湘教版九年级数学上册知识点归纳总结

湘教版数学初三知识点总结一、有理数1. 有理数的概念有理数是指可以表示为两个整数的比值（分母不为零）的数，包括正整数、负整数、零。

2. 有理数的性质（1）有理数的加法和乘法封闭性两个有理数的和或积仍是有理数。

（2）有理数的加法和乘法交换律、结合律有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。

（3）有理数加法逆元和乘法逆元任何有理数的相反数仍是有理数；非零有理数的倒数仍是有理数。

（4）有理数大小比较两个有理数的大小比较可以通过其表示数的大小及符号来确定。

（5）有理数的乘法有理数相乘，符号相同得正，符号不同得负。

（6）有理数的除法有理数相除，可以先化简成乘法，再进行运算。

二、整式与因式1. 整式的概念整式是由数字、字母和它们的积、商以及和所组成的代数式。

2. 整式的加减法整式的加减法符合交换律和结合律，可以将同类项合并。

3. 整式的乘法利用分配律将整式相乘，然后合并同类项。

4. 整式的因式（1）根据其计算结果分解；（2）根据其特殊的代数式分解；（3）根据构造公式分解；（4）根据取公因式分解。

三、方程与不等式1. 一元一次方程（1）解一元一次方程应注意合并同类项、去括号、去分母、移项和因式分解等。

（2）解一元一次方程应注意检验解的合理性，并讨论求解情况。

2. 一元二次方程（1）利用因式分解法、配方法、求根公式等方法解一元二次方程。

（2）解一元二次方程时应特别注意讨论解的存在性和范围。

3. 一元一次不等式（1）解一元一次不等式需要注意方程的倍增、分组、图解等方法。

（2）解一元一次不等式时应特别注意小心细致的过程和范围的讨论。

4. 一元一次方程与不等式利用方程的性质和解法，能够解决一些实际问题。

四、平面图形与几何变换1. 图形的概念及分类二维图形包括直线、射线、线段、角、多边形、圆等。

2. 三角形（1）三角形的基本性质三角形内角和为180°，三角形两边之和大于第三边，三角形两角之差小于第三角。

（2）三角形的分类根据边和角的性质，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、普通三角形等。

锐角三角函数之间的关系 1 平方关系： sin 2 A cos2 A 1
2 倒数关系：tanA• cotA=1
（3）弦切关系：tanA= sin A
cos A cotA=
cos A
sin A
（4）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
九（上）数学知识点
反比例函数及其图象的性质
第一章 反比例函数
1．函数解析式：
（
）
2．自变量的取值范围：
3．图象：（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 大．
（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点
越小，图象的弯曲度越
当
时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
1、直接开平方法 2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法；3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。 4、公式法
（1）根的判别式： b2 4ac ， >0 时，方程有两不等实数根； =0 时，方程有两相
同实数根； <0 时，方程无实数根。
（2）求根公式 ： 当 b2 4ac ≥0 时，x= b b2 4ac 2a
特殊角的三角函数值
α 30°
sinα
1 2
cosα
3 2
tanα
3 3
cotα
3
ห้องสมุดไป่ตู้
45°
2 2
2 2
1
1
60°
3 2
1 2
3 3
3
说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0°~90°之间变化时.

九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20++=（a、b、c为常数，ax bx ca≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

湘教九年级上册数学知识点在湘教九年级上册数学课程中，有许多重要的知识点需要我们掌握。

下面我将为大家详细介绍一些重要的数学知识点。

一、代数表达式与运算在数学中，代数表达式是非常重要的概念。

代数表达式由常数、变量、运算符和括号组成。

我们可以通过运用代数表达式来解决各种实际问题。

在课本中，我们学习了代数表达式的展开与因式分解，以及代数等式的证明等内容。

通过这些知识的学习，我们能够更好地理解数学中的运算规律和数学关系，提高解决问题的能力。

二、一次函数与二次函数在九年级上册中，我们学习了一次函数和二次函数。

一次函数是指函数的最高次数为一的函数，其图像是一条直线。

我们学会了如何通过函数的表达式和图像来确定函数的性质和关系。

二次函数是指函数的最高次数为二的函数，其图像是一个抛物线。

我们学习了二次函数的顶点坐标、对称轴以及图像的开口方向等相关知识。

通过对一次函数和二次函数的学习，我们能够更好地理解函数的概念，掌握函数的性质与特点，并能够应用函数来解决实际问题。

三、图形的性质与坐标系在九年级上册中，我们进一步学习了图形的性质和坐标系。

我们了解了平面直角坐标系、平面直角坐标系与图形的关系，懂得如何通过坐标系来表示图形的位置和性质。

我们还学习了如何利用平面直角坐标系来解决实际问题，计算图形的长度、面积以及图形之间的位置关系。

通过对图形的性质与坐标系的学习，我们能够更好地理解几何概念，提高分析和解决几何问题的能力。

四、立体几何与体积在九年级上册中，我们继续学习了立体几何的相关知识。

通过学习立体几何，我们了解了三维空间中的立体图形的性质和特点，并学会了如何计算图形的体积。

我们通过对几何体的分类和性质的学习，能够更好地理解几何体的形状和结构，掌握计算几何体体积的方法，并能够将几何体的概念灵活应用于实际问题的解决。

五、概率与统计在九年级上册中，我们开始学习了概率与统计的知识。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

通过学习概率，我们能够了解事件发生的规律和可能性，并学会如何计算事件的概率。

九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。

（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。

3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。

4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。

命题与证明二、知识要点梳理知识点一：定义要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．知识点二：命题要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）知识点三：命题的结构要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．知识点四：公理要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

《相似三角形的性质》知识全解课标要求了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．知识结构内容解析1．教材所处的地位及作用“相似三角形的周长与面积”是“相似”一部分的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究，它既是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础．这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这部分无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用．2．教学内容本部分教材主要讲解相似三角形的两个性质，可以让学生思考相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比分别等于什么．类比学习相似多边形的性质．3．关于教学目的的确定根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，依据教学大纲确定本课的教学目的：(1)理解相似三角形性质及证明，能运用它们进行计算和论证；(2)培养学生的逻辑思维能力，动手实践能力，发现问题、解决问题的能力，并对学生进行“实践——认识——实践”的辩证唯物主义认识论教育．重点难点相似三角形的性质及应用是本部分的重点也是难点．它是主要内容之一，是在学完相似三角形判断的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究．相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．教法导引在教学时，要充分注意新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用，这样也有助于学生对于新知识的理解．在学生通过观察、操作探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．采用直观、类比的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生预习教材内容，养成良好的自学习惯，启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力．逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习约兴趣和学习的积极性．本部分主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课教学设计应突出“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．学法建议注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．通过度量，发现利用三个对应边的比相等、两组对应边的比及其夹角相等、两个角相等等相似三角形的判定方法等．“授人以鱼，不如授人以渔”，必须在给学生传授知识的同时，教给他们好的学习方法，就是让他们“会学习”．为培养学生的逻辑思维能力、自学能力和动手实践能力，这节课采用学生制作学具、动手实验和自己发现结论的学习方法，使学生通过本部分的学习进一步理解观察、类比、分析、归纳等教学方法．。

九上第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

湘教九年级数学上册知识点湘教九年级数学上册是学生在初中阶段数学学习的重要部分，掌握其中的知识点对于学生的学习成绩至关重要。

本文将围绕湘教九年级数学上册的几个重点知识点进行介绍和讲解。

一、线性方程式在数学上，线性方程式是学习代数的基础。

在湘教九年级数学上册中，线性方程式的学习是一个重要的部分。

学生需要掌握如何解一元一次方程、一元一次方程的应用以及解二元一次方程等内容。

通过理论的学习和大量的练习，学生可以逐渐掌握解方程的方法和技巧，并能够灵活运用到实际问题中。

二、因式分解与整式运算因式分解与整式运算是代数学习中的重点内容。

在湘教九年级数学上册中，学生需要掌握如何进行整式的加减乘除、整式的因式分解等操作。

这些知识点不仅在数学中有广泛的应用，也会对学生的逻辑思维和数学能力有较大的提升。

三、平方根与勾股定理平方根与勾股定理是湘教九年级数学上册中的几个重要知识点之一。

学生需要了解平方根的定义和性质，并能够运用平方根解决一些实际问题。

此外，勾股定理作为数学中的重要定理之一，学生需要熟练掌握勾股定理的表达形式，并能够运用勾股定理解决直角三角形相关的问题。

四、统计初步在湘教九年级数学上册中，学生也会接触到统计学的初步内容。

学生需要了解统计学的基本概念和统计图表的绘制方法，并能够利用统计学的方法进行数据的分析和总结。

这些知识点对于学生提高数据分析和解决实际问题的能力具有重要意义。

五、平面向量与坐标系平面向量与坐标系是湘教九年级数学上册的重点内容之一。

学生需要了解平面向量的定义和性质，并能够进行平面向量的加减、数乘等运算。

此外，学生还需要熟练掌握直角坐标系和极坐标系的基本概念和相关运算。

综上所述，湘教九年级数学上册的知识点包括线性方程式、因式分解与整式运算、平方根与勾股定理、统计初步以及平面向量与坐标系等内容。

这些知识点不仅为学生的中学数学学习打下了坚实基础，也对于学生在高中数学和大学数学的学习中具有重要的指导作用。

九（上）数学知识点答案第一章一元二次方程一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项。

2、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。

（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。

3、配方法（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。

（2）配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。

4、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0时，x=a acb b24 2-±-(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。

命题与证明 二、知识要点梳理 知识点一：定义 要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 知识点二：命题 要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．） 知识点三：命题的结构 要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识点四：公理 要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

九上第一章 反比例函数（一）反比例函数1 ． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 ． （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k ，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式： （ ）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量且 x 应对称取点（关于原点对称）1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．2）图象的位置和性质： 自变量，函数图象与 x 轴、y 轴无交点 ，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内， 当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； y 随 x 的增大而增大．， ）在双曲线的另一支上．图象关于直线 对称，即若（ a ， b ）在双曲线的一支上，则（， ）和（ ， ）在x 的取值不能为 0 ，．图1图 25 ．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（ 2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（ 1）待定系数法；（ 2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系． 3 、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章 一元二次方程一）一元二次方程1、只含有一个未知数的 整式方程 （分母不含未知数 ），且都可以化为 ax 2 bx c 0（ a 、b 、c 为常 数， a≠ 0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

2 、把 ax 2 bx c 0（a 、b 、c 为常数， a ≠0）称为一元二次方程的 一般式 ，a 为二次项系数； b 为一 次项系数； c 为常数项（包括符号）。

新湘教版九年级数学上册知识点总结第一章 反比例函数反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大；图象的弯曲度越小；曲线越平直．越小；图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时；图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内；y 随x 的增大而减小；当时；图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内；y 随x 的增大而增大．第二章 一元二次方程（1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程；并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a ；b ；c 为常数；a ≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax 2+bx+c=0(a ；b ；c 为常数；a ≠0)；其中；a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项。

1、直接开平方法2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法；3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。

4、公式法（1）根的判别式：24b ac ∆=-；∆>0时；方程有两不等实数根；∆=0时；方程有两相同实数根；∆<0时；方程无实数根。

（2）求根公式 ： 当24b ac ∆=-≥0时；x=aacb b 242-±-（3）韦达定理：12b x x a +=-；12c x x a∙= 第三章 图形的相似1、 线段的比一般地； 在四条线段中； 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比；那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果a cb d=； 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定三个角对应相等； 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似； 且Ａ′； Ｂ′； Ｃ′分别与Ａ； Ｂ； Ｃ 对应； 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ；读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

第1章反比例函数1.1 反比例函数【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.一、情境导入，初步认识1.复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t 的变化，平均速度v 发生了怎样的变化？（4）平均速度v 是所用时间t 的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？【教学说明】一般地，如果两个变量x ，y 之间可以表示成（k 为常k y x=数且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量，常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数，其中自变量t 可以取3000v t=哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间，且时间不能为负数，所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动．三、运用新知，深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是acm ，这边上的高是h cm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式．分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合 (k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．k y x=解：(1)，是反比例函数；12a h=(2)F ＝pS ，是正比例函数；(3)，是反比例函数；W F s=(4)，是反比例函数．m y x =3.当m 为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．224m y x -=解：由反比例函数的定义可知：2m-2＝1，．32m =所以反比例函数的解析式为．4y x=4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1.98kg ／m 3（1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围.（2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度.解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y 1与x 成正比例，则y 1＝k 1x ，y 2与x 2成反比例，则，又由y 222k y x =＝y 1＋y 2，可知，，只要求出k 1和k 2即可求出y 与x 间的函数关系212k y k x x=+式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以，222k y x =而y ＝y 1＋y 2，所以，212k y k x x =+当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．所以.21211924193.9k k k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得12536k k =⎧⎨=⎩所以．2365y x x=+【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数（k>0）的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.了解并学会应用反比例函数（k>0）图象的基本性质.k y x =【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数（k>0）的k y x =图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数（k>0）的性质.k y x =【教学难点】理解反比例函数（k>0）的性质，并能灵活应用.k y x =一、情境导入，初步认识你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数的图象．6y x=分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.k y x=(1)列表：取自变量x 的哪些值?x 是不为零的任何实数，所以不能取x 的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等．(3)连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y 轴右边的各点，当横坐标x 逐渐增大时，纵坐标y 如何变化？y 轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数（k>0）所在的象限k y x =画出函数的图形，并思考下列问题：3y x=（1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的？【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数的图象由分别在第一、k y x=三象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3：下图是反比例函的图象，根据图象，回答下列问题：k y x =（1）k 的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y 1)，B(-2,y 2)是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第k y x=一、三象限内，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，因此，k>0.（2）因为点A(-3,y 1)，B(-2,y 2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A 、B 都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y 1>y 2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.如果函数y ＝2x k ＋1的图象是双曲线，那么k ＝_________．【答案】 -22.反比例函数的图象大致是图中的( )．1y x =解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.【答案】 C3.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C4.已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数 (k ＞0)的图象上的两点，k y x =若x 1＜0＜x 2，则有( )．A. y 1＜0＜y 2B.y 2＜0＜y 1C.y 1＜y 2＜0D.y 2＜y 1＜0【答案】 A5.作出反比例函数的图象，并根据图象解答下列问题： 12y x=(1)当x ＝4时，求y 的值；(2)当y ＝-2时，求x 的值；(3)当y ＞2时，求x 的范围．解：列表：由图知：(1)y ＝3；(2)x ＝-6；(3)0＜x ＜6四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.2”中第1、3、4题.通过本节课的学习使学生理解了反比例函数（k>0）的图象和性质，k y x并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时 反比例函数（k<0）的图象与性质【知识与技能】1.了解并学会应用反比例函数（k<0）图象的基本性质；k y x=2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】理解反比例函数（k<0）的性质.k y x=【教学难点】反比例函数（k<0）图象和性质的运用.k y x =一、情境导入，初步认识我们学会了反比例函数（k>0）的图象与性质，那么反比例函数k y x =k y x =（k<0）的图象与性质又有什么不同呢？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的图象．6y x=-可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；6y x=-(2)可以通过探索函数与之间的关系，画出的图象．6y x =6y x =-6y x=-【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数的图象由分别在第二、k y x=四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数k y x=值y 随自变量x 的增大而增大.探究2：反比例函数的性质反比例函数与的图象有什么共同特征?6y x =-6y x=【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数 (k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当ky x=k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数与 (k ≠0)的图象关于x 轴或y 轴对称.k y x =ky x=-【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.如果反比例函数的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的3k y x-=正整数k 的值是________．【答案】 1，22.已知直线y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象kby x=在第_______象限．【答案】 二、四3.若点A(7，y 1)，B(5，y 2)在双曲线上，则y 1、y 2中较小的是3y x=-_______．【答案】 y 24.若A(a 1，b 1)，B(a 2，b 2)是反比例函数图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是()A.b 1＜b 2B.b 1=b 2C.b 1＞b 2D.大小不确定【答案】 D5.函数的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若0＜x 1＜x 2，则1y x=-( )A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1=y 2D.y 1、y 2的大小不确定【答案】 A6.已知函数为反比例函数．()232m y m x -=-(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？(3)当-3≤x ≤时，求此函数的最大值和最小值．12-解： (1)由反比例函数的定义可知：解得，m ＝-2．231,20.m m ⎧-=-⎨-≠⎩(2)因为k=-4＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y 随x 的增大而增大．(3)因为在每个象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x ＝时，y 最大值＝;12-4812-=-当x ＝-3时，y 最小值＝．4433-=-所以当-3≤x ≤时，此函数的最大值为8，最小值为．12-437.作出反比例函数的图象，结合图象回答：4y x=-(1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值范围；(3)当1≤y ＜4时，x 的取值范围．解：列表：由图知：(1)y＝-2；(2)-4＜y≤-1；(3)-4≤x＜-1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.2”中第2、7题.解决问题的基本技巧，使学生能够适应考试命题方向.第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用【知识与技能】1.会求反比例函数的表达式；2.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；3.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】1.会用待定系数法求反比例函数的表达式；2.理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.一、情境导入，初步认识1.正比例函数有哪些性质？2.一次函数有哪些性质？3.反比例函数有哪些性质？4.我们学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数的图象经过点P （2,4）ky x（1）求k 的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A （-2，-4），B(3，5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？分析： (1)题中已知图象经过点P （2，4），即表明把P 点坐标代入解析式成立，这样能求出k ，解析式也就确定了.(2)要判断A 、B 是否在这条函数图象上，就是把A 、B 的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k 的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x 的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x ，，其中，2k y x=k 1，k 2是常数，且均不为0.由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，()2143,43k k =⨯-=-解得，124123k k =-=-所以，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为.43y x =-12y x=-函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.3.在反比例函数的图象上取两点P （1，6），Q （6，1），过点P 分别6y x=作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1=_______；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 2=_______；S 1与S 2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数（k ≠0）中比例系数k 的几何意义：过双曲ky x=线（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积ky x=为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数的图象上的一点，ky x=AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（）A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝．12k 解：根据题意可知：S △AOB ＝＝3，12k 又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C2.反比例函数与在第一象限的图象如图所6y x =2y x=示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（）A.B.2C.3D.112分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3，S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知点P(2，2)在反比例函数 (k ≠0)的图象上，ky x=(1)当x=-3时，求y 的值；(2)当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．解： （1）∵点P （2，2）在反比例函数的图象上，ky x=∴2=，即k=4，2k∴反比例函数的解析式为．4y x=∴当x=-3时，y=．43-（2）∵当x=1时，y=4；当x=3时，y=，43又反比例函数在x ＞0时y 值随x 值的增大而减小，4y x=∴当1＜x ＜3时，y 的取值范围为＜y ＜4．434.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(-2，m)和ky x=C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝-3．一次函数的解析式为：y ＝x-3．又因为点B(-2，m)也在直线y ＝x-3上，所以m ＝-2-3＝-5，即B(-2,-5)．而点B(-2,-5)又在反比例函数上，所以k ＝-2×(-5)＝10．ky x=5.已知反比例函数的图象与一次函数y ＝k 2x-1的图象交于A(2,1)．1k y x=(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k 1＝2×1＝2．1＝2k 2-1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y ＝x-1．2y x=(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(-2,-1)．把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A 在反212y ==--比例函数图象上．把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝-2-1＝-3，所以点A ′不在一次函数图象上．6.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数的图象交于A 、B 两my x=点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围．分析: (1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．解∶(1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(-2,1)，m ＝-2×1＝-my x=2．所以反比例函数的解析式为：．又点B(1,a)也在反比例函数图象2y x=-上，a=．即B(1,-2)．221-=-因为一次函数图象过点A 、B ．所以解得，12,2.k b k b =-+⎧⎨-=+⎩1,1.k b =-⎧⎨=-⎩一次函数解析式为：y ＝-x-1．(2)观察图象可知，当x ＜-2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数值.【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.2”中第6题.教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.1.3 反比例函数的应用【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.一、情境导入，初步认识复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？（1）根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m 2)之间的关系式，请F p S你判断：当F 一定时，p 是S 的反比例函数吗？（2）如人对地面的压力F=450N ，完成下表：（3）当F=450N 时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S 增大时，地面所受压强p 是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于，当F 一定时，根据反比例函数的定义可知，p 是S F p S=的反比例函数.（2）因为F=450N ，所以当S=0.005m 2时，由得：=90000F p S =4500.005p =（Pa)类似的，当S=0.01m 2时，p=45000Pa ；当S=0.02m 2时，p=22500Pa ；当S=0.04m 2时，p=11250Pa（3）当F=450N 时，该反比例函数的表达式为,它的图象如下图所450p S =示，由图象的性质可知，当受力面积S 增大时，地面所受压强p 会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p 与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0)，即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m 3，如果从水管中每小时流出x m 3的水，经过y h 可以把水放完，那么y 与x 的函数关系式是_____________，自变量x 的取值范围是_____________．【答案】 ；x ＞012y x=3.若梯形的下底长为x ，上底长为下底长的，高为y ，面积为60，则y 与13x 的函数关系是_____________ (不考虑x 的取值范围)．【答案】 ．90y x=4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是()【答案】 A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y 与宽x 之间的关系C.压力为600N 时，压强p(Pa)与受力面积S(m 2)之间的关系D.一个容积为25L 的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】 D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y 与x 之间的关系的式子是( )．【答案】 D7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图象是( )【答案】 A8.一个长方体的体积是100cm 3，它的长是y(cm)，宽是5cm ，高是x(cm)．(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm 时，求长．解：(1)(x>0)；(2)图象略；(3)长为cm.20y x 203【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业：教材“习题1.3”中第1、2、4题.本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.章末复习【知识与技能】理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程，了解数学与实际问题相结合.【情感态度】初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性.【教学重点】能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题.【教学难点】反比例函数的应用.一、知识结构【教学说明】通过回顾知识点，使学生掌握各知识点之间的联系.二、释疑解惑，加深理解1.反比例函数的概念一般地，如果两个变量x ，y 之间可以表示成（k 为常数且k ≠0）的k y x形式，那么称y 是x 的反比例函数.2.反比例函数的性质：。

九年级上数学知识点湘教版在九年级上册湘教版的数学课程中，我们将继续学习各种数学知识和技能，为高中数学的学习打下坚实的基础。

下面是本学期我们需要掌握的几个重要数学知识点。

1. 实数的运算实数是我们数学中最基础的概念之一。

在九年级上册中，我们将学习实数的加减乘除运算规则，包括正数、负数、零以及分数等。

我们将学习如何在数轴上表示实数，并且掌握实数的大小比较。

2. 平方根和立方根平方根和立方根是数学中常见的概念。

在本学期，我们将学习如何计算平方根和立方根，并且学习如何使用它们解决实际问题。

我们还将学习如何简化根式，并且掌握根式的性质。

3. 一元一次方程一元一次方程是九年级数学的一个重要内容。

我们将学习如何解一元一次方程，包括使用加减消元法、配方法和图解法等。

我们还将学习如何应用一元一次方程解决实际问题，如找到未知数的值或者求某个量的变化规律。

4. 三角形的性质与计算在九年级上册，我们将学习三角形的性质与计算。

我们将学习如何计算三角形的面积，包括等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

我们还将学习三角形内角和的性质，以及三角形的相似性质。

5. 概率与统计概率与统计是九年级数学的最后一个重要知识点。

我们将学习如何计算事件的概率，包括基本事件、互斥事件和相互独立事件。

我们还将学习如何进行数据处理和统计分析，包括图表的绘制和数据的解读。

通过学习以上数学知识点，我们将能够更加熟练地运用数学知识解决实际问题，提高数学思维能力和分析问题的能力。

希望同学们认真学习，掌握这些数学知识点，为高中的数学学习打下坚实的基础。

九年级湘教版数学知识点汇总初三数学上册知识点归纳1、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即：﹝另有两种写法﹞(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。

注意：│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

2、解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

(1)直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.(2)配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式)2)系数化1：将二次项系数化为13)移项：将常数项移到等号右侧4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6)开方：左右同时开平方7)求解：整理即可得到原方程的根(3)公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

初三数学复习方法总结按部就班数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。