实际问题与二次函数(2)

(1)当售价为55元/千克时，每月销售多少水果？ (2)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 解：(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果500－10×(55－50)＝450(千 克) (2)设每千克水果售价为x元，获得的月利润为y元，由题意，得y＝(x－ 40)[500－10(x－50)]＝－10(x－70)2＋9 000，∴当x＝70时，y最大值＝9 000， 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，最大值为9 000元
(2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是 少元？
解：(1)S＝y(x－40)＝(x－40)(－10x＋1 200)＝－10x2＋1 600x－48 000 (2)S＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000，∴当x＝80时，S 最大＝16 000.答：当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大 利润是16 000元
6．(10分)为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公 司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过 调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝ －10x＋1 200.
(1)求出利润S(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(利润＝销售额－ 成本)
解：(1)由题意，得(x－50)y＝800，即(x－50)(－2x＋200)＝800，解得 x1＝60，x2＝90，答：该天的售价为 60 元或 90 元
(2)设总利润为 w，根据题意，得 w＝(x－50－a)·(－2x＋200)＝－2x2 ＋(300＋2a)x－10 000－200a，∴对称轴为直线 x＝a＋2150 ，∵－2＜0，且 w 始终随 x 的增大而增大，∴a＋2150 ≥76，解得 a≥2，又∵a≤6，∴2≤a ≤6

第9讲实际问题与二次函数一、知识梳理1.根据实际问题列二次函数解析式【例1】.（1）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y 关于x的函数解析式为y＝200x2+600x+600（x＞0）．【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．【解答】解：由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．（2）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【变式训练1】.（1）某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y与x之间的关系式为y＝5（1﹣x）2．【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为5（1﹣x），第二次降价后价格为5（1﹣x）（1﹣x），进而可得y与x之间的关系式．【解答】解：由题意得：y＝5（1﹣x）2，故答案为：y＝5（1﹣x）2．（2）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．（1）求x与y之间的函数关系式．（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（20+x）（14+x）﹣20×14化简，得y＝x2+34x，即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得72＝x2+34x，解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．2.二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【例2】.（1）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3B．6C．8D．9【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．故选：B．（2）如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（）A．8B．15C．16D．64【分析】首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8﹣x，再根据矩形面积＝长×宽列出函数解析式并配方即可得结论．【解答】解：∵矩形周长为16，∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8﹣x，∴y＝（8﹣x）x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，y有最大值是16．（3）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是﹣6．【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，∵m+n＝2，∴n＝2﹣m，∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．（4）某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？【分析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：设每件童装降价x元，利润为y元，由题意，得：y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250元，答：每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．【变式训练2】.（1）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A．10m B．8m C．6m D．5m【分析】建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求y＜2.44对应的x的值．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，将（0，0）代入解析式得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+3，当x＝10时，y＝，＜2.44，满足题意，故选：A．（2）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【分析】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：设P（x，x2﹣2x3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．（3）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是4．【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到n＝﹣m2﹣3m+3，等式两边同加m得m+n＝﹣m2﹣2m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．故答案为：4．（4）某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．现因临近春节，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套．设保暖内衣售价为x元，每星期的销量为y件．（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）求y与x之间的函数关系式．（3）当每件售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大销售利润是多少？【分析】（1）商家降价前，每套的利润是30元，销售量是80套，根据利润＝每套的利润×销售量，即可得出结论；（2）根据每降价5元，每星期可多卖出20套，当保暖内衣售价为x元时列出函数关系即可；（3）根据每星期的销售利润等于单套的利润乘以销售量列出函数的关系式，然后根据二次函数的性质求函数最值．【解答】解：（1）由题意得：（130﹣100）×80＝2400 （元），∴商家降价前每星期的销售利润为2400元；（2）由题意可得：y＝×20+80＝﹣4x+600，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+600；（3）设每星期的销售利润为w元，则：w＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣4x+600）＝﹣4（x﹣125）²+2500，∴当每件售价定为125 元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润2500元．答：当每件售价定为125 元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润2500元．二、课堂训练1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．2．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+C．y＝x2﹣x+D．y＝x2+x+【分析】方法一：根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可；方法二：根据四个选项中关系式系数的特点，结合抛物线位置，确定a、b的符号和c的值，就可以直接得出答案．【解答】解：方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），设排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：，解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴排球运动路线的函数关系式为y＝﹣x2﹣x+，故选：A．方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b同号，即b＜0，c＝，故选：A．3．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（）A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点B．当h＝25 m时，对应一个时刻点C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点【分析】把v＝20m/s，g≈10m/s2代入h＝vt﹣gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．【解答】解：∵h＝vt﹣gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，∴h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，∴A、B、D均不正确．∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．∴C正确．故选：C．4．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（）A．柱子OA的高度为3mB．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，故选：C．5．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值2【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可．【解答】解：根据图象及x的取值范围，当x＝1时，y取最小值为﹣2，当x＝1+2，y取最大值为2，∴该函数有最小值﹣2，有最大值2，故选：C．6．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为y＝60（1﹣x）2．【分析】原价为60万元，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，可得结论．【解答】解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，故答案为：y＝60（1﹣x）2．7．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是3 m．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，y有最大值为3，∴喷出水珠的最大高度是3m，故答案为：3．8．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为39元．【分析】设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x﹣20元，销售数量为280﹣（x﹣30）•10，根据公式利润＝（售价﹣进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．【解答】解：设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为（x﹣20）元，销售数量为280﹣（x﹣30）•10，∴利润总额为y＝（x﹣20）•[280﹣（x﹣30）•10]，化简得：y＝﹣10x2+780x﹣11600，配方得：y＝﹣10（x﹣39）2+3160，当单价为39元时，有最大利润3610元，故答案为：39．9．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【分析】当汽车停下来时，s最大，故将s＝﹣3t2+8t写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求．【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，＝﹣3（t﹣）2+，∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．故答案为：．10．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数图象的一部分，如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）求校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人；（3）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？【分析】（1）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数的性质求最值；（3）令y＝0，解方程﹣x2+16x+34＝0即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：，解得：，∴y＝﹣x2+16x+34；（2）由（1）知，﹣＜0，∴y有最大值，y max＝＝＝162，∴校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有162人；（3）令y＝0，得：﹣x2+16x+34＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34，∴从7：00开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校．11．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量×（售价﹣成本）＝4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．三、课后巩固1．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积＝底×高，把相关数值代入即可求解．【解答】解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD＝x，∴高为h＝x，∴y＝x×h＝x2．故选：D．2．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（）A．B．C．D．【分析】直接根据题意得出B点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案．【解答】解：∵AB＝4，CD＝3，∴B（2，3），设抛物线解析式为：y＝ax2，则3＝4x，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2．故选：A．3．中国贵州省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣100B．y＝﹣x2﹣100C．y＝x2D．y＝﹣x2【分析】直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案．【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），O（0，﹣100），设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，则0＝62500a﹣100，解得：a＝，故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故选：A．4．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；④当x＝1时，函数的最大值是4．A．4B．3C．2D．1【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．综上，只有④错误．故选：B．5．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式，则可判断A；当x＝40时，y＝0.1×40＝4，y＝4，解方程，即可判断B；计算当x＝30时的y值，则可判断选项C和D．【解答】解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，将（0，1），（20，11）分别代入，得：，解得：，∴y＝﹣（x﹣20）2+11＝﹣x2+x+1，故A错误；∵坡度为1：10，∴直线OA的解析式为y＝0.1x，当x＝40时，y＝0.1×40＝4，令y＝4，得﹣x2+x+1＝4，∴x2﹣40x+120＝0，解得x＝20±2≠40，∴B错误；设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x＝﹣x2+x+1，∴对称轴为x＝﹣＝18，∴h max＝9.1，故C正确；将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，当x＝37时，y＝﹣×372+37+1＝3.775，在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3＞3.775，故D错误．故选：C．6．如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为y＝﹣x2+x．【分析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．利用顶点式即可解决问题．【解答】解：由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣20）2+16，即y＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x．7．一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h＝﹣5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过3秒，距离地面的最大高度为米．【分析】当该球从弹起回到地面时h＝0，代入求出时间t即可；对函数关系式进行配方找到最大值即距离地面的最大高度．【解答】解：当该球从弹起回到地面时h＝0，∴0＝﹣5t2+15t，解得：t1＝0或t2＝3，t＝0时小球还未离开地面，∴t＝3时小球从弹起回到地面；∵h＝﹣5t2+15t＝﹣5（t﹣）2+，﹣5＜0，∴当t＝时，h取得最大值；故答案为：3，．8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行750m．【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故答案为：750m．9．二次函数y＝x2﹣2x+m的最小值为2，则m的值为3．【分析】先把y＝x2﹣2x+m配成顶点式得到y＝（x﹣1）2+m﹣1，根据二次函数的性质得到当x＝1时，y有最小值为m﹣1，根据题意得m﹣1＝2，然后解方程即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，∵a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故答案为：3．10．为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y＝．（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．11．为鼓励更多的农民工返乡创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给农民工自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数：y＝﹣5x+400．（1）王明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设王明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于35元，如果王明想要每月获得的利润不低于4125元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣5x+400＝﹣5×20+400＝300，300×（12﹣10）＝300×2＝600（元），答：政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）依题意得，w＝（x﹣10）（﹣5x+400）＝﹣5x2+450x﹣4000＝﹣5（x﹣45）2+6125，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝45时，w有最大值6125元．答：当销售单价定为45元时，每月可获得最大利润6125元；（3）由题意得：﹣5x2+450x﹣4000＝4125，解得：x1＝25，x2＝65，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，当25≤x≤65时，4125≤w≤6125，又∵x≤35，∴当25≤x≤35时，w≥4125，∴当x＝35时，政府每个月为他承担的总差价最小，y＝﹣5×35+400＝225，225×2＝450（元），∴政府每个月为他承担的总差价最小值450元，答：销售单价定为35元时，政府每个月为他承担的总差价最少为450元．。

22.3.2实际问题与二次函数商品利润问题一．选择题1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（）A．5000元 B．8000元 C．9000元D．10000元2．一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件．若每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（）元．A．5 B．10 C．0 D．153．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（）A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元4．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（）A．3元 B．4元 C．5元 D．8元二．填空题5．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：（1）月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；（2）工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）6．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为元．7．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．（1）确定这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（2）“五•一”之前，月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润是元．8．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为．三．解答题9．（2017•本溪二模）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．10．（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数10 0日总收入（元）24000 40000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？11．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）12．某旅行社的一则广告如图：（1）当x满足什么条件时，参游人员人均旅游费用为500元．（2）设某公司参游人数为x人，旅游总费用为y元，就不同情况，分别写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）甲公司计划用28000元组织一批员工旅游，问：最多可以安排多少人参加？（4）乙公司有55人参加旅游，老板付给领队小李30000元作为旅游费用，小李说：“费用不够，参游人数需减少”．老板说：“费用足够，人员还可增加”．请问小李、老板的话是否有道理？请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．C．4．B．二．填空题5．①②③．6．40．7．四，10.5．8．0＜a＜6．三．解答题9．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．10．【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．11．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），对称轴为x=﹣=40+a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），解得a1=2，a2=38（舍去），综上所述，a的值为2．12．【解答】解：（1）根据题意，800﹣10（x﹣30）=500，解得x=60；（2）0≤x≤30时，y=800x，30＜x≤60时，y=x[800﹣10（x﹣30）]=﹣10x2+1100x，x＞60时，y=500x，所以，y=；（3）0≤x≤30时，800x=28000，解得x=35，不符合题意，舍去，30＜x≤60时，﹣10x2+1100x=28000，整理得，x2﹣110x+2800=0，解得x1=40（舍去），x2=70，x＞60时，500x=28000，解得x=56（不符合题意，舍去），综上所述，最多可以安排40人参加；（3）∵旅游费用为30000元，∴﹣10x2+1100x=30000，整理得，x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60，所以，50人参加旅游与60人参加旅游的费用相同，都是30000元，故，老板的话有道理．。

22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。