高等数学第空间向量与解析几何练习题+考研真题 Microsoft Word 文档 (5)

第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

第八章 空间解析几何与向量代数1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。

2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。

解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。

由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+22222222221522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。

3．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：{}{},2,1,120,23,2121--=---=M M 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。

4．已知{}1,5,3-=，{}3,2,2=，{}3,1,4--=，求下列各向量的坐标： (1)2；(2)-+；(3)432+-；(4).n m +解：(1) {}2,10,62-=；(2){}5,8,1=-+；(3){}23,0,16432-=+-； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2π，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。

考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷3(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知a 1 ={1，2，－3}，a 2 ={2，－3，x}，a 3 ={－2，x，6}．(Ⅰ)如a 1⊥a 2，则x= 1；(Ⅱ)如a 1∥a 3，则x= 2；(Ⅲ)如a 1，a 2，a 3共面，则x= 3．（分数：2.00）填空项1:__________________ 4或－6）解析：解析：(Ⅰ)a 1⊥a 2 a 1 .a 2 =0，故1.2+2.(－3)+(－3)x=0，得x= ．(Ⅱ)a 1∥a 3，得x=－4．(Ⅲ)a 1，a 2，a 3共面(a 1，a 2，a 3 )=0，故=0，得x=－4或－6．2.直线L 1：与直线L 2： 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L 1的方向向量S 1={1，－2，1}已知，对L 2应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求L 2的方向向量S 2．令y=t，直线L 2的参数方程是得到L 2的方向向量S 2={1，1，－2}．由于cosθ= ，所以L 1与L 2的夹角是3.与a 1 ={1，2，3}，a 2 ={1，－3，－2}都垂直的单位向量为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ ，1，－1}）解析：解析：用叉积，因为a×b按定义与a，b都垂直，而a 1×a 2= =5i+5j－5k，可见与a 1，a 2都垂直的向量是c=l(i+j－k)(l为任意常数)．再将其单位化即为所求．故应填：± {1，1，－1}．4.(Ⅰ)经过点P(1，2，－1)并且与直线L：1的方程是 1；(Ⅱ)经过点P及直线L 的平面∏ 2的方程是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(Ⅰ)x－3y－z+4=0）填空项1:__________________ （正确答案：(Ⅱ)6x+y+3x－5=0）解析：解析：(Ⅰ)由于L⊥∏ 1，L的方向向量S={－1，3，1}就是平面∏ 1的法向量，那么由点法式得∏ 1的方程是－(x－1)+3(y－2)+(z+1)=0，即 x－3y－z+4=0．(Ⅱ)点M(2，－4，－1)在直线L上，因而点M是平面∏ 2上的一点，于是={1，－6，0}与S是平面∏ 2上的两个不平行的向量，设Q(x，y，z)是平面∏ 2上的任一点，则P ，S共面，利用(7．11)有=0，即 6x+y+3x－5=0．5.(Ⅰ)经过点P(2，－3，1)且与平面∏：3x+y+5z+6=0垂直的直线L 1的方程是 1；(Ⅱ)经过点P且与直线L：垂直相交的直线L 2的方程是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：解析：(Ⅰ)由于L 1⊥∏，平面∏的法向量n={3，1，5}就是L 1的方向向量S，故有(Ⅱ)因L 2与L垂直相交，所以直线L 2在经过P点且以L的方向向量{3，4，5}为法向量的平面∏ 1上，则有∏ 1：3(x－2)+4(y+3)+5(z－1)=0，即3x+4y+5z+1=0．同时，L 2在经过P点且经过直线L的平面∏2上，于是有 L 2：=0，即 27x－4y－13z－53=0．故所求L 2的方程是6.两个平行平面∏ 1：2x－y－3z+2=0，∏ 2：2x－y－3z－5=0之间的距离是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：在平面∏ 1上任取一点，例如P 0 (－1，0，0)，P 0到∏ 2的距离就是∏ 1，∏ 2之间的距离，代入(7．21)得7.设(α×β).γ=2，则[(α+β)×(β+γ)].(γ+α)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：根据叉积有分配律等性质(7．8)有 (α+β)×(β+γ)=α×β+α×γ+β×γ．再利用点积有分配律等性质(7．7)及混合积的性质(7．9)即得原式=(α×β).γ+(β×γ).α=2(α，β，γ)=4．【注】(β，γ，γ)，(α，β，α)，…是共面向量的混合积，全是零．8.与直线L 1：及直线L 2： 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x－y+z=0）解析：解析：直线L 1，L 2的方向向量分别是S 1 ={0，1，1}与S 2 ={1，2，1}，设P(X，y，z)是平面∏上任一点，则，S 1，S 2共面，故混合积( ，S 1，S 2 )=0，即=－x+y－z=0，亦即 x－y+z=0．9.经过两个平面∏ 1：x+y+1=0，∏ 2：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏ 3：2x－y－z=0垂直的平面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x+4(y+1)+2(z－1)=0）解析：解析：用点法式．设平面∏的法向量是n={A，B，C}，由于∏，∏ 1，∏ 2交于一条公共直线，所以法向量n，n 1，n 2共面，且n可由n 1，n 2线性表出，故可设n=tn 1 +un 2．因为∏⊥∏ 3，故n.n 3=0，即2(t+u)－(t+2u)－2u=0，取t=2，u=1，得到法向量n={3，4，2}．联立∏ 1，∏ 2，求交点得(0，－1，1)是平面∏上一点，从而由点法式得∏： 3x+4(y+1)+2(z－1)=0．10.经过点A(－1，0，4)，与直线L 1：及L 2：L的方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：所求直线L在过A点且过直线L 1的平面∏ 1上，也在过A点且过直线L 2的平面∏ 2上由于点O(0，0，0)在直线L 1上，那么={－1，0，4}与S 1 ={1，2，3}是平面∏ 1上的两个向量，设P(x，y，z)是∏ 1上任一点，则=0，于是有∏ 1的方程=8x－7y+2z=0．类似地，B(1，2，3)在直线L 2上，共面，得∏ 2的方程=9x－10y－2z+17=0．故所求的方程为11.经过点A(－1，2，3)，垂直于直线L7X+8Y+9z+10=0平行的直线方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏ 1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏ 2上．∏ 1：4(x+1)+5(y－2)+6(Z－3)=0，∏ 2：7(x+1)+8(y－2)+9(z－3)=0，故所求直线方程为二、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分：110.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|．B.(B) |a-b|=|a|-|b|．C.(C) |a+b|=|a-b|．√D.(D) a+b=a-b．解析：[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[分析] (A)是绕x轴旋转而成； (B)是绕y旋转而成； (D)是绕z轴旋转而成． (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)．B.(B) (2，1，2)．√C.(C) (-1，-2，2)．D.(D) (-2，-1，2)．解析：[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)．B.(B) (1，-4，2)．C.(C) (2，-2，2)．√D.(D) (4，-1，2)．解析：[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M0(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。

考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷1(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：设所求直线的方向向量为s，直线的方向向量为s 1=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为n=(7，8，9)，故由点法式方程知，所求直线为整理得，应选(A)．3.设有直线则L 1与L 2的夹角为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由已知条件，L 1的方向向量为s 1 =(1，一2，1)．4.设有直线Lπ：4x一2y+z一2=0，则直线L( )（分数：2.00）A.平行于π．B.在π上．C.垂直于π．√D.与π斜交．解析：解析：L一28，14，一7)=7(一4，2，一1)．π的法向量n=(4，一2，1)．显然s∥n，所以选(C)．5.如果直线L 1：相交，则λ（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由已知，L 1的方向向量s 1 =(1，2，λ)，且过点A(1，一1，1)；L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，且过点B(一1，1，0)．若L 1与L 2相交，则s 1，s 2，共面，即6.π：2x+7y+4z一1=0，则( )（分数：2.00）A.L 1∥π．√B.L 1⊥πC.L 2∥π．D.L 1⊥L 2．解析：解析：L 1的方向向量s 1=(一1，2，一3)．L 2的方向向量s 2=(3，1，2)．π的法向量n=(2，7，4)，由于s 1 .n=一1×2+2×7—3×4=0，故L 1∥π，从而应选(A)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b|=5，a和b A=λa+17b与B=3a一b垂直，则系数λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：由已知，A.B=0，于是(λa+17b).(3a—b)=0，即3λ|a| 2 +(51一λ)a.b一17|b| 2 =0，亦即12λ+(51一λ一425=0，解得λ=40．三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学向量代数与空间解析几何测试题库ABC第八章向量代数与空间解析几何自测题 A卷一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则(1) 向量AB的方向余弦为__________, 单位向量为____________________.(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},(1) (a b)(a b)_________________.(2) (a b )(a b)_________________.3.曲面x2y 2z21 的名称是 __________ __________ _____ . 125164.曲线y x21绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 _________________________. z05.点(1,2,0)在平面 x 2y z 1 0上的投影点是 __________ __________ _____ .二、选择题（每题 3 分，共15 分）1. 点M(2,3,1) 关于坐标原点的对称点是( A)( 2,3,1) ;(B )(2,3,1) ;(C )(2, 3, 1);(D ) (2,3,1) .2. 设 a {1, 1,1}, b{ 2,1, 1} ,为非零常数，若 a b a , 则等于( ).( A)3(B)3(C)22 ;;;(D). 22333. 设三向量 a , b , c 满足关系式 a b a c, 则( A)必有 a0或 b c;(B)必有 a b c0 ;(C)当 a0 时，必有 b c;(D)必有 a(b c ) .4. 方程 ( z a) 2x 2y2表示平面上曲线(z a)2y2 绕x轴旋转所得曲面;( A) yoz平面上曲线( z a)2x2 绕y轴旋转所得曲面;(B ) xoz(C ) xoz平面上直线z a x 绕 z 轴旋转所得曲面;(D ) yoz平面上直线z a y 绕 y 轴旋转所得曲面。

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。