14152量子力学期中考试试题

1 1. 能级简并、简并度。（5分）

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

2. 一质量为 的粒子在一维无限深方势阱axxaxxV2,0,20,0)(

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。（5分）

解：

axxaxaxnaxn2,0,0,20,2sin1)(

,3,2,1,82222nanEn

3. 二电子体系中，总自旋 21ssS ，写出（zSS,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。（5分）

解：（2,zSS）的归一化本征态记为SSM，则

自旋单态为 001(1)(2)(1)(2)2

自旋三重态为 111011(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2(1)(2)

4. 对于阶梯形方势场

axVaxVxV,,)(21 ，

如果（12VV）有限，则定态波函数)(x连续否？其一阶导数 )(x连续否？（5分）

解：定态波函数)(x连续；其一阶导数 )(x也连续。

5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ,,r ，则粒子在立体角d中被测到的几率为

220d,,dPrrr。 （5分）

6. 给出如下对易关系：（5分） 2 ,0,,,2,yzzyxzyzxxpzpiyLixiLpip

7. 量子力学中，体系的任意态)(x可用一组力学量完全集的共同本征态)(xn展开：

()()nnnxax，

则展开式系数*(),()()()dnnnaxxxxx。 （5分）

8. 一个电子运动的旋量波函数为 2,2,,rrsrz，则电子自旋向上（2zs）、位置在r处的几率密度表达式为22/,r；

期中试题

请将答案写在答题纸上

(20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为 ，求此时动量的可能测值和相应的几率，并

计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动

(20分) (a) 设立"路障"进一步限制粒子在 的一段圆弧上运动：

求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去"路障"后，粒子仍然处于最

低能量态的几率是多少?

(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿 ，

试求对能量的一级修正(式中 为常数)。

(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy BSz的本

征函数和本征值(A和B是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别

是

；

式中 和 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值, ，（ 表示

力学量算符 的平均值）。

(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱

在 的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至

少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标 和 确定的转子，作受碍转动，用下述哈密

顿量描述： ， 式中 和 均为常数，且 ， 是角动量平方算符，试用一级微扰

论计算系统的 能级（ ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分 求在一维无限深势阱中，处于 态时的粒子的动量分布几率

。

（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确

的结果：

（1） ？式中 和 分别是 和 方向的单位矢量。

（2） ？式中 ，

（3）系统的哈密顿算符为 ，设 是归一化的束缚态波函数，则有： ？

（五）20分 碱金属原子处在 方向的外磁场B中，微扰哈密顿为 ，其中

， ，

当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似

1 2014-2015第2学期量子力学试题A

（试题共2页，答案请写到答题纸上）

一．填空（每空2分，共20分，）

1.微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足（ ）、（ ）和（ ）三个条件。

2.力学量用（ ）算符表示。表示力学量的算符有组成（ ）的本征函数。真实力学量的任何测量值必须为实数，这个性质决定了表征力学量的算符的（ ）特性。

3.体系的状态波函数满足（ ）方程。根据玻恩的解释，描写粒子的波乃是（ ）。

4.在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态，这一原理叫做（ ）。

5.定态的几率密度和几率流密度都与（ ）无关。

二．（5分）图1描述的是双原子分子的微小振动问题。设分子在水平方向（x）作微小振动。（1）写出分子间的作用势；（2）写出系统的哈密顿量；（3）写出系统的定态薛定谔方程；（4）给出此薛定谔方程的解。

图1

三．（5分）图2给出一维线性谐振子基态的能量和波函数。KE表示动能。试根据图2回答下列问题：（1）什么是经典允许区和经典不允许区？（2）在图上标出经典允许区和经典不允许区；（3）说明经典谐振子和量子谐振子的差别。

图2

四．计算题（每小题10分，共70分）

1．设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰'H的作用，微扰矩阵元为H’12=H’21=a，H’11=H’22=b，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。

2．设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr.

求氢原子能量、轨道角动量平方以及轨道角动量z方向分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

3．一电荷为e、质量为的线性谐振子受恒定电场ε作用，电场沿正x方向.（1）试写出 2 体系的哈密顿算符；（2）可否用微扰理论计算此算符的本征值和本征矢？为什么？（3）求

量子力学考试题库及答案

一、选择题

1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率密度。下列关于波函数的描述中，哪一项是正确的？

A. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率密度

B. 波函数的绝对值代表粒子在空间某点出现的概率密度

C. 波函数的平方代表粒子在空间某点出现的概率

D. 波函数的绝对值平方代表粒子在空间某点出现的概率

答案：A

2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。以下哪项是海森堡不确定性原理的数学表达式？

A. ΔxΔp ≥ ħ/2

B. ΔxΔp ≤ ħ/2

C. ΔxΔp = ħ/2

D. ΔxΔp = ħ

答案：A

二、填空题

3. 在量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)满足________方程，该方程由薛定谔提出，是量子力学的基本方程之一。

答案：薛定谔方程

4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有相同的一组量子数，即不能同时具有相同的________、________、________和________。

答案：主量子数、角量子数、磁量子数、自旋量子数

三、简答题

5. 简述量子力学中的隧道效应，并给出一个实际应用的例子。

答案：量子隧道效应是指粒子通过一个势垒的概率不为零，即使其能量低于势垒的高度。这一现象在经典物理学中是不可能发生的。一个实际应用的例子是扫描隧道显微镜（STM），它利用量子隧道效应来探测物质表面的原子结构。

6. 描述量子力学中的波粒二象性，并解释为什么这一概念是重要的。

答案：波粒二象性是指微观粒子如电子和光子等，既表现出波动性也表现出粒子性。这一概念重要，因为它揭示了物质在微观尺度上的基本行为，是量子力学的核心概念之一，对理解原子和分子结构、化学反应以及材料的电子性质等方面都有深远的影响。

四、计算题

7. 假设一个粒子被限制在一个宽度为L的一维无限深势阱中，求该粒子的基态能量。

答案：基态能量E1 = (π²ħ²)/(2mL²)，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，L是势阱的宽度。