广东省湛江市高考数学二模试卷(理科)
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第1页，共15页 高考数学二模试卷（理科）
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.若复数z满足2z-=3+12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数z在复平
面内对应的点所在的象限是（ ）
A.
一B.
二C.
三D.
四
2.已知全集U=A，A={1，2，3，4}，B={x|（x+1）（x-3）＞0，x∈Z}，则集合A∩（∁
UB
）的子集个数为（ ）
A.
2B.
4C.
8D.
16
3.已知实数m是给定的常数，函数f（x）=mx3-x2-2mx-1的图象不可能是（ ）
A. B. C. D.
4.平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，，=，则=（
）
A.
3B. C.
-3D.
-
5.设F
1，F
2分别为离心率e=的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
A
1，A
2分别为双曲线C的左、右顶点，以F
1，F
2为直径的圆交双曲线的渐近线l
于M，N两点，若四边形MA
2NA
1的面积为4，则b=（ ）
A.
2B.
2C.
4D.
4
6.现有甲班A，B，C，D四名学生，乙班E，F，G三名学生，从这7名学生中选4
名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加的方法有（ ）
A.
10种B.
15种C.
18种D.
19种
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（4c-b）cosA，则
cos2A=（ ）
A.
-B.
-C. D.
8.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《
孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三
三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，
求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2019]时，符合条件的a共有（ ）
A.
133个B.
134个C.
135个D.
136个
9.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m∥α，n⊂α，则m∥n；
②若α∩β=m，m∥n，且n∉α，n∉β，则n∥α，n∥β；
③若n⊥α，m⊂β，α∥β，则m⊥n；
④α⊥γ，β⊥γ，α∩β=
m
，
n
⊂
γ
，则
m
⊥
n
．
其中真命题的个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4第2页，共15页10.把函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵
坐标都变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，并且g（x）的图象如图所示，
则f（x）的表达式可以为（ ）
A.
f（x）=2sin（x+）B.
f（x）
=sin（4x+）
C.
f（x）=sin（4x-）D.
f（x）
=2sin（4x-）
11.已知直线l不过坐标原点O，且与椭圆C：相交于不同的两点A，B，△OAB
的面积为，则|OA|2+|OB|2
的值是（ ）
A.
4B.
7C.
3D.
不能确定
12.已知函数f（x）=1-，当x≥0时，不等式f（ax2+x）+f（1-ex
）≤0恒成立，则实
数a的取值范围是（ ）
A.
（-∞，1]B.
（0，1]C.
（-∞，]D.
（0，]
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.已知函数f（x）=excosx+x5
，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是______
．
14.若实数x，y满足不等式组，且z=x-2y的最小为0，则实m=______．
15.设α∈（0，），β∈（0，），且，则tan（）=______．
16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180°的扇形．正四棱柱
ABCD-A′B′C′D′的上底面的顶点A′，B′，C′，D′均在圆锥Ω的侧面上，
棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.S
n为数列{a
n}的前n项和，已知S
n=．
（1）求{a
n}的通项公式；
（2）设b
n=，T
n=b
1+b
2+…+b
n，求T
n．
18.三棱锥A-BCD中，底面△BCD是等腰直角三角形，
BC=BD=2，AB=，且AB⊥CD，O为CD
中点，如第3页，共15页图．
（1）求证：平面ABO⊥平面BCD；
（2）若二面角A-CD-B的大小为，求AD与平面ABC所成角的正弦值．
19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下
：
家庭编号123456
月收入x（千
元）203035404855
月支出y（千
元）4568811
参考公式：回归直线的方程是：，其中，==，
．
（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保
留一位小数）；
（2）从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千家庭个数为ξ
，求
ξ
的分布
列与数学期望．
20.
已知动圆
P
过定点F（），且和直线x=-相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线
C，过点Q（4，-2）的直线与曲线C交于A，B两个不同的点．
（1）求曲线C的方程；
（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求
出N点坐标；若不存在，说明理由．第4页，共15页21.已知正实数a，函数g（x）=，f（x）=ax2-（a+2）x+lnx+2
．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）若f（x）＜0在x∈[]内有解，求a的取值范围．
22.在直角坐标系xOy中，点M（0，1），直线l：（t为参数），以原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
7ρ2+ρ2cos2θ=24．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于点A，B，求的值．
23.已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=|2x+3|．
（1）解不等式f（x）-g（x）≥2；
（2）若2f（x）≤g（x）+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m
取最小值时x
的范围．第5页，共15页答案和解析
1.
【答案】A
【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），
由2z-=3+12i，得2a+2bi-a+bi=a+3bi=3+12i，
∴a=3，b=4．
则复数z在复平面内对应的点的坐标为（3，4），所在的象限是第一象限．
故选：A．
设z=a+bi（a，b∈R），代入2z-=3+12i，利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案
可求．
本题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基
础题．
2.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，子集的定义及子集个数的求
法．
可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可得出A∩（∁
UB）={1，2，3}，从而得出
A∩（∁
UB）的子集个数．
【解答】
解：B={x|x＜-1或x＞3，x∈Z}；
∴∁
UB={x|-1≤x≤3，x∈A}={1，2，3}；
∴A∩（∁
UB）={1，2，3}；
∴A∩（∁
UB）的子集个数为：．
故选C．
3.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题．
令m=0，排除D，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断．
【解答】
解：当m=0时，C符合题意；
当m≠0时，f′（x）=3mx2-2x-2m，△=4+24m2
＞0，
设3mx2-2x-2m=0的两根为x
1，x
2，
则＜0，则两个极值点x
1，x
2异号，则D不合题意．
故选D．
4.
【答案】
B第6页，共15页【解析】解：因为，∠BAD=120°，||=2，||=3，，=，
所以=（）•（）=（）•（）=2+2
=×4+×=，
故选：B．
由平面向量的线性运算及平面向量数量积运算得：=（）•（）=（
）•（）=2+2=×4+×=，得解．
本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．
5.
【答案】A
【解析】解：设F
1，F
2分别为离心率e==的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左
、右焦点，A
1，A
2分别为双曲线C的左、右顶点，以F
1，F
2为直径的圆交双曲线的渐
近线l于M，N两点，不妨M（a，b）．若四边形MA
2NA
1的面积为4，可得4=
，c2=a2+b2
，可得b2=4，解得b=2．
故选：A．
利用双曲线的性质求出M的坐标，然后结合已知条件推出结果即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
6.
【答案】D
【解析】解：若甲班一人参加，则必为A，则乙班选3人有=1，
若甲班2人参加，则有=3，则乙班选2人有=3，此时有3×3=9，
若甲班3人参加，则有=3，则乙班选1人有=3，此时有3×3=9，
则共有9+9+1=19，
故选：D．
根据两班人数关系分1，3；2，2和3，1三种情况计算即可．
本题主要考查排列组合的应用，结合条件利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
7.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了
计算能力和转化思想，属中档题．
由正弦定理和三角函数公式可得cosA，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】】
解：∵（4c-b）cosA=acosB，
∴由正弦定理可得（4sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
变形可得：4sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC，
∵C为三角形的内角，sinC≠0，
∴cosA=
，
