高等数学空间向量与空间解析几何63页PPT

半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
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例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
.
2. 方向角与方向余弦
ijk, ij jk k i 0 ,
|i| |j| |k | 1 ,
ii jj k k 1 .
a
b
a x bx
ayby
azbz
.
a b |a |b ||co scos|a a||bb|,
由此得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az 2 bx2 by2 bz2
(2)a b 0 ab 证 () a b 0,|a|0, |b|0,
co s0, , a b .
() a a b b ,|a |b ||c 2 , 2o 0 c .o s s0,
.
2、数量积符合下列运算规律： (1) 交换律： a b b a (2) 分配律： ( a b ) c a c b c
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
|
c c|
2
j
5
15k.
.
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
.
第三节 平面及其方程
.
一、平面的点法式方程
对支点O
的力矩是一向量
M
，它的模
F
|M | |O|F |Q |
O
P
L
|O|F |P |s in
Q
M
的方向垂直于OP

( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :

《高数空间解析几何》 PPT课件
在本次课程中，我们将深入探讨高等数学中的空间解析几何知识，并通过精 美的PPT课件来呈现内容，帮助大家更好地学习与理解。
空间直角坐标系与向量
直角坐标系特点
定义直角坐标系、特点及应用 场景。
向量的概念与表示
介绍空间向量的概念、表示方 法以及向量的几何意义。
向量的加减与数量积
平面方程与性质
讨论空间平面的方程表达式和具体特性。
平面之间的位置关系
讲解空间中平面之间的相交、平行和垂直关系。
空间曲线与曲面
1
曲线的参数方程与极坐标方程
介绍空间曲线的参数方程和极坐标方程的表示方法。
2ห้องสมุดไป่ตู้
曲面的参数方程与二次曲面方程
讨论空间曲面的参数方程和二次曲面方程的特点和应用。
3
曲线与曲面的位置关系
结束语
通过本次课程的学习，相信大家已经对高数空间解析几何有了更深入的理解。 感谢大家的参与与支持！希望你们可以将所学知识应用到更广阔的领域中。
讲解向量的加减法和数量积的 性质与计算方法。
向量的线性相关与线性无关
介绍向量的线性相关与线性无关的概念以及相关的 定理。
向量的基底与坐标
讲解空间向量的基底与坐标系的概念及相关计算方 法。
空间直线与平面
直线方程与性质
解释空间直线的方程表达式和相关性质。
直线之间的位置关系
介绍空间中直线之间的相交、平行和垂直关系。
讲解空间曲线与曲面之间的相交、相切和位置关系。
三维几何应用
球面坐标与柱面坐标
探讨球面坐标系和柱面坐标系的定义和转换。
直线与平面的最小距离
介绍计算空间中直线与平面之间最小距离的公式和 应用。

LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第4 页
第 一 节
空空
间间
直直
角 坐 标
角 坐 标 系
系一
像讨论平面上曲线与方程的关系需要建立平面直角坐标系一样，讨 论空间几何图形与方程的关系也需要建立空间直角坐标系．
如左图所示，三条垂直相交且具有相同长 度单位的数轴，构成一个空间直角坐标系，交点 O称为坐标原点，这三条轴分别称为x轴〔横轴〕、 y轴〔纵轴〕和z轴〔竖轴〕．
看出，这个长方体对角线的长度就是点M1和M2之间的距离．
由于△M1NM2和 △M1PN都为直角三角形， M1M2和M1N为斜边，所以
| M1M 2 |2 | M1N |2 | NM 2 |2 ，| M1N |2 | M1P |2 | PN |2
于是有 | M1M 2 |2 | M1P |2 | PN |2 | NM 2 |2 由于 | M1P| | x2 x1 |，| PN | | y2 y1 | ，| NM 2 | | z2 z1 | 所以
坐标原点的坐标为(0,0,0)．
LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第8 页
第
一 节
空 间 两
空 间
点 之 间
直的
角距
坐离
标公 系式
二
设 M1(x1 ，y1 ，z1) 与 M 2 (x2 ，y2 ，z2 ) 是空间的两个点，过M1和M2各作三 个垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个长方体，如下图所示．可以
{(ax bx ) ，(ay by ) ，(az bz )}
a b (axi ay j az k ) (bxi by j bz k ) (ax bx ) i (ay by ) j (az bz )k

右手定则,即以右手握住z 轴,当右手的四个手指从 x轴正向以 角度转向 y 轴正向时,大拇指的指向就是z
2 轴的正向.
Ⅲ
yOz面
Ⅳ
xOy面
x
Ⅶ Ⅷ
z zOx面
Ⅱ
Ⅰ
•O
y
Ⅵ Ⅴ
二、空间两点间的距离公式
空间两点间的距离：P1( x1, y1, z1 )、P2( x2 , y2 , z2 )
z
P2
P1
ki j,
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
设 a ax i ay j az k , b bx i by j bz k , 则 ( ax i ay j az k ) (bx i by j bz k ) i j jk ki 0
(2) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
向量积的坐标表达式
设
a
axi
ay j
azk,
b bxi by j bzk
ab
(a
x
i
a
y
j
az k
)
(bxi
by
j
bzk )
i i j j k k 0,
i j k,
jk i,
第 七 章 向空 量间 代解 数析 几 何 与
目录
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 向量的坐标 第四节 向量的数量积与向量积 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 第七节 常见曲面的方程及图形
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系简介
三条垂直相交且具有相同长度单位的数轴,构成一 个空间直角坐标系,交点O称为坐标原点,这三条轴分别 叫做z 轴(横轴)、y 轴(纵轴)和x轴(竖轴).

b

3a

2
5

(1

3)a



1

5 2

1 5

5
b

2a

5
b.
2
例4 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
M
C B
AD AM MD MC BM BC
思考题二解答
D b
A
a
C
M
B
BC

AD

AM

MD
1
(a

b ).
2
DC

AB
AM
MB

1 2
(a

b ).
思考题三
设 m

i

j
，n

2 j

k
，求以向量
m , n为边的平行四边形的对角线的长度.
思考题三解答
n
对角线的长为 | m n |, | m n |,
（2）分配律：( )a a a
(a

b)

a


b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a

0，那末向量
b
平行于
a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
b

a.
证 充分性显然；

当
b
必要性
设 b‖
a

类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2

3.向量的线性运算
加法：平行四边形法则 数乘：大小与方向
4. 空间两向量的夹角的概念：
向 量 aa 与 0向 , 量 bb 的 0,夹 角
b
a
(a ,b )(b,a)
(0)
二、向量坐标及坐标线性运算
设a是以 M1( x1 , y1 , z1 )为起点、 M2 ( x2 , y2 , z2 )
1.球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面方程:
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
2. 旋转曲面：
如图 设M(x,y,z),
(1) zz1
（2）点M 到z轴的距离
dx2y2 |y1| x
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
（5）
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0 c
|c|
2
j
5
15k.
k
4 1j0 5k, 2
第八章 空间解析几何与向量代数
一、向量及其线性运算
1. 空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
2. 空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，则
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .

1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；


3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式

【例4】P11例8 uuur
方法2 :设 OA ( x, y, z)
则由
cos
3
uuxur |OA|
x
6
1 2
3
z
A
O
4 y
x3
cos
4
uuyur y 6 |OA|
2 3 2
2
uuur | OA | x2 y2 z2 6 z 3
A(3, 3 2, 3)
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18
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(3)
ar
r 0
则
若 0，则 ar 若ar 0，则
分配律.
r r0 ； 0.
见P4
.
(4)定理1.1：设
r a
r 0
,则
r a
/
r /b
1
r R, 使得b
ar
.
(5)与
r a
同向的单位向量为：er
ar o
ar r
.
|a|
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6
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
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§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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3
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一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
r rr
gi j k
r
ri 1 0 0
j0 1 0
r
k0 0 1
r
r

它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3

ay
j

az
k
标式.
向量线性运算规律
分解式

a
b

ax
bx
i

ay by
j

az
bz

k
a

(ax
)i

(a y
)
j

(az
)k
( 为常数)
坐标式

a

b

ax bx，ay by，az bz
a ax，ay，az
a

c

b

c
例题
设
a
2，b
3，(a，b)


，求(a

b)

(a

b)
与(a

b)

(a

b ).
3
解：
(a

b)

(a

b)

a

a

b

b

a 2

2 b
5
因为
a
b

a
b
c os(a，b )
b

a

b

3分配律
(a

b)

ca来自 c b

c
向量的混合积
设a
ax，ay，az ，b
bx，by，bz ，c
cx，cy，cz
,
则它们的混合积为：

a M 1 P M 1 Q M 1 P a x i a y j a z k
z
R
k M 1•
向 向向
•M 2
量 量量 在 在在
Q x yz
x
P
o
j
i
N
轴
y上
axx2x1
的 投
轴 上 的 投
轴 上 的 投
ay y2y1
az z2z1 影 影
影
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
利用坐标作向量的线性运算
a { ax,ay,az},b{bx,by,bz},
a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y ,a z b z }
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a x i,a yj,a zk ,
向量的坐标： ax, ay, az,
向量的坐标表达式：
a { a x ,a y ,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
三、向量的坐标表示
1. 起点在原点的向量(向径)OM
z zC
设点 M(x,y,z)
以 i, j,k分别表示沿x, y, z
k
轴正向的单位向量, 称为基本单
位向量. rOM = OA + AN +NM

解： 由 cos2+cos2+cos2 =1，且 = = ，有
3cos2=3cos2=3cos2 =1，从而
cos cos cos 1 或 cos cos cos 1
3
3
例4. 设有P1P2，已知|| P1P2||=2，且与x轴和y轴的夹角
分别为
3
和
解. 设 P1P2
的4 方，向若角P1为为(1, ,0,,3)，，有求P2的坐, 标 .
则力F 所作的功为 W=||F||cos ·||r||
定义1 对于向量a, b，数量
|| a |||| b || cosa, b
F
r
称为向量a与b的数量积；记为a·b.
这里0〈a, b〉 . 数量积亦称点 积或内积.
W = F·r
=〈a, b〉= 〈b, a〉
限定 0〈a, b〉 向量在轴 u 上的投影
设 a M1M 2
O
Pr ju M1M 2 u2 u1
a
b M2
a
M1
u1
u2
u
(1) Pr ju M1M 2 || M1M 2 || cos = ||a|| cos〈a, u〉
(2) Pr ju (a1 a2 an ) Pr jua1 Pr jua2 Pr juan
但 M1P P1P2
z
R2
R
M1Q Q1Q2 M1R R1R2
R1 M1
P
M2 Q
N
y
M1M 2
P1 O
Q1
Q2
P2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2 , Q1Q2 , R1R2 为 M1M 2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .