»BC 上，且满足,OQ OP ⊥ 则OP BQ ⋅uur uu u r的最小值为__________.12.若直线y k x =与曲线2log (2)21x y x +=--恰有两个公共点，则实数k 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知,x R ∈则“1233x -<”是“1x <”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( )（第17题图）（A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β15．已知函数21,1,()1,(),11,1,1,x f x a x x g x x x x -≤-⎧⎪=-+=-<<⎨⎪≥⎩若函数()()y f x g x =-恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)(0,1)-∞⋃ （C ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ （D ）(,0)(0,2)-∞⋃16．已知点E 是抛物线2:2(0)C y p x p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的 焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）（A（B（C（D 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4， 点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知函数16()1(0,1)x f x a a a a+=->≠+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值及函数()f x 的值域；(2)若不等式 ()[]331,2x t f x x ⋅≥-∈在上恒成立，求实数t 的取值范围.19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.（第19题图）某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界2()3(),1().AB AD k m BC k m CD k m ====，(1) 求AC 的长及原棚户区建筑用地ABCD 的面积； （2）因地理条件限制，边界,AD DC 不能变更，而 边界,AB BC 可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面积，请在弧 ¼ABC 上设计一点,P 使得棚户区改造后的 新建筑用地（四边形APCD ）的面积最大，并求出这 个面积最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 设椭圆22:1,2x y Γ+=点F 为其右焦点， 过点F 的直线与椭圆Γ相交于点,.P Q (1) 当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；(2) 如图1，点R 的坐标为（2，0），若点S 是点P 关于x 轴的对称点，求证：点,,Q S R 共线；(3) 如图2，点T 是直线:2l x =上的任意一点，设直线,,PT FT QT 的斜率分别为,PT k,,FT QT k k 求证：,,PT FT QT k k k 成等差数列；21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.对于()n n N *∈个实数构成的集合{}12,,,n E e e e =L ,记12E n S e e e =+++L .已知由n 个正整数构成的集合{}12,,,n A a a a =L 12(,3)n a a a n <<<≥L 满足:对于任意不大于A S 的正整数,m 均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于.m （1）试求12,a a 的值；（第20题图1）（第20题图2）（第17题图）（2）求证：“12,,,n a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =， 求证：n 的最小值为11；并求n 取最小值时，n a 的最大值.虹口区2018学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学 参考答案和评分标准 2018年12月一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1．5 2．()1,23. {}1,2 4．8 5．43π6. )9⎡⎣ 7. 60 8 10．4711．2 12.(]{},01-∞⋃二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. A 14. D 15. B 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为2OA =，高为OP = …… 2分 故该圆锥的侧面积为248S OA PA πππ=⋅⋅=⨯⨯=. …… 4分该圆锥的体积21()3V OA OP π=⋅⋅⋅=. …… 6分 （2）以直线,,OC OB OP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,2,0)A -，(0,2,0),B(2,0,0),(0,0,(0,C P D -于是(0,4,0),(2,AB CD ==--u u u r u u u r (10)分故cos ,AB CD AB CD AB CD⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r uu u r u u u r 因此异面直线AB 与CD 所成角的大小为…… 14分 18．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分． 解：（1）由()f x 是R 上的奇函数，知(0)0,f =610, 3.a a a-==+解得（第19题图）此时31(),31x x f x -=+故对于任意的3131,()()0,3131x x x x x R f x f x ----∈+-=+=++有即()f x 是R 上的奇函数；因此实数a 的值为3. …… 4分令31(),31x x f x y -==+则130,1x yy+=>-解得11,y -<<即函数()f x 的值域为()1,1.-…6分（2）解法1：由（1）知31(),31x x f x -=+于是不等式 ()33xt f x ⋅≥-可化为2(3)(2)3(3)0.x xt t -+⋅+-≤ …… 8分 令[][]33,9(1,2)x u x =∈∈因，则不等式2(2)(3)0u t u t -+⋅+-≤在[]3,9u ∈上恒成立.设2()(2)(3),g u u t u t =-+⋅+- 则()0g u ≤在[]3,9u ∈上恒成立， …… 10分等价于(3)0.(9)0g g ≤⎧⎨≤⎩即0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022t g t t t g t t t ≥⎧=-++-≤⎧⎪⇔⇔≥⎨⎨=-++-≤≥⎩⎪⎩因此，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分 （2）解法2：由（1）知31(),31x x f x -=+当[]1,2x ∈时，()0.f x >于是不等式()33xt f x ⋅≥-可化为()233(33)(31)(31)44(31).313131x x x x xx x xt f x --+--≥===----- …… 10分令[][]312,8(1,2)x v x -=∈∈因，则由函数[]4()2,8v v vϕ=-在上递增知，max 15()(8).2v ϕϕ==故由max ()t v ϕ≥恒成立知，实数t 的取值范围为15,.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…… 14分19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分.解：（1）设,AC x =则由余弦定理，得2222222321cos ,cos .223221x x B D +-+-==⋅⋅⋅⋅由四边形ABCD 是圆内接四边形，得180,B D ∠+∠=︒故cos cos 0,B D +=从而2222222232107,223221x x x AC +-+-+=⇔==⋅⋅⋅⋅即……3分从而1cos =60=120.2B B D =⇒∠︒∠︒， ……5分故 11=+23sin 6021sin12022ABC ADC ABCD S S S ∆∆=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒=四边形答：AC (km ）,原棚户区建筑用地ABCD 的面积为2)k m . ……7分（2）解法1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.要使棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积更大，必须使APC ∆的面积最大，即点P 到AC 的距离最大，从而点P 在弦AC 的垂直平分线上，即.PA PC = ……10分于是APC ∆为等边三角形，2()AC = (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD ADC S ∆+==即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m ……14分（2）解法2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得60P B ∠=∠=︒.设1,(,0),sin .2APC PA u PC v u v S uv P ∆==>=⋅∠=则 ……9分在APC ∆中，由余弦定理，有222227=2cos ),APC AC u v uv P u v uv uv ∆=+-⋅∠=+-≥==故APC S ∆≤当且仅当u v ==. (12)分因此，棚户区改造后的新建筑用地APCD 面积的最大值为4424ADC S ∆+=+=即当APC ∆为等边三角形时，新建筑用地APCD 2).k m (14)20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）易知(1,0),F 设11(,),(,),M x y P x y 则由M 为线段FP 的中点，得11111212.022x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ ……2分 于是，由点11(,)P x y 在椭圆22:12x y Γ+=上，得 22(21)(2)12x y -+=，即点M 的轨迹方程为 22(21)82x y -+=. ……5分证：（2）当过点F 的直线与x 轴重合时，点P 与S 重合，点,Q S 分别为椭圆在x 轴的两个顶点，显然点,,Q S R 共线.当过点F 的直线与x 轴不重合时，设其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y =+且则11(,),S x y -由221,1,2x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my ++-=，显然0.∆> 所以 12122221,,22my y y y m m +=-=-++于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQ x y my y RS x y my y =-=-=--=--u u u r u u u r故 22112211,,2121RQ RS y y y y k k x my x my --====---- (8)分所以21121221122()0,11(1)(1)RQ RS y y my y y y k k my my my my -+-=+==----即RQ RS k k =，因此点,,Q S R 共线. (10)（第20题图1）（第20题图2）证：（3）由T是直线:2l x=上的点，可设其坐标为(2,).t当过点F的直线与x轴重合时，有(P Q从而+2,,21PT QT FTtk k t k t====-故2.PT QT FSk k k+= (12)分当过点F的直线与x轴不重合时，其方程为11221,(,),(,),x m y P x y Q x y=+且有11221122,,,212121PT QT FTy t y t y t y t tk k k tx my x my----======-----由(2)知12122221,,22my y y ym m+=-=-++于是121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()2 11(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PT QTFTy t y t y t my y t my my y t m y y t k kmy my my my m y y m y ym m t mt t mm m t km m mm m----+---+++ +=+==-----+++-+++++====+-++++即2,PT QT FSk k k+=综合上述，得,,PT FT QTk k k成等差数列.……16分21. (本题满分18分)本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.解：（1）由条件，知A1S,1.A≤∈必有又12na a a<<<L均为正整数，故1=1.a……2分由条件，知A2S,≤故由AS的定义及12na a a<<<L均为正整数，2,A∈必有于是2=2.a……4分证：（2）必要性由“123,,,,na a a aL成等差数列”及12=1,=2a a得=(1,2,,).ia i i n=L此时{}1,2,3,,1,A n n=-L，满足题设条件；从而12112(1).2A nS a a a n n n=+++=+++=+L L……7分充分性 由条件知12n a a a <<<L ，且它们均为正整数，可得(1,2,,)i a i i n ≥=L ，故 112(1)2A S n n n ≥+++=+L 当且仅当(1,2,,)i a i i n ==L 时，上式等号成立. 于是当1(1)2A S n n =+时,=(1,2,,)i a i i n =L ，从而123,,,,n a a a a L 成等差数列. 因此 “123,,,,n a a a a L 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”. ……10分证：(3)由于n 元集合A 的非空子集的个数为21,n-故当10n =时,10211023,-=此时A的非空子集的元素之和最多表示出1023个不同的正整数,m 不符合要求. ……12分而用11个元素的集合{}1,2,4,8,1632641282565121024M =，，，，，，的非空子集的元素之和可以表示2047个正整数：1,232046,2047.L ,,, 因此当2018A S =时，n 的最小值为11. ……14分 当2018A S =，n 取最小值11时，设101210,S a a a =+++L 由题设得10112018,S a += 并且10111.S a +≥事实上，若10111,S a +<则101111112019201821,2S a a a =+<-⇒>由11,a N *∈故111010.a ≥此时101008,S ≤从而1009m =时，其无法用A 的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！于是由10112018,S a +=与10111,S a +≥可得 101111112019201821,2S a a a =+≥-⇒≤故由11,a N *∈得111009.a ≤ ……16分当11=1009a 时，用{}1,2,4,8,163264128256,498,1009A =，，，，的非空子集的元素之和可以表示出1,2,3，…，2017,2018中的每一个数.因此，当2018A S =时，n 的最小值为11，n a 的最大值为1009. ……18分。

2023学年第一学期高三第一次模拟考试数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1.不等式21x -<的解集为______．【答案】()1,3【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求解.【详解】由21x -<得121x -<-<，解得13x <<，故不等式21x -<的解集为()1,3.故答案为：()1,3.2.双曲线2214y x -=的焦距为_______________.【答案】【解析】【分析】根据2a ，2b ，2c 之间的关系即可求出．【详解】由已知2a =1，2b =4，所以2c =5，所以焦距为【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．3.若复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由复数的概念列方程组求解即可.【详解】由于复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，所以24020m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得2m =，故答案为：2.4.已知等比数列{}n a 首项11a =，公比2q =，则5S =__________．【答案】31【解析】【分析】按照等比数列前n 项和公式计算即可.【详解】11211nn n q S a q-==--，故532131S =-=，故答案为：31.5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．6.已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，则该圆锥的母线长为__________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线.【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以底面圆半径为1=..7.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案.【详解】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3.故答案为：38.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得_______分．【答案】9【解析】【分析】根据平均数的求法求得平均数.【详解】平均数为3578101112101014910+++++++++=.故答案为：99.已知事件A 与事件B 相互独立，如果()0.4P A =，()0.7P B =，则()P A B = __________．【答案】0.42##2150【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案【详解】由事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立，又()0.4P A =，()0.7P B =，则()()()(()1()()10.40.70.42P A B P A P B P A P B ⋂==-=-⨯=故答案为：0.42．10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．__________．【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚【解析】【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.11.已知不平行的两个向量,a b 满足1a = ，a b ⋅=．若对任意的R t ∈，都有2b ta -≥ 成立，则b 的最小值等于__________．【解析】【分析】先由数量积的定义推得m ≥，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.【详解】依题意，设a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，()0b m m => ，因为1a = ，a b ⋅=，所以cos a b θ= ，即cos m θ⋅=，则[]3cos 1,1mθ==-，所以m ≥，因为对任意的R t ∈，都有2b ta -≥成立，所以()24b ta-≥ ，即22224b ta b t a -⋅+≥ ，即2240t m -+-≥对于R t ∈恒成立，故(()22440m ∆=--≤，又0m >，解得m ≥综上，m ≥b..12.已知正实数a b c d ,,,满足22210,1,a ab c d -+=+=则当()()22a cb d -+-取得最小值时，ab =______【答案】212+【解析】【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.【详解】设点(,)a b 与点(,)c d 之间的距离为t ，则()()222t a c b d =-+-，易知()()22a cb d -+-的几何意义是点(,)a b 与点(,)cd 之间的距离的平方，点(,)c d 在以(0,0)为圆心，半径为1的圆上，又210a ab -+=，则1b a a=+，设点(,)a b 与点(0,0)之间的距离为m ，则2222222()2112m a a aa a ab +++===++，故22222122m a a ++=+≥=+，当且仅当a =时取等，此时m 取得最小值，由点与圆的位置关系得min min 1m t -=，此时21(1ab a a a a=+=+，代入a =22112ab a =+=+.故答案为：212+【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于a 的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时()()22a cb d -+-也取得最小值，然后将a 代入目标式，得到所要求的结果即可．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13.已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（）A.[]2,3- B.[]0,3 C.()0,∞+ D.[)2,-+∞【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=-+∞.故选：D.14.若0x y >>，则下列不等式正确的是（）A.x y <B.22x y< C.11x y< D.2x y+【答案】C 【解析】【分析】ABD 举反例即可判断，C 结合反比例函数即可判断.【详解】对A ，若2,1x y ==，则0x y >>，但x y >，A 错误；对B ，若2,1x y ==，则0x y >>，但22x y >，B 错误对D ，若2,1x y ==，则0x y >>，322x y +=>=D 错误；对C ，结合反比例函数1y x =知其在(0,)+∞单调递减，则0x y >>，有11x y<，C 正确.故选：C15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q ：过点M 有且只有一个平面与1AA 和11B C 都平行；2q ：过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交．则以下说法正确的是（）A.命题1q 是真命题，命题2q 是假命题B.命题1q 是假命题，命题2q 是真命题C.命题1q ，2q 都是真命题D.命题1q ，2q 都是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.【详解】已知点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，过点M 的平面为α，如图所示：对于1q ，在平面11AA D D 与平面11BB C C 之间与平面11AA D D 与平面11BB C C 平行的平面均与1AA 和11B C 平行，如平面α，当点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题1q 是真命题；对于2q ，点M 在正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面），假设过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得1AA ，11B C ，M 在同一平面内，与1AA 和11B C 异面矛盾，所以假设错误，所以命题2q 是假命题.故选：A.16.若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ∈，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.9⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ B.,9⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C.3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，分别讨论0a ≤，01a <≤，13a <<，3a ≥的情况，先求出3max x ax b ++-，再求出()3max minxax b++-即可解决问题.【详解】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3m x ax b m +-≤-+≤即3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，记3()x ax b f x -=++，则2()3f x x a '=-+，（1）当0a ≤时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≤恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递减1()a b f x b+-≤≤①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()f x b =，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()1f x a b =--+，从而当0a ≤时，1,2()11,2ab b g b a b a b -≥⎧=⎨--+-⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 111()(222a a gb g --==≥；（2）当0<<3a 时，令()0f x '=，解得x =()f x在区间⎡⎢⎣上单调递增，在⎤⎥⎦上单调递减，(0)f b =，f b =，(1)1=+-f a b ，①当01a <≤时1a b b +-≤，此时1()a b f x b +-≤≤，)α当10a b b +-+<即1122b a <-时，max ()1f x a b =--+，)β当10a b b +-+≥即1122b a ≥-时，max )(f b x =，从而当01a <≤时，1128,22()11,22a b b a g b b b a --+⎧<--=≥--，则()g b在区间11,22a ⎛-∞- ⎝上单调递减，在区间1122a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增,所以min 111()2222a g b g a ⎛=--=-⎝令t =0t <≤，23min 13()22g b t t =-+，记2313()22h t t t =-+，则2()33)3(1)h t t t t t '=-=-，当⎛ ⎝时，()0h t '<恒成立，即()h t在区间⎛ ⎝上单调递减，即min 3()9h t h ==，即min 3()9g b ≥；②当13a <<时1a b b +->，此时()b f x b ≤≤，)α当0b b <即b <时，max ()f x b =-，)β当0b b ++≥即b ≥时，max )(f b x +=，从而当13a <<时，,(),bb g b b b -⎧<=≥，则()g b在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，在区间⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，所以min3()9g b g ⎛==> ⎝；（3）当3a ≥时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≥恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递增，()1b f x a b ≤≤+-①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()1f x a b =+-，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()f x b =-，从而当3a ≥时，1,282()1,2ab a b g b b a b -≥+-⎧=⎨--⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 112)2(()1g a b g a -==≥-；综上所述，min ()9g b =，所以39m ≥.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，2PA AB AD ===，1CD =，90ADC ∠=︒，E ，F 分别为,PB AB 的中点．（1）求证：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面PCF 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设G 是PA 的中点，连接GE ，DG ，证明四边形CDGE 是平行四边形，可得//CE DG ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）先证明CF PF ⊥，再利用等体积法求解即可.【小问1详解】证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，由于E 是PB 的中点，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，112CD AB ==，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，由于CE ⊄PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD .【小问2详解】设点B 到平面PCF 的距离为h ，因为PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ，所以PA CF ⊥，由于//CD AF ，CD AF =，所以四边形ADCF 是平行四边形，由于90ADC ∠=︒，所以CF AB ⊥，由于,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ，所以CF ⊥平面PAB ，又PF ⊂平面PAB ，所以CF PF ⊥，在Rt PAF △中，PF =12PFC S CF PF =⋅=△112△BCF S CF BF =⋅=.由P BCF B PCF V V --=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△，即255BCF PCF S PA h S ⋅=== ，所以5h =，即点B 到平面PCF 的距离为255.18.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，5a =，6b =.（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若三角形的面积4S =△，求c .【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =.【解析】【分析】（1）由题可得3sin 5B =，利用正弦定理即求；（2）利用三角形面积公式可得7sin 4C =，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【小问1详解】因为4cos 5B =-，则,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5B ==.由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，即1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =；【小问2详解】由1sin 2S ab C =△得1572274sin 564S C ab ⨯===⨯△，于是3cos 4C ==±.当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=.当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.19.交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：TPI =实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：TPI[)1,1.5[)1.5,2[)2,4不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．【答案】（1）27；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的折线图，求出2022年元旦及前后共7天中“拥堵”的天数，再利用古典概率计算即得.（2）利用折线图，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数，求出X 的可能值及对应概率即得.【小问1详解】根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27P =.【小问2详解】根据统计数据得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，所以X 的所有可能值为0,1,2，()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====；()125237C C 512C 357P X ⋅====.20.已知抛物线21:4y x Γ=，22:2y x Γ=，直线l 交抛物线1Γ于点A 、D ，交抛物线2Γ于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(4,4)，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD = ，求AOD △与BOC 的面积之比．【答案】20.()1,221.125522.107AOD BOC S S =△△【解析】【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点A 的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标；（2）设00(,)C x y ，得出线段AC 的中点坐标，根据已知列式04y =-，代入方程得出点C 的坐标，即可由两点式得出直线l 的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案；（3）设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y ，根据已知与方程的联立与韦达定理得出31242()y y y y -=-，12342()y y y y +=+，12342y y y y =，设原点O 到直线l 的距离为d ，由弦长公式与三角形面积公式的出AOD BOC S S = ，即可代入化解得出答案.【小问1详解】抛物线24y x =的准线为=1x -，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，代入方程的24y =，解得2y =±，因为点A 位于第一象限，故点A 的坐标为()1,2.【小问2详解】设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++因为线段AC 的中点在x 轴上，所以0402y +=，故04y =-，代入方程得()2042x -=，解得08x =，所以(8,4)C -，所以直线l 的方程为：444484y x --=---，整理得：2120x y +-=所以原点O 到直线l 的距离225521d ==+【小问3详解】由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x yB x yC x y 由2AB CD =，得31242()y y y y -=- ①，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b -+=，因为直线l 与抛物线1Γ交于点A 、D ，所以10kb ∆=->，即1kb <，且124y y k+=，124b y y k =，同理，342y y k +=，342b y y k =，所以12342()y y y y +=+ ②，12342y y y y = ③，由①，②得：23y y =-，代入③得142y y =-，代入②得2434y y =设原点O 到直线l 的距离为d ，所以4412344442103473AOD BOC y y y y S S y y y y ---===--- .【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化.21.已知()sin (R,0)f x mx x m m =+∈≠．（1）若函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列{}n a 是等差数列（公差0d ≠），()n n b f a =．是否存在数列{}n a 使得数列{}n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列{}n a ，并证明此时的数列{}n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m =，是否存在直线y kx b =+满足：①对任意的x ∈R 都有()f x kx b ≥+成立，②存在0x ∈R 使得00()f x kx b =+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m >（2）存在数列{}n a ，数列{}n a 满足：21sin sin 2sin n n n a a a +++=，证明见解析（3）存在直线满足题意，直线方程为1y x =-【解析】【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立，故可得出答案.（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立.再经过化简计算得出结果.（3）首先分析题意，按b 三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为1y x =-.【小问1详解】（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，所以'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立因为函数cos y m x =+的最小值为1m -，所以1m >【小问2详解】sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++-++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅-=对一切正整数n 成立，所以cos 1d =，故()2π0,Z d k k k =≠∈；此时()()11sin sin 12π12πn n n b a ma a n k m a n k =+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112πsin m n k ma a =-++，所以12πn n b b m k +-=为常数，故{}n b 是等差数列【小问3详解】令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b=+-+=-+-则当m ∈Z 时，(2π)2(1)πsin 11b b g m k m k k+=-+--1k >时，存在m ∈Z 使得(2π)01b g m k +<-，即存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符1k =时，()sin g x x b=-当1b >-时，显然存在x ∈R 使得()0g x <，即存在x ∈R 使得()f x kx b<+当1b <-时，对任意的x ∈R 都有()0g x >，当1b =时，存在02x π=-，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x ∈R 都有()f x kx b≥+综上，存在直线y kx b =+满足题意，直线方程为1y x =-19。

上海市崇明县2019学年第一学期期末考试高三数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 一、填空题（每小题5分，共60分）1、已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1lg()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M .2、数列{}n a 满足21=+nn a a )(*∈N n ，且32=a ，则=n a . 3、已知),2(ππα∈，53sin =α，则)43tan(πα+等于 .4、关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21无解，则=m .5、已知圆锥的母线长cm l 15=，高cm h 12=，则这个圆锥的侧面积等于 cm 2.6、设等差数列{}n a 的首项21=a ，公差2=d ，前n 项的和为n S ，则=-∞→nn n S n a 22lim. 7、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为 . 8、阅读右图的程序框图，若输入4=m ，6=n ，则输出=a ，=i .（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”，n 整 除a ，即a 为n 的倍数）9、设常数421,0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>x ax a 的展开式中3x 的系数为23， 则)(lim 2n n a a a +⋯++∞→= .10、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x xA ，{}a b x xB <-=，若“a ＝1” 是“φ≠⋂B A ”的充分条件， 则b 的取值范围是 .11、（文科）不等式)61(log 2++x x ≤3的解集为 .（理科）在2x y =上取动点(]5,0),,(2∈a a a A ，在y 轴上取点)41,0(2++a a M ，OAM ∆面积的最大值等于 .12、已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，)(x f 与)(x g 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 .二、选择题（每小题4分，共16分）13、已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11………………………（ ） (A) 1+2i(B) 1-2i(C) 2+i(D) 2-i14、已知函数x x x x f sin )cos (sin )(-=，R x ∈，则)(x f 的最小正周期是…………………（ ）(A)2π(B) π (C) π2 (D) π415、设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是………………………（ ） (A) b a -≤c b c a -+- (B) ba b a -+-1≥2 (C) 221aa +≥aa 1+(D) 22b a +≥ab 216、对于函数)(x f 定义域中任意的1x ，2x )(21x x ≠，有如下结论：①)(·)()(2121x f x f x x f =+；②)()()·(2121x f x f x x f +=；③2121)()(x x x f x f --＞0；④)2(21x x f +＜2)()(21x f x f +. 当x x f lg )(=时，上述结论中正确结论的序号是………………………………………（ ） (A) ①② (B) ③④ (C) ②③ (D) ②④三、解答题（本大题共有5题，满分74分，解答下列各题必须写出必要的步骤） 17、（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形， P A ⊥底面ABCD ，P A ＝4，M 为P A 的中点，N 为BC 的中点. （文科）（1）求四棱锥P-ABCD 的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小.（理科）（1）求点B 到平面PCD 的距离；（2）求二面角M-ND-A 的大小.N18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）设)1,(cos ),2cos ,sin 2(-==x OB x x OA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx .（1）当⊥时，求x 的值.（2）若x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值与最小值，并求出相应x 的取值.19、（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分）某商务中心有相同规格商务用房100套，当每套商务用房的月租金为3000元时可全部租出。