22.3 实际问题与二次函数（2）——二次函数与几何最值问题一、教学目标（一）学习目标1. 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式2.会利用二次函数求几何图形中的周长、面积等的最值3.体会利用二次函数求面积其中所蕴含的数学思想和方法（二）学习重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题（三）学习难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得二、教学设计（一）课前设计预习任务1.22(3)2y x =--+；对称轴3x =、顶点坐标()3,2、当3x =时，y 取最大值为22.21322y x x =--；对称轴1x =、顶点坐标()1,2-、当1x =时，y 取最小值为-2 3.(1)(3)y x x =-+对称轴1x =-、顶点坐标()1,4--、当1x =-时，y 取最小值为4- 预习自测1. 已知二次函数的解析式为22813y x x =++(1)当33x -≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________；(2)当03x ≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________.【知识点】求二次函数的区间最值【数学思想】数形结合【思路点拨】先化成顶点式或是利用顶点坐标公式求出顶点，再看对称轴和区间的位置关系，进而求解．【解题过程】解：把原式化为顶点式为2228132(2)5y x x x =++=++，可知此函数的顶点坐标是(2,5)-，对称轴为2x =-(1) 当33x -≤≤时可知，max 355x y ==时，2x =-时min 5y =；(2)当03x ≤≤，对称轴2x =-时在所给的区间左侧，此时y 随x 的增大而增大，因此可知max 355x y ==时，min 013x y ==时【答案】（1）55,5；（2）55,13.【设计意图】通过做练习复习区间最值的求解以及应该注意的问题，实际问题中有时会涉及到区间最值，学生很容易出问题．设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，为学习新课做好知识铺垫．2.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么满足的方程是（ ）.A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2-130x-1400=0C ．x 2+65x-250=0D ．x 2-65x-250=0【知识点】矩形性质，矩形面积【数学思想】数形结合【思路点拨】挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ，根据整个挂图的面积是5000cm 2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．【解题过程】解：挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ；所以（80+2x ）（50+2x ）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x-1000=0．即x2+65x-250=0． 故选C.【答案】C ．【设计意图】根据矩形的面积公式本题易得解.3．用长16 m 的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_______ 2m ．【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】设竖边为x ，用x 表示横边，再表示面积，再求最值【解题过程】设竖边为x,则横边为1623x - 21622(4)32333x x s x --==-+ 当4x =时，y 取最大值为323【答案】323 【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．4．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大【知识点】正方形性质，求面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】把其中的一个主要变量设为x ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型【解题过程】设AC=x 则BC= 1x -22211(1)2()22s x x x =-+=-+ 当12x =时，取最小值为12∴当C 是AB 的中点时，S 最小【答案】A【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．（二）课堂设计1.知识回顾（1）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式2()y a x h k =-+，进而写出顶点坐标（h,k ）和对称轴x=h（2）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c（3）将二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠转化成顶点式2()y a x h k =-+来求二次函数最值，当x h =时，y 取最值为k2.问题探究探究一 最大面积（★）●活动1 创设情境，发现问题[做一做]：请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大． 学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决．【设计意图】做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想．周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习．●活动2 师生共研，探索解法例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？让学生讨论，得出解法．点拨：先用未知数表示面积问题中的各个量，再利用矩形面积公式列出表达式，然后根据表达式，利用二次函数求最值．生答：设矩形宽为x厘米，则长为2422x-=（12-x）厘米．12S x x=-（），当x=6时，S取最大值为36.【设计意图】把前面矩形的周长24厘米改为24米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．解决完想一想之后及时让学生总结方法，为后面阶段打下思想方法基础．练习1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．【解题过程】设矩形一边长l，则长为602302ll-=-（）厘米．()30S l l=-，当15l=时，S取最大值为225【答案】当15l =时，S 取最大值为225【设计意图】一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为l ，其它变量用含l 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型●活动3 变式应用例2.（例1变式） 后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？学生根据例1的解法，独立求解【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．【解题过程】生答：（1）设矩形长为x 厘米，则宽为242x -厘米．（8x ≤） 241(24)22x S x x x -=⋅=-=()2112722x --+； ∵a=12-＜0，开口向下， ∵8x ≤，当8x =时，S 取最大值为64【答案】面积S 取最大值为64【设计意图】此时有了上一问的方法和技巧，很多学生能够类比的方法建立模型，设出未知数，列出函数关系式．但问题是此时自变量x 有取值范围的限制，不能“任性”的取值．从而让学生在不断的探究和合作中感悟，对于实际问题一定需要考虑其自变量x 的取值范围才可以求最值．练习2.如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点（这道题靠墙依然可以在顶点处取到最值）．【解题过程】与墙垂直的一边为x 米，则(602)S x x =-∵0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30当15x =时，S 取最大值为450【答案】当15x =时，S 取最大值为450【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．探究二 利用二次函数求几何最值的训练●活动① 基础性例题例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m ）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD ，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m ，绿化带的面积为2m y ．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？【知识点】一侧靠墙的矩形，周长确定求其面积最大【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给出的已知条件列出满足题意的式子，进而转化为二次函数求最值． 【解题过程】解：（1） 24012022x y x x x -==-+g ， 自变量x 的取值范围是0＜x ≤25；（2） ()22112020+20022y x x x =-+=-- ∵20＜25，∴当x=20时，y 有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【答案】（1）21202y x x =-+，其中025x ≤≤； （2）当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m (图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)【知识点】周长确定的矩形面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】中间线段用x 的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．【解题过程】由题意可知1426152y x x π+⨯+=，化简得1564x x y π--=，设窗户的面积为S m 2， 则2211561523242x x S x x x x ππ--=+=-+g ， ∵30a =-<，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m 2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【答案】当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【设计意图】这一阶段，让学生自己通过自己的思考，动手来进行操作解决问题．每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．●活动② 提升型例题分组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．例2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，P 是BC 上的一动点，动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP ＝PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP ＝x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y 2cm ，试分别写出02x ≤≤和24x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．【知识点】正方形性质，矩形性质，求二次函数最值【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x 的取值范围内．【解题过程】如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当02x ≤≤时，如下面的左边的图形所示， PQ BP x ==，此时22y PQ x ==，其中02x ≤≤；当24x ≤≤时，如下面的右边的图形所示， PQ BP x ==，此时4PC BC BP x =-=-，其中24x ≤≤；2(4)28y PC CD PC AB x x =⨯=⨯=-=-+，其中24x ≤≤综上所述：2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【答案】2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【设计意图】让学生自己通过自己的思考，结合题意画出符合题意的图形，根据图形来求解，让学生感受分类讨论的数学思想．练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．【解题过程】令,,DE x AD a AE a x ===-， 所以面积之和222222()222()22a a S x a x x ax a x =+-=-+=-+， 所以当2a x =时，面积最小，即E 应选在AD 的中点. 【答案】E 应选在AD 的中点. 【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验． 例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【知识点】梯形面积，正比例函数，解一元二次方程，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.【解题过程】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）依题意：2112801502(120180)8028x x x ⨯+-=⨯+⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=解得125,150(x x ==舍去）故甬道的宽为5米；（3）设建设花坛的总费用为y 万元． 则210.02(120180)80(2310) 5.72y x x x ⎡⎤=⨯⨯+⨯--++⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当 6.252b x a=-=时，y 的值最小． ∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元． 【答案】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）故甬道的宽为5米；（3）当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m ，当水渠深x 为_______时，横断面面积最大，最大面积是__________．【知识点】梯形面积，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．【解题过程】底角为120°,则高和腰之间的夹角为30°,水渠深度 为x ,则得到：33AE x =,腰长33AB CD x == 两腰与下底的和为4得到：下底为434BC x =-所以上底为234AD x =设横断面的面积为S,则21()342S AD BC BE x x =+=-+ ∵2330x -<=，对称轴为 ∴当23x =时，横断面面积最大为43 【答案】当233x =时，横断面面积最大为433 【设计意图】加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣●活动③ 探究型例题例4. 在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/秒的速度移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为S 平方厘米，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；(3) t 为何值时S 最小？求出S 的最小值.【知识点】矩形性质，三角形、五边形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个边长，列出面积的关系式，再依次解决三个问题．【解题过程】（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8，则AP=x ，QB=2x ∴PB=6﹣x ．∴12×（6﹣x ）2x=8， 解得1x =2，2x =4，所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）第t 秒钟时，AP=t cm ，故PB=()6t -cm ，BQ=2t cm ， 故212(6)=62PBQ S t t t ∆=⋅--+ ∵61272ABCD S =⨯=矩形∴()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）∵()22672=363S t t t =-+-+，∴当3t =秒时，S 取最小值为63.【答案】（1）2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）当3t =时，S 取最小值为63【设计意图】此题设计了一个动点最值问题，有前面的方法和思路加上前面基础题作铺垫，大部分学生可以完成．练习. 曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m ²） 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【知识点】矩形性质，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】由题意列出式子，转化为二次函数求最值【解题过程】（1）由已知可以得到：161115224AD ----== 此时窗户的透光面积55144S =⨯=； （2）设AB=x ，则734AD x =- ∵7304x -> ∴1207x << 设窗户的面积为S,由已知可以得到2277769(3)3()44477S AB AD x x x x x ==-=-+=--+g 当67x =时，max 9 1.057S => 与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【答案】（1）窗户的透光面积55144S =⨯= （2）与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【设计意图】学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到数学来源于生活，同时也服务于生活体验到数学与现实生活的紧密联系，同时加强学生自己的过手能力和计算能力，以课本上的例题为引子，在原来的基础上进行拓展，让学生吃透课本.3. 课堂总结知识梳理1.二次函数的三种形式：一般式2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠以及交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.2.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式2(0)y ax bx c a =++≠可以利用配方化为顶点式2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠，进而可以得到顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，对称轴2b x a=-．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴122x x x +=. 3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x 的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳1. 利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠ 把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；第二可以直接利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--来求解. 利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程122x x x +=来求对称轴，进而求解. 2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x 的取值范围.3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.（三）课后作业基础型 自主突破1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设AB=x ，则BC=16-x ，其中016x <<．所以矩形ABCD 的面积为 2(16)16S AB BC x x x x ==-=-+g10,8x -<=Q 对称轴且016x <<8x ∴=当时，矩形ABCD 的面积最大，2max 64m S =．【思路点拨】通过设未知数，先把矩形ABCD 的面积表示出来，是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴8x =，又知道自变量016x <<，因此当取对称轴8x =时，面积最大．【答案】C2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a 2cm 的矩形，那么a 的值不可能为( )A ．20B ．40C ．100D ．120【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设矩形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以围成矩形的面积为2(20)20S x x x x =-=-+ 10,10x -<=Q 对称轴且020x <<10x ∴=当时，矩形的面积最大，2max 100cm S =，因此0100S <≤,故a 不可能取120．【思路点拨】矩形的周长为40，可以设出其中一边，可表示出另外一边，需要注意此时自变量的取值范围，再表示出矩形的面积，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴10x =，又知道自变量020x <<，因此可以算出面积的取值范围．【答案】D3．已知一个直角三角形两直角边长之和为20，则这个直角三角形的最大面积为( )A ．25B ．50C ．100D ．不确定【知识点】三角形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设这个直角三角形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以面积为211(20)1022S x x x x =-=-+ 10,102x -<=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最大，max 50S=，因此max 50S =． 【思路点拨】已知直角三角形的两边之和是20，设其中一边为x ， 表示出该直角三角形的面积211(20)1022S x x x x =-=-+，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--求出对称轴10x =，其中020x <<，因此可以算出面积的最大值【答案】B4．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____2cm .【知识点】正方形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设其中一个正方形的周长为xcm ，其边长为4x ，则另外一个正方形的周长为（20x -）cm ，其边长为204x -其中020x <<．所以这两个正方形的面积之和为 2222015()()254482x x S x x -=+=-+ 10,108x >=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最小，2min 25cm 2S=， 因此2min 25cm 2S =． 【思路点拨】两个正方形的周长之和为20，,设其中一个正方形的边长为x ， 表示出另一个的周长，进而表示出两个正方形的面积之和。
