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高数知识点总结(上册)

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高等数学知识点总结（上册）

第一章：函数、极限与连续性

1.1 函数

定义：变量之间的依赖关系。

性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

1.2 极限

定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。

性质：唯一性、局部有界性、保号性。

1.3 无穷小与无穷大

无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。

无穷大：函数值趋于无限。

1.4 连续性

定义：在某点的极限值等于函数值。

性质：连续函数的四则运算结果仍连续。

第二章：导数与微分

2.1 导数

定义：函数在某一点的切线斜率。

几何意义：曲线在某点的瞬时速度。

2.2 基本导数公式

幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。 第 2 页 共 4 页 2.3 高阶导数

定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。

2.4 微分

定义：函数在某点的线性主部。

第三章：导数的应用

3.1 切线与法线

几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。

3.2 单调性与极值

单调性：导数的符号与函数的增减性。

极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。

3.3 曲线的凹凸性与拐点

凹凸性：二阶导数的符号。

拐点：凹凸性改变的点。

第四章：不定积分

4.1 不定积分的概念

定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。

4.2 基本积分公式

幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。

4.3 积分技巧

换元积分法：凑微分法、代换法。

分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。 第 3 页 共 4 页 第五章：定积分

5.1 定积分的概念

定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。

5.2 定积分的性质

线性：可加性、可乘性。

区间可加性：积分区间的可加性。

5.3 定积分的计算

数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。

5.4 定积分的应用

面积计算：曲线与x轴围成的面积。

物理意义：质量、功、平均值等。

第六章：多元函数微分学

6.1 多元函数的极限与连续性

定义：多元函数在某点的极限和连续性。

6.2 偏导数与全微分

偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。

全微分：多元函数的微分。

6.3 多元函数的极值

定义：多元函数在某点的最大值或最小值。

6.4 条件极值

拉格朗日乘数法：求解多元函数的条件极值。 第 4 页 共 4 页 第七章：常微分方程

7.1 一阶微分方程

可分离变量方程：变量可分离的微分方程。

一阶线性微分方程：线性形式的一阶微分方程。

7.2 高阶微分方程

二阶微分方程：具有二阶导数的微分方程。

7.3 微分方程的应用

物理模型：微分方程在物理问题中的应用。

结语

总结本学期高等数学上册的学习内容，强调数学思维的重要性和数学工具的应用价值。

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高数知识点总结

高数知识点总结

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1limlim020xxxxxxx

4、两个重要极限：exexxxxxxxx11lim1lim)2(1sinlim)1(100

经验公式：当)(,0)(,0xgxfxx，)()(lim)(00)(1limxgxfxgxxxxexf

例如：33lim10031limeexxxxxx

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。

6、导数的定义：0000')()(lim)(')()(lim0xfxxxfxfxfxxfxxfxxx

7、复合函数求导：)(')(')(xgxgfdxxgdf•

例如：xxxxxxxyxxy24122211',

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：yxdxdyydyxdxyxyyyxyx22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法

9、由参数方程所确定的函数求导：若)()(thxtgy，则)(')('//thtgdtdxdtdydxdy，其二阶导数：)(')('/)('/)/(/22thdtthtgddtdxdtdxdyddxdxdyddxyd

10、微分的近似计算：)(')()(000xfxxfxxf• 例如：计算 31sin 11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxysin（x=0是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：xxf1sin)(（x=0是函数的振荡间断点），xy1（x=0是函数的无穷间断点）

同济大学___高数上册知识点

同济大学___高数上册知识点

高等数学（上）期末复习要点

第 1 页 共 9 页 高等数学上册复习要点

一、 函数与极限

（一） 函数

1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；

2、 反函数、复合函数、函数的运算；

3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；

4、 函数的连续性与间断点；

函数)(xf在0x连续

)()(lim00xfxfxx

第一类：左右极限均存在.

间断点 可去间断点、跳跃间断点

第二类：左右极限、至少有一个不存在.

无穷间断点、振荡间断点

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.

（二） 极限

1、 定义

1） 数列极限

axNnNaxnnn , , ,0lim

2） 函数极限

AxfxxxAxfxx)( 0 , ,0 ,0)(lim00时，当

左极限：)(lim)(00xfxfxx 右极限：)(lim)(00xfxfxx 高等数学（上）期末复习要点

第 2 页 共 9 页 )()( )(lim000xfxfAxfxx存在

2、 极限存在准则

1） 夹逼准则：

1）)(0nnzxynnn

2）azynnnnlimlim axnnlim

2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.

3、 无穷小（大）量

1） 定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

Th1 )(~o;

Th2 limlim lim,~,~存在，则（无穷小代换）

(完整版)高数知识点总结

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高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1limlim020xxxxxxx

4、两个重要极限：exexxxxxxxx11lim1lim)2(1sinlim)1(100

经验公式：当)(,0)(,0xgxfxx，)()(lim)(00)(1limxgxfxgxxxxexf

例如：33lim10031limeexxxxxx

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。

6、导数的定义：0000')()(lim)(')()(lim0xfxxxfxfxfxxfxxfxxx

7、复合函数求导：)(')(')(xgxgfdxxgdf•

例如：xxxxxxxyxxy24122211',

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：yxdxdyydyxdxyxyyyxyx22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法

9、由参数方程所确定的函数求导：若)()(thxtgy，则)(')('//thtgdtdxdtdydxdy，其二阶导数：)(')('/)('/)/(/22thdtthtgddtdxdtdxdyddxdxdyddxyd

10、微分的近似计算：)(')()(000xfxxfxxf• 例如：计算 31sin 11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxysin（x=0是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：xxf1sin)(（x=0是函数的振荡间断点），xy1（x=0是函数的无穷间断点）

(完整word版)高数上册知识点总结

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高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1limlim020xxxxxxx

4、两个重要极限：exexxxxxxxx11lim1lim)2(1sinlim)1(100

经验公式：当)(,0)(,0xgxfxx，)()(lim)(00)(1limxgxfxgxxxxexf

例如：33lim10031limeexxxxxx

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。

6、导数的定义：0000')()(lim)(')()(lim0xfxxxfxfxfxxfxxfxxx

7、复合函数求导：)(')(')(xgxgfdxxgdf•

例如：xxxxxxxyxxy24122211',

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：yxdxdyydyxdxyxyyyxyx22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法

9、由参数方程所确定的函数求导：若)()(thxtgy，则)(')('//thtgdtdxdtdydxdy，其二阶导数：)(')('/)('/)/(/22thdtthtgddtdxdtdxdyddxdxdyddxyd

10、微分的近似计算：)(')()(000xfxxfxxf• 例如：计算 31sin 11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxysin（x=0是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：xxf1sin)(（x=0是函数的振荡间断点），xy1（x=0是函数的无穷间断点）