习题1-1
1.求下列函数的自然定义域：
(1)1
(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);
y y x y y x y x ====-=
+2
1
1
(2);1(4);(6)tan(1);1
(8)arctan ;
(10).
x
e y x
y y x y x
y e =-=
=+=+=解：
2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2
,3⎡⎫-+∞⎪
⎢⎣⎭
2(2)101,
x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)
-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1
x ≤即定义域为
[)(]
1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)
0,+∞(6)1(),
2
x k k Z π
π+≠+
∈即定义域为1()1,2x x R x k k Z π⎧⎫
∈≠+-∈⎨⎬
⎩
⎭且
(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]
2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)
-∞⋃+∞2.下列各题中，函数
()f x 和()g x
是否相同？为什么？
222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x
========-解：
（1）不同，因为定义域不同
（2）不同，因为对应法则不同，,0
(),0
x x g x x x ≥⎧==⎨
-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同
3.设sin ,3
()0,3x x x x πϕπ⎧
<⎪⎪=⎨
⎪≥⎪⎩
求(
(),(),(2),644
π
ππ
ϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形
解：
1
(sin ,()sin 66244(sin()(2)0,
4
4ππ
ππϕϕπ
π
ϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-
所示
4.试证下列函数在指定区间内的单调性：
(1);
1(2)ln ,(0,)
x
y x
y x x =-=++∞证明：
1
(1)()1,(,1)
11x y f x x x
===-+-∞--设121x x <<，因为
21
2112()()0
(1)(1)
x x f x f x x x --=>--所以
21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)
y f x x x ==++∞设120x x <
<，因为
2
21211
()()ln 0
x f x f x x x x -=-+>所以
21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加
5.设
()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增
加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加
证明：设120l x x -<<<，则210x x l
<-<-<由
()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0
f x f x --->即
()f x 在(,0)l -内也单调增加
6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数
（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明：
(1)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()
f x f x f x f x -=-=令12()()()
F x f x f x =
+于是1212()()()()()()
F x f x f x f x f x F x -=
-+-=+=故()F x 为偶函数
设12(),()g x g x 均为奇函数，
则1122()(),()()g x g x g x g x -=--=-令12()()()
G x g x g x =
+于是1212()()()()()()
G x g x g x g x g x G x -=
-+-=-+-=-故()G x 为奇函数
(2)设12(),()f x f x 均为偶数，则1122()(),()()f x f x f x f x -=-=令12()()()
F x f x f x =
⋅于是1212()()()()()()
F x f x f x f x f x F x -=
-⋅-==故()F x 为偶函数
设12(),()g x g x 均为奇函数，则
1122()(),()()
g x g x g x g x -=--=-令12()()()
G x g x g x =⋅于是
121212()()()()()()()()
G x g x g x g x g x g x g x G x -=-⋅-=-⋅-==故()G x 为偶函数设()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，则
()(),()()
f x f x
g x g x -=-=-令()()()
H x f x g x =⋅于是
[]()()()
()()()()()
H x f x g x f x g x f x g x H x -=-⋅-=-=-⋅=-故()H x 为奇函数
7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
