最新湘教版九年级数学上册《解直角三角形》教学设计(精品教案)

《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够利用解直角三角形的知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。

2、过程与方法目标（1）通过对解直角三角形的学习，让学生经历观察、思考、探究等过程，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

（2）在解决实际问题的过程中，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模能力。

3、情感态度与价值观目标（1）通过数学学习，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，以及合作交流的意识。

二、教学重难点1、教学重点（1）掌握解直角三角形的方法。

（2）能够灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素关系，从而正确地解直角三角形。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示实际生活中与直角三角形相关的图片，如金字塔、房屋的侧面等，引导学生思考如何利用所学的数学知识来解决与这些图形有关的问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形。

2、复习旧知（1）回顾直角三角形的性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形的两个锐角互余。

（2）复习锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）。

3、探索新知（1）引导学生思考：在一个直角三角形中，如果已知其中的两个元素（除直角外），能否求出其余的元素？（2）以一个具体的直角三角形为例，假设已知一条直角边和一个锐角，让学生尝试求出其他的边和角。

（3）通过学生的讨论和计算，总结出解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

4、解直角三角形的方法（1）讲解解直角三角形的依据：三边之间的关系：a²＋ b²＝ c²（勾股定理）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝ 90°边角之间的关系：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b 等（2）结合实例，详细讲解如何运用这些关系解直角三角形。

《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解直角三角形中五个元素（三条边和两个锐角）之间的关系。

掌握解直角三角形的概念，能够运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形。

2、过程与方法目标通过对解直角三角形的学习，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。

经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过小组合作学习，培养学生的合作交流意识和团队精神。

二、教学重难点1、教学重点解直角三角形的概念及解法。

运用直角三角形的边角关系解决实际问题。

2、教学难点如何将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素关系。

正确选择合适的边角关系解直角三角形。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课通过展示实际生活中的建筑、测量等场景，如高楼大厦的高度测量、山坡的坡度计算等，引出直角三角形在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习兴趣，引入本节课的主题——解直角三角形。

2、复习回顾（1）复习直角三角形的性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形的两个锐角互余。

（2）复习锐角三角函数的定义：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。

3、讲授新课（1）解直角三角形的概念引导学生思考：如果已知直角三角形的除直角外的两个元素（至少有一个是边），那么这个直角三角形是否可以确定？从而引出解直角三角形的概念：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2）解直角三角形的依据①三边之间的关系：a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）②锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝ 90°③边角之间的关系：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b（3）例题讲解例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求 b 和∠A、∠B 的度数。

湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3解直角三角形教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数4.3节主要是解直角三角形。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质的基础上进行学习的，通过解直角三角形，让学生进一步理解三角函数的定义和应用，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数的概念和性质有一定的了解。

但解直角三角形这一节内容涉及的知识点较多，运算较为复杂，对学生来说是一个较大的挑战。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解概念，突破难点，提高学生的运算能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的概念和性质；2.学会用锐角三角函数解直角三角形；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念和性质，用锐角三角函数解直角三角形；2.难点：理解解直角三角形的性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究，合作交流；2.利用多媒体辅助教学，直观展示解直角三角形的过程；3.运用练习法，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件；2.准备一些典型的解直角三角形的题目；3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员测量跳远距离等，引导学生思考如何计算这些直角三角形的未知边长。

2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的概念和性质，引导学生理解直角三角形的三个锐角函数的定义和关系。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些典型的解直角三角形的题目，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5.拓展（10分钟）讲解一些关于解直角三角形的拓展知识，如如何利用解直角三角形求解其他三角形的边长等。

【繁體轉換簡體方法】打開文檔---功能表列---審閱---繁轉簡---轉換完成【簡體轉換繁體方法】打開文檔---功能表列---審閱---簡轉繁---轉換完成解直角三角形一.教學內容第4章解直角三角形二. 重點、難點：1. 重點：（1）探索直角三角形中銳角三角函數值與三邊之間的關係．掌握三角函數定義式：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函數值，並會進行有關特殊角的三角函數值的計算．（3）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，•由已知三角函數值求它對應的銳角．2. 難點：（1）通過探索直角三角形邊與邊、角與角、邊與角之間的關係，領悟事物之間互相聯繫的辯證關係．（2）能夠運用三角函數解決與直角形有關的簡單的實際問題．（3）能綜合運用直角三角形的畢氏定理與邊角關係解決簡單的實際問題，提高數學建模能力．三. 知識梳理：1. 銳角三角函數（1）銳角三角函數的定義我們規定：sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．銳角的正弦、余弦、正切、餘切統稱為銳角的三角函數．（2）用計算器由已知角求三角函數值或由已知三角函數值求角度對於特殊角的三角函數值我們很容易計算，甚至可以背誦下來，但是對於一般的銳角又怎樣求它的三角函數值呢？用計算器可以幫我們解決大問題．①已知角求三角函數值；②已知三角函數值求銳角．2. 特殊角的三角函數值αsinαcosαtanαcotα30º45º 1 160º由表可知：直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等於斜邊的一半．3. 銳角三角函數的性質（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝；（3）tanα＝，cotα＝．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程叫做解直角三角形．解直角三角形的常見類型有：我們規定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．①已知兩邊，求另一邊和兩個銳角；②已知一條邊和一個角，求另一個角和其他兩邊．5. 解直角三角形的應用（1）相關術語鉛垂線：重力線方向的直線．水平線：與鉛垂線垂直的直線，一般情況下，•地平面上的兩點確定的直線我們認為是水平線．仰角：向上看時，視線與水平線的夾角．俯角：向下看時，視線與水平線的夾角．坡角：坡面與水平面的夾角．坡度：坡的鉛直高度與水準寬度的比叫做坡度（坡比）．一般情況下，我們用h表示坡的鉛直高度，用l表示水準寬度，用i表示坡度，即：i＝＝tanα．方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小於90°的水平角叫做方向角．如圖：（2）應用解直角三角形來解決實際問題時，要注意：①計算結果的精確度要求，一般說來中間量要多取一位有效數字．②在題目中求未知時，應儘量選用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形時，常常要作輔助線才能應用解直角三角形知識來解答．其方法可以歸納為：已知斜邊用正弦或余弦，已知直角邊用正切和餘切，•能夠使用乘法計算的要儘量選用乘法，儘量直接選用已知條件進行計算．注：解直角三角形在現實生活中有廣泛的應用，它經常涉及到測量、工程、航海、航空等，其中包括了一些術語，一定要根據題意明白其術語的含義才能正確解題．【典型例題】例1. 已知tanα＝，求的值．分析：利用數形結合思想，將已知條件tanα＝用圖形表示．解：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，設BC＝3k，AC＝4k，則AB＝＝＝5k．∴sinα＝＝＝ cosα＝，∴原式＝＝－7．例2. 計算．（1）sin45°－cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）；（4）．分析：這裡考查的是同學們對特殊角的三角函數值的識記情況和關於根式的計算能力．處理辦法是能夠化簡的要先化簡後代入計算，不能化簡的直接代入計算．解：（1）sin45°－cos60°＝×－×＝；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2+×＝2．（3）＝＝＝3－2；（4）＝＝1－sin30º＝1－＝．點撥：像上面第3題分子分母要分別處理，第4•題要特別注意先化簡再代入計算．例3. 已知tanα＝，求的值．分析：可將所求式子的分子、分母都除以cosα，轉化為含有的式子，•再利用tanα＝進行轉化求解．解：將式子的分子、分母都除以cosα，得原式＝＝－7規律總結：因為tanα＝所以α不等於90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同時除以cos α．實現轉化的目的．例4. 等腰三角形的底邊長為6cm，周長為14cm，試求底角的餘切值．分析：這是一個在非直角三角形中求銳角的三角函數值的題目，根據三角函數的定義，要先恰當的作輔助線（垂線）構成直角來解決．這個題涉及到等腰三角形，•作底邊上的高是解決問題常見辦法．解：如圖所示，作等腰三角形ABC，BC為底邊，AD⊥BC於D．∵△ABC的周長為14，底邊BC＝6，∴腰長AB＝AC＝4．又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝3．在直角三角形ABD中，∠ADB＝90°，AD＝＝＝cot∠B＝＝．答：等腰三角形底角的餘切值是．點撥：計算一個銳角的三角函數值，應在直角三角形中來考慮，如果題中沒有直角三角形，那麼就要通過作輔助線來構造直角三角形．例5. Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，•根據下列條件解直角三角形．（1）a＝4，c＝10；（2）b＝2，∠A＝40°；（3）c＝3，∠B＝58°．分析：（1）題是已知兩邊解直角三角形；（2）、（3）是已知一邊和一角解直角三角形．解：（1）b＝＝＝2，由sinA＝＝0.4，∠A≈23.6°，∠B＝90°－∠A＝90°－23.6°＝66.4°．（2）∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，由tanA＝，得a＝b·tanA＝2×tan40°≈2×0.8391≈1.678，由cosA＝，得c＝≈2.611．（3）∠A＝90°－∠B＝90°－58°＝32°，由sinB＝，得b＝c·sinB＝3·sin58°≈3×0.848≈2.544，由cosB＝，得a＝c·cosB＝3×cos58°≈3×0.5299≈1.590．點撥：在選擇三角函數時，一般使用乘法進行計算，能夠用三角函數求其中的未知邊的問題，一般不使用畢氏定理求邊．例6. 如圖，一艘輪船從離A觀察站的正北20海裡處的B港處向正西航行，觀察站第一次測得該船在A地北偏西30°的C處，一個半小時後，又測得該船在A•地的北偏西的D處，求此船的速度．分析：根據速度等於路程除以時間，必須求到DC的長，觀察圖形，DC＝DB－CB，•而BD在Rt△ABD中可求，BC在Rt△ABC中可求．解：在Rt△ABC中，BC＝AB×tan30°＝20×＝20（海裡）．在Rt△ABD中，BD＝AB×tan60°＝20×＝60（海裡）．所以DC＝DB－CB＝60－20＝40（海裡）．船的速度是：40÷1.5＝26（海裡）．答：船的速度是26海裡．點撥：凡涉及方向角的問題，一定要確定中心，如上題中的方向角就是以A•為中心的．例7. 如圖所示，河對岸有一座鐵塔AB，若在河這邊C、D•處分別用測角儀器測得塔頂A 的仰角為30°，45°，已知CD＝30米，求鐵塔的高．（結果保留根號）分析：設塔高為x米，根據條件∠ADB＝45°，可得BD＝AB＝x米，在直角三角形ABC中，根據∠C＝30°，即tanC＝可求．解：設AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝所以tan30°＝，即＝，x＝（15+15）（米）．答：塔高AB為15+15米．例8. 去年某省將地處A、B兩地的兩所大學合併成了一所綜合性大學，為了方便A、B兩地師生的交往，學校準備在相距2千米的A、B•兩地之間修築一條筆直的公路（即圖中的線段AB），經測量，在A地的北偏東60°方向，B地的西偏北45°的C處有一個半徑為0.7千米的公園，問計畫修築的這條公路會不會穿過公園？為什麼？分析：過C作AB的垂線段CM，把AM、BM用含x的代數式x，x表示，利用AM+MB＝2列方程得，x+x＝2，解出CM的長與0.7千米進行比較，本題要體會設出CM的長，列方程解題的思想方法．解：作CM⊥AB，垂足為M，設CM為x千米，在Rt△MCB中，∠MCB＝∠MBC＝45°，則MB＝CM＝x千米．在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°tan∠ACM＝∴AM＝CM·tan60°＝x千米∵AM+BM＝2千米∴x+x＝2∴x＝－1≈1.732－1＝0.732∴CM長約為0.732千米，大於0.7千米∴這條公路不會穿過公園．例9. 如圖是一個大壩的橫斷面，它是一個梯形ABCD，其中壩頂AB＝3米，經測量背水坡AD＝20米，壩高10米，迎水坡BC的坡度i＝1：0.6，求迎水坡BC的坡角∠C和壩底寬CD．分析：分析這一個關於梯形的計算題，要用解直角三角形的知識來解決，•一般過上底頂點作下底的垂線就能夠利用直角三角形知識來解決．解：過A、B作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足是E、F，根據題意有AE＝BF＝10，四邊形ABFE是矩形，EF＝AB＝3．在Rt△ADE中，DE＝＝＝10（米），在Rt△BCF中，，CF＝0.6×BF＝0.6×10＝6（米）所以CD＝CF+EF+DE＝10+3+6＝（9+10）（米）．又在Rt△BCF中，cot∠C＝0.6，所以∠C≈59°．例10. 如圖，如果△ABC中∠C是銳角，BC＝，AC＝．證明：證明：過A作AD⊥BC於D，則△ADC是直角三角形，∴，∴，又∵，∴．評注：本題的結論反映出三角形的兩邊及其夾角與這個三角形的面積之間的關係．同理還可推出：（三角形面積公式）【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，則BC的長為（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.2. AE，CF是銳角三角形ABC的兩條高，如果AE：CF＝3：2，則sinA：sinC等於（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如圖，為了確定一條小河的寬度BC，可在點C左側的岸邊選擇一點A，•使得AC⊥BC，若測得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC的值為（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正確的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•則此等腰梯形的周長為（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如圖，秋千拉繩OB的長為3m，靜止時踏板到地面的距離BE長為0.6m（•踏板的厚度忽略不計）．小亮蕩秋千時，當秋千拉繩從OB運動到OA時，拉繩OA•與鉛垂線OE的夾角為55°，請你計算此時秋千踏板離地面的高度AD是多少米．（精確到0.1m）7. 如圖，武當山風景管理區為提高遊客到景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺階進行改善，把傾角由44°減至32°，已知原臺階AB的長為5m（BC•所在地面為水平面）．（1）改善後的臺階會加長多少？（精確到0.01m）（2）改善後的臺階多占多長一段地面？（精確到0.01m）8. 如圖，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，•要在小山的另一邊同時施工，從AC上一點B 取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一條直線，•那麼開挖點E離D的距離約為多少米?（精確到1m）9. 如圖，某校九年級（3）班的一個學習小組進行測量小山高度的實踐活動，部分同學在山腳的點A處測處山腰上一點D的仰角為30°，並測得AD的長度為180m，•另一部分同學在小山頂點B處測得山腳A的俯角為45°，山腰點D處的俯角為60°，•請你幫助他們計算小山的高度BC（計算過程和結果都不取近似值）．10. 如圖，汪老師要裝修自己帶閣樓的新居，•在搭建客廳到閣樓的樓梯AC時，為避免上升時牆角F碰頭，設計牆角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m，他量得客廳高AB＝2.8m，樓梯洞口寬AF＝2m，閣樓陽臺寬EF＝3m，請你幫助汪老師解決下列問題，•要使牆角F到樓梯的豎直距離FG為1.75m，樓梯底端C到牆角D的距離CD是多少米？【試題答案】1. B 點撥：直接利用三角函數關係求解．2. B3. C 點撥：根據圖形找出對角關係．4. C 點撥：在銳角三角函數中，對於任意銳角的正弦值都等於它餘角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴EF＝3+0.6－1.72≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如圖．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善後的臺階會加長1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝≈5.558m，∴BD＝CD－BC＝5.558－3.597≈1.96m．即改善後的臺階多占1.96m長的一段地面．8. 368m．9. 過D作DE⊥AC於點E，作DF⊥BC於點F，則有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝，∴DE＝180×sin30°＝180×＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝，∴BF＝180·sin60°＝180×＝90m，∴BC＝BF+FC＝90+90＝90（+1）m．故小山的高度為90（+1）m．10. 根據題意有AF∥BC，∴∠ACB＝∠GAF．又∵∠ABC＝∠AFG＝90°，∴△ABC∽△GFA，∴，得BC＝3.2（m）．CD＝（2+3）－3.2＝1.8（m）．。