推荐 高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

第二章　导数与微分2.2　课后习题详解习题2-1　导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】　当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。

高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)1 ⎭ 习题 1-11. 求下列函数的自然定义域：(2) y = 1;(1) y = 1 - x 2(3) y = 1x (4); y =1(5) y =(6) y = tan(x +1);(7) y = arcsin(x - 3); (9) y = ln(x + 1);(8) y1+ arctan ; x(10) y = e e x.解：(1)3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2，即定义域为⎡- 2 , +∞⎫(2)1 - x 2 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1,⎣⎢ 3⎪ 即定义域为(-∞, -1) ⋃ (-1,1) ⋃ (1, +∞)(3)x ≠ 0 且1- x 2 ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 且 x ≤ 1即定义域为[-1,0) ⋃ (0,1](4)4 - x 2 > 0 ⇒ x < 2 即定义域为(-2, 2) (5)x ≥ 0, 即定义域为[0, +∞)(6)x +1 ≠ k π + π(k ∈ Z ),2 即定义域为⎧x x ∈ R 且x ≠ (k + 1 )π -1, k ∈ Z ⎫⎨ 2 ⎬⎩ ⎭⎩⎪ π π π(7) x - 3 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4, 即定义域为[2, 4](8)3 - x ≥ 0且 x ≠ 0，即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0,3] (9)x + 1 > 0 ⇒ x > -1即定义域为(-1, +∞) (10)x ≠ 0,即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0, +∞)2. 下列各题中，函数 f (x ) 和 g (x ) 是否相同？为什么？(1) f (x ) = lg x 2 , g (x ) = 2 l g x (2) f (x ) = x , g (x )(3) f (x ) g (x ) = (4) f (x ) = 1, g (x ) = sec 2 x - tan 2 x解：（1） 不同，因为定义域不同（2） 不同，因为对应法则不同， g (x ) == ⎧ x , x ≥ 0（3） 相同，因为定义域，对应法则均相同（4） 不同，因为定义域不同⎨-x , x < 0⎧sin x , 3.设ϕ(x ) = ⎨ x < π 3 π ⎪ 0, x ≥⎩3求ϕ(),ϕ( ),ϕ(- 644),ϕ(-2), 并指出函数 y = ϕ (x )的图形( ) = sin = ,ϕ( ) = sin = ϕ π π1 π π 6 62 4 4 2 解：ϕ(- π ) = sin(- π ) = 2,ϕ(-2) = 0,4 4 2y = ϕ (x )的图形如图1-1所示4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) y =x ; 1 - x(2) y = x + ln x ,(0, +∞)证明：(1) y =f (x ) =x 1 - x= -1+1 1 - x,(-∞,1) 设x 1 < x 2 < 1，因为f (x ) - f (x ) = x 2 - x 1 > 02 1(1 - x )(1- x ) 1 2所以 f (x 2 ) > f (x 1 ), 即 f (x ) 在(-∞,1) 内单调增加(2) y = f (x ) = x + ln x ,(0, +∞)设0 < x 1 < x 2 ，因为2,f (x ) -f (x ) =x -x + ln x2 > 02 1 2 11所以 f (x2 ) > f (x1 )即f (x) 在(0, +∞) 内单调增加5.设f (x) 为定义在(-l,l) 内的奇函数，若 f (x) 在(0,l) 内单调增加，证明f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加证明：设-l <x1 <x2< 0 ，则0 <-x2<-x1 <l由f (x) 是奇函数，得f (x2 ) - f (x1 ) =-f (x2 ) + f (-x1 )因为 f (x) 在(0,l) 内单调增加，所以 f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0即f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l) 上的。

习题1-101.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根.因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b.证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数.f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0.若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根;若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根.总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b.3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)⋅f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.证明设x0为(a,b)内任意一点.因为0||lim |)()(|lim 00000=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00=-→x f x f x x , 即 )()(lim 00x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续.同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续.因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )⋅f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0.4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ, 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明 显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在[x 1, x n ]上的最大值和最小值.因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ . 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5. 证明: 若f (x )在(-∞, +∞)内连续, 且)(lim x f x ∞→存在, 则f (x )必在(-∞, +∞)内有界.证明 令A x f x =∞→)(lim , 则对于给定的ε >0, 存在X >0, 只要|x |>X , 就有|f (x )-A |<ε , 即A -ε<f (x )<A +ε .又由于f (x )在闭区间[-X , X ]上连续, 根据有界性定理, 存在M >0, 使|f (x )|≤M , x ∈[-X , X ].取N =max{M , |A -ε|, |A +ε|}, 则|f (x )|≤N , x ∈(-∞, +∞), 即f (x )在(-∞, +∞)内有界.6. 在什么条件下, (a , b )内的连续函数f (x )为一致连续？。

高等数学（同济人学数学系-第七版）上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分屮值定理与导数的应用课后习题答案微分中值定理&I.脸证罗尔定理对= Insin x任区间［于打］上的止确性.证函数/（x）=lnsinx^［y^］匕连续•在（卡•乎）内可导■又4f）= ,nsin 6 =,n \ /（T）= ,n,in T=，n T*即4才）唧认卜灯⑷在［:・丫］上満足罗尔定理条件•山罗尔定理®至少仔任T・（H（:、罟卜仙'（§）"•乂 JS二瓷令厂（丫）“得""T +于（w = 0. = 1 ・ ± 2 .・•・）・ JR 兀=0 w（? •普）・IM比罗尔定理对函数尸Insin x任区叫亍'寻］上是正确的•& 2.脸证拉格制日中值定理对函敎y・4』-5/u 2在区何［0,1］上的正确性.it 匪数/（尤）=4“・5/在区河卫・1上连缤■金（0.1）內叫导，故/（・丫）在0」上满足拉格朗H中值定理条件，从而至少存在一点f e（0J）.使门小斗护二仝严“又•由八° =12^2 - 10f 4 I =0 olUlf =^~^G（0J） JM此拉俗阴H屮值定理对函敗y=4八5P r・2徃区何0」；上是正确的."i"及化X）’ + cos X在IX间|o,y］j；验让柯內中值定理的正确性.证旳数"+0*在区1叫0,；］上连续皿（0.；）內可品.M住卩•寸）内=1 -MOX ZO.故.心）屮（兀）满足柯两中值定理条件•从而至55/ 1.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 2.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册55/ 3.高等数学（同济大学数学系-第七版）上册.55/ 4.高等数学（同济人学数学系•第七版）上册.55/ 5.高等数学（同济人学数学系-第七版）上册86 一、《离等数学》(第七版)上冊习趣全解55 / 6.高等数学(同济人学数学系•第七版)上册件；)"(0)"(目1 -0 cos £ T . 1 - HI1 {T"14Z n = 0,得 go = 2arclan -一~ . 1*1 0 < < 丨•故 C = 2arckm j 4 ^ * | € (。

高等数学(同济第七版)第一章课后答案高等数学(同济第七版)第一章课后答案答案如下：1.a) 设 y=f(x)=x^2 +2x-3则f’(x)=2x+2当f’(x)=0 时，2x+2=0，解得 x=-1所以函数 f(x) 的驻点为 x=-1b) f’’(x)=2当 x=-1 时，f’’(x)=2>0所以驻点 x=-1 对应的函数值 f(-1)=4 为极小值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞当x→-∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=-1 处的极小值为最小值2.a) 设 y=f(x)=x^3-3x则f’(x)=3x^2-3当f’(x)=0 时，3x^2-3=0，解得 x=±1所以函数 f(x) 的驻点为 x=±1b) f’’(x)=6x当 x=1 时，f’’(1)=6>0，所以驻点 x=1 对应的函数值 f(1)=-2 为极小值当 x=-1 时，f’’(-1)=-6<0，所以驻点 x=-1 对应的函数值 f(-1)=2 为极大值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=1 处的极小值为最小值，函数 f(x) 在 x=-1 处的极大值为最大值3.a) 设 y=f(x)=x^3-9x^2+24x-10则f’(x)=3x^2-18x+24当f’(x)=0 时，3x^2-18x+24=0，化简得 x^2-6x+8=0，解得 x=2 或x=4所以函数 f(x) 的驻点为 x=2 或 x=4b) f’’(x)=6x-18当 x=2 时，f’’(2)=6(2)-18=-6<0，所以驻点 x=2 对应的函数值f(2)=-10 为极大值当 x=4 时，f’’(4)=6(4)-18=6>0，所以驻点 x=4 对应的函数值f(4)=10 为极小值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=2 处的极大值为最大值，函数 f(x) 在 x=4 处的极小值为最小值4.a) 设 y=f(x)=x^3-3x^2-9x+17则f’(x)=3x^2-6x-9当f’(x)=0 时，3x^2-6x-9=0，化简得 x^2-2x-3=0，解得 x=3 或 x=-1所以函数 f(x) 的驻点为 x=3 或 x=-1b) f’’(x)=6x-6当 x=3 时，f’’(3)=6(3)-6=18>0，所以驻点 x=3 对应的函数值f(3)=8 为极小值当 x=-1 时，f’’(-1)=6(-1)-6=-12<0，所以驻点 x=-1 对应的函数值f(-1)=18 为极大值c) 当x→±∞ 时，f(x)→+∞所以函数 f(x) 在 x=3 处的极小值为最小值，函数 f(x) 在 x=-1 处的极大值为最大值在本章的课后练习中，我们通过求导数、求二阶导数和讨论函数的单调性，求解了各种函数的极值及其最值。

高等数学同济第七版上册课后习题答案【注意：以下是根据题目需求给出的格式，仅供参考。

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】第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.（1）解：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，则有：f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -11.（2）解：设函数g(x) = 2x - 1，则有：g(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 51.（3）解：将x = 3代入f(x) = x^2 + g(x)中，得：f(3) = 3^2 + g(3) = 9 + 5 = 141.（4）解：由f(x) = 2x + g(2)可得：g(2) = f(x) - 2x = 2x + g(x) - 2x = g(x)1.（5）解：f(g(-1)) = f(2(-1) - 1) = f(-3) = (-3)^2 + 3(-3) - 2 = 9 - 9 - 2 = -21.（6）解：海伦公式中，设a = BC = 3，b = AC = 4，c = AB = 5，则有：p = (a + b + c) / 2 = 6S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6(3)(2)(1)] = √[36] = 62.极限与连续性2.（1）解：根据极限的定义，当x趋于2时，有：lim(x->2)(x^2 + 3x - 2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 82.（2）解：根据极限的性质，当x趋于2时，有：lim(x->2)(2x - 1) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 32.（3）解：由题意得，当x趋于3时，有：lim(x->3)(x^2 + 2x) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 152.（4）解：在x = 2处，f(x)不连续。