高考数学二轮复习专题四立体几何第一讲空间几何体能力训练理
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第一讲 空间几何体
一、选择题
1．(2018·广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是(
)
解析：由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．故选D.
答案：D
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．122π B．12π
C．82π D．10π
解析：设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.
故选B.
答案：B
3．(2018·合肥模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(
)
A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×12＋12×2×π×1×3＋2×12×π×12＋3×2＝8π＋6.故选C.
答案：C
4．(2018·沈阳模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(
)
A．4＋42 B．42＋2
C．8＋42 D．83
解析：由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥PABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝22，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×(12×2×2＋12×2×22)＝4＋42，故选A.
答案：A
5．(2018·聊城模拟)在三棱锥PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120˚，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．103π B．18π
C．20π D．93π
解析：该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥PABC，PA＝AB＝AC＝2，所以该三棱锥的外接球即该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R＝42＋22＝25⇒R＝5，所以该球的表面积为4πR2＝20π.
答案：C
6．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A．217 B．25
C．3 D．2
解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．
ON＝14×16＝4，OM＝2，
∴|MN|＝OM2＋ON2＝22＋42＝25.
故选B.
答案：B
7．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点M是BB1的中点，则三棱锥C1AMC的体积为( )
A.3 B.2
C．22 D．23
解析：取BC的中点D，连接AD.在正三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，又BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面BCC1B1，即AD⊥平面MCC1，所以点A到平面MCC1的距离就是AD.在正三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝3，又AA1＝3，点M是BB1的中点，所以S△MCC1＝12S矩形BCC1B1＝12×2×3＝3，所以VC1－AMC＝VAMCC1＝13×3×3＝3.
答案：A
8．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为(
)
A．1∶2 B．1∶8
C．1∶6 D．1∶3
解析：由NB＝2PN可得PNPB＝13.设三棱锥NPAC的高为h1，三棱锥BPAC的高为h，则h1h＝PNPB＝13.又四边形ABCD为平行四边形，所以点B到平面PAC的距离与点D到平面PAC的距离相等，所以三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为V1V＝13S△PAC×h113S△PAC×h＝13.
答案：D
9．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，∠ASC＝∠BSC＝30˚，则棱锥SABC的体积最大为( )
A．2 B．83
C．3 D．23
解析：如图，因为球的直径为SC，且SC＝4，∠ASC＝∠BSC＝30˚，所以∠SAC＝∠SBC＝90˚，AC＝BC＝2，SA＝SB＝23，所以S△SBC＝12×2×23＝23，则当点A到平面SBC的距离最大时，棱锥ASBC即SABC的体积最大，此时平面SAC⊥平面SBC，点A到平面SBC的距离为23sin 30˚＝3，所以棱锥SABC的体积最大为13×23×3＝2，故选A.
答案：A
二、填空题
10．(2018·洛阳统考)已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝6，AC＝23.若三棱锥DABC体积的最大值为3，则球O的表面积为________．
解析：由题意可得，∠ABC＝π2，△ABC的外接圆半径r＝3，当三棱锥的体积最大时，VDABC＝13S△ABC·h(h为D到底面ABC的距离)，即3＝13×12×6×6h⇒h＝3，即R＋R2－r2＝3(R为外接球半径)，解得R＝2，∴球O的表面积为4π×22＝16π.
答案：16π
11．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为4，则该几何体的体积为________．
解析：由三视图可知该几何体为一个长方体挖掉半个圆柱，所以其体积为2×4×8－12×π×22×2＝64－4π.
答案：64－4π
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为________．
解析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥ABCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△ABC＝S△ABE＝12×1×2＝22，S△ADE＝12，S△ACD＝12×1×5＝52，故面积最大的侧面的面积为52.
答案：52
13．(2018·福州四校联考)已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90˚，则球O的体积为________．
解析：设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为3，BC＝3，BD＝3，∠CBD＝90˚，∴13×12×3×3×h＝3，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝23，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为32π3.
答案：32π3
