人教版高中数学选修22第二章第3节《数学归纳法典型例题 》专题

庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;(2)(归纳推理)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.深化升华①数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须是真实可靠的;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.这两步各司其职,缺一不可.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步而仅有第二步,命题也有可能是假命题.②数学归纳法的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学的方法,使我们认识到由繁到简,由特殊到一般,由有限到无穷的数学思想.知识拓展归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法,根据考察的对象是全部还是部分,归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法.二、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他的方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.要点提示在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1时也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.2.用数学归纳法证明整除问题对于整数a,b,如果a=b·c,c为整数,则称a能被b整除;对于多项式A,B,如果A=B·C,C为整式,则称A能被B整除.由多项式的定义容易得出:对多项式A,B,C,P,如果A能被C整除,那么PA也能被C整除;如果A,B能被C整除,那么A+B或A-B也能被C整除.疑点突破用数学归纳法证明整除问题,P(k) P(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形是关键的一步.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式分拆配凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在P(k) P(k+1)递推时,找出从n=k到n=k+1时的递推公式,这是关键所在.方法点拨分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P(k)的基础上增加了多少,就能找出相应的递推关系.问题·探究问题有两堆棋子数目相等,均为n颗,两人做游戏,轮流取子,规定每人可在其中任一堆里每次取走若干颗,但不能不取,也不能同时从两堆里取,直至取尽,取到最后一颗棋子者为胜者.你能用数学知识证明后者取胜吗?思路:这是一个与正整数有关的问题,所以可以考虑利用数学归纳法来处理.探究:(1)当n=1时,即两堆中,每堆各一颗,先取者只能在其中一堆里取一颗,则另一堆的一颗是最后一颗,由后者取得,问题得证.(2)假设当n≤k 时,命题正确,即后者取胜;那么当n=k+1时,若先取者取走l 颗棋子(1≤l≤k+1),这样一堆还剩下(k+1-l)≤k 颗,另一堆仍有k+1颗,这时候取者可在较多的一堆里也取走l 颗,使两堆棋子数保持相等,且都不大于k.由归纳假设推得后者取胜.由(1)(2)可知对于任意自然数n,后取者都能得胜.典题·热题例1用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n -1),其中n ∈N *.思路分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系,增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决了.证明:(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=21·1=2,等式成立.(2)假设当n=k 时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k ·1·3·…·(2k -1).则当n=k+1时,(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k ·1·3…(2k -1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k -1)(2k+1).即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知对一切n ∈N *,等式成立.误区警示 当n=k+1时,等式的左边容易错写成(k+1)(k+2)…(k+k )(k+k+1).这时我们要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的结构特征以及该式与n 之间的关系.例2求证:65312111>+++++n n n ,(n≥2,n ∈N *). 思路分析:本题在由n=k 到n=k+1的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明:(1)当n=2时,右边=6561514131>+++,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k ∈N *)时命题成立,即65312111>+++++k k k . 则当n=k+1时,)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k )11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k 65)113313(65)11331231131(65=+-+⨯+>+-++++++>k k k k k k 所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立.深化升华 数学归纳法的应用通常与其他方法联系在一起,如比较法,放缩法,配凑法,分析法和综合法等.例3利用数学归纳法证明:(3n+1)·7n -1（n ∈N *)能被9整除.思路分析:第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7n -1的值,从而验证它是9的倍数;第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明:(1)当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时命题成立,即(3k+1)·7k -1能被9整除.那么当n=k+1时,［3(k+1)+1］·7k+1-1=(3k+4)·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=［(3k+1)·7k -1］+3·7k+1+6·(3k+1)·7k=［(3k+1)·7k -1］+7k (21+6×3k+6)=［(3k+1)·7k -1］+9·7k (2k+3).由归纳假设知(3k+1)·7k -1能被9整除,而9·7k (2k+3)也能被9整除,故［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知对一切n ∈N *,(3n+1)·7n -1能被9整除.深化升华 涉及整除的问题,常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法,其中等价变换的技巧性往往较强.例4平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于2)1( n n . 思路分析:本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=21×2×(2-1)=1, 因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f(k)= 21k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为l(如图2-3-1).图2-3-1由上面的假设,除l 以外的其他k 条直线的交点的个数为f(k)=21k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不同,且与平面内其他的21k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为21k(k-1)+k=21k ［(k-1)+2］ =21(k+1)［(k+1)-1］.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数f(k+1)=21(k+1)［(k+1)-1］. 根据(1)(2),可知命题对任何大于1的正整数都成立.拓展延伸 有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点.求证:这n 个圆把平面分成f(n)=n 2-n+2个部分.思路分析:由k 到k+1时,研究第k+1个圆与其他k 个圆的交点的个数问题.证明:(1)当n=1时,即一个圆把平面分成2个部分,f(1)=2;又n=1时,n 2-n+2=2,所以命题成立.(2)假设n=k 时,命题成立,即k 个圆把平面分成f(k)=k 2-k+2个部分;那么设第k+1个圆记为⊙O,由题意,它与k 个圆中每个圆交于两点,又无三圆交于同一点,于是它与其他k 个圆相交于2k 个点.把⊙O 分成2k 条弧而每条弧把原区域分成2块,因此该平面的总区域增加2k 块,即f(k+1)=k 2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立.由(1)(2)知对任何n ∈N *命题均成立.深化升华 用数学归纳法证明这类几何问题,关键是弄清从k 到k+1的变化规律,也就是找出新增加的相应的元素的个数.例5(2006辽宁高考)已知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足b n =|a n 3-|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N *).(1)用数学归纳法证明b n ≤12)13(--n n; (2)证明S n <332. 思路分析:本题考查数列、等比数列、不等式等基础知识及运用数学归纳法解决有关问题的能力.证明:(1)当x≥0时,f(x)=1+12+x >1. ∵a 1=1,∴a n ≥1(n ∈N *). 下面用数学归纳法证明不等式b n ≤12)13(--n n. ①当n=1时,b 1=3-1,不等式成立.②假设当n=k 时,不等式成立,即b k ≤12)13(--k k, 那么b k+1=|a k+1-3|=k k k k k b a a 2)13(2131|3|)13(1+-≤-≤+-- 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据①②可知不等式对任意n ∈N *都成立.(2)由(1)知b n ≤12)13(--n n.∴S n =b 1+b 2+…+b n ≤(3-1)+2131)213(1)13(2)13(2)13(12----∙-=-++--n n n 33221311)13(=--∙-<. 故对任意n ∈N *,S n <332.。

2.3 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：第一步，归纳奠基：证明当n 取______________时命题成立．第二步，归纳递推：假设____________时命题成立，证明当________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．数学归纳法的第一步中n 的初始值怎样确定？ 【做一做1】 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)，在验证n ＝1时，等式左边为( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【做一做2】 设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( )A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1【做一做3】 在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条时，第一步验证n等于__________．2．数学归纳法的框图表示答案：1．第一个值n 0(n 0∈N *) n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *) n ＝k ＋1 思考讨论提示：数学归纳法的第一步中n 的初始值应根据命题的具体情况而确定，不一定是n 0＝1，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0＝3.【做一做1】 C 因为左边式子中a 的最高指数是n ＋1，所以当n ＝1时，a 的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2.【做一做2】 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，①得S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1).②由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1k ＋1＝12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)，故选C. 【做一做3】 3 ∵三角形是边数最少的凸多边形， ∴需验证的第一个n 值为3. 2．n ＝n 0 n ＝k ＋1 正整数1．如何理解数学归纳法？ 剖析：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”．运用数学归纳法证明有关命题应注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可．(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n ＝n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定．(3)第二步中，证明n ＝k ＋1时，必须使用假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效．(4)证明n ＝k ＋1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出假设里给出的形式，以便使用假设，然后再去凑出当n ＝k ＋1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性．数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若①1∈A ；②由k ∈A 可推出k ＋1∈A ，则A 含有所有的正整数．2．运用数学归纳法要注意哪些？剖析：正确运用数学归纳法应注意以下几点： (1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程，必须把归纳假设“n ＝k ”作为条件来导出“n ＝k ＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．(3)正确寻求递推关系．我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n 处在哪个位置．③在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．题型一 用数学归纳法证明等式 【例题1】 用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 分析：第一步先验证等式成立的第一个值n 0；第二步在n ＝k 时等式成立的基础上，等式左边加上n ＝k ＋1时新增的项，整理出等式右边的项．反思：在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：①验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．③利用假设是核心：在第(2)步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明方法就不是数学归纳法．题型二 用数学归纳法证明不等式【例题2】 已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． 分析：(1)求f ′(x )→得到式子a n ＋1≥(a n ＋1)2－1→利用数学归纳法证明a n ≥2n －1(n ∈N *)(2)由a n ≥2n －1得1＋a n ≥2n →11＋a n ≤12n →利用放缩法证明不等式成立 反思：利用数学归纳法证明与n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意：①证明不等式时，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现．②与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等．题型三 用数学归纳法证明几何问题【例题3】 有n 个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．分析：解答本题的关键是在第二步中如何正确地应用假设．反思：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成(k ＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n ＝k ＋1和n ＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．题型四 易错辨析【例题4】 用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．答案：【例题1】 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时结论成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k . 那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1).∴即n ＝k ＋1时等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 【例题2】 (1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1； 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立． (2)解：11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n＜1. ∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 【例题3】 证明：(1)当n ＝1时，分为两部分，f (1)＝2，命题成立； (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分；那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，∴平面上增加了2k 个区域．∴f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即n ＝k ＋1时命题成立， 由(1)(2)知命题成立．【例题4】 正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k 2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．1用数学归纳法证明3n≥n 3(n ≥3，n ∈N )，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝42已知f (n )＝11112n n n ++++＋ (21)，则( ) A ．f (n )共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+B ．f (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++C ．f (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝1123+D ．f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝111234++3已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111234-+-＋…＋11n -＝1112242n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++⎝⎭时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4设平面内有n 条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线不共点．若k 条直线将平面分成f (k )个部分，k ＋1条直线将平面分成f (k ＋1)个部分，则f (k ＋1)＝f (k )＋__________.5用数学归纳法证明2222111111234n n+++⋅⋅⋅+<-(n ≥2，n ∈N *)．答案：1．C 由题知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立，选C. 2．D 由题意知f (n )最后一项的分母为n 2， 故f (2)＝2111232++，排除选项A ，选项C. 又f (n )＝211101()n n n n n ++++++-…， 所以f (n )的项数为n 2－n ＋1项．故选D.3．B 因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B.4．k ＋1 第k ＋1条直线与原来的k 条直线相交，有k 个交点，这k 个交点把第k ＋1条直线分成k ＋1部分(线段或射线)，这k ＋1部分把它们所在的平面区域一分为二，故平面增加了k ＋1部分．5．分析：证明：(1)当n ＝2时，左边＝21124=，右边＝11122-=. 因为1142<，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即2222111111234k k++++<-…， 则当n ＝k ＋1时，22222211111111234(1)(1)k k k k +++++<-+++… ＝22222(1)1(1)111(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k +-+++-=-<-+++ ＝111k -+. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．。

选修 2-2 第二章 2.3一、选择题1．用数学概括法证明 1＋1＋ 1＋, ＋n1<n(n ∈N * ，n>1) 时，第一步应考证不等式()2 32 － 111 1A ． 1＋ 2<2B ． 1＋2＋ 3＜ 2C ． 1＋ 1＋1＜ 3D ．1＋1＋1＋1＜32 3 2 3 4[答案 ] B[分析 ]∵n ∈ N *，n ＞ 1，∴ n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为2 1＝ 1，故2 －13选 B.n ＋2 2． (2014 秦·安县西川中学高二期中)用数学概括法证明1＋ a ＋ a 2＋, ＋ a n ＋1＝1－a(n1－ a∈ N * ，a ≠ 1)，在考证 n ＝ 1 时，左侧所得的项为 ()A ． 1B ． 1＋a ＋ a 2C ． 1＋ aD ． 1＋ a ＋ a 2＋ a 3[答案 ] B[分析 ]由于当 n ＝ 1 时， a n ＋1＝ a 2，因此此时式子左侧＝ 1＋ a ＋a 2.故应选 B.1 ＋1＋,＋1*)，那么 f(n ＋ 1)－ f(n) 等于 ()3．设 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 22n (n ∈NA ． 1B ． 12n ＋ 12n ＋21＋11－ 12n ＋ 2D ．2n ＋1C ．2n ＋ 1 2n ＋2[答案 ] D[分析 ]f(n ＋ 1)－ f(n)＝ 1 ＋ 1 ＋, ＋1＋ 1 ＋ 1n ＋1 ＋1 n ＋ 1 ＋ 2 2n 2n ＋ 1 2 n ＋ 1－1＋1＋,＋1＝ 1 ＋ 1 － 1n ＋ 1n ＋ 22n2n ＋ 1 2 n ＋ 1 n ＋1 ＝1 －12n ＋2.2n ＋ 14．某个命题与自然数n 相关，若 n ＝k(k ∈ N * )时，该命题建立，那么可推得 n ＝ k ＋1 时 该命题也建立．此刻已知当n ＝ 5 时，该命题不建立，那么可推得( )A ．当 n ＝6 时该命题不建立B ．当 n ＝ 6 时该命题建立C ．当 n ＝ 4 时该命题不建立D ．当 n ＝ 4 时该命题建立[答案] C[分析 ]原命题正确，则逆否命题正确．故应选 C.5．用数学概括法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋ y n能被 x＋ y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假定 n＝ k(k∈N* )时命题建立，证明n＝ k＋1 时命题也建立B．假定 n＝k( k 是正奇数 )时命题建立，证明n＝k＋ 1 时命题也建立C．假定 n＝k( k 是正奇数 )时命题建立，证明n＝k＋ 2 时命题也建立D．假定 n＝ 2k＋ 1(k∈N)时命题建立，证明n＝ k＋ 1 时命题也建立[答案] C[分析 ]∵n为正奇数，当n＝k 时， k 下边第一个正奇数应为k＋ 2，而非 k＋ 1.故应选C.6．凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸n＋ 1 边形对角线的条数f(n＋ 1)为 ()A． f(n)＋ n＋ 1 B ． f(n)＋ nC． f(n)＋ n－1 D ． f(n)＋ n－ 2[答案] C[分析 ]增添一个极点，就增添n＋ 1－3 条对角线，此外本来的一边也变为了对角线，故 f(n＋1)＝ f(n)＋ 1＋n＋ 1－ 3＝f(n)＋ n－ 1.故应选 C.二、填空题7． (2014 ·湖北要点中学高二期中联考) 用数学概括法证明(n＋ 1)(n ＋ 2),(n＋ n) ＝2n·1·3, (2n－ 1)(n∈N* )时，从“ n＝ k 到 n＝ k＋ 1”左侧需增乘的代数式为 () A． 2k＋ 1 B ． 2(2k＋ 1)2k＋ 12k＋3C．k＋ 1D．k＋1[答案 ]B[分析 ]n＝k 时，等式为 (k＋ 1)(k＋ 2),(k＋ k)＝ 2k·1·3·, ·(2k－ 1)，n＝ k＋ 1时，等式左侧为 (k＋ 1＋ 1)(k＋ 1＋ 2), (k＋ 1＋ k＋ 1) ＝ (k＋ 2)(k＋ 3),(2k) ·(2k＋1) ·(2k＋ 2)，右侧为2k＋1·1·3·,·(2k－ 1)(2k＋ 1)．左侧需增乘 2(2k＋1) ，应选B.8．已知数列1，1，1，,，1，经过计算得S1＝1， S2＝2， S3＝3，由此1× 2 2×33× 4n n＋ 1234可猜想 S n＝ ________.[答案 ]nn＋1[分析 ]解法1：经过计算易得答案．解法 2：S＝1＋1＋1＋,＋1n1×2 2×3 3×4n n＋ 111－ 11－ 1＋ ,1－ 1＝ 1－2 ＋ 2 3 ＋ 3 4 ＋n n ＋ 11 n＝ 1－n ＋ 1＝n ＋ 1.9．用数学概括法证明： 1－ 1＋ 1－ 1＋, ＋1 －1＝1＋1＋,＋ 1，第一步应2 3 42n － 1 2n n ＋ 1 n ＋ 22n考证的等式是 ________．[答案 ]1－1＝122[分析 ]当 n ＝ 1 时，等式的左侧为1－1＝ 1，右侧＝1，∴左侧＝右侧．222三、解答题10． (2013 大·庆实验中学高二期中 )数列 { a n } 知足 S n ＝2n － a n (n ∈ N *) ．(1)计算 a 1、 a 2、 a 3，并猜想 a n 的通项公式； (2)用数学概括法证明(1) 中的猜想．[证明 ] (1)当 n ＝1 时， a 1＝ S 1＝ 2－ a 1，∴ a 1＝ 1；当 n ＝2 时， a 1＋a 2＝S 2＝2× 2－ a 2 ，∴ a 2＝ 3；27当 n ＝3 时， a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝ 2× 3－a 3 ，∴ a 3＝ 4.由此猜想 a n ＝ 2n － 1*2n －1 ( n ∈N )(2)证明：①当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1 结论建立，②假定 n ＝ k(k ≥ 1，且 k ∈ N * )时结论建立，2k －1 即 a k ＝k － 1 ， 2当 n ＝k ＋ 1 时，a k ＋ 1＝ S k ＋ 1－ S k ＝ 2(k ＋ 1)－a k ＋ 1－2k ＋ a k ＝ 2＋ a k － a k ＋ 1，∴ 2a k ＋ 1＝2＋ a kk ＋ 1－ 1∴ a k ＋ 1＝2＋a k＝ 2k ，2 2∴当 n ＝ k ＋ 1 时结论建立，于是关于全部的自然数n ∈ N * ，a n ＝2n －1 n － 1 建立．2一、选择题4 ＋ n2 11．用数学概括法证明2＝ n ，则当 n ＝ k ＋1 时左端应在 n ＝ k 的基1＋2＋ 3＋ , ＋ n2础上加上 ()A ． k 2＋ 1B ． (k ＋ 1)2k＋ 1 4＋ k＋1 2D ． (k2＋ 1)＋ (k2＋ 2)＋ (k2＋ 3)＋, ＋ (k＋ 1)2C．2[答案 ]D[分析 ]n＝k 时，左侧＝ 1＋ 2＋ 3＋ ,＋k2，n＝ k＋ 1 时，左侧＝ 1＋ 2＋ 3＋ , ＋k2＋ (k2＋1)＋ (k2＋2)＋ , ＋ (k＋ 1)2，应选 D.12．设凸 k 边形的内角和为 f( k)，则凸 k＋ 1 边形的内角和 f(k＋ 1)＝ f(k)＋ ________.()A． 2π B ．πππC．2 D ．3[答案 ]B[分析 ]将 k＋ 1 边形 A1A2,A k A k＋1的极点 A1与 A k相连，则原多边形被切割为 k 边形 A1A2, A k与三角形 A1A k A k＋1，其内角和 f(k＋ 1)是 k 边形的内角和 f(k)与△ A1A k A k＋1的内角和π的和，应选 B.13． (2014 揭·阳一中高二期中)用数学概括法证明“n3＋ (n＋ 1)3＋ (n＋ 2)3 (n∈N* )能被 9 整除”，要利用概括假定证n＝k＋ 1时的状况，只要睁开 () A． (k＋ 3)3 B ． (k＋ 2)3C． ( k＋ 1)3 D ． (k＋ 1)3＋ (k＋ 2)3[答案 ]A[分析 ]由于从 n＝ k 到 n＝ k＋1 的过渡，增添了 (k＋ 1)3，减少了 k3，故利用概括假定，只要将 (k＋ 3)3睁开，证明余下的项9k2＋ 27k＋ 27 能被 9 整除．14．(2014 合·肥一六八中高二期中)察看以下各式：已知 a＋ b＝1，a2＋ b2＝ 3，a3＋ b3＝ 4，a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝11，, ，则概括猜想a7＋ b7＝ ()A． 26B．27C． 28D．29[答案 ]D[分析 ]察看发现， 1＋ 3＝ 4,3＋ 4＝ 7,4＋7＝ 11,7＋ 11＝ 18,11＋18＝ 29，∴ a7＋ b7＝ 29.二、填空题15．用数学概括法证明“ 2n＋1≥ n2＋ n＋ 2(n∈N* )”时，第一步的考证为________．[答案 ]当 n＝ 1 时，左侧＝ 4，右侧＝ 4，左≥右，不等式建立[分析 ]当 n＝ 1 时，左≥右，不等式建立，∵ n∈N*，∴第一步的考证为 n＝1 的情况．16．对随意 n∈N*, 34n＋2＋ a2n＋1都能被 14 整除，则最小的自然数a＝ ________.[答案 ]5[分析 ]当 n＝ 1 时， 36＋ a3能被 14整除的数为a＝3 或 5，当 a＝ 3时且 n＝ 3 时， 310＋ 35不可以被 14 整除，故a＝5.三、解答题17．在平面内有n 条直线， 此中每两条直线订交于一点，而且每三条直线都不订交于同一点．n 2＋ n ＋2求证：这 n 条直线将它们所在的平面分红个地区．2[证明 ] (1)n ＝ 2 时，两条直线订交把平面分红4 个地区，命题建立．k 2＋ k ＋ 2(2)假定当 n ＝ k(k ≥ 2)时， k 条直线将平面分红块不一样的地区，命题建立．22＋ k ＋ 2当 n ＝ k ＋1 时，设此中的一条直线为k l ，其他 k 条直线将平面分红块地区，直2线 l 与其他 k 条直线订交，获得 k 个不一样的交点，这k 个点将 l 分红 k ＋ 1 段，每段都将它所在的地区分红两部分，故新增地区k ＋ 1 块．进而 k ＋ 1 条直线将平面分红k 2＋ k ＋ 2k ＋ 1 2＋ k ＋ 1 ＋ 22＋k ＋ 1＝块地区．2因此 n ＝ k ＋ 1 时命题也建立．由 (1)(2)可知，原命题建立．n2*18．试比较 2 ＋2 与 n 的大小 (n ∈ N )，并用数学概括法证明你的结论．①本题采用特别值来找到2n ＋ 2 与 n 2 的大小关系；②利用数学概括法证明猜想的结论．解答本题的要点是先利用特别值猜想．[分析 ]当 n ＝ 1 时， 21＋2＝ 4>n 2＝ 1，当 n ＝2 时， 22＋2＝ 6>n 2＝ 4，当 n ＝3 时， 23＋2＝ 10>n 2＝ 9，当 n ＝4 时， 24＋2＝ 18>n 2＝ 16，由此能够猜想，2n ＋ 2>n 2 (n ∈ N * )建立下边用数学概括法证明：(1)当 n ＝ 1 时，左侧＝ 21＋ 2＝ 4，右侧＝ 1，因此左侧 >右侧，因此原不等式建立．当 n ＝2 时，左侧＝ 22＋ 2＝6，右侧＝ 22＝ 4，因此左侧 >右侧；当 n ＝3 时，左侧＝ 23＋ 2＝10，右侧＝ 32＝ 9，因此左侧 >右侧．(2)假定 n＝k 时 (k≥ 3 且 k∈N* )时，不等式建立，k 2即 2 ＋ 2>k .那么当 n＝ k＋ 1 时，2k＋1＋ 2＝2·2k＋ 2＝2(2k＋ 2)－ 2>2·k2－ 2.又因： 2k2－ 2－ (k＋ 1)2＝ k2－ 2k－3＝(k－ 3)(k＋ 1)≥ 0，即 2k2－ 2≥ (k＋ 1)2，故 2k＋1＋ 2>( k＋ 1)2建立．依据 (1)和 (2) ，原不等式关于任何 n∈N*都建立．。

高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A 版选修221．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立． 当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)． 答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立． 探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立， 由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即 k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1， 右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，。