中南大学高等数学(上册)课后习题答案

习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)nn x 21=; n x n n 1)1(-= 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解 当n →∞时, →0, 01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ; 解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n . (5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2c o s ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000. 3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ; 分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x . 证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有My n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε . 取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).。

s
2
x
MM
2
x
2
MM MM
MM 2
x 2
MM MM
2
x2 y2 x 2
MM MM
2
1
பைடு நூலகம்
y x
2
s x
MM MM
2
1
y x
2
lim
MM
lim
MM 1,
lim y y
x0 MM MM MM
x0 x
lim s lim x0 x x0
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x
Rl
K y 1 x
Rl
显然 K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
例5. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asint ;
x acos t
x 表示对参
y bcos t ;
y bsint
数 t 的导数
故曲率为
M1
弧长相同时,弧段弯曲程 度越大转角越大
M
S1
M
N S2 N
转角相同时,弧段越短 弯曲程度越大
定义: 设MM s,由M到M的切线转角为,
(1) K 称为平均曲率;
s
(2) 若 lim 存在, 称此极限值为点M处的曲率.
s0 s
y
记为 K d lim .
C
ds s0 s
M. . M0 S M S
曲率圆与曲率半径习例6-8
用 内容小结
课堂思考与练习
结构框图
习题课 内容小结
典型习例
一. 弧微分

t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )

习题9-11．写出下列级数的前五项：（1） ∑∞=++1211n n n； （2） ∑∞=⋅-12)12(1n nn ； （3） ∑∞=-1)1(n nn ； （4）∑∞=1n nne.解 （1）第一项为1，第二项为53，第三项为104，第四项为175，第五项为266。

（2）第一项为21，第二项为121，第三项为401，第四项为1121，第五项为2881。

（3）第一项为-1，第二项为21，第三项为31-，第四项为41，第五项为51-。

（4）第一项为e ，第二项为22e ，第三项为33e ，第四项为44e ，第五项为55e 。

2．写出下列级数的一般项：（1） 1111357++++… （2） 1112ln 23ln 34ln 4+++…（3） 11234024567-++++++…（4）2345625101726a a a a a -+-+-…解 （1） 121-=n u n （2）()()1ln 11++=n n u n（3）12+-=n n u n （4）()11211-+-=+n a u n n n3．根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛散性，如果收敛，并求其和. （1）∑∞=12n n ； （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ； （3）∑∞=++-+1)122(n n n n .解：（1） 级数的部分和为()222-12-121-==+n nn S 因为 ()+∞=-=+∞→∞→22lim lim 1n n n n S所以级数∑∞=12n n发散.（2）因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+-121-1-212112121n n n n所以级数的部分和为 ()()12121751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n S n⎪⎭⎫⎝⎛+++++=121-1-2171-5151-3131-121n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121-121n 12+=n n而 21121lim12limlim =+=+=∞→∞→∞→nn nS n n n n 所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为21.（3）因为()()()n n n n n n n -+-+-+=+++11212-2所以级数的部分和为()()n n n S n ++++++++=12-2232-4122-3 ）（()()()()()nn n n -11-22-3-3-41-2-2-3+-+++++= ）（()()1212--+-+=n n()()12121--+++=n n而 ()()2-112lim121limlim =--+++=∞→∞→∞→n n n n n n s所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为2-1. 4．判别下列级数的敛散性，若收敛，并求其和. （1） 1111124816-+-+-… （2） 234e e e e -+-+… （3） 2233121212()()()232323++++++… （4） 231ln 3ln 3ln 3++++ (5)∑∞=+1)11ln(n n n（6）∑∞=1sinn nn π（7） 231sin1sin 1sin 1-+-+ (8)++-++⋅+⋅+⋅)15)(45(1161111161611n n解：（1） 级数的部分和可写为∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=nn n n n s 1142141因为∑∞=-1141n n 是41=q 的等比数列，收敛并且和为3441-11=.同理∑∞=⨯1421n n是41=q 的等比数列，收敛并且和为3241-1121=⨯. 根据级数性质，∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-1142141n n n 也收敛，其和为 ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-1142141n n n =∑∞=-1141n n -∑∞=⨯1421n n=3232-34=（2） 级数的部分和可写为()()()()n n n nn nn n e e e ee e e e e ees 2222221212111111-+=-----=-=∑=- 因为 ()-∞=-+=∞→∞→n n n n e ees 211limlim所以根据定义，该级数发散。