高等数学第三章课件-n维向量空间

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《高等数学》中空间向量教学探讨

郭英

(吉林广播电视大学四平分校吉林四平136000)

[摘要】向量是一个很重要的数学概念．在‘高等数学'中，向量代数是重点之一．对‘高等数学'中向量代数教学傲一探讨．目的是通过本课程各知识点的

学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。

[关键词】向量线性运算应用数量积向量积混合积

中图分类号l013文献标识码：A文章编号：1671--7597(2∞8)1110164--01

向量是一个很重要的数学概念。是数学领域内的一个重要方法与结

构，在‘高等数学》中，向量代数是重点之一。在学习的过程中有相当

一部分学生认为

种工具，{：J’简化几何证明。本文对‘高等数学》中向量代数教学做一探

讨。目的是通过本课程各知识点的学习，培养学生的抽象思维能力和逻

辑思维能力。

一、向量的基本概念豆其运算

(一)向量的基本概念

基本理论是数学推理论证的核心，在向量代数教与学过程中，基本概

念要清楚，要读懂，要理解透彻、叙述准确。

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，称之为向量或矢量。

2．向量的模：向量的长度称为向量的模。向量a的长度记为IaI。

根据向量的定义，如果两个向量的模相等，并且方向也相同，则这两

个向量相等记为a=b。由此可见，向量可以在空间任意地平行移动．

方向相同或相反的向量称为是平等的，并记为a／／b．

横为1的向量称为单位向量，模为0的向量称为0向量。零向量的方向

规定为任意的，即零向量可以认为平行于任何向量．

(二)向量之间的基本运算

向量之间定义了两类运算，即线性运算和各种积运算．

I．向量的线性运算

(I)向量加法运算。向量的加法可用三角形法则来定义：已知两向

量a和b，将b平移使其始点与a的终点重合，则以a的始点为始点，以b的终

点为终点的向量C就是a+b，BPc=a+b．向量C称为向量a与b的和。

由两个向量的加法很容易推广到有限多个向量的加法，只要把这些向

量首尾相连，而以第一个向量的始点为始点。以最后一个向量的终点为终

(完整版)301数学一

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3考试内容与考试要求

高等数学

函数极限连续

1．理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系．

2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．

6．掌握极限的性质及四则运算法则．

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

一元函数微分学

1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

2。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 (完整版)301数学一

第 2 页 共 10 页 4。会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒（Taylor)定理,了解并会用柯西（Cauchy)中值定理。

6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

数量的定义

数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理

中常称为标量。

向量的定义

既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n

维向量。α=（a1，a2，„，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α

的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

向量的表示

1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ „ 或a、b、

c „ 等来表示，手写用在a、b、c„等字母上加一箭头表示。

2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表

示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的

端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向

和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）

3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向

相同的两个单位向量i，j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意

向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，

有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对

（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标

表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。 向量的模和向量的数量

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

注：

1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。

2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于

向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>

向量CD”是没有意义的。

特殊的向量 单位向量

长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单

位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。 零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，

所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 相等向量

1 线性代数教学教案

第三章 向量组及其线性组合

授课序号01

教 学 基 本 指 标

教学课题 第三章 第一节 向量组及其线性组合 课的类型 新知识课

教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 向量组的线性组合、向量组的等价 教学难点 向量由向量组线性表示的判定方法、向量组等价的判定方法

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题

大纲要求 理解n维向量、向量组、向量组的线性组合、向量组等价的概念以及向量组与矩阵的对应

熟悉向量能由向量组线性表示的判断方法；

熟悉向量组B能由向量组A线性表示的判断方法和两向量组等价的判断方法。

教 学 基 本 内 容

一、 向量的概念及运算：

1. n维向量的定义：由n个数12,,,naaa组成的有序数组称为n维向量. 若n维向量写成

12naaa

的形式，称为n维列向量；若n维向量写成

12,,,naaa

的形式，称为n维行向量. 这n个数称为该向量的n个分量，其中ia称为第i个分量．

常用,,,…来表示n维列向量，而用TTT,,,…来表示n维行向量.

当12,,,naaa是复数时，n维向量称为n维复向量，当12,,,naaa是实数时，n维向量称为n维实向量，本书所讨论的向量都是实向量. 2 分量都是零的向量称为零向量，记为0，即0000=或0,0,,00=.

向量12naaa称为向量12naaa的负向量，记为.

2. 向量的运算：

由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：

设1122,nnababab，k，则有

（1）1122nnababab； （2）12nkakakka；我们称这两种运算为向量的线性运算.