22.3 实际问题与二次函数(2)

实际问题与二次函数（第1课时）课型：新授课教学目标知识与技能：1.经理探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。

过程与方法：经理物体运动中的最大高度等问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。

教学重点：1、探究运动中的最大高度等问题2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。

教学难点运用二次函数解决实际问题教学方法：讲解、归纳、讨论、分析、练习教学过程：一、创设问题情境，引入新课。

前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图像和性质，掌握了二次函数的表达式，首先我们来回顾二次函数的两种形式y＝a(x-h)2＋k和 y＝ax2＋bx＋c各有怎样的性质：1．二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象和性质(1)当a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

(2)当a<0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质(1)当a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

(2)当 a <0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？1、二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） （A ）开口向下，对称轴为x = –3 ，顶点坐标为（3，5）， （B ）开口向下，对称轴为x = 3 ，顶点坐标为（3，5） （C ）开口向上，对称轴为x = –3 ，顶点坐标为（-3，5） （D ）开口向上，对称轴为x = 3 ，顶点坐标为（-3，5）2、抛物线y =x 2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( ) A ．x =1，(1，-4) B ．x =1，(1，4) C ．x =-1，(-1，4) D ．x =-1，(-1，-4)由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，这节课我们就来学习用二次函数解决实际问题。

22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）自主预习1．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝________时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．2．某服装店购进价格为每件15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当每件的售价为25元时平均每天能售出8件，若每件每降价2元，平均每天能多售出4件．若设每件服装定价为x(x<25)元，则每件服装的利润为________元，每天销售服装________件，该服装店每天的销售利润y＝____________________元；若设每件服装降价x元，则每件服装的利润为____________元，每天销售服装____________件，该服装店每天的销售利润y＝_______________________________________元．(所列算式均不化简)互动训练知识点一：利用二次函数解决销售中的最大利润等问题1．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将减少3件．如果每天获得利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，那么k等于()A．5 B．7 C．9 D．102．某玩具厂计划生产一种玩具熊，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊的成本为R(元)，售价为每只P(元)，且R，P与x之间的关系式分别为R＝30x＋500，P＝170－2x.若想获得最大利润，则日产量为()A．25只B．30只C．35只D．40只3．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为()A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元4. 某商店购进一批单价为20元/件的日用品，如果以单价30元/件销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价定为多少，才能在半个月内获得最大利润？5．“互联网＋”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：每条裤子每降价1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元(x为正整数)，每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x之间的函数关系式(不用写自变量的取值范围)；(2)设该网店每月获得的利润为w元，当每条裤子的售价降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？6. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：且日销量y（件）是销售价x(元)的一次函数.（1）求日销量y（件）与x(元)的一次函数.（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？知识点二：利用二次函数解决房间住宿中的最大利润等问题7. 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？8．某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：(1)根据所给数据在图(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？课时达标1．某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800，要想获得最大利润，则销售单价为（）A．30元B．35元C．40元D．45元2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）3．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，可列出的方程是（）A．(3+x)(4-0.5x)=15B．(x+3)(4+0.5x)=15C．(x+4)(3-0.5x)=15D．(x+1)(4-0.5x)=154. 某批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元．市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系．(1)求每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(3)当每箱苹果的销售价为多少时，可以获得最大利润？最大利润是多少？5. 为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．6. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？6题图拓展探究1．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元/本，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元/本时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元/本．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2 400元？(3)将足球纪念册销售单价定为多少元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？2．利民商店经销甲、乙两种商品，现有如图22­3­11所示的信息．图22­3­11请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品的零售单价分别每降0.1元/件，这两种商品每天均可多销售100件．为了使每天获取最大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都降m元/件，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？最大利润是多少？22.3 实际问题与二次函数（第2课时）答案自主预习 1．32．(x －15)， (8＋25－x 2×4)，(x －15)(8＋25－x2×4)；(25－15－x )， (8＋x 2×4)， (25－15－x )(8＋x2×4).互动训练1．C 2．C 3．D4.解：设单价提高x 元，利润为y 元．根据题意，列函数解析式为y ＝(30＋x －20)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000(0≤x ≤20)． 所以当x ＝5时，y 有最大值为4500元．5．解：(1)由题意可得：y ＝100＋5(80－x )，整理得y ＝－5x ＋500. (2)由题意，得 w ＝(x －40)(－5x ＋500)＝－5x 2＋700x －20000 ＝－5(x －70)2＋4500.∵a ＝－5＜0，∴w 有最大值，当x ＝70时，w 最大值＝4500. 80－70＝10(元)．答：当每条裤子的售价降价10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元． (3)由题意，得－5(x －70)2＋4500＝4220＋200， 解得x 1＝66，x 2＝74.∵抛物线开口向下，∴当66≤x ≤74时，符合该网店要求． 而为了让顾客得到最大的实惠，应取x ＝66， 故休闲裤的销售单价应定为66元/条． 6. 解：（1）设此一次函数解析式为y =kx +b ，∴⎩⎨⎧=+=+20202515b k b k ，解得，⎩⎨⎧==401-b k ，即一次函数的解析式为y =-x +40.（2）设销售利润为w 元，则W =（x -10）（-x +40）=-（x -25）2+225， 当x =25时，w 有最大值225.即产品的销售价定为25元时，每日获得销售利润最大为225元. 7. 解：（1）y =50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的正整数倍). (2) W =（50-101x ）（180+x -20）=-101x 2+34x +8000. (3) W =-101x 2+34x +8000=-101(x -170)2+10890. 当x ＜170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160， ∴当x =160时，y =50-101x =34. 答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润为10880元. 8. 解：(1)如答图．第1题答图(2)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，把(200,60)和(220,50)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 200k ＋b ＝60，220k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－12，b ＝160.∴y ＝－12x ＋160(170≤x ≤240)． (3)w ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫－12x ＋160＝－12(x －160)2＋12 800. ∵a ＝－12<0，∴当170≤x ≤240时，w 随x 的增大而减小， ∴当x 取170时，w 有最大值，最大值为12 750.∴当宾馆标准房的价格定为170元时，客房的日营业额最大，最大为12 750元． 课时达标1. B. 解析：∵y =﹣x 2+70x ﹣800=﹣（x ﹣35）2+425，∴当x =35时，y 取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，销售利润最大，故选：B ．2. B. 解析：每件商品降价x 元后，则每星期的销售量为(300＋20x)件，单价为(60－x)元，则y ＝(60－x)(300＋20x)，故选B.3. A. 解析：设每盆应该多植x 株，由题意得, （3+x ）（4-0.5x ）=15，故选A ．4. 解：(1)y ＝－3x ＋240.(2)由题意，得w ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600.(3)当x ＝60时，w 有最大值，因为x ≤55，所以当x ＝55时，w 的值最大，为1125元．5. 解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)6. 解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638. ∴ y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)． 设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338， ∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214， ∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 拓展探究1. 解：(1)y ＝300－10(x －44)，即y ＝－10x ＋740(44≤x ≤52)．(2)根据题意，得(x －40)(－10x ＋740)＝2 400，解得x 1＝50，x 2＝64(舍去)，答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2 400元． (3)w ＝(x －40)(－10x ＋740)＝－10x 2＋1 140x －29 600＝－10(x －57)2＋2 890.当x <57时，w 随x 的增大而增大，而44≤x ≤52，∴当x ＝52时，w 有最大值，最大值为－10×(52－57)2＋2 890＝2 640.答：将足球纪念册销售单价定为52元/件时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2 640元．2.解：(1)设甲商品的进货单价是x 元/件，乙商品的进货单价是y 元/件．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，3x ＋1＋22y －1＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 答：甲商品的进货单价是2元/件，乙商品的进货单价是3元/件．(2)设每天销售甲、乙两种商品获取的利润为w 元，则w ＝(1－m )⎝⎛⎭⎫500＋100×m 0.1＋[(2×3－1)－3－m ]·⎝⎛⎭⎫300＋100×m 0.1＝－2 000m 2＋2 200m ＋1 100＝－2 000(m －0.55)2＋1 705，∴当m ＝0.55时，w 有最大值，最大值为1 705.答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，最大利润是1 705元．。