2021上海崇明区高三数学一模试卷

上海市崇明县2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r ，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13- D ．1-【答案】D【解析】【分析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】 解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=- 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．2．下列命题中，真命题的个数为（ ）①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题；③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题.故选：C.【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．3．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ） A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.【详解】 为得到11sin 222y cosx x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再将1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 向左平移6π个单位长度， 故可得111sin sin 236222y x x cosx πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13-D ．13 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e-=-=-===， 解得3a =，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.5．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()U M N ⋂=ð（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥ 【答案】A【解析】【分析】先求出U M ð，再与集合N 求交集.【详解】由已知，{|1}U M x x =≥ð，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>ð.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.6．若1(1)z a i =+-（a R ∈），||z =a =（ ） A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1 【答案】A【解析】【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.7．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2 【答案】B【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6B ．3C ．93222-D ．93222+ 【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】【分析】 根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.【详解】由题意，执行上述程序框图，可得第1次循环，满足判断条件，1,1S k ==；第2次循环，满足判断条件，2,2S k ==；第3次循环，满足判断条件，8,3S k ==；第4次循环，满足判断条件，64,4S k ==；不满足判断条件，输出64S =.故选：C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．233D ．433【答案】A【解析】【分析】 根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，2AD =，3AE =2AB =. ∴该几何体的体积为1232232V =⨯= 故选：A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题. 11．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r ，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32- 【答案】C【解析】【分析】 将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r ，再利用投影公式AD AB AB⋅u u u r u u u r u u u r 可得答案.【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u u r u u u r ，得6AD AB ⋅=u u u r u u u r， 则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u r u u u r . 故选：C.【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示是关键，是基础题.12．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒ 【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届上海市崇明中学高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.在△ABC中，是的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.原命题“若x≥3，则x<0”的逆否命题是()A. 若x≥0，则x<3B. 若x<3，则x≤0C. 若x<0，则x≤3D. 若x>3，则x≥03.若数列的前项和，则数列的通项公式()A. B. C. D.4.已知数列{a n}的前n项为S n，且满足关系式lg(S n−1)=n(n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式a n=()A. 9⋅10n−1B. {11,n=19⋅10n−1,n≥2C. 10n+1D. {9,n=110n+1,n≥2二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左右焦F1，F2，若椭圆C上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则C的离心率的取值范围是______ ．6.已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2−2m−1是幂函数，则m=______ ．7.已知非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，|b⃗ |=3，a⃗⊥(2a⃗−b⃗ )，则|a⃗|=______ ．8.设α和β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、O在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．9.三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为______．10.已知函数y=mx的图象与函数y=|x|−1|x−1|的图象没有公共点，则实数m的取值范围______．11.数列{a n}是公差不为零的等差数列，它的前n项的和为S n，若S3=15且a2，a4，a5成等比数列，则S9的值为______．12.如图，圆锥型容器内盛有水，水深3dm，水面直径2√3dm放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，则该铁球的体积为______dm13.(几何证明选讲选做题)已知圆的直径AB=10，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD<BD)，若CD=4，则AC的长为______ ．14.已知函数，，，实数是函数的一个零点．给出下列四个判断：①；②；③；④.其中可能成立的是(填序号)15.已知等差数列的前项和是，则使的最小正整数等于+ 16.已知数列{a n}的通项公式为a n=−n+t，数列{b n}的通项公式为b n=3n−3，设c n=a n+b n2|a n−b n|，在数列{c n}中，c n≥c3(n∈N+)，则实数t的取值范围为______．2三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=−.(1)求sin C的值；(2)当a=2，2sin A=sin C时，求b及c的长．18.如图，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．(Ⅰ)求证：AD⊥PB；(Ⅱ)若多面体ABCDP的体积是2√6，求直线PD与平面ABCD所成的角．919.设二次函数f(x)=x 2+bx+c(b，c∈R)，已知不论、β为何实数恒有f(sin)≥0和f(2+cosβ)≤0(1)求证b+c=−1；(2)求证c≥3；(3)若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值20. (本小题12分)已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点。

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，∵S=AB×BC=2×2=4，正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

上海市崇明县2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知先求出1max ()2n f x -=，即12n n a -=，进一步可得21nn S =-，再将所求问题转化为292nn k -≥对于任意正整数n 恒成立，设n c =292nn -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，11()2[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，1max ()2n f x -=，故12n n a -=，1(12)2112n n n S ⨯-==--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即292nn k -≥对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n nn n c c ++--=，令111202n n +->，解得112n <， 令111202n n +-<，解得112n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633264c ==，所以364k ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.2．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-Q ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-Q 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤Q 对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A B ．3C D ．【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．6．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43π B ．4π C ．323πD ．【答案】A 【解析】 【分析】由AC BC ⊥,PB ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -还原成长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为1,AC BC AC BC ==⊥,所以AB ==设PB h =,则由2PA PB =,可得232h h +=,解得1h =, 可将三棱锥P ABC -还原成如图所示的长方体,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为R ,则22221(2)12R =++=,所以1R =,所以外接球的体积34433V R ππ==. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．6C 23D 3【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为bx y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =u u u r u u u r 得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【详解】由题意可知直线l 的方程为bx y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =-将x by c =-代入双曲线方程2221y x b-=中，得到()4234120b y b cy b +--=设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =u u u r u u u r ，可得122y y =-，故32442242121b cy b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则3c ==所以双曲线离心率c e a ==故选：A 【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.8．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得,13i23iz =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ，由正弦定理可得2324sin120AD ==o，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.故选：C 【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.10．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=，所以四棱锥的体积2313646=(42)423V cm ⨯⨯=，应选答案B ． 11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C 13D 22【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==22PAC S ∆，2ABC S ∆=22选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 2212665+=6，所以椭圆离心率26251565e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以25e ⎛∈ ⎝⎦.故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届上海市高三上学期一模暨春考模拟考试数学试卷（十二）★祝考试顺利★(含答案)一.填空题:1.不等式2log 1|021x >的解为____.2.已知复数z 满足(1+i)·z=4i (i 为虚数单位),则Z 的模为____.3. 若函数y=f(x)的图像恒过点(0,1),则函数1()3y f x -=+的图像一定经过定点____.4. 若一个球的体积是其半径的43倍,则该球的表面积为____. 5.在一个袋中装有大小､质地均相同的9只球,其中红色､黑色､白色各3只,若从袋中随机取出两个球,则至少有一个红球的概率为_____. (结果用最简分数表示)6.设(x 5236012361)(1)x a a x a x a x a x -+=+++++, 则3a =____(结果用数值表示)7.在△ABC 中,边a ､b ､c 满足a+b=6,∠C=120°,则边c 的最小值为____.8.若函数2y ax a =+,则实数a 的取值范围是____.9.已知数列{}n a 中,111,(1)1,n n a na n a +==++若对于任意的[]*2,2a n N ∈-∈､,不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立,则实数t 的取值范围为____. 10. 已知函数22()(815)()(,,)f x x x ax bx c a b c =++++∈R 是偶函数,若方程21ax bx c ++=在区间[1,2]上有解,则实数a 的取值范围是____.11.设P是长为123456A A A A A A 的边上的任意一点,长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦,PM PN ⋅的取值范围为____.12.若M ､N 两点分别在函数y= f(x)与y=g(x)的图像上,且关于直线x=l 对称,称M ､N 是y= f(x)与y=g(x)的一对“伴点”(M ､N 与N ､M 视为相同的一对),已知2(),()||12x f x g x x a x ⎧<⎪==++≥,若y= f(x)与y= g(x)存在两对“伴点”,则实数a 的取值范围为____.二.选择题:13.下列命题正确的是()(A)如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行(B)如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条直线垂直于这个平面(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面(D)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行14. “m∈{1,2}”是“lnm<1”的成立的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15. 已知点A(1,-2),B(2,0), P 为曲线y =,则AP AB ⋅的取值范围为()(A) [1,7](B) [-1,7] ()[1,3C + ()[1,3D -+ 16.直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点11(,),P a b 则ab 的最大值为() 7.6A .4B - .5C -.6D -三.解答题:17. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数2()2cos 2.f x x x =(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC 中,6BC BA ⋅=,若函数f(x)的图像经过点(B,2), 求△ABC 的面积.18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图所示,某地出土的一种“钉” 是由四条线段组成,其结构能使它任意抛至水平面后,总有一端所在的直线竖直向上,并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O,钉尖为i A (i=1,2,3,4) .(1)记(0)i OA a a =>,当123A A A 、、在同一平面内时,求1OA 与平面123A A A 所成角的大小(结果。

共4页第1页2023学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．不等式21x -<的解是．2．双曲线2214y x -=的焦距是．3．若复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为．4．已知等比数列{}n a 首项11a =，公比2q =，则5S =．5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为．（用数字作答）拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11．已知不平行的两个向量,a b 满足1a = ，a b ⋅=．若对任意的t ∈R ，都有2b ta - ≥成立，则b 的最小值等于．共4页第2页12．已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，ab =．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13．已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B = （）A ．[]2,3-B ．[]0,3C ．(0,)+∞D ．[)2,-+∞11111q ：过点M 有且只有一个平面与1AA 和11B C 都平行；2q ：过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交．则以下说法正确的是A ．命题1q 是真命题，命题2q 是假命题B ．命题1q 是假命题，命题2q 是真命题C ．命题1q ，2q都是真命题D ．命题1q ，2q 都是假命题16．若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ∈，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD，AB CD ∥，2PA AB AD ===，1CD =，90ADC ∠=︒，E 、F 分别为PB 、AB 的中点．（1）求证：CE ∥平面PAD ；（2）求点B 到平面PCF 的距离．共4页第3页18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）在ABC △中，5a =，6b =．（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC △外接圆半径R 的值；（2）若ABC △的面积S =c 的值．19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．共4页第4页20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知抛物线21:4y x Γ=，22:2y x Γ=，直线l 交抛物线1Γ于点A 、D ，交抛物线2Γ于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(4,4)，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD =，求AOD △与BOC △的面积之比．21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知()sin (R 0)f x mx x m m =+∈≠且．（1）若函数()y f x =是实数集R 上的增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列{}n a 是等差数列（公差0d ≠），()n n b f a =．是否存在数列{}n a 使得数列{}n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列{}n a ，并证明此时的数列{}n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m =，是否存在直线y kx b =+满足：①对任意的x ∈R 都有()f x kx b +≥成立，②存在0x ∈R 使得00()f x kx b =+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．共4页第5页崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1.（1，3）；2. 3.2；4.31；5.10；6.；7.3；8.9；9.0.42；10.假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚；11.；12.212+.二、选择题13.D ；14.C ；15.A ；16. A.三、解答题17.解（1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分（2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF⊥在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分由P BCF B PCF V V --=得1133BCF PCF S PA S h⋅=⋅△△所以255h =，即点B 到平面PCF 的距离为255.......................................7分18.解（1）因为4cos 5B =-，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分所以1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分（2）由1sin 2ABC S ab C =△得1572274sin 564ABC S C ab ⨯===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=.....................6分共4页第6页当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====；()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20.解（1）抛物线24y x =的准线为1x =-，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分（2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,22x y ++由题意，402y +=，故04y =-，所以(8,4)C -.....................2分所以直线l 的方程为：2120x y +-=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离5d ==.....................6分（3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x yB x yC x y 由2AB CD =，得31242()y y y y -=-①，.....................2分由24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b -+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k +=，342by y k=.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =-，代入③得142y y =-，代入②得2434y y =所以4412344442103473AOD BOCy y S y y S y y y y ---===---△△...............................................................8分共4页第7页21.解（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分因为函数cos y m x =+的最小值为1m -，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++-++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅-=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =，故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=-++，所以12n n b b m k π+-=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列.（3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b=+-+=-+-则当m Z ∈时，(2)2(1)sin 11b bg m k m k kππ+=-+--1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<-，即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b=-当1b >-时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+当1b <-时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分当1b =时，存在02x π=-，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b≥+综上，存在直线1y x =-满足题意..................................8分。

2021 年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，其中1-6 题每题4 分，7-12 题每题5 分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．（4 分）复数i（2+i）的虚部为．2．（4 分）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．3．（4 分）已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x|≥0，x∈R}，则M∩P 等于．4．（4 分）抛物线y=x2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为．5．（4 分）已知无穷数列{a n}满足a n+1=a n（n∈N*），且a2=1，记S n为数列{a n} 的前n 项和，S n= ．6．（4 分）已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x•y 的最大值为．7．（5 分）已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的表面积为．8．（5 分）若（2x2+）n n∈N*的二项展开式中的第9 项是常数项，则n=．9．（5 分）已知A，B 分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的最小正周期是．10．（5 分）将序号分别为1，2，3，4，5 的5 张参观券全部分给4 人，每人至少1 张，如果分给同一人的2 张参观券连号，那么不同的分法种数是．11．（5 分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k 个格点，则称函数y=f（x）为k 阶格点函数．已知函数：①y=x2；②y=2sinx，③y=πx﹣1；④y=cos（x+）．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）12．（5 分）已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点．若f（λ）=|。

1崇明区2021学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷2021.12考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.已知集合{1,2},{,3}A B a ==,若{1}A B ⋂=,则A B ⋃=_______;2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+(i 是虚数单位),则复数z 的模等于_______;3.若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,解为02x y =⎧⎨=⎩,则12c c +=_______;4.计算:2213lim 124n n n n →∞⎡⎤-⎛⎫+=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦_______;5.已知(12)nx +的展开式的各项系数之和为81,则n =_______;6.直线20y -=与直线21y x =-的夹角大小等于_______;(结果用反三角函数值表示).7.在ABC中,已知8,5,a b c ===,则ABC 的面积S =_______;8.若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的母线与底面所成角的大小等于_______;9.第24届冬季奥林匹克运动会计划于2022年2月4日在北京开幕,北京冬奥会的顺利举办将成为人类摆脱和超越疫情的标志性事件,展现人类向更美好的末来进发的期望和理想.组织方拟将4名志愿者全部分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作（每个场馆至少分配一名志愿者),不同的分配方案有_______种.10.设函数5()sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭的零点为123,,x x x ,若123,,x x x 成等比数列,则m =_______;211.已知双曲线2212:1y x bΓ-=的左、右焦点分别为12F F 、,以O 为顶点2F 为焦点作抛物线2Γ.若双曲线1Γ与抛物线2Γ交于点P ,且1245PF F ︒∠=,则抛物线2Γ的准线方程是_____;12.已知无穷数列{}n a 各项均为整数,且满足24141(1,2,3,)n n a a a n -=-<=⋯，,{}1,2(,1,2,)m n m n m n a a a a a m n +∈++++=⋯,则该数列的前8项和8S =_______;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是()A.13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.3log y x= C.1y x= D.2(1)y x =-14.不等式2301xx ->-的解集为()A.3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.2,13⎛⎫⎪⎝⎭15.设O 为ABC 所在平面上一点.若实数x、y、z 满足()22200xOA yOB zOC x y z ++=++≠ ,则“0xyz =”是“点O 在ABC 的边所在直线上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件.16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一(如图),给出下列两个命题:命题1q :曲线C 上任意一点到原点;命题2q :曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3;则下列说法正确的是()A.命题1q 是真命题,命题2q 是假命题B.命题1q 是假命题,命题2q是真命题3C.命题12,q q 都是真命题D.命题12,q q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1,高为2,M 为线段AB 的中点.(1)求三棱锥1C MBC -的体积;(2)求异面直线CD 与1MC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()6cos 23(0)f x x x ωωω=+->的最小正周期为8.(1)求ω的值及函数()f x 的单调减区间;(2)若()05f x =,且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）保障性租赁住房,是政府为缓解新市民、青年人住房困难,作出的重要决策部署.2021年7月,国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后,国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召,某地区计划2021年新建住房40万平方米,其中有25万平方米是保障性租侦住房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外,每年新建住房中,保障性租货住房的面积均比上一年增加5万平方米.(1)到那一年底,该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米?(2)到那一年底,当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?4520．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图,已知椭圆22:143x y C +=的左焦点为1F ,点P 是椭圆C 上位于第一象限的点,M,N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方),满足PM PN⊥且11F M F N ⊥,线段PN 交x 轴于点Q .(1)若152F P =,求点P 的坐标;(2)若四边形1F MPN 为矩形,求点M 的坐标;(3)求证:||||PQ QN 为定值.621．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为D 的函数()y f x =,区间.I D ⊆若{(),}y y f x x I I =∈=∣,则称()y f x =为I 上的闭函数：若存在常数(0,1]α∈,对于任意的12,x x I ∈,都有()()1212f x f x x x α-- ,则称()y f x =为I 上的压缩函数.（1）判断命题“函数()[0,1])f x x =∈既是闭函数,又是压缩函数”的真假,并说明理由;（2）已知函数()y f x =是区间[0,1]上的闭函数,且是区间[0,1]上的压缩函数,求函数()y f x =在区间[0,1]上的解析式,并说明理由;(3)给定常数0k >,以及关于x 的函数()1kf x x=-,是否存在实数()a b a b <、,使得()y f x =是区间[a,b]上的闭函数,若存在,求出a、b 的值,若不存在,说明理由.7崇明区2022届第一次高考模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1.{1,2,3}；2. 3.12； 4.12-； 5.4； 6.arctan 2（arccos5）；7.12；8.3π；9.36；10.2；11.1x =-；12.2-.二、选择题13.B ；14.D;15.C;16.A.三、解答题17.解：（1）由题意，得：2BC =，1BM =，BC BM ⊥，1C C ⊥平面ABCD ...........3分所以三棱锥1C MBC -的体积1111111233226BMC V S C C =⋅=⨯⨯⨯⨯= ..................................7分（2）因为//AB CD ，所以1C MB ∠就是异面直线CD 与1MC 所成的角（或其补角）..............................2分因为AB ⊥平面11BCC B 所以1AB BC ⊥1Rt MC B ∆中，1BC =，12MB =所以11tan BC C MB BM∠==所以1arctan C MB ∠=..............................6分所以异面直线CD 与1MC所成的角大小为arctan ...........................7分18.解：（1）()3cos 223f x x x x πωωω==+.........................................2分由题意，得：282T πω==，所以8πω=.........................................4分所以()sin(43f x x ππ=+由322,2432k x k k Z ππππππ+≤+≤+∈，得：21488,33k x k k Z +≤≤+∈所以函数()y f x =的单调减区间是214[8,833k k k Z ++∈...............................................7分8（3）由0()5f x =，得：05)43x ππ+=，所以045sin()43x ππ+=，因为0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0(,)4322x ππππ+∈-，所以03cos()435x ππ+=........................................4分所以0000(1)sin(3[sin()cos cos(434434434f x x x x πππππππππ+=++=+++=分19.解：（1）设从2021年起，每年建造的保障性租赁住房的面积形成数列{}n a .由题意，可知{}n a 是等差数列，其中125a =，5d =，故历年所建保障性租赁住房的累计面积2(1)545255222n n n S n n n -=+⨯=+...............3分令254547522n n +≥，因为*n N ∈，所以解得10n ≥...................5分因此，到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米...................................................6分（2）设从2021年起，每年建造的住房面积形成数列{}n b .由题意，可知{}n b 是等比数列，其中140b =， 1.08q =故140(1.08)n n b -=⨯又由（1）知，255(1)520n a n n =+-=+.........................................................4分令0.85n n a b >，即152040(1.08)0.85n n -+>⨯⨯，于是1520(1.08)34n n -+<.........................................................6分使用计算器计算出相应的数据，列表如下：n1234561(1.08)n -11.081.16641.259711.360491.46933952034n +0.735290.88235 1.02941 1.17647 1.32353 1.47059解得满足上述不等式的最小整数6n =因此，到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.........................................................8分20.解：（1）设1111(,)(0,0)P x y x y >>，由题意，1(1,0)F -所以15||2F P =，又2211143x y +=所以11132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点P 坐标为3(1,)2........................4分（2）连结1F P ，交MN 于点R ，则R 为1F P 中点，且R 为MN 中点所以3(1,)2P ，3(0,)4R 设(0,)(0)M m m >，(0,)N n ，则32m n +=........................2分又11(1,)(1,)10F M F N m n mn ⋅=⋅=+=........................4分所以2m =，故点M 的坐标是(0,2)........................5分（3）由（2）知，11(1,)(1,)10F M F N m n mn ⋅=⋅=+= ，所以1n m=-，由题意，221111111(,)(,)()0MP NP x y m x y n x y m n y mn ⋅=-⋅-=+-++=又2211143x y +=所以21113(90y m y m+--=........................4分所以13y m=或13y m =-（舍去）所以13||31||N PQ y m QN y m ===，为定值........................7分21.解：（1）命题为假命题，........................1分取10x =，214x =，121211()(),24f x f x x x --==10所以不存在常数(]0,1α∈，对于任意的1x ，2x I ∈，都有1212()()f x f x x x α--≤即函数()f x =([0,1])x ∈不是压缩函数.........................4分（2）因为函数()y f x =是[0,1]上的闭函数，所以{|(),[0,1]}[0,1]y y f x x =∈=设,[0,1],()0,()1a b f a f b ∈==，则1|()()|||1f a f b a b αα=-≤-≤≤所以1α=，||1a b -=所以01a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩........................2分当01a b =⎧⎨=⎩时，任取0(0,1)x ∈，若00()f x x >，则00|()(0)||0|f x f x ->-，与函数()y f x =是[0,1]上的闭函数矛盾若00()f x x <，则0000|()(1)|1()1|1|f x f f x x x -=->-=-，与函数()y f x =是[0,1]上的闭函数矛盾所以()f x x =........................4分同理，当10a b =⎧⎨=⎩时，()1f x x =-综上所述，函数()f x x =或()1f x x =-.........................6分（3）因为()|1|0kf x x=-≥，所以0a b ≤<当0a =时，函数值(0)f 不存在，所以0a >，故k a b <<或a b k <<................2分①当k a b <<时，()1kf x x=-，函数在区间[,]a b 上单调递增，所以()()f a a f b b=⎧⎨=⎩，所以a ，b 是1kx x -=，即20x x k -+=的两个根所以214012(0)k a b k ab k k k ⎧∆=->⎪=+>⎨⎪=>>⎩，即104k <<，此时a b ==....................5分②当a b k <<时，()1kf x x=-，函数区间[,]a b 上单调递减所以()1()1k f a b ak f b ab ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，所以a b =，与a b <矛盾.............................................................7分综上所述，当14k<<，此时11411422a b==，当14k≥时，a，b不存在........................8分11。

2020-2021学年上海市崇明区高三一模考试数学试卷2020.12一．填空题（本题有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）1、设集合，集合，则=_____________【参考答案】【解析】集合，集合，则=2、不等式的解集是_____________【参考答案】【解析】，得解集是3、已知复数满足，i是虚数单位，则z=____________【参考答案】【解析】共轭复数4、设函数的反函数为，则=___________【参考答案】【解析】反函数定义5、点到直线的距离是________________【参考答案】【解析】点到直线距离公式6、计算=______________【参考答案】【解析】考查等差数列前n项和与极限定义7、若关于的方程组无解，则实数__________【参考答案】【解析】8、用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数是___________（结果用数值表示）【参考答案】【解析】先考虑个位，再看首位，则奇数个数9、若的二项式展开式中有一项为，则m=___________【参考答案】【解析】，令，得10、设O为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别相交于D、E两点，若面积为1，则双曲线的焦距最小值为______________【参考答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，故因为面积为，所以又，所以11、已知函数，若对任意的，都有，（为常数），且当时，，则____________【参考答案】【解析】∵对任意，都有，（为常数）∴（为常数）,得,故的周期为 4.则12、已知点D为圆O：的弦的中点，点的坐标为，且则的取值范围为_________【参考答案】【解析】设，又，，则有，，又点在圆，上，则点D为圆O：的弦MN的中点，则点D的横坐标不能取则x的取值范围为，即的取值范围为二、选择题（本题有4题，每小题5分，满分20分）13、，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【参考答案】D【解析】特殊值。