高中数学第一章2充分条件与必要条件学案北师大版选修94

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桑 水

§2 充分条件与必要条件

[对应学生用书P5]

充分条件与必要条件

古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主．当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子．两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去．

设：

A：洛孝主动归还所拾银两．

B：洛孝无赖银之情．

C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子．

D：洛孝所拾银子不是失主所丢．

问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？

提示：A，充分条件．

问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？

提示：D，必要条件．

充分条件和必要条件

如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p⇒q，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.

充要条件

已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会．

q：前年是2012年．

问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，充分条件． —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水 问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？

提示：是真命题，必要条件．

问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？

提示：充要条件，充要条件．

充要条件

(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，通常记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．

(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题．

(4)若p⇒q，但q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．

充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件．

[对应学生用书P6]

充分条件、必要条件的判断

[例1] 下列各题中，p是q的什么条件？

(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝ac；

(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；

(3)p：a>b，q：2a>2b；

(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．

[思路点拨] 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．

[精解详析] (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则p⇒/ q；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．

(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p⇒/ q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．

(3)当a>b时，有2a>2b，即p⇒q，当2a>2b时，可得a>b，即q⇒p，故p是q的充要条 —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水 件．

(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p⇒/ q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q⇒/ p，故p是q的既不充分也不必要条件．

法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．

[一点通]

充分必要条件判断的常用方法：

(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．

(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断．

(3)集合法：

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.

①若AB，则p是q的充分不必要条件；

②若BA，则p是q的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件．

1．设集合A＝{x|xx－3≤0}，集合B＝{x||x－2|≤1}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”也得不到“m∈A”，故选D.

答案：D

2．对任意实数a，b，c给出下列命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；

④“a<5”是“a<3”的必要条件．

其中，真命题的序号是________． —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

桑 水 解析：①由a＝b可得ac＝bc.但ac＝bc时不一定有a＝b，故①为假命题；②由“a＋5为无理数”可得“a为无理数”，由“a为无理数”可得“a＋5为无理数”，②为真命题；③由“a>b”不能得出a2>b2，如a＝1，b＝－2，③为假命题；④“由a<5”不能得“a<3”，而由“a<3”可得“a<5”，④为真命题．

答案：②④

3．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)在△ABC中，p：sin A＞12，q：A＞π6.

解：(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．

(2)因为0＜A＜π时，sin A∈(0,1]，且A∈(0，π2]时，sin A单调递增，A∈[π2，π)时，sin A单调递减，所以sin A＞12⇒A＞π6，但A＞π6⇒/ sin A＞12.

所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

充要条件的证明和求解

[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，

求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

[思路点拨] 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q＝－1推证数列{an}为等比数列和由数列{an}满足Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)为等比数列推证q＝－1.

[精解详析] (充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是an＋1an＝pnp－pn－1p－＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．

(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．

因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，an＋1an＝pnp－pn－1p－＝p，可知等比数列{an}的公比为p.

故a2a1＝pp－p＋q＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.

综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．

[一点通]

充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性．为此必须要搞清条件，在“A是B的充要条件”中，A⇒B是充分性，B⇒A是必要性；在“A的充要条件是B”中，A⇒B是必要性，B⇒A是充分性． —————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————

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4．不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是____________．

解析：若x2－ax＋1>0的解集为R，则Δ＝a2－4<0，即－2

又当a∈(－2,2)时，Δ<0，可得x2－ax＋1>0的解集为R，故不等式x2－ax＋1>0的解集为R的充要条件是－2

答案：－2

5．等差数列{an}的首项为a，公差为d，其前n项和为Sn，则数列{Sn}为递增数列的充要条件是________．

解析：由Sn＋1＞Sn(n∈N＋)⇔(n＋1)a＋nn＋2d＞na＋nn－2d(n∈N＋)⇔dn＋a＞0(n∈N＋)⇔d≥0且d＋a＞0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d＋a＞0.

答案：d≥0且d＋a＞0

6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明：先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，

∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.

∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

∴必要性成立．

再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b.

代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：

ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件的应用

[例3] 已知p：关于x的不等式3－m2＜x＜3＋m2，q：x(x－3)＜0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

[思路点拨] 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．

[精解详析] 记A＝{x|3－m2＜x＜3＋m2}，B＝

{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，

若p是q的充分不必要条件，则AB.

注意到B＝{x|0＜x＜3}≠∅，分两种情况讨论：

(1)若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时AB，符合题意；