17种基本不等式
序号 不等式名称 表达式 备注
1 绝对值不等式 $ a
2 平方不等式 a2≥b2 平方后非负，常用于消去根号或处理二次项
3 平方根不等式 a≥b（a≥0,b≥0） 平方根函数单调递增
4 分数不等式 ba≥dc（b>0,d>0） 分数比较时，注意分母的正负
5 对数不等式 logax≥logay（a>0,a=1） 对数函数单调性，注意底数的取值范围
6 指数不等式 ax≥ay（a>0,a=1） 指数函数单调性，注意底数的取值范围
7 一次不等式 ax+b≥c 一次函数，斜率决定单调性
8 二次不等式 ax2+bx+c≥0 二次函数，根据判别式判断解集
9 均值不等式 2a+b≥ab（a>0,b>0） 均值不小于几何均值
10 柯西不等式 (∑i=1nai2)(∑i=1nbi2多元变量的)≥(∑i=1naibi)2 不等式关系
11 切比雪夫不等式 n1∑i=1naibi≥(n1∑i=1nai)(n1∑i=1nbi)（ai,bi同号） 适用于序列的加权平均与算术平均比较
12 伯努利不等式 (1+x)n≥1+nx（n≥1,x>−1） 幂函数与线性函数的比较
13 排序不等式 乱序和 ≤ 反序和 ≤ 同序和 适用于已排序的序列
14 琴生不等式 若f(x)为凸函数，则f(nx1+x2+...+xn)≤nf(x1)+f(x2)+...+f(xn) 凸函数性质的应用
15 赫尔德不等式 $\left( \sum_{i=1}^{n} a_i
16 闵可夫斯基不$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i+b_i 等式
17 詹森不等式 若f(x)为凸函数，且E(X)存在，则f[E(X)]≤E[f(X)] 期望与凸函数性质的应用
专题3 均值不等式基础方法15类总结
目录
一、热点题型归纳
【题型一】对勾型 ...................................................................................................................................................... 2
【题型二】 添加常数构造“对勾型” .................................................................................................................... 3
【题型三】“和定求积”型 ........................................................................................................................................ 4
【题型四】“积定求和”型 ........................................................................................................................................ 6
【题型五】单元（单变量）分离常数型 .................................................................................................................. 7
【题型六】“常数”因子法： .................................................................................................................................... 8
专题05 均值不等式及其应用
高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.
【重点知识回眸】
1． 基本不等式
ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
2．几个重要的不等式
（1）2,0ababab：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）22abab,,abR：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3）222abab，,abR
（4）222()22abab，,abR
（5）2,,baabab同号且不为零
（6）重要不等式链
若a≥b＞0，则a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b≥b.
上述不等式，当且仅当a＝b时等号成立
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2xy，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．
(2)xy≤x＋y22，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值q24(简记：和定积最大)．
提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用
一、知识结构
二、重点叙述
1. 基本不等式模型 一般地,如果a>0,b>0,则
立。 我们常把
叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数,
,或
,当且仅当a=b时等号成
即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。 拓展:
若a、b∈R,则
2. 基本不等式证明方法
,当且仅当a=b时等号成立。
3.基本不等式的应用
①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。 三、案例分析
案例1：(1)（xx天津·理）设
的最小值为
A 8 B 4 C 1D (2) （xx海南、宁夏·理7）已知
，
，
成等差数列，
若
成等比数列，则
Ａ．
Ｂ．
的最小值是（ ）
Ｃ．
Ｄ．
分析：（1）由是与的等比中项，得
。用“1代换法”，把
看成，进而利用基本不等式求得最小值。
（2）可用直接法解之。根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数
转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。也可以用
特殊值法解决。 解：（1）∵
是
与
的等比中项，∴
，得
。
∴，
当且仅当即时，“=”成立。故选择C。 成等差数列，
成等比数列，
（2）（直接法）∵
∴
∴，
∵，，∴，∴，当且仅当时，等号
成立。 ∴
。故选D。
成等差数列，
成等比数列分别都为
