高等数学第空间向量与解析几何练习题+考研真题 Microsoft Word 文档 (5)

x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
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【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
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又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
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2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
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A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章 向量代数和空间解析几何
一、选择题
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1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（ ）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（ ）。
A．平行于∏
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第五章向量代数与空间解析几何5。

1。

1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。

因为＝－，所以（a＋b）。

图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。

（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。

2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。

解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。

5.2。

2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。

解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。

2
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改空间解析几何与矢量代数小练习一 填空题 5’x9=45分1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________.2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面.5、方程22x y z +=表示______________曲面.6、222x y z +=表示______________曲面.7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形.二 计算题 11’x5=55分1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点(1,2,3)且平行于直线51132-=-=z y x 的直线方程.4、求过点(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方5、已知：k i OA 3+=，k j OB 3+=，求OAB ∆的面积。

参考答案一 填空题1、⎩⎨⎧⎭⎬⎫-±116,117,1162、21M M =2,21cos ,22cos ,21cos ==-=γβα,3,43,32πγπβπα=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、04573=-+-z y x2、029=--z y3、531221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x5 219==∆S最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改赠人玫瑰，手留余香。

第八章 空间解析几何与向量代数1．自点()0000,,z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

解：按作图规则作出空间直角坐标系，作出如图平行六面体。

xoy D P ⊥0平面，垂足D 的坐标为()0,,00y x ；yoz E P ⊥0平面，垂足E 的坐标为()00,,0z y ；zox F P ⊥0平面，垂足F 的坐标为()00,0,z x ；x A P ⊥0轴，垂足A 的坐标为()0,0,0x ；y B P ⊥0轴，垂足B 的坐标为()0,,00y ； z C P ⊥0轴，垂足C 的坐标为()0,0,0z 。

2．在yoz 平面上，求与三点()2,1,3A 、()2,2,4--B 和()1,5,0C 等距离的点。

解：设所求点为(),,,0z y P 则()()2222213||-+-+=z y PA ， ()()2222224||++++=z y PB ，()()22215||-+-=z y PC 。

由于P 与A 、B 、C 三点等距，故222||||||PC PB PA ==，于是有：()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+22222222221522415213z y z y z y z y ， 解此方程组，得1=y ，2-=z ，故所求的点为()2,1,0-P 。

3．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。

解：由题设知：{}{},2,1,120,23,2121--=---=M M 则()(),2211222=-++-=21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，于是，32πα=，3πβ=，43πγ=。

4．已知{}1,5,3-=，{}3,2,2=，{}3,1,4--=，求下列各向量的坐标： (1)2；(2)-+；(3)432+-；(4).n m +解：(1) {}2,10,62-=；(2){}5,8,1=-+；(3){}23,0,16432-=+-； (4){}.3,25,23n m n m n m b n a m +-++=+5．设向量的方向余弦分别满足(1)0cos =α；(2)1cos =β；(3)0cos cos ==βα，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解：(1)0cos =α，向量与x 轴的夹角为2π，则向量与x 轴垂直或平行于yoz 平面；(2)1cos =β，向量与y 轴的夹角为0，则向量与y 轴同向；(3)0cos cos ==βα，则向量既垂直于x 轴，又垂直于y 轴，即向量垂直于xoy 面。

考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷3(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知a 1 ={1，2，－3}，a 2 ={2，－3，x}，a 3 ={－2，x，6}．(Ⅰ)如a 1⊥a 2，则x= 1；(Ⅱ)如a 1∥a 3，则x= 2；(Ⅲ)如a 1，a 2，a 3共面，则x= 3．（分数：2.00）填空项1:__________________ 4或－6）解析：解析：(Ⅰ)a 1⊥a 2 a 1 .a 2 =0，故1.2+2.(－3)+(－3)x=0，得x= ．(Ⅱ)a 1∥a 3，得x=－4．(Ⅲ)a 1，a 2，a 3共面(a 1，a 2，a 3 )=0，故=0，得x=－4或－6．2.直线L 1：与直线L 2： 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L 1的方向向量S 1={1，－2，1}已知，对L 2应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求L 2的方向向量S 2．令y=t，直线L 2的参数方程是得到L 2的方向向量S 2={1，1，－2}．由于cosθ= ，所以L 1与L 2的夹角是3.与a 1 ={1，2，3}，a 2 ={1，－3，－2}都垂直的单位向量为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ ，1，－1}）解析：解析：用叉积，因为a×b按定义与a，b都垂直，而a 1×a 2= =5i+5j－5k，可见与a 1，a 2都垂直的向量是c=l(i+j－k)(l为任意常数)．再将其单位化即为所求．故应填：± {1，1，－1}．4.(Ⅰ)经过点P(1，2，－1)并且与直线L：1的方程是 1；(Ⅱ)经过点P及直线L 的平面∏ 2的方程是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(Ⅰ)x－3y－z+4=0）填空项1:__________________ （正确答案：(Ⅱ)6x+y+3x－5=0）解析：解析：(Ⅰ)由于L⊥∏ 1，L的方向向量S={－1，3，1}就是平面∏ 1的法向量，那么由点法式得∏ 1的方程是－(x－1)+3(y－2)+(z+1)=0，即 x－3y－z+4=0．(Ⅱ)点M(2，－4，－1)在直线L上，因而点M是平面∏ 2上的一点，于是={1，－6，0}与S是平面∏ 2上的两个不平行的向量，设Q(x，y，z)是平面∏ 2上的任一点，则P ，S共面，利用(7．11)有=0，即 6x+y+3x－5=0．5.(Ⅰ)经过点P(2，－3，1)且与平面∏：3x+y+5z+6=0垂直的直线L 1的方程是 1；(Ⅱ)经过点P且与直线L：垂直相交的直线L 2的方程是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：解析：(Ⅰ)由于L 1⊥∏，平面∏的法向量n={3，1，5}就是L 1的方向向量S，故有(Ⅱ)因L 2与L垂直相交，所以直线L 2在经过P点且以L的方向向量{3，4，5}为法向量的平面∏ 1上，则有∏ 1：3(x－2)+4(y+3)+5(z－1)=0，即3x+4y+5z+1=0．同时，L 2在经过P点且经过直线L的平面∏2上，于是有 L 2：=0，即 27x－4y－13z－53=0．故所求L 2的方程是6.两个平行平面∏ 1：2x－y－3z+2=0，∏ 2：2x－y－3z－5=0之间的距离是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：在平面∏ 1上任取一点，例如P 0 (－1，0，0)，P 0到∏ 2的距离就是∏ 1，∏ 2之间的距离，代入(7．21)得7.设(α×β).γ=2，则[(α+β)×(β+γ)].(γ+α)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：根据叉积有分配律等性质(7．8)有 (α+β)×(β+γ)=α×β+α×γ+β×γ．再利用点积有分配律等性质(7．7)及混合积的性质(7．9)即得原式=(α×β).γ+(β×γ).α=2(α，β，γ)=4．【注】(β，γ，γ)，(α，β，α)，…是共面向量的混合积，全是零．8.与直线L 1：及直线L 2： 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x－y+z=0）解析：解析：直线L 1，L 2的方向向量分别是S 1 ={0，1，1}与S 2 ={1，2，1}，设P(X，y，z)是平面∏上任一点，则，S 1，S 2共面，故混合积( ，S 1，S 2 )=0，即=－x+y－z=0，亦即 x－y+z=0．9.经过两个平面∏ 1：x+y+1=0，∏ 2：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏ 3：2x－y－z=0垂直的平面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x+4(y+1)+2(z－1)=0）解析：解析：用点法式．设平面∏的法向量是n={A，B，C}，由于∏，∏ 1，∏ 2交于一条公共直线，所以法向量n，n 1，n 2共面，且n可由n 1，n 2线性表出，故可设n=tn 1 +un 2．因为∏⊥∏ 3，故n.n 3=0，即2(t+u)－(t+2u)－2u=0，取t=2，u=1，得到法向量n={3，4，2}．联立∏ 1，∏ 2，求交点得(0，－1，1)是平面∏上一点，从而由点法式得∏： 3x+4(y+1)+2(z－1)=0．10.经过点A(－1，0，4)，与直线L 1：及L 2：L的方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：所求直线L在过A点且过直线L 1的平面∏ 1上，也在过A点且过直线L 2的平面∏ 2上由于点O(0，0，0)在直线L 1上，那么={－1，0，4}与S 1 ={1，2，3}是平面∏ 1上的两个向量，设P(x，y，z)是∏ 1上任一点，则=0，于是有∏ 1的方程=8x－7y+2z=0．类似地，B(1，2，3)在直线L 2上，共面，得∏ 2的方程=9x－10y－2z+17=0．故所求的方程为11.经过点A(－1，2，3)，垂直于直线L7X+8Y+9z+10=0平行的直线方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏ 1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏ 2上．∏ 1：4(x+1)+5(y－2)+6(Z－3)=0，∏ 2：7(x+1)+8(y－2)+9(z－3)=0，故所求直线方程为二、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分：110.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：11，分数：22.00)1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（分数：2.00）A.(A) |a+b|=|a|+|b|．B.(B) |a-b|=|a|-|b|．C.(C) |a+b|=|a-b|．√D.(D) a+b=a-b．解析：[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[分析] (A)是绕x轴旋转而成； (B)是绕y旋转而成； (D)是绕z轴旋转而成． (A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为（分数：2.00）A.(A) (1，2，2)．B.(B) (2，1，2)．√C.(C) (-1，-2，2)．D.(D) (-2，-1，2)．解析：[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为（分数：2.00）A.(A) (-2，2，2)．B.(B) (1，-4，2)．C.(C) (2，-2，2)．√D.(D) (4，-1，2)．解析：[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M0(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。

考研数学二（向量代数和空间解析几何）-试卷1(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：设所求直线的方向向量为s，直线的方向向量为s 1=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量为n=(7，8，9)，故由点法式方程知，所求直线为整理得，应选(A)．3.设有直线则L 1与L 2的夹角为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：由已知条件，L 1的方向向量为s 1 =(1，一2，1)．4.设有直线Lπ：4x一2y+z一2=0，则直线L( )（分数：2.00）A.平行于π．B.在π上．C.垂直于π．√D.与π斜交．解析：解析：L一28，14，一7)=7(一4，2，一1)．π的法向量n=(4，一2，1)．显然s∥n，所以选(C)．5.如果直线L 1：相交，则λ（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由已知，L 1的方向向量s 1 =(1，2，λ)，且过点A(1，一1，1)；L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，且过点B(一1，1，0)．若L 1与L 2相交，则s 1，s 2，共面，即6.π：2x+7y+4z一1=0，则( )（分数：2.00）A.L 1∥π．√B.L 1⊥πC.L 2∥π．D.L 1⊥L 2．解析：解析：L 1的方向向量s 1=(一1，2，一3)．L 2的方向向量s 2=(3，1，2)．π的法向量n=(2，7，4)，由于s 1 .n=一1×2+2×7—3×4=0，故L 1∥π，从而应选(A)．二、填空题(总题数：1，分数：2.00)7.已知|a|=2，|b|=5，a和b A=λa+17b与B=3a一b垂直，则系数λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：40）解析：解析：由已知，A.B=0，于是(λa+17b).(3a—b)=0，即3λ|a| 2 +(51一λ)a.b一17|b| 2 =0，亦即12λ+(51一λ一425=0，解得λ=40．三、解答题(总题数：15，分数：30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学向量代数与空间解析几何测试题库ABC第八章向量代数与空间解析几何自测题 A卷一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则(1) 向量AB的方向余弦为__________, 单位向量为____________________.(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},(1) (a b)(a b)_________________.(2) (a b )(a b)_________________.3.曲面x2y 2z21 的名称是 __________ __________ _____ . 125164.曲线y x21绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 _________________________. z05.点(1,2,0)在平面 x 2y z 1 0上的投影点是 __________ __________ _____ .二、选择题（每题 3 分，共15 分）1. 点M(2,3,1) 关于坐标原点的对称点是( A)( 2,3,1) ;(B )(2,3,1) ;(C )(2, 3, 1);(D ) (2,3,1) .2. 设 a {1, 1,1}, b{ 2,1, 1} ,为非零常数，若 a b a , 则等于( ).( A)3(B)3(C)22 ;;;(D). 22333. 设三向量 a , b , c 满足关系式 a b a c, 则( A)必有 a0或 b c;(B)必有 a b c0 ;(C)当 a0 时，必有 b c;(D)必有 a(b c ) .4. 方程 ( z a) 2x 2y2表示平面上曲线(z a)2y2 绕x轴旋转所得曲面;( A) yoz平面上曲线( z a)2x2 绕y轴旋转所得曲面;(B ) xoz(C ) xoz平面上直线z a x 绕 z 轴旋转所得曲面;(D ) yoz平面上直线z a y 绕 y 轴旋转所得曲面。

空间解析几何与矢量代数小练习一填空题 5 ’x9=45 分1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.5、方程x2 y2 z 表示______________曲面.6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 .7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 .二计算题11 ’x5=55 分1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 54、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方3x 05、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。

1参考答案一 填空题1、6 ,7 ,611 11 112、 M 1 M 2 =2, cos1,cos2,cos1 ,2 ,3 ,2223433、 ( x 1) 2( y3) 2 ( z2) 2144、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为6 的球面5、旋转抛物面6、 圆锥面7、 抛物柱面二 计算题1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、x 1y 2 z34、 16x 14y 11z 65 02155 S1OA OB 19222。

题型1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程5.曲线方程、曲面方程内容一．向量的概念及其运算1.向量的概念 6.数乘向量2.向量的模7.向量的数量积3.单位向量8.向量的向量积4.方向角9.向量的混合积5.向量的加减运算10.向量之间的关系二．平面与直线1.平面方程2.直线方程3.平面束4.两平面的位置关系5.平面与直线的位置关系6.两直线的位置关系7.点到平面的距离三．曲面方程1.球面方程2.柱面方程3.旋转方程4.锥面5.其他二次曲面四．空间曲线方程1.空间曲线的一般方程（面交式）2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在平面上的投影方程典型例题向量I 向量的概念与运算向量II 平面与直线方程向量III 曲面与空间曲线方程自测题七综合题与方法相结合4月6日向量练习题基础题：1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ）A ）5B ） 3C ） 6D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ;A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）-2i -j +5k4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ）A ）5焦耳B ）10焦耳C ）3焦耳D ）9焦耳5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ ）A ）-i -2j +5kB ）-i -j +3kC ）-i -j +5kD ）3i -3j +3k7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ）A ）362B ）364C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。

向量代数与空间解析几何第一部分 向量代数___线性运算［内容要点］:1. 向量的概念.2. 向量的线性运算.3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.［本部分习题］1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限。

(2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C ---2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标。

3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离。

4. 一向量的起点为(1,4,2)A -，终点为(1,5,0)B -，求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。

5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M −−→的模、方向余弦和方向角。

6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→-+及其单位向量.7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量.第二部分 向量代数___向量的“积"［内容要点］:1。

向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算规律。

2。

向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。

3.向量垂直、平行、共面的条件.［本部分习题]1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1);(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→⋅⨯2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)();a b c a b c a b c →→→→→→→→→⨯⋅⨯⨯⨯⨯3． 利用向量证明不等式112233a b a b a b ≥++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件.4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值，使得：（1)a b λ→→+与z 轴垂直；(2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→+取最大值。

考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷1(总分：48.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知a，b均为非零向量，(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，则向量a与b的夹角为(（分数：2.00）A.B. √C.D.3.设a，b，c为非零向量，且a=b×c，b=c ×a，c=a×b，则｜a｜+｜b｜+｜c｜=( )（分数：2.00）A.0．B.1．C.2．D.3．√解析：解析：由题设知a，b，c两两相互垂直，则｜a｜=｜b×c｜=｜b｜｜c｜，｜b｜=｜a｜｜c｜，｜c｜=｜a｜｜b｜，由此可得｜a｜=｜b｜=｜c｜=1，故｜a｜+｜b｜+｜c｜=3．4.已知曲面z=4一x 2一y 2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，一1，2)．B.(一1，1，2)．C.(1，1，2)．√D.(一1，一1，2)．解析：解析：由面z=4一x 2一y在点(x 0，y 0，z 0 )处的法线向量为(2x 0，2y 0，1)．由题设知，则x=y=1，代入z=4一x 2一y 2得z=2，故选C。

5.已知向量a，b的模分别为｜a｜=2，｜b｜ a.b=2，则｜a×b｜=( )（分数：2.00）A.2．√D.1．6.已知直线L 1：x+1=y一1=z与直线L 2：λ等于( )（分数：2.00）A.0．B.1．C.√解析：解析：直线：L 1：x+1=y一1=z的方向向量为s 1 =(1，1，1)，直线L 2：的方向向量为s 2=(1，2，λ)．显然s 1与s 2不平行，则L 1与L 2相交于一点的充要条件是L 1与L 2共面，即7.直线1：( )（分数：2.00）A.L 1∥L 2．√B.L 1与L 2相交但不垂直．C.L 1⊥L 2且相交．D.L 1，L 2是异面直线．8.函数f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（分数：2.00）．√C.117．D.107．解析：解析：函数f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模． gradf(0，1，1)=(0，6，9)，故选B．9.设可微函数f(x，y，z)在点(x 0，y 0，z 0 )处的梯度向量为g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数f(x，y，z)在点(x 0，y 0，z 0 )处沿l方向的方向导数等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：设l的方向余弦为cosα，cosβ，cosγB．10.在曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条．B.只有两条．√C.至少有三条．D.不存在．解析：解析：曲线x=t，y=一t 2，z=t 3在点t=t 0处的切向量为t=(1，一2t 0，3t 02)．平面x+2y+z=4的法线向量为n=(1，2，1)．由题设知n上t，即1—4t 0 +3t 02 =0，则t 0 =1或t 0，故选B．11.设L是圆周x 2 +y 2 =1，n为L的外法线向量，u(x，( )（分数：2.00）A.0．√C.π．D.一π．解析：解析：(n，y)，这里的cos(n，x)，cos(n，y)为曲线L的外法线向量的方向余弦，设t为L的逆时针方向的切线向量，则cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=—cos(f，x)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.过(1，1，一1)，(一2，一2，2)和(1，一1，2)三点的平面方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x一3y一2z=0）解析：解析：设已知的三个点分别是A(1，1，一1)，B(一2，一2，2)和C(1，一1，2)，因此可知向量=(0，一2，3)．平面的法向量n与以上两个向量垂直，因此=3i一9j一6k=(3，一9，一6)，由点法式可得3(x一1)一9(y一1)一6(z+1)=0，化简得x一3y一2z=0．13.经过平面∏ 1：x+y+1=0与平面∏ 2：x+2y+2z=0的交线，并且与平面∏ 3：2x—y—z=0垂直的平面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3x+4y+2z+2=0）解析：解析：联立∏ 1与∏ 2的方程取x=0，可得点P 0 (0，一1，1)．由所求平面∏过点P 0且π1，π2交线的方向向量s与n 3 =(2，一1，一1)垂直，因此故π的方程为3z+4y+2z+2=0．14. 1，（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x—y+z=0）解析：解析：设所求平面方程是Ax+By+Cz+D=0A=t，B=一t，C=t．则所求平面方程是tx—ty+tz+0=0，即x一y+z=0．15.若α∥β，α={6，3，一2}，而｜β｜=14，则β= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±2{6，3，一2}）解析：解析：设β=λα，则｜β｜=｜λ｜｜α｜，即解得｜λ｜=2，故β=±2{6，3，一2}．16.设(a×b).c=2，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a) =[(a+b)×b].(C+a)+[(a+b)×c].(c+a) =(a×b).c+(b×c).a=(a×b).c+(a×b).c=4．17.若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行四边形的面积S= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令=θ，则以α，β18.已知三个向量a，b，c，其中c⊥a，c⊥b，a与b｜a｜=6，｜b｜=｜c｜=3，则(a×b).c= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：±27）解析：解析：由题设可知｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin(a，．由于c⊥a，c⊥b，则c∥(a×b)，即c与a×b之间夹角为α=0或π．因此，(a×b).c=｜a×b｜｜c｜cosα=9×3×(±1)==±27．。

考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷1(总分88,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是( )A. (1，一1，2)B. (一1，1，2)C. (1，1，2)D. (一1，一1，2)2. 设平面方程为Ax+Cz+D=0，其中A，C，D均不为零，则平面( )A. 平行于x轴B. 平行于y轴C. 经过x轴D. 经过y轴3. 已知向量的始点A(4，0，5)，的方向余弦为则B的坐标为( )A. (10，一2，1)B. (一10，一2，1)C. (10，2，1)D. (10，一2，一1)4. 双曲线绕z轴旋转而成的曲面的方程为( )A.B.C.5. 已知等边三角形△ABC的边长为1，目则a.b+b.c+c.a= ( )A.B.C.D.6. 过点P(2，0，3)且与直线垂直的平面的方程是( )A. (x一2)一2(y—0)+4(z一3)=0B. 3(x一2)+5(y—0)一2(z一3)=0C. 一16(x一2)+14(y—0)+11(z一3)=0D. 一16(x+2)+14(y一0)+11(z一3)=07. 已知且a与b不平行，则以OA、OB为邻边的平行四边形□OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A.B.C.D.8. 已知，则｜a+b｜= ( )A. 1B.C. 29. 曲线x2+y2+z2=a2与x2+y2=2ax(a>0)的交线是( )A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆10. 设直线L为平面π为4x一2y+z一2=0，则( )A. L平行于πB. L在π上C. L垂直于πD. L与π相交但不垂直11. 曲面上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为( )A. 48B. 64C. 36D. 1612. 设a，b，c为非零向量，则与a不垂直的向量是( )A. (a.c)b一(a.b)cB.C. a×bD. a+(a×b)×a13. 与直线及直线都平行，且过原点的平面π的方程为( )A. x+y+z=0B. x一y+z=0C. x+y—z=0D. x—y+z+2=014. 直线与平面π：x-y+2z+4=0的夹角为( )A. πB.C.15. 曲线在平面xOy上的投影柱面方程是( )A. x2+20y2-24x-116=0B. 4y2+4z2一12z-7=0C.D.16. 曲面上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为( )A. aB.C. 0D.2. 填空题1. 设A=2a+b，B=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若A⊥B，则k=_________．2. 点(-1，2，0)在平面x+2y-z+1=0上的投影为________．3. 点(1，2，1)到平面．x+2y+2z-13=0的距离是_________．4. 已知，则u=2a一3b的模｜u｜=_________．5. 过三点A(1，1，一1)，B(-2，一2，2)和C(1，一1，2)的平面方程是______．6. 三平面x+3y+z=1，2x—y-z=0，一x+2y+2z=3的交点是________．7. xOz坐标面上的抛物线z2=x一2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是___________．8. 设a=(3，一5，8)，b=(-1，1，z)，｜a+b｜=｜a-b｜，则z=_________．9. 向量a=(4，一3，4)在向量b=(2，2，1)上的投影为_________．10. 已知向量a=(2，一1，一2)，b=(1，1，z)，则使a和b的夹角(a^b)达到最小的z为________．11. 已知△ABC的顶点坐标为A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当z=___________时，△ABC的面积最小．12. 设a，b，c的模｜a｜=｜b｜=｜c｜=2，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_________．13. 过直线且和点(2，2，2)的距离为的平面方程是_______．14. 曲面z一ez+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

空间几何与向量练习题及解析一、选择题1. 已知向量A = 3A + 2A− A，向量A= −2A + A + 3A，求A与A的数量积A·A的值为：A. 1B. -1C. -10D. 10解析：数量积公式为：A·A = AAAA + AAAA + AAAA，其中AA、AA、AA分别表示向量A和A的A、A、A分量的乘积。

带入已知的A和A的分量进行计算：A·A = (3)(-2) + (2)(1) + (-1)(3) = -6 + 2 - 3 = -7答案：选项A. 12. 在空间直角坐标系中，已知点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)，向量A的末端与向量A的起点重合，A·A的值为：A. 3B. 17C. 11D. -9解析：点A(2, 1, 3)和点A(-1, 4, 2)可以确定唯一的向量A和A。

根据数量积A·A的定义，可以先求出A和A的分量，然后进行运算：A·A = (2)(-1) + (1)(4) + (3)(2) = -2 + 4 + 6 = 8答案：选项B. 17二、填空题1. 设向量A = 2A + 3A− A，向量A = 4A + A，若A = A + AAA，则A和A分别为______、______。

解析：根据已知条件，A的A分量为-1，而A的A分量为1。

因此A = 4，A = -1。

答案：4、-12. 已知点A(1, 2, 3)和点A(4, -1, -2)，则向量AA的大小为________。

解析：向量AA可以由终点坐标减去起点坐标得到，即AA = (4-1)A + (-1-2)A + (-2-3)A = 3A - 3A - 5A。

根据向量的模的定义，可以得到：|AA| = √((3)^2 + (-3)^2 + (-5)^2) = √(9 + 9 + 25) = √43答案：√43三、计算题1. 已知向量A = 3A - 2A + 4A，向量A = A + A，求向量A与向量A 的夹角A的余弦值cos A。

考研数学一（向量代数与空间解析几何）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设a与b为非零向量，则a×b=0是 ( )（分数：2.00）A.a=b的充要条件B.a⊥b的充要条件C.a∥b的充要条件√D.a∥b的必要但不充分条件解析：解析：选项A中a=b只是a×b=0的充分条件，不是必要的；选项B中a⊥b是a.b=0的充要条件；选项D显然是错误的(只要a∥b，必有a×b=0)；选项C是正确的：如果a∥b，显然a×b=0．如果a×b=0，当a，b有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故a∥b正确，当n，b都为非零向量时，由于0=｜a×b｜=｜a｜｜b｜sm(a^b)，而｜a｜≠0，｜b｜≠0，从而sin(a^b)=0，a∥b.3.若非零向量a，b满足关系式｜a—b｜=｜a+b｜，则必有 ( )（分数：2.00）A.a一b=a+bB.a=bC.a.b=0 √D.a×b=0解析：解析：｜a—b｜2 =(a一b).(a一b)=｜a｜2 +｜b｜2一2a.b，｜a+b｜2 =(a+b).(a+b)=｜a｜2 +｜b｜2 +2a.b，从｜a—b｜=｜a+b｜即知一2a.b=2a.b，4a.b=0，所以a.b=0．或者由向量加减运算的几何意义，a一b与a+b分别表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的两对角线长度相等时，必是矩形，即知a⊥b，a.b=0．应选C．4.已知向量，且a与b ( )（分数：2.00）√解析：解析：先把a、b单位化．则易知，a 0 +b 0是a、b为边的角平分线上的向量，它的单位向量是应选D．5. ( )（分数：2.00）√解析：解析：两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在L 1上取点M 1(x 1，y 1，z 1 )，则M 1到L 2的距离(如图1．4—2所示) 其中M 2 (x 2，y 2，x 2 )是L 2上的点，s 2是L 2的方向向量．所以应选D．6.若a⊥b，a，b均为非零向量，x是非零实数，则有 ( )（分数：2.00）A.｜a+xb｜>｜a｜+｜x｜｜b｜B.｜a｜一xb｜<｜a｜—｜x｜｜b｜C.｜a+xb｜>｜a｜√D.｜a一xb｜<｜a｜解析：解析：｜a+xb｜2 =(a+xb).(a+xb)=｜a｜2 +2xa.b+x 2｜b｜2 =｜a｜2 +x 2｜b｜2＞｜a｜2，所以｜a+b｜xb＞｜a｜．应选C．7.已知a≠0，b≠0，c≠0，且a，b，c互相垂直，则向量r=xa+yb+zc的模为 ( )（分数：2.00）A.｜r｜=x｜a｜+y｜b｜+z｜c｜B.｜r｜=｜xa｜+｜yb｜+｜zc｜√解析：解析：｜r｜2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc)=x 2｜a｜2+y 2｜b｜2+z 2｜c｜2，所以选D．8.设c=αa+βb，a，b为非零向量，且a与b不平行．若这些向量起点相同，且a，b，c的终点在同一直线上，则必有 ( )（分数：2.00）A.αβ≥0B.αβ≤0C.α+β=1 √D.α2 +β2 =1解析：解析：依题意，αa+βb一b与αa+βb一a平行，从而有(αa+βb－b)×(αa+βb一α)=0，即αβa×b+αβb×a—βb×a一ab×a+b×a=0．因为a×b=一b×a，所以从上式可得(α+β)b×a=b×a．又a与b不平行，a×b≠0，故得α+β=1．应选C．9.设y(x)是微分方程y"＋(x一1)y"＋x 2y＝e x满足初始条件y(0)＝0，y"(0)＝1的解，则)．（分数：2.00）A.等于1 √B.等于2C.等于0D.不存在解析：解析：微分方程y"＋(x一1)y"＋x 2 y＝e x中，令x＝0，则y"(0)＝2，10.二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特解形式为( )．（分数：2.00）A.(ax＋b)e －xB.x 2 e －xC.x 2 (ax＋b)e －xD.x(ax＋b)e －x√解析：解析：方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特征方程为λ2一2λ一3＝0，特征值为λ1＝一1，λ2＝3，故方程y"一2y"一3y＝(2x＋1)e －x的特解形式为x(ax＋b)e －x，选(D)．11.设φ1 (x)，φ2 (x)，φ3 (x)为二阶非齐次线性方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．（分数：2.00）A.C 1 [φ1 (x)＋φ2 (x)]＋C 2φ3 (x)B.C 1 [φ1 (x)一φ2 (x)]＋C 2φ3 (x)C.C 1 [φ1 (x)＋φ2 (x)]＋C 2 [φ1 (x)一φ3 (x)]D.C 1φ1 (x)＋C 2φ2 (x)＋C 3φ3 (x)，其中C 1＋C 2＋C 3＝1 √解析：解析：因为φ1 (x)，φ2 (x)，φ3 (x)为方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)一φ3 (x)，φ2 (x)一φ3 (x)为方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝0的两个线性无关解，于是方程y"＋a 1 (x)y"＋a 2 (x)y＝f(x)的通解为 C 1 [φ1 (x)一φ3 (x)]＋C 2 [φ2 (x)一φ3 (x)]＋φ3 (x) 即C 1φ1 (x)＋C 2φ2 (x)＋C 3φ3 (x)，其中C 3＝1一C 1一C 2或C 1＋C 2＋C 3＝1，选(D)．12.曲面x 2 +4y 2一z 2 =4与平面x+z=a的交线在yOz平面上的投影方程是 ( )（分数：2.00）√D.(a一z) 2 +4y 2 +z 2 =4解析：解析：根据题意，曲面与平面的交线在yOz平面上的投影应在yOz平面上，故x=0，因而选项B和D 不对．又曲面与平面的交线在yOz平面上的投影柱面方程应不含变量x，故选项C也不对．应选A．13.在曲线x=t，y=一t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有1条B.只有2条√C.至少有3条D.不存在解析：解析：对应于t 0处曲线切线的方向向量为τ=(1，一2t 0，3t 02 )，该切线与平面x+2y+z=4平行与该平面的法向量n=(1，2，1)垂直．14.直线与直线 ( )（分数：2.00）A.垂直B.平行C.相交但不垂直√D.为异面直线解析：解析：直线L 1与直线L 2的方向向量分别为τ1 =(2，3，4)，τ2 =(1，1，2)，显然既不平行也不垂直．直线L 1与直线L 2分别过点M 1 (0，一3，0)和M 2 (1，一2，2)．混合积直线L 1与直线L 2共面→直线L 1与直线L 2相交但不垂直．15.两条平行直线[*，之间的距离为 ( )（分数：2.00）√C.1D.2解析：解析：连接直线L 1上点M 1(1，一1，0)与直线L 2上点M 2(2，一1，1)的向量为(1，0，1)，L 1的方向向量τ=(1，2，1)，则16.(1，一1，0)处的切线方程为 ( )（分数：2.00）√解析：解析：曲面x 2 +y 2 +z 2 =2在点(1，一1，0)处的法向量为n 1 =(2，一2，0)，平面x+y+z=0的法向量为n 2=(1，1，1)，于是，曲线在点(1，一1，0)处的切向量为τ=n 1×n 2 =(一2，一2，4)，故所求切线方程为二、填空题(总题数：10，分数：20.00)17.已知直线l 1和l 2的平面是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5x+3y-z-1=0）解析：解析：l 1，l 2的方向向量分别为s 1 =(1，一1，2)，s 2 =(-1，2，1)，过直线l 1，l 2的平面的法向量可取为在l 2上取点(1，一1，1)，故所求平面为一5(x-1)一3(y+1)+(z-1)=0．即5x+3y-z-1=0．18.设x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y为邻边的平行四边形面积为6，则k 的值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1或5）解析：解析：以x，y19.若直线L 2：x+1=y-1=z相交，则λ= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：L 1的方向向量S 1 =(1，2，λ)，L 2的方向向量s 2 =(1，1，1)，L 1上的点A(1，一1，1)，L 2上的点B(一1，1．0)．因L 1与L 2相交，故s 1，s 2与=(一2，2，一1)三向量共面，(s 1×s 2 ). 因为20.设a，b是非零向量，且｜b｜=1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）21.两平面x一2y+2z一4=0与2x—y一2z一5=0的交角φ= 1，它们的二面角的平分面方程为 2．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：x-2y+2z-4=0的法向量可写为，n 1=(1，一2，2)，2x—y-2z-5=0的法向量，n 2=(2，一1，一2)．所以求二面角的角平分面方程的方法有多种．用平面束方程：x-2y+2z-4+λ(2x—y-2z-5)=0．即 (2λ+1)x一(λ+2)y+(2-2λ)z-4-5λ=0它与平面x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面2x—y-2z一5=0的二面角．由夹角公式可得｜2λ+1+2(2+λ)+2(2—2λ)｜=｜2(2λ+1)+(2+λ)-2(2-2λ)｜，即9=｜9λ｜，所以λ=±1，相应的两个平面如上所填．22.经过点M 0 (1，一1，1)并且与两直线L的方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：L 1的方向向量取τ1 =(1，一2，1)．L 1上取一点，例如取点M 1 (0，一2，3)．M 0与M 1连线的方向向量可取τ2 =(1，1，一2)．由M 0与L 1决定的平面P 1的法向量既与τ2垂直，又与τ2垂直，所以P 1的法向量可取n 1 =τ1×τ2 =(3，3，3)=3(1，1，1)．所以P 1的方程为1(x一1)+1(y+1)+1(z一1)=0，即P 1：x+y+z一1=0．①类似地可得由M 1与L 2决定的平面P 2：2x+z一3=0．P1与P 2不平行，它们的交线就是要求的L：23.经过点A(1，0，0)与点B(0，1，1)的直线绕z轴旋转一周生成的曲面方程是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2一2z 2一2z一1=0）解析：解析：由直线方程的两点式得直线AB的方程：x=1+t, y=一t,z=一t，得旋转曲面S的方程：x 2 +y 2 =(1一z) 2 +z 2，即为所填．24.函数u=e x—z+xy在点(2，1，0)处沿曲面e x一z+xy=3的法线方向的方向导数为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：曲面e z一z+xy=3的法线方向为25.设向量α=(3，一4，2)，轴u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，则(1)向量a在轴u上的投影为 1；(2)向量a与轴u正向的夹角(a,^u)= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：设u轴上的单位向量为u 0，则u 0=(cosα，cosβ，cosγ)．由题设知cos 2α=cos 2β=cos2γ，且cos 2α+cos 2α+cos 2γ=1，故3cos 2α=1，又因α为锐角，故，则(2)26.点(1，2，3) 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：记点M 0 (1，2，3)，M(0，4，3)，s=(1，一3，一2)，三、解答题(总题数：7，分数：18.00)27.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-向量代数和空间解析几何(总分110, 做题时间90分钟)二、选择题1.设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有SSS_SINGLE_SELA (A) |a+b|=|a|+|b|．B (B) |a-b|=|a|-|b|．C (C) |a+b|=|a-b|．D (D) a+b=a-b．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] 由“非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|的充要条件是a与b方向相同”可知，(A)不对．由“非零向量a，b满足|a-b|=|a|-|b|的充要条件是a与b方向相反”可知，(B)也不对．对于(C)：非零向量a、b垂直时，以a，b为两邻的平行四边形是矩形，而矩阵的对角线长度相等，故必有|a+b|="a-b|，即(C)正确．至于(D)，显然不对．综上分析，应选(C)．2.直线与平面6x+15y-10z+31=0的夹角ψ为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 直线方向向量为故选(A)．3.下列曲面中，不是旋转曲面的是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] (A)是绕x轴旋转而成；(B)是绕y旋转而成；(D)是绕z轴旋转而成．(A)，(B)，(D)都应排除，故应选(C)．4.下列直线对，不共面的是SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 对于(A)：两条直线分别过点M1(-1，0，0)与M2(1，0，2)，方向向量分别为对三个向量，由于所以(A)中二直线不共面，故应选(A)．5.若单位向量a，b，c满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析] 由，从而．故选(A)．6.已知平面∏：x+2y-z+1=0，曲面z=xy上点P处的法线与平面∏垂直，则点P的坐标为SSS_SINGLE_SELA (A) (1，2，2)．B (B) (2，1，2)．C (C) (-1，-2，2)．D (D) (-2，-1，2)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析] z=xy的法向量n={y，x，-1}，法线与平面H垂直，从而与平面∏的法向量{1，2，-1}平行，故有，即点P的坐标为(2，1，2)．故应选(B)．7.设曲面z2-xy=8(z＞0)上某点的切平面平行于已知平面x-y+2z-1=0，则该点的坐标为SSS_SINGLE_SELA (A) (-2，2，2)．B (B) (1，-4，2)．C (C) (2，-2，2)．D (D) (4，-1，2)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[分析] 记F(x，y，z)=z2-xy-8，曲面在任意点的法向量n={F'x ，F'y，F'z}：{-y，-x，2x}．已知平面的法向量n1={1，-1，2}，令n∥n1，即，得x=z=t，y=-t，代入曲面方程F=0，得，因为z=t＞0，舍去负值，得切点坐标为(2，-2，2)，故应选(C)．8.设曲线在点(1，3，4)处的法平面为∏，则原点到∏的距离为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析一] 因在点(1，3，4)处解得dx=4dz，，即，故曲线在点(1，3,4)法平面的法向量，法平面∏的方程为12(x-1)-4(y-3)+3(z-4)=0，即12x-4y+3z-12=0，于是原点到∏的距离故应选(B)．[分析二] 曲线在点(1，3，4)处法平面的法向量下同[分析一]．9.设非零向量a与b不平行，c=(a×b)×a，则SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[分析] 如下图所示．因，故应选(B)．评注若a⊥b，则(a×b)×a=λb，=0．10.过点M(1，-1，1)与平面x=y+2z=1平行且与相交的的直线方程为SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[分析一]于是[分析二] 过B的直线方程为L：过A与L垂直的平面方程为∏：6(x-3)+6(y-4)+7(z-2)=0，即6x+6y+7z-56=0。