学法大视野·数学·九年级上册湘教版·答案

九年级上册数学学法大视野一、一元二次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。

- 例如，方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为x^2+bx = c的形式，然后在等式两边加上((b)/(2))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2))^2，再进行求解。

- 例如，解方程x^2+6x - 7 = 0。

- 移项得x^2+6x=7。

- 配方：x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16。

- 解得x=-3±4，即x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 例如，方程2x^2-5x + 1 = 0，其中a = 2，b=-5，c = 1。

- 先计算Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。

- 代入求根公式得x=(5±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，然后使每个因式分别为零，从而求出方程的解。

- 例如，方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，Δ=b^2-4ac。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、某公司把500万元资金投入新产品的生产，第一年获得一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，继续生产，第二年的利润率提高8%，若第二年的利润达到112万元，设第一年的利润率为x，则方程可以列为（）A.500（1+x）（1+x+8%）=112B.500（1+x）（1+x+8%）=112+500 C.500（1+x）•8%=112 D.500（1+x）（x+8%）=1122、若n（）是关于x的方程的根，则m＋n的值为（）A.－2B.－1C.1D.23、下列方程没有实数根的是（）A.x 2+4x=10B.3x 2+8x﹣3=0C.x 2﹣2x+3=0D.（x﹣2）（x ﹣3）=124、下列给出的方程：①（x+1）（x﹣1）﹣x2=0；②x2+1=0；③y2﹣2y﹣1=0；④x2﹣1= ．其中是一元二次方程的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.②③5、用配方法解方程，配方后的方程是（）A. B. C. D.6、若方程x2+9x-a=0有两个相等的实数根，则（）A. B. C. D.7、一元二次方程2x2-x-3=0的而次项系数、常数项分别是（）A.2，1，3B.2，1，﹣3C.2，﹣1，3D.2，﹣1，﹣38、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，－3，1B.2，3，－1C.2，3，1D.2，－3，－19、下列各方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A.2x 2+3=2x（5+x）B.ax 2+c=0C.（a+1）x 2+6x+1=0D.（a 2+1）x 2﹣3x+1=010、若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=（）A.3B.4C.5D.611、某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务，那么改进操作方法后，每天生产的产品件数为（）A.55B.60C.50D.6512、若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两个不相等的根，则α2﹣2β的值是（）A.10B.16C.﹣2D.﹣1013、已知α，β是关于x的一元二次方程x2+ (2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足= -1，则m的值是（）.A.3或 -1B.3C.-1D.-3 或 114、已知−1是关于x的方程x2+4x−m=0的一个根,则这个方程的另一个根是( )A.-3B.-2C.-1D.315、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（）A. B. C.2或3 D. 或二、填空题(共10题，共计30分)16、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作纪念，全班共送了2070张相片．若全班有x名学生，根据题意，列出方程为________17、已知一元二次方程x2﹣7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为________18、当________时，代数式比代数式的值大2.19、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为________．20、一元二次方程2x2+ax+2=0的一个根是x=2，则它的另一个根是________．21、m是方程x2-6x-5=0的一个根，则代数式11+6m-m2的值是________.22、已知是方程的根，求的值为________.23、一元二次方程的根是________．24、已知实数m是关于x的方程-3x-1=0的一根，则代数式2-6m+2值为________．25、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是________。

课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数反比例函数 课前预习=k x≠ 零 课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立. 所以函数图象经过-6,13.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x. ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x, x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四课堂探究 【例1】 探究答案:第一、三象限 > 解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m -5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3. ∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A 变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中, 得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3, 在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练>15.解:(1)∵反比例函数y=k x与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得, k=1×2=2, 将x=1,y=2代入一次函数解析式得, b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1. (2)对于一次函数y=x+1, 令y=0,可得x=-1; 令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升8.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5x 的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5. 对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0). (2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1.∵S △ABM =12×AB ×MC=12×4×MC=8, ∴MC=4. 又AM=5,∴AC=3, 又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大 =±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 > 解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2. 变式训练1-1: A 变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|2 解:设点A 的坐标为a ,2a ,则点B 的坐标为-a ,-2a,∵BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,∴AC ⊥BC ,又由题意可得BC=2a ,AC=4a,S △ABC =12BC ·AC=12·2a ·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A 的坐标是(m ,n ),则n=k ,即k=mn , ∵OB=-m ,AB=n ,S 长方形ABOC =OB ·AB=(-m )n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3. 课堂训练5.解:设一次函数的解析式为y=kx+b (k ≠0).∵点A 是直线与反比例函数y=2x 的交点,∴把A (1,a )代入y=2x ,得a=2.∴A (1,2).把A (1,2)和C (0,3)代入y=kx+b ,得{k +b =2,b =3. 解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3. 课后提升<-2或0<x<19.解:(1)图象的另一支在第三象限, ∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b 1<b 2.理由如下: ∵m<52,∴m -4<m-3<0,∴b 1<b 2. 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P 2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F ,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时),即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛. 变式训练1-1:C 变式训练1-2: 【例2】 探究答案: -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1). 由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1. (2)y 2<y 1<y 3. (3)x>1或-2<x<0. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2, 即B (-4,-2), 将A 与B 坐标代入一次函数解析式得,{2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x ,解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4. (3)利用题图象得,y 1>y 2时, x 的取值范围为-4<x<0或x>2. 课后提升<0或1<x<4 7.(3,2)9.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8x 的图象过点A (-2,m ),∴m=-8-2=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点, ∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2. (2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x 得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2). (2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x. (3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究 【例1】 探究答案: =2 2.≠0 解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0. 解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2. 则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4. 变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0 解:(1)去括号,得 4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41, 去括号、移项、合并得2t 2+32t=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13,移项、合并,得12x 2-4x+16=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为12,-4,16.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:{m 2-2=2,m +2≠0,?解得m=±2且m ≠-2. ∴m=2. 【例3】 探究答案:1.根 2.≠0 解:根据题意,得(m-2)×12+(m 2-3)×1-m+1=0, 即m 2-4=0,故m 2=4, 解得m=2或m=-2. ∵方程(m-2)x 2+(m 2-3)x-m+1=0是关于x 的一元二次方程, ∴m -2≠0,即m ≠2.故m=-2. 变式训练3-1:1 变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a 2-1=0, ∴a=±1, ∵a -1≠0,∴a ≠1, ∴a=-1. 课堂训练5.解:去括号,得9x 2+12x+4=4x 2-24x+36. 移项、合并同类项得,5x 2+36x-32=0. ∴它的二次项为5x 2 二次项系数为5, 一次项为36x , 一次项系数为36,常数项为-32. 课后提升(x+5)=300 x 2+5x-300=0 1 5 -300 8.≠1 =19.解:(1)去括号,得x 2-4=3x 2+2x , 移项,得-2x 2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4. (2)去括号,移项合并,得(1-2a )x 2-2ax=0,二次项系数为1-2a ,一次项系数为-2a ,常数项为0. 10.解:小明的话有道理. 理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1. 而m=1时,m 2+m-2=0, 所以此方程不可能为一元二次方程.一元二次方程的解法配方法 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 课前预习1.(1)平方根2.(1)a 2±2ab+b 2 (2)完全平方式课堂探究 【例1】 探究答案:-a ±√b 没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=9, ∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7 变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5, 解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2. (2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x -2=2或x-2=-2. 解这两个方程,得x 1=4,x 2=0. 【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916, ∴x -14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1, 配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3, ∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5.∴x -1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542, 即x+542=4916. 开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17. 10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p22=-q+p22,即x+p 22=p 2-4q 4. ∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2. ∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习 (1)1 (2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案: 2.完全平方式解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2, 即(x -34)2=116, 两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14, ∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1,得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x -112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12. 配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916, ∴x -14=±34,∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案: 2.减去 解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0, ∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数.变式训练2-1:13 变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1. ∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时, 代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1. 课堂训练=-2,x 2=12或-7 或3 6.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6, ∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14, ∴x-122=134,∴x -12=±√132, ∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升=1+√3,x 2=1-√3±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7, 移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x -3=±1,∴x 1=2,x 2=4. 10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0, 化简,得3x 2+5x-2=0.系数化为1,得x 2+53x=23, 配方,得x+562=4936,∴x+56=±76, ∴x 1=-2,x 2=13.公式法课前预习=-b±√b 2-4ac2a (b 2-4ac ≥0)2.求根公式 课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c 解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1. b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D 变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√5,∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1,∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0,∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22. 变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C 课堂训练4.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0, 所以a=4,b=12,c=9. 因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升5.-1+√32,-1-√32=1,x 2=12或16 8.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2,∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1, ∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5,∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1), ∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2, ∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac =9±√73,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732.10.解:由题意得,m 2+1=2, 且m+1≠0, 解得m=1. 所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1. b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32.因式分解法 课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0(x-5)(3x-13) 解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2. (2)3(x-5)2=2(5-x ), 3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x -5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C 变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0, ∴x 1=43,x 2=73.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0, ∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0, ∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3. (3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1, 即(x-1)2=5,∴x -1=±√5,∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为 (x-3)2=4, ∴x -3=±2, ∴x 1=5,x 2=1. (2)用配方法:移项,得x 2-4x=7. 配方,得x 2-4x+4=7+4, 即(x-2)2=11,∴x -2=±√11∴x -2=√11或x-2=-√11,∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得 (x-3)2=2(x-3)(x+3), 移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得(x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x -3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9. 课堂训练或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解, 得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1. 课后提升=3,x 2=9 9.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8.(2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1.(3)用求根公式法解得 y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10, ∴x 2=10(舍去).第三边长为7. 这个三角形的周长为3+7+7=17.一元二次方程根的判别式课前预习≠0 2.(1)> (2)= (3)<课堂探究 【例1】 探究答案:1.一般形式 、b 、c b 2-4ac 解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x2+3x+1=0,∵Δ=b2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x2-2√6x+3=0.∵Δ=b2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0,∴原方程无实数根.变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:1.≥解:由题意知:b2-4ac≥0,即42-8k≥0,解得k≤2.∴k的非负整数值为0,1,2.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t,c=2.∴Δ=t2-4×2×2=t2-16,令t2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×1×3=-8<0,∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x2+2x-3=0,x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3.课后提升>1<2且m≠1或12或109.解:由题意,得{b2-4ac=(-2√k+1)2-4(1-2k)(-1)>0①1-2k≠0②k+1≥0③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k≠12,由③得,k≥-1.∴-1≤k<2且k≠12. 10.解:(1)Δ=b2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根,∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数. 当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2. * 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a课堂探究【例1】 探究答案: a+b ab解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b. 所以(1)a+b=1; (2)ab=-1; (3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:(m+1) 2.>0 解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3) =16+8m>0, 解得m>-2; 根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1), ∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0, ∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52. ∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1. 变式训练2-1:1 变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2. ∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0, 解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练5.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-3=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2, 又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升9.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0, 解得n=-2, 因此原方程为x 2+x-2=0, 解得x 1=-2,x 2=1, ∴m=1. 10.解:(1)根据题意得m ≠1 Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m -1=1或2. ∴m=2或3.一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习(1±x ) 2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究 【例1】探究答案:(1)10000(1+x ) 10000(1+x )2(2)12100(1+x ) 解:(1)设捐款增长率为x ,根据题意列方程得, 10000(1+x )2=12100, 解得x 1=,x 2=(不合题意,舍去); 答:捐款增长率为10%. (2)12100×(1+10%)=13310元. 答:第四天该单位能收到13310元捐款. 变式训练1-1:A变式训练1-2:B【例2】探究答案:200+40x3-2-x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.-24=200.根据题意,得(3-2-x)200+40x0.1解这个方程,得x1=,x2=.答:应将每千克小型西瓜的售价降低元或元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练%5.解:设每千克核桃应降价x元.×20)=2240根据题意得(60-x-40)(100+x2解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升%(1+x)2=%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=,整理,得x2+=0,解之,得x1=,x2=(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.=38(万平方米).(2)到2013年年底共建廉租房面积=×82第2课时面积与动点问题课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x)2x2.1(6-x)·2x=82解:设经过x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.根据题意得1(6-x)·2x=8.解这个方程得x1=2,x2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ的面积等于8cm2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5cm,设x秒钟后,P、Q之间的距离等于5cm,这时PC=5-x,CQ=2x,则(5-x)2+(2x)2=52,即x2-2x=0.解这个方程,得x1=0,x2=2,其中x1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P、Q间的距离又等于5cm.(2)设y秒钟时,可使△PCQ的面积等于4cm2.1×(5-y)×2y=4,2即y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ的面积等于4cm2.变式训练1-2:解:设应移动x米.OA=√AB2-OB2=3米.则由题意得(3+x)2+(4-x)2=52.解这个方程得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】探究答案:(100-2x)(50-2x)解:设正方形观光休息亭的边长为x米.依题意,有(100-2x)(50-2x)=3600.整理,得x2-75x+350=0.解得x1=5,x2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米,根据题意,得,(40-2x)(60-3x)=60×40×14解之,得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米.课堂训练5.解:设花边的宽为x米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40..解得x1=1,x2=-112不合题意,舍去.但x2=-112答:花边的宽为1米. 课后提升459.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400, 化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21.∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8, 由勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36, ∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似比例线段比例的基本性质课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究 【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y3y x y =23 =4x 7∶4 解:(1)∵3x=2y ,∴3x 3y =2y 3y,即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D 变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm,△ADE 的周长为30 cm . 变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练∶3=4∶6(答案不唯一) 4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n , 化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升6.52 72 √3 或-19.解:∵a∶b∶c=1∶2∶4, 设a=k ,b=2k , c=4k ,则a+2b+3c a -b+c =k+4k+12k k -2k+4k =17k 3k =173. 10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c -d =-5e -5f =23. ∴2a -c -5e 2b -d -5f =23. 成比例线段课前预习∶n AB =m 2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈ 课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x 12-x =64 2.DB AB =EC AC 解:(1)设AD=x cm,则DB=(12-x )cm .则有x 12-x =64,解这个方程得x=, 所以AD= cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25, 所以DB AB =EC AC , 所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm = cm,b= cm, c= cm,d=4 cm,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5, ∴d b =a c,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点,∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32.变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点,所以当AC>BC 时,AC =√5-1. 又因为AB=10 cm,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),当AC<BC 时,BC =√5-1, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm .课堂训练2.45 35 √5 4.=5.解:(1)a∶b=c∶d ,即a∶=∶1, 则a=×=. (2)a∶b=c∶d ,即3∶7=c∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升8.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5, CE=1,CF=4,AF=3. 在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE 2+CE 2=√52+12=√26,在直角三角形ACF 中,AC=√CF 2+AF 2=√42+32=5,所以AB =√29,BC =√26. 10.解:设每一份为k , 由(a-c )∶(a+b )∶(c-b )=(-2)∶7∶1,得{a -c =-2k,a +b =7k,c -b =k,解得{a =3k,b =4k,c =5k,而(3k )2+(4k )2=(5k )2, 即a 2+b 2=c 2, 所以△ABC 是直角三角形.平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等 (2)对应线段 (3)成比例课堂探究 【例1】探究答案:1.35 2.DE DF 解:∵l 1∥l 2∥l 3,∴AB AC =DE DF , ∵AB BC =32,∴AB AC =35, ∴DE DF =35, 由DF=20 cm,得DE=3DF=12 cm,∴EF=DF -DE=8 cm . 变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】 探究答案:1.AE AC x-4 x -4x -3=4x D 变式训练2-1:B 变式训练2-2:A 课堂训练5.解:∵DE ⊥AB ,CB ⊥AB , ∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=253.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253)?2-52=203. 课后提升9.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC , ∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5, 又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36, ∴AD=6 cm .相似图形课前预习1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例 2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' °-∠A-∠B 解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°, 在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50 变式训练1-2:1∶2 【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得, x =12=10, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14,y=12÷1015=12×32=18,∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练或25 5.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9, 所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升30° ° 140° 1 8.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, ∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ, 即4040+60=30PQ , 解得PQ=75. 答:PQ 的长为75 cm .相似三角形的判定与性质相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似课前预习 (1)相似 (2)相等课堂探究【例1】 探究答案: 3.△EDA △DFC 解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2 【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D 解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC , 即∠BAC=∠DAE , 又∵在△AOB 与△COD 中, ∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中, ∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中, ∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升解:∵∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°, ∠BDC=72°,∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD, ∴AD 2=AC ·CD , 设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ), x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52, x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去), ∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA , 又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA. (2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF , 即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似 课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例 课堂探究【例1】探究答案:1.45 45 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD , 所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC =152×5=25. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB DE =√102,AC DF =√102,BC EF =√102, 即AB DE =AC DF =BC EF , ∴△ABC ∽△DEF. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA. 课堂训练5.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12, ∴△ABC ∽△DEF.课后提升° 7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD. (2)ED ⊥AB ,理由如下: 由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'=B'C'=A'B',∴△A'B'C'∽△ABC.相似三角形的性质 课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方 (2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m . 变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB =AC ,∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12.即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21. 变式训练2-1:A 变式训练2-2:D 课堂训练∶2 ∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB , 所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm, 所以△ABC 的周长是30 cm, 所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm). 课后提升∶9 7.60379.(1)证明:∵E 是AB 的中点, ∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB , 又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3. S △EDM S △FBM =DE BF 2=4.相似三角形的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.△ABF △EFG2.DF BF FG BG解:∵CD ∥EF ∥AB , ∴可以得到△CDF ∽△ABF ,△ABG ∽△EFG ,∴CD AB =DF BF ,EF AB =FG BG, 又∵CD=EF ,∴DF =FG , ∵DF=3,FG=4,BF=BD+DF=BD+3,BG=BD+DF+FG=BD+7,∴3DB+3=4BD+7, ∴BD=9,BF=9+3=12,∴1.6AB =312,解得,AB= m . 变式训练1-1:A 变式训练1-2:【例2】 探究答案:1.△EDC 2.△EDC BC DC解:(1)DE=AB ,理由如下: ∵AB ⊥BF ,ED ⊥BF , ∴∠ABC=∠EDC. ∵∠ACB=∠ECD ,BC=CD , ∴△ABC ≌△EDC (ASA), ∴AB=DE ,即DE 的长就是A 、B 的距离. (2)能,∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD , ∴△ABC ∽△EDC ,∴AB DE =BC CD ,AB=DE ·BC CD =30×1020=15(米). 即A 、B 之间的距离为15米. 变式训练2-1:C 变式训练2-2:解:设AB=x 米, 因为BC ∥DE ,所以∠ABC=∠D , 又∠A=∠A ,所以△ABC ∽△ADE ,则AB BC =AD DE ,即x 70=20+x 90, 解得x=70.答:A 、B 两村相距70米. 课堂训练3.87米 5.解:由光的反射定律可知∠1=∠2,∴∠ABS=∠CBP. ∵SA ⊥AC ,PC ⊥AC ,∴∠SAB=∠PCB=90°, ∴△ASB ∽△CPB.∴SA PC =AB CB,∴SA=AB ·PC CB =10×2420=12(cm). 答:点光源S 与平面镜的距离SA 的长是12 cm . 课后提升m 解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D ,∴△DEF ∽△DCB ,∴BC EF =DC DE, ∵DE=40 cm = m,EF=20 cm = m,AC= m,CD=10 m .∴BC 0.2=100.4, ∴BC=5(m), ∴AB=AC+BC=+5=(m),∴树高为 m .位 似课前预习1.同一个点O 位似中心 相似比2.位似 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:∶2 ∶4 解:(1)△ABC 与△A'B'C'的周长之比为AB A'B'=36=12. 设S △ABC 周长为x cm,△A'B'C'周长为2x cm, 则2x-x=12,解得x=12, 所以△ABC 的周长为12 cm .(2)△ABC 与△A'B'C'的面积之比为AB AB 2=14, 设S △ABC =y cm 2,则S △A'B'C'=4y cm 2, 则y+4y=25,解得y=5, 所以△A'B'C'的面积为20 cm 2. 变式训练1-1:B 变式训练1-2:解:(1)、(3)中的两个图形都是位似图形,位似中心分别为点A 、O ;(2)中的两个图形不是位似图形. 【例2】 探究答案:1.位似中心 2.位似中心解:(1)如图所示.(2)A'C'=√22+22=2√2,AC=4√2, ∴四边形AA'C'C 的周长为AA'+A'C'+C'C+CA=2+2√2+2+4√2=4+6√2.变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:作法:(1)连接OA ,并延长OA 到A',使得AA'=OA ; (2)连接OB ,并延长OB 到B',使得BB'=OB ; (3)连接OC ,并延长OC 到C',使得CC'=OC ; (4)连接OD ,并延长OD 到D',使得DD'=OD ; (5)连接A'B',B'C',C'D',D'A'(如图所示),则四边形A'B'C'D'是四边形ABCD 关于O 点的位似图形, 且四边形A'B'C'D'与四边形ABCD 的相似比为2.【例3】 探究答案:1.位似中心 ∶(-2) 解:(1)延长BO 到B',使B'O=2BO ,延长CO 到C',使C'O=2CO ,连接B'C'.则△OB'C'即为△OBC 的位似图形(如图所示). (2)观察图形可知,B'(-6,2)、C'(-4,-2). (3)M'(-2x ,-2y ). 变式训练3-1:C 变式训练3-2:6 课堂训练4.(-4,-4)5.解:(1)OAE 与△OBF 相似.理由:∵AC ∥BD ,∴OA OB =OC OD. 又CE ∥DF ,∴OE OF =OC OD , ∴OA OB =OE OF, ∴AE ∥BF , ∴△OAE ∽△OBF. △OAE 与△OBF 位似.理由: 已证△OAE ∽△OBF ,又△OAE 和△OBF 对应点的连线都经过点O , ∴△OAE 与△OBF 位似. (2)△ACE 与△BDF 位似.理由:由(1)得AE ∥BF ,∴AE BF =OA OB , 又AC ∥BD ,∴AC BD =OA OB =OC OD . 又CE ∥DF ,∴CE DF =OC OD. ∴AC BD =CE DF =AE BF, ∴△ACE ∽△BDF. 又△ACE 和△BDF 对应点的连线都经过点O , ∴△ACE 与△BDF 位似. 课后提升,32或-2,-32 8.解:∵矩形ABCD 与矩形AB'C'D'是位似图形,且点A 为位似中心, ∴AB AB'=AD AD', 即AB AB+4=AD AD+2, ∴2AB=4AD ,即AB AD =21, 又∵矩形ABCD 的周长为24,即AB+AD=12, ∴AB=8,AD=4. 第4章 锐角三角函数正弦和余弦第1课时 正 弦 课前预习1.大小2.对边 斜边 sin A∠A 的对边斜边 3.12 √22 √32课堂探究【例1】 探究答案:1.直角 2.对 斜 角的大小 无关 解:∵BC 2+AC 2=62+82=102=AB 2, ∴△ABC 是直角三角形,∠C=90°,∴sin A=BC AB =610=35,sin B=AC AB =810=45. 变式训练1-1:√55 变式训练1-2:34【例2】 探究答案: 12.倒数 正 311 3。

湘教版九年级上册数学第2章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A. B. C. D.2、一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13D.12或93、方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A.m＞B.m≤且m≠2C.m≥3D.m≤3且m≠24、用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是A. B. C. D.5、方程x2＝2x的解为( )A.x＝2B.x＝C.x1＝2，x2＝0 D.x1＝， x2＝06、代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，x与ax2+bx+c的对应值如下表：x ﹣1﹣0 1 2 3ax2+bx+c ﹣2﹣1 2 1﹣﹣2请判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1， x2的取值范围是下列选项中的（）A.﹣＜x1＜0，＜x2＜2 B.﹣1＜x1＜﹣，2＜x2＜ C.﹣＜x1＜0，2＜x2＜ D.﹣1＜x1＜﹣，＜x2＜27、若关于x的方程有两个相等的实数根，则b的值是（）A.－2B.2C.－2 或2D.－8或88、若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A.﹣1B.1C.﹣4D.49、若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A.k＜1且k≠0B.k≠0C.k＜1D.k＞110、你认为方程x2+2x-3=0的解应该是（）A.1B.-3C.3D.1或-311、用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A.（x﹣2）2=3B.（x+2）2=3C.（x﹣2）2=1D.（x﹣2）2=﹣112、若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b 的值是（）A.2017B.2018C.2019D.202013、已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A.13B.11或13C.11D.1214、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是A.24B.24或C.48或D.15、下列方程是一元二次方程的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、若m，n是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则m2n+mn2﹣mn的值等于________．17、已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x + a2－1=0的一个根是0，那么a的值为________.18、一元二次方程ax2+3x+4a﹣3b=0一根是1，则7﹣10a+6b的值为________ ．19、已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=________．20、若x1、x2是一元二次方程x2-3x-3=0的两个根，则，x1+x2的值是________，21、一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是________m．22、设a，b分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+3a+b＝________．23、关于x的一元二次方程-bx-c=0的a的取值范围________．24、如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程" ；现有下列结论：①若关于x的方程是倍根方程，②方程是倍根方程；若关于x的方程是倍根方程，则；④若q=2p,则关于x的方程(p≠0)是倍根方程．其中正确的结论有________(写出所有正确说法的序号)25、已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则＝________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：2x2+5x=3．27、关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m﹣1）2＝0有两个相等的实数根．（Ⅰ）求m的值；（II）求此方程的根．28、一辆汽车的行驶距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s=9t+ t2，经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时间？29、某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。

2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页概述本文档是关于2023版初中数学九年级下册同步训练《学法大视野》(湘教版)含答案62页的详细介绍。

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目录结构《学法大视野》(湘教版)含答案62页的目录结构如下：•Unit 1: 分析推理与证明–Section 1: 数列的前后关系–Section 2: 函数的概念–Section 3: 合成函数与反函数–Section 4: 不等式与绝对值•Unit 2: 线性方程与一次函数–Section 1: 一元一次方程–Section 2: 配方法与分式方程–Section 3: 一次函数的图象与性质•Unit 3: 二次根式与二次函数–Section 1: 二次根式的运算–Section 2: 二次函数的概念与图象–Section 3: 初等函数的图象与性质内容特点《学法大视野》(湘教版)含答案62页作为初中九年级数学的同步训练教材，具有以下内容特点：1.有机结合知识点：教材通过合理的章节划分，将数学知识点进行了有机组合，帮助学生更好地理解数学知识的内在联系。

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5.高质量的练习题：教材中的习题经过精心编选，保证了题目的准确性和丰富性，适合学生进行系统性的练习。

1.反比例函数概念一般地,如果两个变量x ,y 之间的对应关系可以表示成 (k 为常数,k 0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数.反比例函数的自变量x 不能为 . 2.反比例函数的等价形式y 是x 的反比例函数⇔y=kk (k ≠0)⇔y=kx -1(k ≠0)⇔xy=k (k ≠0).探究一:反比例函数的概念 【例1】 若函数y=(m+1)k k 2+3k +1是反比例函数,则m 的值为( )(A)m=1 (B)m=-2(C)m=-2或m=-1 (D)m=2或m=1 【导学探究】判断形如y=kk (k ≠0)的反比例函数时,要特别注意:①自变量x 的指数是 ,②k 的取值范围是 .反比例函数y=k k(k ≠0)中应注意三点:(1)k ≠0;(2)x ≠0;(3)其解析式的另外两种写法是xy=k ,y=kx -1(k ≠0),其中(1)是最容易被忽视的.变式训练1-1:下列各式中的两个字母都表示变量,哪些式子中的两个变量可以成反比例函数关系?每一个反比例函数相应的常数“k ”值是多少? (1)y=k3;(2)xy=-6; (3)s=-3k ;(4)y=3k +1.变式训练1-2:写出下列问题中y 与x 之间的函数关系式,并判断是否为反比例函数. (1)三角形的面积为36 cm 2,底边长y (cm)与该边上的高x (cm); (2)圆锥的体积为60 cm 3,它的高y (cm)与底面的面积x (cm 2).探究二:求反比例函数解析式【例2】 已知y 是x 的反比例函数,(√2,-√2)是它图象上的一点,该图象是否经过点-6,13?【导学探究】1.设函数关系式为 .2.把点 代入关系式.确定反比例函数的关系式:(1)设:设出关系式y=k k(k ≠0);(2)代:把一组x 、y 的值代入;(3)写:写出函数关系式.变式训练2-1:已知y 与x 成反比例,并且当x=-1时,y=3,那么该函数的表达式为( )(A)y=-3x(B)y=-3k(C)y=-13x (D)y=13x变式训练2-2:已知函数y=y 1+y 2,y 1与x 成正比例,y 2与x 成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y 与x 的函数表达式; (2)当x=4时,求y 的值.1.(2013温州)已知点P(1,-3)在反比例函数y=kk(k≠0)的图象上,则k的值是()(A)3 (B)-3 (C)13(D)-132.下列函数中,能表示y是x的反比例函数的是()(A)y=2x (B)y=1k+1(C)y=13k (D)y=√k3.(2013邵阳)下列四个点中,在反比例函数y=-6k的图象上的是() (A)(3,-2) (B)(3,2)(C)(2,3) (D)(-2,-3)4.已知函数y=(m-2)k k 2-5是反比例函数,则m的值为.5.某市举办“珍珠节”,需要生产4000个珍珠纪念品,一名工人一天的产量为5至8个,若要在40天内完成任务,那么大约需要多少工人?1.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系,是反比例函数关系的是()(A)直角三角形中,30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系(B)等腰三角形,顶角y与底角x之间的关系(C)圆的面积S与它的直径d之间的关系(D)面积为20的菱形,其中一条对角线y与另一条对角线x的关系2.在函数①y=3x;②y=2k;③y=-5x;④y=-5k ;⑤s=vt;⑥v=kk;⑦S=πR2;⑧t=100k ;⑨I=220k 中.反比例函数有( )(A)4个 (B)3个 (C)5个 (D)6个3.(2013遂宁)已知反比例函数y=kk 的图象经过点(2,-2),则k 的值为( ) (A)4(B)-12(C)-4 (D)-24.已知y 与x 成正比例,z 与y 成反比例,则z 与x 之间( ) (A)成正比例 (B)成反比例(C)既成正比例又成反比例 (D)既不成正比例也不成反比例5.已知反比例函数y=-2k 的图象经过点(a ,-a ),则a 的值为( ) (A)√2 (B)-√2 (C)±√2 (D)±2 6.已知函数y=(m+2)x|m|-3是反比例函数,则m 的值为 .7.(2013扬州)在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p 与它的体积V 成反比例,当V=200时,p=50,则当p=25时,V= .8.已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在反比例函数y=6k 的图象上.若x 1x 2=-3,则y 1y 2的值为 . 9.已知函数y=(m-2)kk 2-3.(1)若y 是x 的正比例函数,求m 的值. (2)若y 是x 的反比例函数,求m 的值.10.生物学习小组欲建一个一边长为x m,面积是30 m 2的三角形生物养殖区.若这条边上的高为y m,(1)求y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围.(2) y 关于x 的函数是不是反比例函数?如果是,请说出它的比例系数.第1课时反比例函数的图象1.反比例函数的图象(k≠0)的图象是双曲线.反比例函数y=kk2.反比例函数图象画法的注意事项(1)反比例函数的图象不是直线,“两点法”是不能画的;(2)选取的点越多,画的图越准确.3.反比例函数图象的性质(1)当k>0时,两支曲线分别位于第象限内.(2)当k<0时,两支曲线分别位于第象限内.探究一:反比例函数图象性质(m为常数)图象的一支.【例1】已知如图所示的曲线是函数y=k-5k(1)求常数m的取值范围;(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.【导学探究】的两个分支分别位于.可判断m-5由题中图象可知反比例函数y=k-5k0.反比例函数y=kk图象的位置决定于k的符号.变式训练1-1:已知反比例函数y=1-kk的图象如图所示,则实数m的取值范围是() (A)m>1 (B)m>0(C)m<1 (D)m<0变式训练1-2:反比例函数y=m k2k 2+3k-6图象在第二、四象限,那么m= .探究二:反比例函数与一次函数的结合【例2】已知反比例函数y=kk的图象与一次函数y=3x+m的图象相交于点(1,5).(1)求这两个函数的关系式;(2)求这两个函数图象的另一个交点的坐标.【导学探究】1.把点代入y=kk和y=3x+m.2.两函数图象的交点坐标,即求方程组的解.变式训练2-1:(2013汕头)已知k1<0<k2,则函数y=k1x-1和y=k2k的图象大致是()变式训练2-2:如图,已知直线y=-x+2与反比例函数y=k的图象相交于点A(-1,a),并且与xk轴相交于点B.(1)求a的值;(2)求反比例函数的表达式;(3)求△AOB的面积.的图象在()1.(2013兰州)当x>0时,函数y=-5k(A)第四象限 (B)第三象限(C)第二象限 (D)第一象限的图象可能是()2.(2013沈阳)在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y=1k与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1,则k的值为()3.若双曲线y=kk(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2的图象的一支位于第一象限,则常数m的取值范围4.(2013厦门)已知反比例函数y=k-1k是.与一次函数y=x+b的图象,都经过点A(1,2)5.(2013岳阳)如图,反比例函数y=kk(1)试确定反比例函数和一次函数的解析式;(2)求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标.1.(2013随州)正比例函数y=kx和反比例函数y=-k 2+1k(k是常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()2.(2013铜仁)已知矩形的面积为8,则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为()3.(2013大理)若ab>0,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=kkk在同一坐标系中的大致图象是()4.关于反比例函数y=4k的图象,下列说法正确的是()(A)必经过点(1,1)(B)两个分支分布在第二、四象限(C)两个分支关于x轴成轴对称(D)两个分支关于原点成中心对称5.(2013毕节)一次函数y=kx+b与反比例函数y=kk在同一直角坐标系下的大致图象如图所示;则k、b的取值范围是()(A)k>0,b>0(B)k<0,b>0(C)k<0,b<0(D)k>0,b<06.(2013无锡)已知双曲线y=k+1k经过点(-1,2),那么k的值等于.7.(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=-6k的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,那么(x2-x1)(y2-y1)的值为.8.已知反比例函数y=k 2k 的图象过点(-4,-9),且反比例函数y=kk的图象位于第一、三象限,求m的值.9.如图,直线y=kx+k(k≠0)与双曲线y=k-5k在第一象限内相交于点M,与x轴交于点A.(1)求m的取值范围和点A的坐标;(2)若点B的坐标为(3,0),AM=5,S△ABM=8,求双曲线的函数表达式.第2课时反比例函数的性质1.反比例函数的增减性反比例函数y=k(k≠0)的图象,当k>0时,,y的值随x值的增大而;当kk<0时,,y的值随x值的增大而.2.反比例函数图象的对称性反比例函数的图象双曲线既是轴对称图形,也是中心对称图形.(对称轴为直线,对称中心为).探究一:反比例函数的增减性【例1】如图是反比例函数y=2k-4的图象的一支,根据图象回答下列问题:k(1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么?(2)若函数的图象经过点(3,1),求n的值.(3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和点B(a2,b2),如果a1<a2,试比较b1和b2的大小.【导学探究】1.函数过象限,所以2n-4.2.在每个分支上,y随x的增大而,由a1<a2可得b1b2.反比例函数的增减性要注意:(1)前提是在每个象限内,(2)与一次函数增减性相反.变式训练1-1:(2013凉山州)如图,正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(-1,2),若y1>y2>0,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()变式训练1-2:(2013海南)点(2,y1),(3,y2)在函数y=-2k的图象上,则y1y2(填“>”或“<”或“=”).探究二:反比例函数的几何意义【例2】如图所示,A、B是函数y=2k的图象上关于原点对称的任意两点,BC∥x轴,AC∥y轴,且交x轴于D,求△ABC的面积.【导学探究】从反比例函数y=kk(k≠0)的图象上任一点向两坐标轴作垂线(如图所示),与两坐标轴围成的矩形的面积等于,三角形面积(S△AOB)等于.变式训练2-1:(2013永州)如图,两个反比例函数y=4k 和y=2k在第一象限内的图象分别是C1和C2,设点P在C1上,PA⊥x轴于点A,交C2于点B,则△POB的面积为.变式训练2-2:如图所示,设A为反比例函数y=kk图象上一点,且长方形ABOC的面积为3,求这个反比例函数的解析式.1.(2013义乌)已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)在反比例函数y=3k的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是()(A)0<y1<y2(B)0<y2<y1(C)y1<y2<0 (D)y2<y1<02.(2013滨州)若点A(1,y1)、B(2,y2)都在反比例函数y=kk(k>0)的图象上,则y1、y2的大小关系为()(A)y1<y2 (B)y1≤y2(C)y1>y2 (D)y1≥y23.如图,已知A点是反比例函数y=kk(k≠0)的图象上一点,AB⊥y轴于B,且△ABO的面积为3,则k的值为.4.如图,点A在双曲线y=3k 上,点B在双曲线y=5k上,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为.5.(2013郴州)已知:如图,一次函数的图象与y轴交于点C(0,3),且与反比例函数y=2k的图象在第一象限内交于A、B两点,其中A(1,a),求这个一次函数的解析式.1.(2013兰州)已知A (-1,y 1),B (2,y 2)两点在双曲线y=3+2kk上,且 y 1>y 2,则m 的取值范围是( )(A)m>0 (B)m<0 (C)m>-32 (D)m<-322.反比例函数y=2k 图象上的两点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且x 1<x 2,则下列关系成立的是( ) (A)y 1>y 2 (B)y 1<y 2 (C)y 1=y 2 (D)不能确定3.(2013潍坊)设点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)是反比例函数y=kk 图象上的两个点,当x 1<x 2<0时,y 1<y 2,则一次函数y=-2x+k 的图象不经过的象限是( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4.如图所示,两个反比例函数y=1k 和y=-2k 的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 1上,PC ⊥x 轴,垂足为C ,交l 2于点A ,PD ⊥y 轴,垂足为D ,交l 2于点B ,则三角形PAB 的面积为( ) (A)3 (B)4(C)92 (D)55.如图,点A 是反比例函数y=-6k (x<0)的图象上的一点,过点A 作平行四边形ABCD ,使点B 、C 在x 轴上,点D 在y 轴上,则平行四边形ABCD 的面积为( )(A)1 (B)3 (C)6 (D)126.(2013内江)如图,反比例函数y=k(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、kBC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)47.如图所示,一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-2的图象交于点A(-2,1),B(1,-2),则使ky1>y2的x的取值范围是.在第一象限的图象如图所示,点A在其图象上,点B为x 8.(2013黄冈)已知反比例函数y=6k轴正半轴上一点,连接AO、AB,且AO=AB,则S△AOB= .图象的一支.根据图象回答下列问题:9.如图是反比例函数y=5-2kk(1)图象的另一支在哪个象限?常数m的取值范围是什么?(2)若点A(m-3,b1)和点B(m-4,b2)是该反比例函数图象上的两点,请你判断b1与b2的大小关系,并说明理由.1.反比例函数的应用主要体现在三个方面(1)根据图象或其他信息,写出函数的解析式.(2)由已知条件画出函数的图象.(3)运用反比例函数的性质解决实际问题.2.应用反比例函数解决问题的注意事项(1)设出函数表达式,不要忘记系数的取值范围.(2)在求解中注意自变量的取值范围.(3)有些问题也可借助于图象或图表来解决,使问题更直观、条理.探究一:反比例函数的应用【例1】某汽车的功率P(瓦)为一定值,汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示.(1)这辆汽车的功率是多少?请写出v关于F的函数表达式;(2)当它所受牵引力为1200牛时,汽车的速度为多少千米/时?(3)如果限定汽车的速度不超过30 米/秒,那么F在什么范围内?【导学探究】1.由题图象知,v与F是函数,所以可设.2.v随F的增大而.变式训练1-1:近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m,则y与x的函数关系式为()(A)y=400k (B)y=14k(C)y=100k (D)y=1400k变式训练1-2:在对物体做功W一定的情况下,力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系,其图象如图所示,P(5,1)在图象上,则当力达到10牛时,物体在力的方向上移动的距离是米.探究二:反比例函数与一次函数的综合应用【例2】相交于A(1,2),B(m,-1)两点.如图所示,直线y=k1x+b与双曲线y=k2k(1)求直线和双曲线的解析式;(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且x1<x2<0<x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式;的解集.(3)观察图象,请直接写出不等式k1x+b>k2k【导学探究】1.由A点的坐标,可求出,从而可求出m= .2.借助求出不等式的解集.反比例函数与一次函数的综合应用的常见类型:(1)求关系式;(2)求交点坐标;(3)求三角形面积;(4)比较函数值大小.变式训练2-1:(2013天水)函数y1=x和y2=1的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是()k(A)x<-1或x>1(B)x<-1或0<x<1(C)-1<x<0或x>1(D)-1<x<0或0<x<1变式训练2-2:x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点A(2,t)在已知平面直角坐标系xOy,直线y=12x+b上,连接AO,△AOB的面积等于1.直线y=12(1)求b的值;(2)如果反比例函数y=k(k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.k1.(2013泉州)为了更好保护水资源,造福人类,某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式:V=Sh(V≠0),则S关于h的函数图象大致是()的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个2.(2013三明)如图,已知直线y=mx与双曲线y=kk交点坐标是()(A)(-3,4) (B)(-4,-3)(C)(-3,-4) (D)(4,3)3.(2013荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上,则a的值是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.(2013枣庄)若正比例函数y=-2x与反比例函数y=k图象的一个交点坐标为(-1,2),则另一k个交点的坐标为.5.(2013新疆)如图,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=k的图象交于A(2,4)、B(-4,n)k两点.(1)分别求出y1和y2的解析式;(2)写出y1=y2时,x的值;(3)写出y1>y2时,x的取值范围.1.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度ρ(单位:kg/m3)是体积V(单位:m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当V=10 m3时,气体的密度是()(A)5 kg/m3(B)2 kg/m3(C)100 kg/m3(D)1 kg/m32.三角形的面积为8 cm2,这时底边上的高y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系用图象来表示是()与y2=k2x的图象相交于点A(1,2)和点B,当y1<y2时,自变量x 3.(2013南充)如图,函数y1=k1k的取值范围是()(A)x>1(B)-1<x<0(C)-1<x<0或x>1(D)x<-1或0<x<1在第一象限的交点为A,过点A作AB⊥x轴4.(2013黔东南州)如图,直线y=2x与双曲线y=2k于B,将△ABO绕点O旋转90°,得到△A'B'O,则点A'的坐标为()(A)(1,0)(B)(1,0)或(-1,0)(C)(2,0)或(0,-2)(D)(-2,1)或(2,-1)(k≠0)的图象交于A(1,4)、B(4,1) 5.如图所示,一次函数y1=ax+b(a≠0)与反比例函数y2=kk两点,若y1>y2,则x的取值范围是.6.兰州是拉面的故乡.在做拉面的过程中渗透着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示.若工人师傅将面团拉成160根,每根长0.5 m时为成品,则此时拉面粗mm2.于点D,DC⊥x轴于点C 7.如图所示,直线y=2x-4交y轴于点A,交x轴于点B,交双曲线y=kk且S△OAB=4S△BCD,则D点坐标为.8.(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=13x+2与反比例函数y=5k (x>0)图象交点的横坐标为x 0.若k<x 0<k+1,则整数k 的值是 .9.(2013钦州)如图,一次函数y=ax+b 的图象与反比例函数y=k k的图象交于A (-2,m ),B (4,-2)两点,与x 轴交于C 点,过A 作AD ⊥x 轴于D. (1)求这两个函数的解析式: (2)求△ADC 的面积.10.(2013湘西)如图,在平面直角坐标系xOy 中,正比例函数y=kx 的图象与反比例函数y=2k 的图象有一个交点A (m ,2). (1)求m 的值;(2)求正比例函数y=kx 的解析式;(3)试判断点B (2,3)是否在正比例函数图象上,并说明理由.。

第4课时相似三角形的判定定理301 基础知识点三边成比例的两个三角形相似1.将一个三角形的各边都缩小壬后，得到的三角形与原三角形(A)A. 一定相似B. 一定不相似C.不一定相似D.不能判断是否相似2.甲三角形的三边分别为1,A/2，V5，乙三角形的三边分别为伍典,5,则甲乙两个三角形(A)A. 一定相似B. 一定不相似C.不一定相似D.无法判断是否相似3.己知Z\ABC的三边长分别为6 cm. 7. 5 cm. 9 cm, ADEF的一边长为4 cm, 要使这两个三角形相似，则ADEF的另两边长可以是(C)A.2 cm, 3 cmB. 4 cm, 5 cmC. 5 cm, 6 cmD. 6 cm, 7 cm4.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似” )•理由是三边成比例的两个三角形相似.5.若AABC 各边分别为AB=10 cm, BC=8 cm, AC = 6 cm, ADEF 的两边为DE =5 cm, EF = 4 cm,则当DF=3cm 时，AABC^ADEF.6.AABC和ZXA，B' C z符合下列条件，判断AABC与ZiA，B z C是否相似.BC=2,AC=3,AB=4； B z C =电丄C f =萌,A' B‘ =2.解：在AABC 中，AB〉AC>BC,在M B‘ C/中，A' B' >A‘ C/ >B' C z ,BC 2 r AC 3 匚AB 4p■^冷=W，= 2-・ BC AB AC•矽C‘ 仏 B' C，•:.AABC与M B' C‘不相似.7.如图所示,根据所给条件，判断AABC和ADBE是否相似,并说明理由.解：ZSABCs/iDBE.理由如下：..AC_3_1 BC_4_1 AB__5__1 ・能_石_7匝刁西_乜_刁.AC_BC_ABe，DE_BE_DB'・•・ AABC^ADBE.02 中档题&下列能使AABC和ADEF相似的条件是(C)A.AB = c, AC=b, BC = a, DE=^/a, EF=^/b, T)F=\[cB.AB=1, AC=1. 5, BC=2, DE = 12, EF = 8, DF = 1C.AB = 3, AC=4, BC = 6, DE=12, EF=8, DF = 6D.AB=^2, AC=羽，BC=书，DE=&, EF = 3, DF=39•如图，若A. B. C. P. Q.甲.乙.丙.丁都是方格纸中的格点，为使AABC^APQR,则点R应是甲.乙.丙.丁四点中的(C)A.甲B.乙C.丙D. T10.(东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是3. 4及x,那么x的值(B)A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.有无数个11.如图，A ABC中，点D. E. F分别是AB. BC. AC的中点，求证：AABC^AEFD.证明：VDE. EF. DF是△ABC的中位线,.DE_EF_DF_1••疋―胚我—夕・•・ AABC^AEFD.12.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1, AABC和AEDF的顶点都在网格的格点上.VZDEF=90a +45° =135° ,A ZBAC=135° .13.己知一个三角形框架的三边长分别为3米.4米.5米，现要做一个与其相 似的三角形框架，己有一根长为2米的木条，问其他两根木条可选多长？共 有多少种不同选法？解：(1)若2米的木条为最短边,设其他两根木条的长分别为x m 和y m,则 !=-=-,解得 X=|, y=y.2 x y3 3(2)若2米的木条为第二长的边,设其他两根木条的长分别为x m 和y m,则 (3)若2米的木条为最长边，设其他两根木条长分别为x m 和y m,则 03 综合题14.(荷泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中,AABC 和ADEF 的顶点都在格点上,玖,匕,Ps, Pt, P5是ADEF 边上的5个格点，请按要求完成下 列各题：(1)试证明AABC 是直角三角形;⑵判断AABC 和ADEF 是否相似,并说明理由；(3)画一个三角形，使它的三个顶点为Pi. P 2. P 3. Pi. P 5中的3个格点，并且与 AABC 相似.解：(1)证明：根据勾股定理，得i=r?解得3_4_5x~y =2 ，解得3 5DAB=2&, AC=萌，BC = 5,AAB2+AC2=BC2.・•・AABC为直角三角形.⑵AABC和ZiDEF相似.理由：根据勾股定理，得AB = 2&, AC=&, BC = 5, DE=4谑,DF=2迈,EF=2倔. ,.AB AC BC Vio• DE^DF^EF^ 4 ,・•・ AABC^ADEF.⑶如图,△P：PR即为所求.(1) 求证：△ABCs^EDF；(2) 求ZBAC的度数.解：(1)证明：VDE = ^/2, DF=^l1 2+3:=^, EF = 2, AB=^l:+2:=^/5, AC =农+3，=换,BC = 5, .AB AC BC VlO，-DE=EF=DF= 2 *・•・ AABC^AEDF.(2) V AABC^ AEDF, A ZBAC= ZDEF.。

课时参考答案(课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升)第1章 反比例函数1.1 反比例函数课前预习1.y=k x≠ 零 课堂探究【例1】 探究答案:-1 k ≠0B变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式.所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数,其中k=-3.变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12xy=36,于是y=72x .所以,y 是x 的反比例函数.(2)由圆锥的体积公式,得13xy=60,于是y=180x . 所以y 是x 的反比例函数.【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2)解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0),因为图象过点(√2,-√2),将x=√2,y=-√2代入,得-√2=√2,k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2x ,将x=-6,y=13代入,等式成立.所以函数图象经过-6,13. 变式训练2-1:B变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x .∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{k 1+k 2=4,2k 1+k 22=5.解得{k 1=2,k 2=2.∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x .(2)当x=4时,y=2×4+24=812. 课堂训练1.B2.C3.A4.-25.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个.∴xy=100,即y=100x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴1008≤y ≤1005, 即1212≤y ≤20,∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升1.D2.A3.C4.B5.C6.27.4008.-129.解:(1)∵y 是x 的正比例函数,∴m 2-3=1,m 2=4,m=±2.∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2.(2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1,m 2=2,m=±√2.10.解:(1)由S=12xy=30,得y=60x,x 的取值范围是x>0.(2)由y=60x可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象课前预习3.(1)一、三 (2)二、四 课堂探究【例1】 探究答案:第一、三象限 >解:(1)∵这个反比例函数图象的一支分布在第一象限, ∴m-5>0,解得m>5.(2)∵点A (2,n )在正比例函数y=2x 的图象上, ∴n=2×2=4,则A 点的坐标为(2,4).又∵点A 在反比例函数y=m -5x的图象上, ∴4=m -52,即m-5=8. ∴反比例函数的解析式为y=8x .变式训练1-1:C变式训练1-2:-52【例2】 探究答案:1.(1,5) 2.{y =k x ,y =3x +m解:(1)∵点(1,5)在反比例函数y=k x 的图象上, ∴5=k 1,即k=5,∴反比例函数的关系式为y=5x .又∵点(1,5)在一次函数y=3x+m 的图象上, ∴5=3+m , ∴m=2. ∴一次函数的关系式为y=3x+2. (2)由题意可得{y =5x ,y =3x +2,解得{x 1=1,y 1=5或{x 2=-53,y 2=-3.∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为-53,-3.变式训练2-1:A变式训练2-2:解:(1)将A (-1,a )代入y=-x+2中,得a=-(-1)+2,解得a=3.(2)由(1)得,A (-1,3),将A (-1,3)代入y=k x 中,得到3=k -1,即k=-3,即反比例函数的表达式为y=-3x .(3)如图:过A 点作AD ⊥x 轴于D , ∵A (-1,3),∴AD=3,在直线y=-x+2中,令y=0,得x=2, ∴B (2,0),即OB=2, ∴△AOB 的面积 S=12×OB ×AD=12×2×3=3. 课堂训练1.A2.C3.B4.m>15.解:(1)∵反比例函数y=kx与一次函数y=x+b 的图象,都经过点A (1,2), ∴将x=1,y=2代入反比例函数解析式得,k=1×2=2,将x=1,y=2代入一次函数解析式得,b=2-1=1,∴反比例函数的解析式为y=2x ,一次函数的解析式为y=x+1.(2)对于一次函数y=x+1,令y=0,可得x=-1;令x=0,可得y=1. ∴一次函数图象与x 轴,y 轴的交点坐标分别为(-1,0),(0,1). 课后提升1.C2.B3.A4.D5.C6.-37.-248.解:m 2=(-4)×(-9)=36,∴m=±6.∵反比例函数y=m x的图象位于第一、三象限,∴m>0,∴m=6.9.解:(1)∵y=m -5的一支在第一象限内,∴ m-5>0. ∴m>5.对直线y=kx+k 来说,令y=0,得kx+k=0,即k (x+1)=0. ∵k ≠0,∴x+1=0,即x=-1. ∴点A 的坐标为(-1,0).(2)过点M 作MC ⊥AB 于点C , ∵点A 的坐标为(-1,0),点B 的坐标为(3,0), ∴AB=4,AO=1. ∵S △ABM =12×AB ×MC=1×4×MC=8,∴MC=4.又AM=5,∴AC=3,又OA=1,∴OC=2.∴点M 的坐标为(2,4).把M (2,4)代入y=m -5x , 得4=m -52,则m=13,∴y=8x. 第2课时 反比例函数的性质 课前预习1.在每一象限内 减小 在每一象限内 增大2.y=±x 坐标原点课堂探究 【例1】 探究答案:1.一、三 >0 2.减小 >解:(1)图象的另一支在第三象限,则2n-4>0,解得n>2.(2)把点(3,1)代入y=2n -4x,得2n-4=3, 解得n=72.(3)因为在每个象限内,y 随x 的增大而减小,所以由a 1<a 2,得b 1>b 2.变式训练1-1: A变式训练1-2:<【例2】 探究答案:|k| |k|解:设点A的坐标为a,2a ,则点B的坐标为-a,-2a,∵BC∥x轴,AC∥y轴,∴AC⊥BC,又由题意可得BC=2a,AC=4a,S△ABC=12BC·AC=12·2a·4a=4.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:设A的坐标是(m,n),则n=k,即k=mn,∵OB=-m,AB=n,S长方形ABOC=OB·AB=(-m)n=-mn=3,∴mn=-3,∴k=-3,则反比例函数的解析式是y=-3x.课堂训练1.A2.C3.64.25.解:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点A是直线与反比例函数y=2x的交点,∴把A(1,a)代入y=2x,得a=2.∴A(1,2).把A(1,2)和C(0,3)代入y=kx+b,得{k+b=2,b=3.解得k=-1,b=3.所以一次函数的解析式为:y=-x+3.课后提升1.D2.D3.A4.C5.C6.C7.x<-2或0<x<18.69.解:(1)图象的另一支在第三象限,∵图象在一、三象限,∴5-2m>0,∴m<52.(2)b1<b2.理由如下:∵m<52,∴m-4<m-3<0,∴b 1<b 2. 1.3 反比例函数的应用课堂探究【例1】 探究答案:1.反比例 v=P F2.减小解:(1)设反比例函数解析式为v=P F ,把(3000,20)代入上式,得20=P 3000,P=3000×20=60000, ∴v=60000F. (2)当F=1200时,v=600001200=50(米/秒)=180(千米/时), 即当它所受的牵引力为1200牛时,汽车的速度为180千米/时.(3)由v=60000F≤30,得F ≥2000. 所以,若限定汽车的速度不超过30米/秒,则F 应不小于2000牛.变式训练1-1:C变式训练1-2:0.5【例2】 探究答案:1.k 2 -2 2.图象解:(1)∵双曲线y=k 2x经过点A (1,2),∴k 2=2. ∴双曲线的解析式为y=2x .∵点B (m ,-1)在双曲线y=2x 上,∴m=-2,则B (-2,-1).由点A (1,2),B (-2,-1)在直线y=k 1x+b 上,得{k 1+b =2,-2k 1+b =-1,解得{k 1=1,b =1.∴直线的解析式为y=x+1.(2)y 2<y 1<y 3.(3)x>1或-2<x<0.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)直线y=12x+b 经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B , ∴OB=b , ∵点A (2,t ),△AOB 的面积等于1.∴12×2×b=1,可得b=1,即直线为y=12x+1.(2)由点A (2,t )在直线y=12x+1上,可得t=2,即点A 坐标为(2,2),反比例函数y=k x (k 是常量,k ≠0)的图象经过点A ,可得k=4,所求反比例函数解析式为y=4x . 课堂训练1.C2.C3.B4.(1,-2)5.解:(1)将A (2,4)代入反比例函数解析式得m=8,∴反比例函数解析式为y 2=8x,将B (-4,n )代入反比例函数解析式得n=-2,即B (-4,-2),将A 与B 坐标代入一次函数解析式得, {2k +b =4,-4k +b =-2,解得{k =1,b =2.则一次函数解析式为y 1=x+2. (2)联立两函数解析式得{y =x +2,y =8x, 解得{x =2,y =4或{x =-4,y =-2,则y 1=y 2时,x 的值为2或-4.(3)利用题图象得,y 1>y 2时,x 的取值范围为-4<x<0或x>2.课后提升1.D2.D3.C4.D5.x<0或1<x<46.1.67.(3,2)8.19.解:(1)∵反比例函数y=k x的图象过B (4,-2)点, ∴k=4×(-2)=-8,∴反比例函数的解析式为y=-8x.∵反比例函数y=-8的图象过点A (-2,m ),∴m=-8=4,即A (-2,4). ∵一次函数y=ax+b 的图象过A (-2,4),B (4,-2)两点,∴{-2a +b =4,4a +b =-2,解得{a =-1,b =2. ∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)∵直线AB :y=-x+2交x 轴于点C , ∴C (2,0). ∵AD ⊥x 轴于D ,A (-2,4), ∴CD=2-(-2)=4,AD=4,∴S △ADC =12·CD ·AD=12×4×4=8.10.解:(1)把A (m ,2)代入反比例函数解析式y=2x得2=2m ,所以m=1. ∴A (1,2).(2)把A (1,2)代入正比例函数解析式y=kx 得2=k ,所以k=2,因此正比例函数的解析式为y=2x.(3)因为正比例函数的解析式为y=2x ,当x=2时,y ≠3,所以点B (2,3)不在正比例函数图象上. 第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程课前预习1.一个 2 整式 3.相等课堂探究【例1】 探究答案:1.2 =2 2.≠0解:根据题意,得m 2-2=2,且m-2≠0.解得m=±2,且m ≠2.所以m=-2.则m 2+2m-4=(-2)2+2×(-2)-4=-4.变式训练1-1:C变式训练1-2:≠±1 =12【例2】 探究答案:1.移项 合并同类项 2.符号 0解:(1)去括号,得4t 2+12t+9-2(t 2-10t+25)=-41,去括号、移项、合并得2t 2+32t=0,所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2,32,0.(2)去括号,得12x 2-x+12=3x+13, 移项、合并,得12x 2-4x+16=0, 所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1,-4,1.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:{m2-2=2, m+2≠0,解得m=±2且m≠-2.∴m=2.【例3】探究答案:1.根2.≠0解:根据题意,得(m-2)×12+(m2-3)×1-m+1=0,即m2-4=0,故m2=4,解得m=2或m=-2.∵方程(m-2)x2+(m2-3)x-m+1=0是关于x的一元二次方程,∴m-2≠0,即m≠2.故m=-2.变式训练3-1:1变式训练3-2:解:把x=0代入方程得a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a=-1.课堂训练1.C2.A3.-104.-25.解:去括号,得9x2+12x+4=4x2-24x+36.移项、合并同类项得,5x2+36x-32=0.∴它的二次项为5x2二次项系数为5,一次项为36x,一次项系数为36,常数项为-32.课后提升1.D2.D3.C4.C5.D6.x(x+5)=300x2+5x-300=015-3007.18.≠1=19.解:(1)去括号,得x2-4=3x2+2x,移项,得-2x2-2x-4=0,二次项系数为-2,一次项系数为-2,常数项为-4.(2)去括号,移项合并,得(1-2a)x2-2ax=0,二次项系数为1-2a,一次项系数为-2a,常数项为0.10.解:小明的话有道理.理由:若方程为一元二次方程,则m+1=2,m=1.而m=1时,m2+m-2=0,所以此方程不可能为一元二次方程.2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法第1课时用配方法解简单的一元二次方程课前预习1.(1)平方根2.(1)a2±2ab+b2(2)完全平方式课堂探究【例1】探究答案:-a±√b没有解:移项,得2(x+1)2=92,两边同时除以2,得(x+1)2=94,∴x+1=±32,∴x 1=-1+32=12,x 2=-1-32=-52.变式训练1-1:m ≥7变式训练1-2:解:(1)移项,得(2x-1)2=25, 开平方得2x-1=±5, ∴2x-1=5或2x-1=-5,解这两个方程得:x 1=3,x 2=-2.(2)两边同除以3,得(x-2)2=4, 开平方得:x-2=±2, ∴x-2=2或x-2=-2.解这两个方程,得x 1=4,x 2=0.【例2】 探究答案:一次项系数一半的平方 解:移项,得x 2-12x=12,配方,得x 2-12x+(14)2=916,(x -14)2=916,∴x-14=34或x-14=-34,∴x 1=1,x 2=-12.变式训练2-1:±43变式训练2-2:解:移项,得x 2-2x=2,配方,得(x-1)2=3,解得x=1±√3.∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.课堂训练1.D2.B3.±324.±85.解:(1)移项得x 2-2x=1,配方,得x 2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方,得x-1=±√2,则x 1=1+√2,x 2=1-√2.(2)移项,得x 2-4x=-1,配方,得x 2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,开方,得x-2=±√3,∴原方程的解是x 1=2+√3,x 2=2-√3.课后提升1.D2.B3.D4.B5.36.-37.900 cm 28.解:(1)直接开平方得,x-1=±√3,即x-1=√3或x-1=-√3,∴x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2)配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5. ∴x-1=±√5,即x-1=√5或x-1=-√5 ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.(3)方程两边都除以2,得x 2-32=-52x ,移项,得x 2+52x=32.配方,得x 2+52x+542=32+542,即x+542=4916.开平方得,x+54=±74,∴x 1=12,x 2=-3.9.解:用配方法解方程a 2-10a+21=0,得a 1=3,a 2=7. 当a=3时,3、3、7不能构成三角形; 当a=7时,三角形周长为3+7+7=17.10.解:移项得x 2+px=-q ,配方得x 2+px+p 22=-q+p 22,即x+p 22=p 2-4q4.∵p 2≥4q , ∴p 2-4q ≥0,∴x+p 2=±√p 2-4q 2.∴x 1=-p+√p 2-4q2,x 2=-p -√p 2-4q2.第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程课前预习(1)1(2)二次项和一次项 常数项 (3)一次项系数一半的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.1 2.完全平方式 解:两边同时除以2,得x 2-32x+12=0,移项,得x 2-32x=-12,配方,得x 2-32x+(-34)2=-12+(-34)2,即(x -34)2=116,两边开平方,得x-34=±14,x-34=14或x-34=-14,∴原方程的解为x 1=1,x 2=12.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)二次项系数化为1, 得x 2-16x-2=0,移项,得x 2-16x=2,配方,得x 2-16x+1144=2+1144, 即x-1122=289144, ∴x-112=±1712,∴x 1=32,x 2=-43.(2)二次项系数化为1,得x 2-12x-12=0.移项,得x 2-12x=12.配方得x 2-12x+142=12+142,即x-142=916,∴x-14=±34, ∴x 1=1,x 2=-12.【例2】 探究答案:1.1 2.减去解:2x 2-4x+5=2(x 2-2x )+5 =2(x 2-2x+12-12)+5 =2(x-1)2+3 ∵2(x-1)2≥0, ∴2(x-1)2+3>0,∴代数式2x 2-4x+5的值总是一个正数. 变式训练2-1:13变式训练2-2:解:x 2-4x+5=x 2-4x+22-22+5 =(x-2)2+1.∵(x-2)2≥0,且当x=2时值为0, ∴当x=2时,代数式x 2-4x+5的值最小,最小值为1.课堂训练1.A2.B3.x 1=-2,x 2=124.3或-75.-3或36.解:由题意得2x 2-x=x+6,∴2x 2-2x=6,∴x 2-x=3,∴x 2-x+14=3+14,∴x-122=134,∴x-12=±√132,∴x 1=1+√132,x 2=1-√132. ∴x=1+√132或1-√132时,整式2x 2-x 与x+6的值相等. 课后提升1.D2.D3.B4.D5.x 1=1+√3,x 2=1-√36.87.38.1±2√29.解:去括号,得4x 2-4x+1=3x 2+2x-7,移项,得x 2-6x=-8,配方,得(x-3)2=1, ∴x-3=±1,∴x 1=2,x 2=4.10.解:由题意,得2x 2+x-2+(x 2+4x )=0,化简,得3x 2+5x-2=0. 系数化为1,得x 2+53x=23,配方,得x+562=4936,∴x+56=±76,∴x 1=-2,x 2=13.2.2.2 公式法课前预习1.x=-b±√b 2-4ac2a(b 2-4ac ≥0)2.求根公式课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c解:原方程可化为x 2+2x-1=0, ∵a=1,b=2,c=-1.b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8>0,∴x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2. ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.变式训练1-1:D变式训练1-2:解:(1)移项,得2x 2+3x-1=0, ∵a=2,b=3,c=-1,∴b 2-4ac=17>0,∴x=-3±√174, ∴x 1=-3+√174,x 2=-3-√174. (2)化简得,x 2+5x+5=0, ∴a=1,b=5,c=5, ∴b 2-4ac=5>0,∴x=-5±√52, ∴x 1=-5+√52,x 2=-5-√52. 【例2】 探究答案:1.一元二次方程有实数根 2.相等 解:原方程可化为2x 2+2√2x+1=0,∵a=2,b=2√2,c=1, ∴b 2-4ac=(2√2)2-4×2×1=0, ∴x=-2√2±√02×2=-√22. ∴x 1=x 2=-√22.变式训练2-1:解:(1)b 2-4ac=(-2)2-4×1×1=4-4=0. ∴此方程有两个相等的实数根. (2)b 2-4ac=72-4×(-1)×6=49+24=73>0. ∴此方程有两个不相等的实数根. 变式训练2-2:C课堂训练1.D2.C3.24.解:(1)b 2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=16+8=24>0.∴x=-b±√b 2-4ac 2a =4±√242×2=4±2√64=2±√62. ∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2)整理,得4x 2+12x+9=0,所以a=4,b=12,c=9.因为b 2-4ac=122-4×4×9=0, 所以方程有两个相等的实数根,所以x=-b±√b 2-4ac 2a =-12±√02×4=-128=-32. ∴x 1=x 2=-32.课后提升1.C2.A3.D4.D5.-1+√32,-1-√326.x 1=1,x 2=127.25或168.解:整理得x 2+2x-1=0, b 2-4ac=22-4×1×(-1)=8,x=-2±√82×1=-2±2√22=-1±√2, ∴x 1=-1+√2,x 2=-1-√2.9.解:(1)x 2-4x-1=0, ∵a=1,b=-4,c=-1,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±√202×1=2±√5, ∴x 1=2+√5,x 2=2-√5.(2)∵3x (x-3)=2(x-1)(x+1),∴x 2-9x+2=0, ∵a=1,b=-9,c=2,∴Δ=(-9)2-4×1×2=73>0,∴x=-b±√b 2-4ac 2a =9±√732,∴x 1=9+√732,x 2=9-√732. 10.解:由题意得,m 2+1=2,且m+1≠0, 解得m=1.所以原方程为2x 2-2x-1=0, 这里a=2,b=-2,c=-1.b 2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12.∴x=2±2√34=1±√32, ∴x 1=1+√32,x 2=1-√32. 2.2.3 因式分解法课前预习1.(2)(a-b )(a+b ) (a ±b )22.一次因式 0 0课堂探究【例1】 探究答案:x [(x+2)-4] 3(x-5)2-2(5-x )=0 (x-5)(3x-13)解:(1)x (x+2)-4x=0,x [(x+2)-4]=0, 即x (x-2)=0, ∴x=0或x-2=0, ∴x 1=0,x 2=2.(2)3(x-5)2=2(5-x ),3(x-5)2-2(5-x )=0, (x-5)[3(x-5)+2]=0, ∴x-5=0或3x-15+2=0,∴x 1=5,x 2=133.变式训练1-1:C变式训练1-2:解:(1)(3x-4)2=3(3x-4), ∴(3x-4)(3x-7)=0,∴x 1=4,x 2=7.(2)3(x+2)2=(x+2)(x-2), (x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0, ∴(x+2)(2x+8)=0, ∴x 1=-2,x 2=-4.【例2】 探究答案:直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 解:(1)公式法:∵a=1,b=-3,c=1, ∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,∴x=-(-3)±√52×1, ∴x 1=3+√52,x 2=3-√52. (2)因式分解法:原方程可化为x (x-3)=0,∴x=0或x-3=0 ∴x 1=0,x 2=3.(3)配方法:配方,得x 2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,∴x-1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.变式训练2-1:C变式训练2-2:解:(1)用直接开平方法:原方程可化为(x-3)2=4, ∴x-3=±2, ∴x 1=5,x 2=1.(2)用配方法:移项,得x 2-4x=7.配方,得x 2-4x+4=7+4,即(x-2)2=11,∴x-2=±√11∴x-2=√11或x-2=-√11, ∴x 1=2+√11,x 2=2-√11.(3)用因式分解法:方程两边分别分解因式,得(x-3)2=2(x-3)(x+3),移项,得(x-3)2-2(x-3)(x+3)=0. 方程左边分解因式,得 (x-3)[(x-3)-2(x+3)]=0, 即(x-3)(-x-9)=0, ∴x-3=0或-x-9=0. ∴x 1=3,x 2=-9.课堂训练1.C2.D3.74.-1或45.解:(1)∵a=3,b=1,c=-1, ∴b 2-4ac=12-4×3×(-1)=13>0,∴x=-1±√132×3∴x 1=-1+√136,x 2=-1-√136. (2)移项,得(3x-2)2-4(3-x )2=0, 因式分解,得[(3x-2)+2(3-x )][(3x-2)-2(3-x )]=0, 即(x+4)(5x-8)=0, ∴x+4=0或5x-8=0,∴x 1=-4,x 2=85.(3)将原方程整理,得x 2+x=0, 因式分解,得x (x+1)=0, ∴x=0或x+1=0, ∴x 1=0,x 2=-1.课后提升1.A2.D3.B4.B5.B6.x 1=3,x 2=97.68.-19.解:(1)用求根公式法解得y 1=3,y 2=-8. (2)用分解因式法解得x 1=52,x 2=-1. (3)用求根公式法解得y 1=-2+√22,y 2=-2-√22. 10.解:解方程x (x-7)-10(x-7)=0, 得x 1=7,x 2=10. ∵4<第三边长<10,∴x 2=10(舍去).第三边长为7.这个三角形的周长为3+7+7=17.2.3 一元二次方程根的判别式课前预习1.a ≠02.(1)> (2)= (3)<课堂探究【例1】 探究答案:1.一般形式 2.a 、b 、c b 2-4ac解:(1)原方程可化为x 2-6x+9=0, ∵Δ=b 2-4ac=(-6)2-4×1×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根.(2)原方程可化为x 2+3x+1=0, ∵Δ=b 2-4ac=32-4×1×1=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(3)原方程可化为3x 2-2√6x+3=0.∵Δ=b 2-4ac=(-2√6)2-4×3×3=-12<0, ∴原方程无实数根.变式训练1-1:A 变式训练1-2:B【例2】 探究答案:1.≥解:由题意知:b 2-4ac ≥0, 即42-8k ≥0,解得k ≤2. ∴k 的非负整数值为0,1,2. 变式训练2-1:B变式训练2-2:解:∵a=2,b=t ,c=2. ∴Δ=t 2-4×2×2=t 2-16, 令t 2-16=0,解得t=±4,当t=4或t=-4时,原方程有两个相等的实数根.课堂训练1.D2.A3.D4.k<-15.解:(1)当m=3时,Δ=b 2-4ac=22-4×1×3=-8<0, ∴原方程没有实数根.(2)当m=-3时,x 2+2x-3=0, x 2+2x=3, x 2+2x+1=3+1,(x+1)2=4, ∴x+1=±2, ∴x 1=1,x 2=-3.课后提升1.D2.A3.C4.C5.D6.m>17.m<2且m ≠18.6或12或109.解:由题意,得{b 2-4ac =(-2√k +1)2-4(1-2k)(-1)>0 ①1-2k ≠0 ②k +1≥0 ③由①,得4(k+1)+4-8k>0,即-4k>-8,解得k<2.由②得,k ≠12,由③得,k ≥-1. ∴-1≤k<2且k ≠1.10.解:(1)Δ=b 2-4ac=4-4(2k-4)=20-8k.∵方程有两个不等的实根, ∴20-8k>0,∴k<52.(2)∵k 为正整数, ∴0<k<52(且k 为整数),即k 为1或2,∴x=-1±√5-2k . ∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k=1时,5-2k=3;当k=2时,5-2k=1. ∴k=2.*2.4 一元二次方程根与系数的关系课前预习-b a c a课堂探究【例1】 探究答案:1.-1 2.2aba+b ab 解:因为方程x 2-x-1=0的两实根为a 、b.所以(1)a+b=1;(2)ab=-1;(3)a 2+b 2=(a+b )2-2ab=12-2×(-1)=3;(4)1a +1b =a+b ab=-1. 变式训练1-1:-2变式训练1-2:-658【例2】 探究答案:1.2(m+1) 2.>0解:∵方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4ac=[-2(m+1)]2-4×1×(m 2-3)=16+8m>0,解得m>-2;根据根与系数的关系可得x 1+x 2=2(m+1),∵(x 1+x 2)2-(x 1+x 2)-12=0,∴[2(m+1)]2-2(m+1)-12=0,解得m 1=1或m 2=-52.∵m>-2,∴m 2=-52(舍去),∴m=1.变式训练2-1:1变式训练2-2:解:∵x 1+x 2=2,∴m=2.∴原方程为x 2-2x-3=0,即(x-3)(x+1)=0,解得x 1=3,x 2=-1. 课堂训练1.B2.A3.-24.55.解:设x 1,x 2是方程的两个实数根,∴x 1+x 2=-32,x 1x 2=1-m 2. 又∵1x 1+1x 2=3,∴x 1+x 2x 1x 2=3, ∴-31-m=3, ∴-3=3-3m ,∴m=2,又∵当m=2时,原方程的Δ=17>0, ∴m 的值为2. 课后提升1.B2.B3.D4.B5.B6.-20147.68.20149.解:将-2代入原方程得:(-2)2-2+n=0,解得n=-2,因此原方程为x 2+x-2=0,解得x 1=-2,x 2=1,∴m=1.10.解:(1)根据题意得m ≠1Δ=(-2m )2-4(m-1)(m+1)=4,∴x 1=2m+22(m -1)=m+1m -1, x 2=2m -22(m -1)=1. (2)由(1)知x 1=m+1m -1=1+2m -1 又∵方程的两个根都是正整数,∴2m -1是正整数, ∴m-1=1或2. ∴m=2或3.2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率与利润问题 课前预习1.a (1±x )2.(1)单件售价 (2)单件利润课堂探究【例1】探究答案:(1)10000(1+x)10000(1+x)2(2)12100(1+x)解:(1)设捐款增长率为x,根据题意列方程得,10000(1+x)2=12100,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去);答:捐款增长率为10%.(2)12100×(1+10%)=13310元.答:第四天该单位能收到13310元捐款.变式训练1-1:A变式训练1-2:B3-2-x【例2】探究答案:200+40x0.1解:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)200+40x-24=200.0.1解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.变式训练2-1:2或6变式训练2-2:解:设每件童装应降价x元.根据题意得(40-x)(20+2x)=1200,解这个方程得x1=10,x2=20.因为在相同利润的条件下要扩大销售量,减少库存,所以应舍去x1=10.答:每件童装应降价20元.课堂训练1.B2.D3.B4.20%5.解:设每千克核桃应降价x元.根据题意得(60-x-40)(100+x×20)=2240解这个方程得x1=4,x2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.课后提升1.C2.C3.D4.B5.10%6.30007.40(1+x)2=48.48.10%9.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得1+x+x(1+x)=64,解之,得x1=7,x2=-9.答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64=448.答:又有448人被传染.10.解:(1)设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得:2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理,得x2+3x-1.75=0,解之,得x 1=0.5, x 2=-0.35(舍去)所以每年市政府投资的增长率为50%.(2)到2013年年底共建廉租房面积=9.5×82=38(万平方米). 第2课时 面积与动点问题 课堂探究【例1】探究答案:1.(6-x ) 2x 2.12(6-x )·2x=8解:设经过x 秒钟后,△PBQ 的面积等于8 cm 2. 根据题意得12(6-x )·2x=8.解这个方程得x 1=2,x 2=4.答:经过2秒或4秒后,△PBQ 的面积等于8 cm 2.变式训练1-1:解:(1)由勾股定理:AC=5 cm ,设x 秒钟后,P 、Q 之间的距离等于5 cm ,这时PC=5-x ,CQ=2x ,则(5-x )2+(2x )2=52,即x 2-2x=0.解这个方程,得x 1=0,x 2=2,其中x 1=0不合题意,舍去.答:再运动2秒钟后,P 、Q 间的距离又等于5 cm .(2)设y 秒钟时,可使△PCQ 的面积等于4 cm 2.12×(5-y )×2y=4, 即y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4.经检验,它们均符合题意.答:1秒钟或4秒钟时,△PCQ 的面积等于4 cm 2. 变式训练1-2:解:设应移动x 米.OA=√AB 2-OB 2=3米.则由题意得(3+x )2+(4-x )2=52.解这个方程得x 1=1,x 2=0(不合题意,舍去).答:应移动1米.【例2】 探究答案:(100-2x ) (50-2x )解:设正方形观光休息亭的边长为x 米.依题意,有(100-2x )(50-2x )=3600.整理,得x 2-75x+350=0.解得x 1=5,x 2=70.∵x=70>50,不合题意,舍去,∴x=5.答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:设P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽都为x 米,根据题意,得(40-2x )(60-3x )=60×40×14,解之,得x 1=10,x 2=30(不符合题意,舍去).答:两块绿地周围的硬化路面的宽都是10米. 课堂训练1.B2.C3.D4.15.解:设花边的宽为x 米,根据题意,得(2x+6)(2x+3)=40.解得x 1=1,x 2=-112.但x 2=-112不合题意,舍去.答:花边的宽为1米. 课后提升1.D2.C3.C4.B5.D6.97.24 458.10009.解:(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x 顶,则大货车原计划每辆每次运送帐篷(x+200)顶,根据题意,得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800,x+200=800+200=1000.故大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶,800顶.(2)根据题意,得2(1000-200m )1+12m +8(800-300)(1+m )=14400,化简为m 2-23m+42=0,解得m 1=2,m 2=21. ∵1000-200m 不能为负数,且12m 为整数,∴m 2=21(不符合实际,舍去),故m 的值为2.10.解:设x 秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23,在Rt △ABC 中,AB=10,AC=8,由勾股定理,得BC 2=AB 2-AC 2=102-82=36,∴BC=6.则12(8-2x )(6-x )=13×12×6×8,解得x 1=2,x 2=8(不合题意,舍去), ∴2秒后四边形APQB 的面积是△ABC 面积的23. 第3章 图形的相似3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质课前预习1.(1)比值 比值 (2)比例内项2.(1)bc课堂探究【例1】 探究答案:1.3x 3y =2y 3yx y =232.7y=4x 7∶4解:(1)∵3x=2y , ∴3x =2y , 即x y =23.(2)∵7x =4y, ∴7y=4x ,x y =74. 变式训练1-1:D变式训练1-2:4【例2】 探究答案:1.23解:∵AD AB =AE AC =DE BC =23, ∴AD+AE+DE =2, 即△ADE 的周长△ABC 的周长=23. 设△ADE 和△ABC 的周长分别为2x cm 和3x cm ,则有3x-2x=15,得x=15. ∴△ABC 的周长为45 cm ,△ADE 的周长为30 cm .变式训练2-1:D变式训练2-2:解:设x 3=y 5=z 7=k ,则x=3k ,y=5k ,z=7k , ∴x -y+z x+y -z =3k -5k+7k 3k+5k -7k =5k k=5. 课堂训练1.C2.A3.2∶3=4∶6(答案不唯一)4.135.解:因为m -n n =23, 所以3(m-n )=2n ,化简得3m=5n ,所以m n =53,则3m+2n n =3m n +2=m n ×3+2=53×3+2=7. 课后提升1.C2.C3.D4.C5.A6.52 727.3√38.2或-19.解:∵a ∶b ∶c=1∶2∶4,设a=k ,b=2k ,c=4k ,则a+2b+3ca -b+c =k+4k+12kk -2k+4k =17k 3k =173.10.解:∵a b =c d =e f =23,∴2a 2b =-c-d =-5e -5f =23.∴2a -c -5e2b -d -5f =23.3.1.2成比例线段课前预习1.m ∶n AB CD =m n2.a b =c d3.BC AC 黄金比 √5-12≈0.618课堂探究【例1】探究答案:1.(12-x ) x12-x =64 2.DB AB =EC AC解:(1)设AD=x cm ,则DB=(12-x )cm .则有x12-x =64,解这个方程得x=7.2,所以AD=7.2 cm .(2)DB AB =12-7.212=25,EC AC =46+4=25,所以DB AB =EC AC ,所以线段DB 、AB 、EC 、AC 是成比例线段. 变式训练1-1:B变式训练1-2:解:利用比例线段的定义, ∵a=1 mm =0.1 cm ,b=0.8 cm ,c=0.02 cm ,d=4 cm ,∴d>b>a>c ,而d b =40.8=5,a c =0.10.02=5,∴d b =a c ,∴d 、b 、a 、c 四条线段是成比例线段.【例2】 探究答案:1.AC AB =CB AC 2.3x+3=x 3 解:设CB=x ,∵点C 为线段AB 的黄金分割点, ∴AC AB =CB AC ,即3x+3=x 3,得9=x (x+3), 解得x 1=3√5-32,x 2=-3√5-32(舍去). 故CB 的长为3√5-32. 变式训练2-1:C变式训练2-2:解:因为点C 是AB 的黄金分割点, 所以当AC>BC 时,AC AB =√5-12. 又因为AB=10 cm ,所以AC=√5-12×10=(5√5-5)(cm ),当AC<BC 时,BC AB =√5-12, 所以BC=√5-12×10=(5√5-5)(cm ),所以AC=AB-BC=10-(5√5-5)=(15-5√5)(cm ), 所以AC 的长为(5√5-5)cm 或(15-5√5)cm . 课堂训练1.D2.45 353.6-2√54.=5.解:(1)a ∶b=c ∶d ,即a ∶0.2=0.5∶1,则a=0.2×0.5=0.1.(2)a ∶b=c ∶d ,即3∶7=c ∶21,则7c=21×3,得c=9. 课后提升1.B2.D3.C4.B5.B6.6.987.168.√5-12或3-√529.解:设相邻两个钉子之间的距离为1个单位长度, 则AD=2,BD=5,BE=5,CE=1,CF=4,AF=3.在直角三角形ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√22+52=√29,在直角三角形BCE 中,BC=√BE2+CE2=√52+12=√26,在直角三角形ACF中,AC=√CF2+AF2=√42+32=5,所以ABAC =√295,BCAC=√265.10.解:设每一份为k,由(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=(-2)∶7∶1,得{a-c=-2k,a+b=7k,c-b=k,解得{a=3k,b=4k,c=5k,而(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形.3.2平行线分线段成比例课前预习(1)在另一条直线上截得的线段也相等(2)对应线段(3)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.352.DE DF解:∵l1∥l2∥l3,∴AB AC = DE DF,∵AB=3,∴AB=3,∴DE DF = 3 5 ,由DF=20 cm,得DE=35DF=12 cm,∴EF=DF-DE=8 cm.变式训练1-1:D变式训练1-2:12【例2】探究答案:1.AE2.x-4x-4x-4=4D变式训练2-1:B变式训练2-2:A课堂训练1.B2.A3.A4.55.解:∵DE⊥AB,CB⊥AB,∴DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC ,即35=5AC, ∴AC=25.∴BC=√AC 2-AB 2=√(253) 2-52=203. 课后提升1.C2.C3.A4.D5.D6.97.68.149.解:∵DE ∥BC ,DF ∥AC ,∴四边形EDFC 为平行四边形, ∴DE=FC=5,又∵DF ∥AC ,∴AD BD =CF BF ,即48=5BF,得BF=10. 10.解:∵DE ∥BC ,∴AD AB =AE AC. 又∵EF ∥CD ,∴AF AD =AE AC , ∴AD AB =AF AD, ∴AD 2=AB ·AF=36,∴AD=6 cm .3.3 相似图形课前预习1.(1)对应相等 对应成比例 (2)∽ △ABC 相似于△A'B'C'(3)相等 成比例2.(1)对应角 成比例 (2)相等 等于相似比 课堂探究【例1】 探究答案:1.∠A' ∠B' ∠C' 2.180°-∠A-∠B解:∵△ABC ∽△A'B'C', ∴∠B=∠B'=60°,在△ABC 中,∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°. 变式训练1-1:50变式训练1-2:1∶2【例2】探究答案:(1)CD CB (2)77° 83° 解:因为四边形ABCD ∽四边形EFGH , ∴∠F=∠B=77°,∠G=∠C=83°,EF AB =GH CD =FG BC =418=29, ∴∠H=360°-(∠E+∠F+∠G )=83°,BC=FG ÷29=6×92=27,CD=GH ÷29=7×92=31.5.变式训练2-1:B变式训练2-2:解:由四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'相似得,x 21=12y =1015, ∠A=∠A'=120°,∴x=21×1015=14, y=12÷10=12×3=18, ∠α=360°-(∠A+∠B+∠C )=80°. 课堂训练1.C2.B3.6 1.54.9或255.解:因为梯形AEFD ∽梯形EBCF ,所以AD EF =EF BC =AE EB, 又因为AD=4,BC=9,所以EF 2=AD ·BC=4×9=36,所以EF=6,所以AE EB =AD EF =46=23. 课后提升1.B2.D3.D4.D5.D6.2 30°7.60° 140° 18.√5+129.解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似,∴∠E=∠A=70°,∠F=∠B=80°. ∴∠G=360°-70°-80°-150°=60°.∵AB EF =AD EH, ∴AB=EF ·AD EH =5×86=203. ∵BC FG =AD EH, ∴BC=FG ·AD EH =7×86=566=283. 10.解:∵△ABC ∽△APQ ,∴AB AP =BC PQ,即4040+60=30PQ, 解得PQ=75.答:PQ 的长为75 cm .3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 两角对应相等或平行判定相似 课前预习(1)相似 (2)相等课堂探究 【例1】 探究答案:1.EDA 2.DFC 3.△EDA △DFC解:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC , ∴△BEF ∽△CDF ,△BEF ∽△AED , ∴△BEF ∽△CDF ∽△AED.当△BEF ∽△CDF 时,相似比k 1=BE CD =13; 当△BEF ∽△AED 时,相似比k 2=BE AE =14; 当△CDF ∽△AED 时,相似比k 3=CD AE =34. 变式训练1-1:3变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.∠DAE 2.∠D解:△ABC ∽△ADE ,理由如下: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ,即∠BAC=∠DAE ,又∵在△AOB 与△COD 中,∠AOB=∠COD ,∠1=∠3, ∴∠B=∠D , ∴△ABC ∽△ADE.变式训练2-1:C变式训练2-2:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD , ∴∠ADF=∠CED ,∠B+∠C=180°, ∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B , ∴∠AFD=∠C , ∴△ADF ∽△DEC. 课堂训练1.D2.C3.A4.∠ADE=∠C (答案不唯一)5.解:(1)在△ABC 中,∵∠A=90°,∠B=50°, ∴∠C=40°. ∴∠A=∠A'=90°,∠C=∠C'=40°. ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似).(2)在△ABC 中,∵∠A=∠B=∠C , ∴∠A=∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠A',∠B=∠B', ∴△ABC ∽△A'B'C'(两角相等的两个三角形相似). 课后提升1.A2.D3.C4.D5.66.2.57.解:∵∠A=36°,AB=AC ,∴∠ABC=∠ACB=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°, ∴AD=BD ,BC=BD , ∴△ABC ∽△BDC ,∴BD AB =CD BC ,即AD AC =CD AD ,∴AD 2=AC ·CD ,设AD=x ,则CD=1-x , ∴x 2=1×(1-x ),x 2+x-1=0,x=-1±√1+42=-1±√52,x 1=-1+√52,x 2=-1-√52(舍去),∴AD=√5-12,∴AD 的长是√5-12.8.解:(1)△ABC ∽△FOA ,理由如下:在矩形ABCD 中,∠BAC+∠BCA=90°, ∵l 垂直平分AC , ∴∠OFC+∠BCA=90°, ∴∠BAC=∠OFC=∠OFA ,又∵∠ABC=∠FOA=90°, ∴△ABC ∽△FOA.(2)四边形AFCE 是菱形,理由如下: ∵AE ∥FC , ∴∠AEO=∠OFC ,∠EAO=∠OCF , ∴△AOE ∽△COF , ∵OC=OA ,∴OE=OF ,即AC 、EF 互相垂直平分, ∴四边形AFCE 是菱形.第2课时 两边成比例夹角相等或 三边成比例判定相似课前预习(1)成比例 夹角 (2)成比例课堂探究【例1】探究答案:1.4545 2.△DCA解:因为AB CD =45,BC AC =45, 所以AB CD =BC AC, 又因为∠B=∠ACD ,所以△ABC ∽△DCA ,所以AB DC =AC AD, 所以AD=DC ·AC AB =152×56=254. 变式训练1-1:B变式训练1-2:证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=DC=BC ,∠D=∠C=90°, ∵M 是CD 的中点,∴AD ∶DM=2∶1, ∵BP=3PC ,∴CM ∶PC=2∶1,即AD DM =CM PC,且∠D=∠C , ∴△ADM ∽△MCP.【例2】探究答案:1.√5 √10 5 √2 2 √102.√102 √102 √102解:相似.理由如下:AB=√5,AC=√10,BC=5,DE=√2,DF=2,EF=√10,∵AB =√10,AC =√10,BC =√10, 即AB DE =AC DF =BC EF, ∴△ABC ∽△DEF.变式训练2-1:A变式训练2-2:证明:∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点, ∴DE 、DF 、EF 分别为△ABC 的中位线,∴DE=12BC ,DF=12AC ,EF=12AB ,∴DE CB =DF CA =EF BA =12, ∴△DEF ∽△CBA.课堂训练1.A2.C3.B4.35.解:由题知AC=√2,BC=√12+32=√10,AB=4,DF=√22+22=2√2,EF=√22+62=2√10,ED=8,∴AC DF =BC EF =AB DE =12,∴△ABC ∽△DEF.课后提升1.C2.C3.D4.C5.B6.20°7.(4,0)或(3,2)8.解:(1)△ABC ∽△EBD ,理由如下:∵BD ·AB=BE ·BC ,∴BD BC =BE AB ,又∵∠B 为公共角,∴△ABC ∽△EBD.(2)ED ⊥AB ,理由如下:由△ABC ∽△EBD 可得∠EDB=∠C , ∵∠C=90°,∴∠EDB=90°,即ED ⊥AB.9.解:△A'B'C'∽△ABC ,理由如下:∵OA'OA =OC'OC =3,∠AOC=∠A'OC',∴△AOC ∽△A'OC',∴A'C'AC =OA'OA =3,同理B'C'BC =3,A'B'AB =3,∴A'C'AC =B'C'BC =A'B'AB ,∴△A'B'C'∽△ABC.3.4.2相似三角形的性质课前预习1.相似比2.(1)相似比 相似比的平方(2)相似比 相似比的平方课堂探究【例1】 探究答案:1.△ADE 2.DE解:∵BC ∥DE , ∴∠ABC=∠ADE ,∠ACB=∠AED , ∴△ABC ∽△ADE ,所以MC NE =BC DE ,设DE 高为x m ,则0.630=0.24x ,x=12.故旗杆大致高12 m .变式训练1-1:C变式训练1-2:1∶2【例2】 探究答案:1.相似比的平方 2.916解:(1)∵△ABC ∽△ADE ,∴AB AD =AC AE , ∵AB=15,AC=9,BD=5,∴AD=20,∴AE=AD ·AC AB =20×915=12. 即AE 的长为12.(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴S △ABC S △ADE =AB 2AD 2=916, ∴S △ADE =16×279=48, ∴S 四边形BDEC =48-27=21.变式训练2-1:A变式训练2-2:D 课堂训练1.D2.D3.1∶24.1∶2 1∶45.解:因为DE ∥BC ,所以∠ADE=∠ABC ,∠AED=∠ACB ,所以△ADE ∽△ABC.又DE BC =13,△ADE 的周长是10 cm , 所以△ABC 的周长是30 cm ,所以梯形BCED 的周长为30-8+2=24(cm ). 课后提升1.D2.A3.B4.A5.1∶96.37.60378.89.(1)证明:∵E 是AB 的中点,∴AB=2EB , ∵AB=2CD ,∴CD=EB ,又∵AB ∥CD , ∴四边形CBED 是平行四边形, ∴DE ∥CB , ∴∠EDM=∠MBF ,∠DEM=∠MFB , ∴△EDM ∽△FBM.(2)解:∵△EDM ∽△FBM ,∴DM BM =DE BF , 又∵F 是BC 的中点, ∴DE=2BF , ∴DM=2BM. ∴BM=13DB=3.。

第4章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．sin 30°的值等于( )A ．12B ．22C ．32D ．332． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AB ＝5，则sin A 的值为( )A ．35B ．53C ．45D ．343．[2024·海南中学月考]若锐角α满足12＜cos α＜22，则锐角α的取值范围是( )A ．0°＜α＜45° B ．30°＜α＜45° C ．45°＜α＜60° D ．30°＜α＜60°4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A 的正弦值( )A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的6倍D ．不变5．[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点A (0，1)，B (4，1)，C (5，6)，则sin ∠BAC ＝( )A ．12B ．135C ．22D ．326．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前走70 m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为( )(精确到1 m ，参考数据：sin 22°≈0．37，tan 22°≈0．40，sin 58°≈0．85，tan58°≈1．60)A．28 m　B．34 m C．37 m D．46 m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8，BC＝10，则cos∠EFC的值是( )A．34B．43C．35D．458．[2023·衢州]如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC ＝2a，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是( )A．a＋bcos αB．a＋bsin αC．a＋b cos αD．a＋b sin α9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是( )A．∠BDC＝αB．BC＝m·tan αC．AO＝m2sin αD．BD＝mcos α10．[2023·河南]如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，3PB PC＝y ，图②是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为( )A ．6B ．3C ．43D ．23二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则cos A 的值是________．12．[2022·柳州]如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30 m ，则迎水坡坡面AB 的长度为________m ．13．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋|c －10|＋b －8＝12a －36，则sin B 的值为________．14．[2024·广西师范大学附属中学模拟]如图，菱形ABCD 绕A 点顺时针旋转60°，B ，C ，D 的对应点分别为B 1，C 1，D 1，若B 1和D 重合，菱形ABCD 面积为183cm 2，则阴影△DCC 1的面积＝________cm 2．15．如图，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到△A ′B ′C ′，使点B ′与C 重合，连接A ′B ，则tan ∠A ′BC ′＝________．16．如图是一台手机支架的侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离约为________cm(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0．94，3≈1．73)．17．[2023·雅安]如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD，交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为________．18．[2023·黄冈]如图，已知点A(3，0)，点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A 顺时针旋转120°到线段AC，若点C的坐标为(7，h)，则h＝________．三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)19．计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°．20．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．(1)已知c＝2，∠A＝60°，求∠B，a，b；(2)已知a＝2，∠A＝45°，求∠B，b，c．21．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF，连接AE，CF．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝12，求BC的长．22．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1 m)．523．[2023·泰州]如图，堤坝AB的长为10 m，坡度i为1￿0．75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔C D．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B 处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．(参考数据：sin 26°35′≈0．45，cos 26°35′≈0．89，tan 26°35′≈0．50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)24．[2023·海南]如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB＝________°，∠BCM＝________°；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．7答案一、1.A2．C 【点拨】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴sin A ＝BC AB ＝45.3．C 【点拨】∵cos 60°＝12，cos 45°＝22，12＜cos α＜22，∴45°＜α＜60°.故选C.4．D5．C 【点拨】如图，取格点D ，连接CD ，AD ，则B 在AD 上．∵A (0，1)，B (4，1)，C (5，6)，∴AD ＝5，CD ＝5，∠ADC ＝90°.∴∠BAC ＝45°.∴sin ∠BAC ＝sin 45°＝22.故选C.6．C 【点拨】在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB DB ，∴DB ＝AB tan 58°≈AB 1.60＝58AB .在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝tan 22°＝AB CB，∴AB 70＋58AB ≈0.40，解得AB ≈37 m ．故选C.7．D 【点拨】由题意得AF ＝AD ＝BC ＝10，∠AFE ＝∠D ＝∠B ＝90°.由等量关系代换可得∠EFC ＝∠BAF ，所以cos ∠EFC ＝cos ∠BAF ＝AB AF ＝810＝45.故选D.8．D 【点拨】如图，过点A 作AF ⊥BE 于F ，过点B 作BG ⊥CD 于G，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin α＝b sin α，在Rt △BCG 中，BG ＝BC ·sin 45°＝2a ×22＝a ，∴易得点A 到桌面的最大高度＝BG ＋AF ＝a ＋b sin α.故选D.9．C10．A 【点拨】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B .结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC＝1，∴PB ＝PC ，AO ＝2 3.又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，又∵AP ＝AP ，∴△APB ≌△APC (SSS)，∴∠BAO ＝∠CAO .∴∠BAO ＝∠CAO ＝30°.当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，∴OB ＝23，即AO ＝OB ＝23，∴∠BAO ＝∠ABO ＝30°.过点O 作OD ⊥AB ，∴AD ＝BD ，AD ＝AO ·cos 30°＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝6，即等边三角形ABC 的边长为6.故选A.9二、11.51312．50 【点拨】根据题意得∠ACB ＝90°，sin α＝35，∴BC AB ＝35.∵BC ＝30 m ，∴30AB ＝35，解得AB ＝50(m)，即迎水坡坡面AB 的长度为50 m.13.45【点拨】∵a 2＋|c －10|＋b －8＝12a －36，∴a 2－12a ＋36＋|c －10|＋b －8＝0，∴(a －6)2＋|c －10|＋b －8＝0.∴a －6＝0，c －10＝0，b －8＝0，解得a ＝6，c ＝10，b ＝8.∴a 2＋b 2＝62＋82＝100＝102＝c 2.∴∠C ＝90°.∴sin B ＝b c ＝810＝45.14．93 【点拨】如图，过点C 作CH ⊥C 1D 交C 1D 的延长线于点H ，过点B作BK ⊥AD 于点K .由旋转的性质可得∠BAD ＝60°，∴BK ＝AB ·sin 60°＝32AB .∵菱形ABCD 面积为183cm 2，∴BK ·AD ＝32AB 2＝183cm 2，解得AB ＝6 cm.易得CD ＝C 1D ＝6 cm ，∠CDC 1＝120°，∴∠CDH ＝60°，∴CH ＝CD ·sin 60°＝3 3.∴S 阴影＝12×6×33＝93(cm 2)．15.13【点拨】如图，过点A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，易得B ′D ＝x ，BC ＝2x ，则BD ＝3x .所以tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.16．6.3 【点拨】如图，过点B ，C 分别作AE 的垂线，垂足为点M ，N ；过点C作CD ⊥BM ，垂足为点D .在Rt △ABM 中，∵∠BAM ＝60°，AB ＝16 cm ，∴BM ＝AB ·sin 60°＝16×32＝83(cm)，∠ABM ＝90°－60°＝30°.在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝∠ABC －∠ABM ＝50°－30°＝20°，∴∠BCD ＝90°－20°＝70°.又∵BC ＝8 cm ，∴BD ＝8×sin 70°≈8×0.94＝7.52(cm)．易知四边形CDMN 为矩形，∴CN ＝DM ＝BM －BD ≈83－7.52≈6.3(cm)，即点C 到AE 的距离约为6.3 cm.17．7 【点拨】如图，连接AC ，BD 交于点O .11∵BC ＝DC ，∠BCD ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴BD ＝BC ＝CD ＝8.∵AB ＝AD ，BC ＝DC ，∴AC ⊥BD ，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD ＝30°.又∵AE ∥CD ，∴∠EAC ＝∠ACD ＝∠ACB ＝30°，∴EC ＝AE ＝6.过点E 作EF ⊥AC ，交AC 于点F ，∴CF ＝CE ·cos 30°＝6×32＝33，∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.AF ＝AE ·cos 30°＝6×32＝3 3.∴AC ＝CF ＋AF ＝6 3.∵CO ＝BC ·cos 30°＝8×32＝4 3.∴AO ＝AC －CO ＝63－43＝2 3.∴在Rt △BOA 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝(2\r (3))2＋42＝27.18.233【点拨】如图，在x 轴上取点D 和点E ，使得∠ADB ＝∠AEC ＝120°，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .∵点C 的坐标为(7，h )，∴OF ＝7，CF ＝h .在Rt △CEF 中，∠CEF ＝180°－∠AEC ＝60°，∴EF ＝CFtan 60°＝33h ，CE ＝CFsin 60°＝233h .∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠ABD ＝60°.∴∠CAE ＝∠ABD .∵AB ＝CA ，∴△CAE ≌△ABD (AAS)．∴AD ＝CE ＝233h ，AE ＝BD .∵点A (3，0)，∴OA ＝3，∴OD ＝OA －AD ＝3－233h .在Rt △BOD 中，∠BDO ＝180°－∠ADB ＝60°，∴BD ＝OD cos ∠BDO ＝OD cos 60°＝2(3－233h)＝6－433h ，∴AE ＝BD ＝6－433h .∵OA ＋AE ＋EF ＝OF ，∴3＋6－433h ＋33h ＝7，解得h ＝233.三、19.【解】2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°＝2×32－3＋22×22＝3－3＋12＝12.20．【解】(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.13∵sin B ＝bc ，∴b ＝c ·sin B ＝2×sin 30°＝1.∵cos B ＝ac ，∴a ＝c ·cos B ＝2×cos 30°＝ 3.(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝45°，∴∠B ＝90°－∠A ＝45°.∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A ＝2tan 45°＝ 2.∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A ＝2sin 45°＝2.21．(1)【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AF ＝EC ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．(2)【解】由(1)知四边形AECF 是矩形，∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°.∵AE ＝BE ，AB ＝2，∴△ABE 是等腰直角三角形．∴AE ＝BE ＝22AB ＝2.又∵tan ∠ACB ＝AEEC ＝12，∴2EC ＝12.∴EC ＝22.∴BC ＝BE ＋EC ＝2＋22＝3 2.22．【解】在Rt △BCD 中，∵背水坡BC 的坡度i 1＝1∶1，∴CD BD＝1.∴BD ＝CD ＝20 m.在Rt △ACD 中，∵背水坡AC 的坡度i 2＝1∶3，∴CD AD＝13.∴AD ＝3CD ＝20 3 m.∴AB ＝AD －BD ＝203－20≈14.6(m )．答：背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离约为14.6 m .23．【解】如图，过B 作BH ⊥AE 于H .∵坡度i 为1∶0.75，∴设BH ＝4x m ，则AH ＝3x m.∴AB ＝AH 2＋BH 2＝5x m ．又∵AB ＝10 m ，∴x ＝2.∴AH ＝6 m ，BH ＝8 m.过B 作BF ⊥CE 于F ，则EF ＝BH ＝8 m ，BF ＝EH .设DF ＝a m ．∵α＝26°35′，∴BF ＝DFtan 26°35′≈a0.5＝2a (m)，∴AE ≈(6＋2a )m.∵坡度i 为1￿0.75，∴CE ￿AE ＝1￿0.75≈(20＋a ＋8)￿(6＋2a )．∴a ≈12.∴DF ≈12 m ，∴DE ＝DF ＋EF ≈12＋8＝20(m)．答：堤坝高为8 m ，山高DE 约为20 m.24．【解】(1)30；45 【点拨】如图，过点C 作CD ⊥AB 于D .∵∠DBM ＝∠A ＋∠AMB ＝30°＋∠AMB ＝60°，∴∠AMB ＝30°.由题意得AB ∥CM .∴∠DBC ＝∠BCM .∵∠DBC ＝45°，∴∠BCM ＝45°.(2)如图，过点M作ME⊥AB于E.由(1)可得∠A＝∠BMA＝30°，∴BM＝AB＝20海里，在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴EM＝BM·sin ∠EBM＝20×sin 60°＝20×32＝103(海里)．∴灯塔M到轮船航线AB的距离为10 3 海里．(3)如图，过点C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB∥CM，∴易得四边形CDEM是矩形，∴CD＝EM＝10 3 海里，DE＝CM.在Rt△BEM中，∠EBM＝60°，BM＝20海里，∴BE＝BM·cos ∠EBM＝20×cos 60°＝20×12＝10(海里)．∵在Rt△CDB中，∠DBC＝45°，∴△CDB是等腰直角三角形．∴CD＝BD＝10 3 海里．∴CM＝DE＝BD－BE＝10(3－1)海里．∴港口C与灯塔M的距离为10(3－1)海里．15。

湘教版2020—2021学年九年级数学上册全册综合复习与简答一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是( ) A ．2313()24x -=B ．231()42x -=C ．2317()416x -=D ．2311()24x -=2．已知一元二次方程2770kx x --=有两个实数根，k 的取值范围是( ) A ．74k >-B ．74k - C ．74K -且0k ≠ D ．74k >-且0k ≠ 3．如图，反比例函数1a y x =经过矩形ABCD 的顶点D ，反比例函数2by x=经过矩形ABCD 的顶点C ．矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的负半轴上运动，矩形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴运动上，如果矩形ABCD 的面积为定值，下列哪个值不变( )A ．a b +B ．a b -C ．baD ．ab4．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点(0,3)A ，(3,0)B ，90ABC ∠=︒．函数4(0)y x x=>的图象经过点C ，则AC 的长为( )A ．32B ．5C ．26D 265．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:5:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆的面积与BAF ∆的面积之比为( )第3题图 第4题图第5题图A ．5:7B ．10:4C ．25:4D ．25:496．如图，已知//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式中不正确的是( ) A ．AD AEAB AC=B ．CE EACF FB=C ．EF CFAB CB=D ．DE ADBC DB=7．若角α，β都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=︒，则sin cos αβ=．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④8．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD ．在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为45︒，测得与大桥主架的水平距离AB 为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD 为( ) A ．(100100sin α+ )米 B ．(100100tan α+ )米 C ．100(100)sin α+米 D ．100(100)tan α+米 9．今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )A ．2000名学生是总体B ．每位学生的数学成绩是个体C ．这100名学生是总体的一个样本D ．100名学生是样本容量第5题图第8题图10．用相同大小的等边三角形纸片玩叠纸游戏，可将纸片按如图所示的规律叠放，其中第①个图案有3个60︒的角，第②个图案有7个60︒的角，第③个图案有10个60︒的角，第④个图案有14个60︒的角；⋯，按此规律排列下去，则第⑦个图案中60︒的角的个数为( )A ．21B ．24C ．28D ．31二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．若00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是 ．12．某工厂四月份生产口罩50万个，防疫需要，预计第二季度生产182万个口罩的生产任务，该工厂增加设备，并提高生产效率，设该工厂五、六月份生产口罩平均每月的增长率为x ，那么x = ．13．已知反比例函数2k y x-=的图象如图，则一元二次方程22(21)10x k x k --+-=根的情况是 ．14．如图，正比例函数1(0)y ax a =≠与反比例函数2(0)ky k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A的坐标为(1,3)．当12y y <时，x 的取值范围是 ．15．如果点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，线段6AB =，则较短线段PB = ．第13题图第14题图16．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a =，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD ∆，PBC ∆与PDC ∆两两相似，则AP长为．（结果用含a 的代数式表示）17．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ACB ∠等于 ．18．如图，某河堤迎水坡AB 的坡比3i =5BC m =，则坡面AB 的长是 m ． 三．解答题（共6小题，满分46分，其中19题10分,20、21每小题6分，22、23每小题7分，24题10分）19．解答下列问题．（1）计算：201()|12cos30|tan 60(20203)2-+-︒-︒+．（2）解方程：2450x x +-=．20．为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况，现对学生课余时间活动安排进行调查，根据调查的部分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：第16题图第18题图第17题图（1）求调查中，一共抽查了多少名初二同学？（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数，并补全条形统计图；（3）如果该地区现有初二学生12000人，那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？21．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60︒方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30︒方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？22．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元)与日销售量y（只)之间有如下关系：3456日销售单价x（元)日销售量y（只)2000150012001000（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x 定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？23．国强在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件(2040)x ．（1）用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为 件； （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元． ①求该商品的售价；②2020年10月17日为第7个国家扶贫日，国强决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某扶贫捐赠基金会捐款0.5元，求国强每天通过销售该工艺品捐款的数额．24．矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，设运动时间为t （单位：)s ．（1）如图1，若动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APC ∆的面积2()S cm 随时间t （秒)变化的函数图象． ①点P 的运动速度是 /cm s ，m n += ； ②若2PC PB =，求t 的值；（2）如图3，若点P ，Q ，R 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q 到达点C （即点Q 与点C 重合）时，三个点随之停止运动；若点P 运动速度与（1）中相同，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3，是否存在t ，使PBQ ∆与QCR ∆相似，若存在，求出所有的t 的值；若不存在，请说明理由．湘教版2020—2021学年九年级数学上册全册综合复习参考简答一．选择题（共10小题）1．C ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．D ． 6．D ． 7．C ． 8．B ． 9．B ． 10．B ． 二．填空题（共8小题）11． 11x =，21x =- ． 12． 20% ． 13． 无实数根 ． 14． 1x <-或01x << ．15． 935- ． 16． 12a ． 17． 10． 18． 10 ． 三．解答题（共6小题） 19．请回答下列问题．（1）计算：201()|12cos30|tan 60(20203)2-+-︒-︒+-．（2）解方程：2450x x +-=． 【解】：（1）原式34(21)31=+⨯--+ 43131=+--+4=；（2）分解因式得：(1)(5)0x x -+=，可得10x -=或50x +=， 解得：11x =，25x =-．20．为了了解某地区初二学生课余时间活动安排情况，现对学生课余时间活动安排进行调查，根据调查的部分数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）求调查中，一共抽查了多少名初二同学？（2）求所调查的初二学生课余时间用于安排“读书”活动人数，并补全条形统计图；（3）如果该地区现有初二学生12000人，那么利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有多少人？【解】：（1）5020%250÷=（名)，即调查中，一共抽查了250名初二同学；（2）安排“体育”活动的学生有：25028%70⨯=（名)，安排“读书”活动的学生有：250705030100---=（名)，补全的条形统计图如右图所示；（3）1200028%3360⨯=（人)，即利用课余时间参加“体育”锻炼活动的大约有3360人．21．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60︒方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30︒方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？【解】：过点C作CD AB⊥交AB的延长线于D，由题意得，140202AB=⨯=，30CAB∠=︒，60CBD∠=︒，30ACB CBD CAB∴∠=∠-∠=︒，ACB CAB∴∠=∠，20CB AB∴==，在Rt CBD∆中，sinCD CBDCB∠=，3sin20103CD BC CBD∴=∠=⨯=，10318<，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，有着弹危险．22．疫情期间，某药店出售一批进价为2元的口罩，在市场营销中发现此口罩的日销售单价x（元)与日销售量y（只)之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x 之间的函数关系式；（2）设经营此口罩的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，（3）若物价局规定此口罩的售价最高不能超过10元/只，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？【解】：（1）由表可知，6000xy=，6000(0)∴=>；y xx（2）根据题意，得：600012000W x y x=-=-=-；(2)(2)6000x xx，（3）101200060004800∴-，x即当10x=时，W取得最大值，最大值为4800元，答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是4800元．23．国强在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件(2040)x．（1）用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数为(1803)x-件；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②2020年10月17日为第7个国家扶贫日，国强决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某扶贫捐赠基金会捐款0.5元，求国强每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解】：（1）该商品的售价为x 元/件(2040)x ，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为603(40)(1803)x x +-=-件，故答案为：(1803)x -．（2）①依题意，得：(20)(1803)900x x --=，整理，得：28015000x x -+=，解得：130x =，250x =（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5(180330)45⨯-⨯=（元)．答：国强每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．24．矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，设运动时间为t （单位：)s ．（1）如图1，若动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APC ∆的面积2()S cm 随时间t （秒)变化的函数图象．①点P 的运动速度是 /cm s ，m n += ；②若2PC PB =，求t 的值；（2）如图3，若点P ，Q ，R 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q 到达点C （即点Q 与点C 重合）时，三个点随之停止运动；若点P 运动速度与（1）中相同，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3，是否存在t ，使PBQ ∆与QCR ∆相似，若存在，求出所有的t 的值；若不存在，请说明理由．【解】：（1）①观察图象2可知，点P 从B 到C 的运动时间为4s ，故点P 的运动速度为82(/)4cm s =． 632m ∴==，此时168242n =⨯⨯=， 32427m n ∴+=+=． ②90B ∠=︒，2PC PB =， 30PCB ∴∠=︒，83tan30()PB BC cm ∴=︒=， 83(6)()PA cm ∴=-， 4332PA t ∴==-． （2）点P 的运动速度为2/cm s ，且点P ，Q ，R 的运动速度的比为2:4:3， ∴点Q 的运动速度为4/cm s ，点R 的运动速度为3/cm s ． 如图3中，由题意，62PB t =-，4BQ t =，84CQ t =-，3CR t =，①当PB BQ QC CR=时，PBQ ∆与QCR ∆相似， ∴624843t t t t-=-， 解得75t =， 经检验，75t =是分式方程的解，且符合题意． ②当时，PB BQ CR CQ=时，PBQ ∆与QCR ∆相似， ∴624384t t t t-=-，解得5t =-或5-（舍弃），经检验，5t =-+是分式方程的解，且符合题意．综上所述，满足条件的t 的值为75或5-．。