高中数学选修2-2学案7：2.2.2 反证法

2． 2.2反证法预习课本P89～ 91，思虑并达成以下问题(1)反证法的定义是什么？有什么特色？(2)利用反证法证题的重点是什么？步骤是什么？[新知初探 ]反证法的定义及证题的重点[点睛 ]对反证法观点的理解(1)反证法的原理是“否认之否认等于必定”．第一个否认是指“否认结论 (假定 )”；第二个否认是指“逻辑推理结果否认”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的差别与联系(1)联系：经过证明逆否命题建立来证明原命题建立和经过反证法说明原命题建立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)差别：证明逆否命题本质上就是从结论的反面出发，推出条件的反面建立．而反证法一般是假定结论的反面建立，而后经过推理导出矛盾．[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 反证法属于间接证明问题的方法．()(2) 反证法的证明过程既能够是合情推理也能够是一种演绎推理．()(3) 反证法的本质能否认结论导出矛盾．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把以下哪些作为条件使用()①结论的否认即假定；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原命题的结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C3．假如两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．起码有一个正数D．两个都是负数答案： C4．用反证法证明“假如a＞b，那么3a＞3b”，假定的内容应是________．3 3答案： a≤ b用反证法证明否认性命题[典例 ]已知三个正数a，b， c 成等比数列，但不行等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明 ]假定a，b，c成等差数列，则a＋c＝ 2b，即 a＋ c＋ 2 ac＝4b.∵ a， b， c 成等比数列，∴ b2＝ac，即b＝ac，∴a＋ c＋ 2 ac＝ 4 ac，∴ ( a－ c)2＝ 0，即 a＝ c.进而 a＝ b＝ c，与 a， b， c 不行等差数列矛盾，故 a， b， c不行等差数列．1．用反证法证明否认性命题的合用种类结论中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较详细，合适使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[活学活用 ]已知 f(x)＝ a x＋x － 2 (a ＞ 1)，证明方程 f(x)＝ 0 没有负数根．x ＋ 1证明： 假定 x 0 是 f(x)＝ 0 的负数根，x 0－ 2则 x 0＜ 0且x0≠－ 1，且 ax 0＝－ x 0＋ 1，x 0－ 2由 0＜ ax 0＜ 1? 0＜－ x 0＋ 1＜ 1，解得12＜ x 0＜ 2，这与 x 0＜ 0 矛盾，所以假定不建立，故方程 f(x)＝ 0 没有负数根 .用反证法证明“至多 ”“至少 ”问题[典例 ]已知 a ≥－ 1，求证三个方程： x 2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝ 0， x 2 ＋ (a － 1)x ＋ a 2＝ 0， x 2＋2ax － 2a ＝ 0 中起码有一个方程有实数解．[证明 ]假定三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的鉴别式都小于0，即：(4a)231 － 4(－4a ＋ 3)＜ 0，－ 2＜ a ＜ 2，－ 2－ 4a 2＜ 0，?1 3(a 1)a ＞ 3 或 a ＜－ 1， ? － ＜ a ＜－ 1，22(2a) ＋ 4×2a ＜ 0－ 2＜ a ＜ 0.这与已知 a ≥－ 1 矛盾，所以假定不建立，故三个方程中起码有一个方程有实数解．[一题多变 ]1．[变条件，变设问 ]将此题改为：已知以下三个方程x2＋ 4ax － 4a ＋ 3＝0，x 2＋ (a － 1)x＋ a 2＝ 0， x 2＋ 2ax － 2a ＝ 0 起码有一个方程有实数根，怎样务实数a 的取值范围？16a 2－ 4(3－ 4a)＜ 0，解： 若方程没有一个有实根，则(a － 1)2－ 4a 2＜ 0，4a 2＋ 8a ＜ 0，－3＜ a＜1，22解得13a＞3或 a＜－ 1，即－2＜ a＜－ 1，－ 2＜ a＜ 0.故三个方程起码有一个方程有实根，实数 a 的取值范围是a a≥－ 1或 a≤－3.22． [变条件，变设问 ]将此题条件改为三个方程中至多有 2 个方程有实数根，务实数a 的取值范围．解：假定三个方程都有实数根，则(4a)2－ 4(－4a＋ 3)≥0，－2－ 4a2≥0，(a1)(2a)2＋ 4×2a≥0，4a2＋ 4a－ 3≥0，即 3a2＋ 2a－ 1≤0，a2＋ 2a≥0，31a≤－或 a≥，22解得1－ 1≤a≤，3a≤－ 2或 a≥0.即 a∈?.所以实数 a 的取值范围为实数R.3． [变条件，变设问]已知 a，b， c， d∈ R，且 a＋ b＝ c＋ d＝ 1， ac＋ bd＞ 1，求证： a，b， c， d 中起码有一个是负数．证明：假定 a≥0， b≥0， c≥0， d≥0.∵a＋ b＝ c＋ d＝ 1，∴(a＋ b)(c＋ d)＝ 1，∴ac＋ bd＋ bc＋ ad＝ 1.而 ac＋ bd＋ bc＋ ad＞ ac＋ bd＞ 1，与上式矛盾，∴ 假定不建立，∴ a， b， c， d 中起码有一个是负数．用反证法证明“至多”“起码”等问题的两个关注点(1)反设状况要全面，在使用反证法时，一定在假定中摆列出与原命题相异的结论，缺乏任何一种可能，反证法都是不完整的．(2) 常用题型：对于否认性命题或结论中出现“至多”“起码”“不行能”等字样时，常用反证法．[典例 ] [证明 ]若直线用反证法证明独一性命题求证：两条订交直线有且只有一个交点．假定结论不建立，则有两种可能：无交点或不仅一个交点．a， b 无交点，则a∥ b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾．若直线a， b 不仅有一个交点，则起码有两个交点A和B，这样同时经过点A，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条订交直线有且只有一个交点．巧用反证法证明独一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“独一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，因为反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，假如欲证明命题的反面状况只有一种，那么只需将这类状况驳斥了就能够；若结论的反面状况有多种，则一定将全部的反面状况一一驳斥，才能推测结论建立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和独一性．[活学活用 ]求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．证明：已知：直线b∥ a， A?a， A∈ b，求证：直线 b 独一．假定过点 A 还有一条直线b′∥ a.依据平行公义，∵ b∥ a，∴ b∥ b′，与 b∩b′＝A 矛盾，∴假定不建立，原命题建立．层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A， B， C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假定错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假定直线AC， BD是共面直线．则正确的序号次序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①分析：选 B 依据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知次序应为③①② .2．用反证法证明命题“假如 a，b∈ N， ab 可被 5 整除，那么 a， b 中起码有一个能被5整除”时，假定的内容应为()A． a， b 都能被 5 整除B． a， b 都不可以被5整除C． a， b 不都能被 5 整除D． a 不可以被 5 整除分析：选B “起码有一个”的否认是“一个也没有”，即“a， b 都不可以被 5 整除”，应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的选项是()A．三个内角中起码有一个钝角B．三个内角中起码有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或起码有两个钝角分析：选B“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“起码有两个”．4．已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 的地点关系为 ()A．必定是异面直线B．必定是订交直线C．不行能是平行直线D．不行能是订交直线分析：选C假定 c∥ b，而由 c∥ a，可得 a∥ b，这与 a， b 异面矛盾，故 c 与 b 不行能是平行直线，故应选 C.5．已知 a， b， c， d 为实数，且 c＞ d，则“a＞ b”是“a－ c＞ b－ d”的 ()A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：选 B ∵ c＞ d，∴－ c＜－ d，a＞ b，∴ a－ c 与 b－d 的大小没法比较．可采纳反证法，当 a－ c＞ b－ d 建即刻，假定 a≤b，∵－ c＜－ d，∴ a－ c＜ b－ d，与题设矛盾，∴ a＞b.综上可知，“a＞ b”是“a－ c＞ b－ d”的必需不充足条件．6．否认“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数 a， b， c 中起码有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈ R，若 |a－ 1|＋|b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，所以设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠18．和两条异面直线AB，CD 都订交的两条直线AC， BD 的地点关系是____________ ．分析：假定 AC 与 BD 共面于平面α，则 A， C， B， D 都在平面α内，∴ AB?α， CD ?α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．答案：异面9．求证： 1，3， 2 不可以为同一等差数列的三项．证明：假定 1，3， 2 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则 1＝ 3－ md,2＝ 3＋ nd，此中 m， n 为两个正整数，由上边两式消去 d，得 n＋ 2m＝ 3(n＋ m)．因为 n＋ 2m 为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以 n＋ 2m≠ 3(n＋ m)，矛盾，所以假定不建立，即 1，3， 2 不可以为同一等差数列的三项．10．已知函数f( x)在 R 上是增函数，a， b∈ R.(1)求证：假如 a＋ b≥0，那么 f (a)＋ f(b) ≥f(－ a)＋ f(－ b)；(2)判断 (1) 中的命题的抗命题能否建立？并证明你的结论．解： (1)证明：当 a＋ b≥0 时， a≥－ b 且 b≥－a.∵ f( x)在 R 上是增函数，∴f( a)≥f(－ b)， f(b)≥f(－ a)，∴f( a)＋ f(b)≥f(－ a)＋ f(－ b)．(2)(1) 中命题的抗命题为“假如f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题建立．用反证法证明以下：假定 a＋ b＜ 0，则 a＜－ b，∴ f(a)＜ f(－ b)．同理可得f(b)＜ f(－ a)．∴f( a)＋ f(b)＜ f(－ a)＋ f(－b)，这与 f( a)＋ f(b)≥f(－ a)＋ f(－ b)矛盾，故假定不建立，∴a＋ b≥0 建立，即 (1) 中命题的抗命题建立．方程1．用反证法证明命题ax＝ b(a≠0)()“对于层级二应试能力达标x 的方程 ax＝ b( a≠ 0)有且只有一个解”时，反设是对于x 的A．无解C．起码有两解分析：选DB．有两解D．无解或起码有两解“独一”的否认是“起码两解或无解”．2．以下四个命题中错误的选项是()A．在△ ABC 中，若∠ A＝ 90°，则∠ B 必定是锐角B.17， 13， 11不行能成等差数列C．在△ ABC 中，若 a＞ b＞ c，则∠ C＞ 60°D．若 n 为整数且n2为偶数，则n 是偶数分析：选 C 明显 A、B、D 命题均真， C 项中若 a＞ b＞ c，则∠A＞∠ B＞∠ C，若∠C ＞ 60°，则∠ A＞ 60°，∠ B＞ 60°，∴∠ A＋∠ B＋∠ C＞ 180°与∠ A＋∠B＋∠ C＝ 180°矛盾，故 C.3． a， b， c∈ (－∞， 0)， a＋1， b＋1， c＋1()b caA．都不大于－ 2B．都不小于－ 2C．起码有一个不大于－2 D．起码有一个不小于－2分析： C假都大于－2， a＋1＋ b＋1＋ c＋1＞－ 6，但a＋1＋＋1＋＋1b c a b b c c a＝ a＋1＋ b＋1＋ c＋1≤－ 2＋ (－ 2)＋ (－2)＝－ 6，矛盾．a b c4．若△ ABC 能被一条直分红两个与自己相像的三角形，那么个三角形的形状是()A．角三角形B．直角三角形C．角三角形D．不可以确立分析：B分△ ABC 的直只好一个点且与订交，如直AD(点 D 在 BC 上 )，∠ ADB＋∠ ADC ＝π，若∠ ADB 角，∠ ADC 角．而∠ ADC＞∠ BAD ，∠ADC＞∠ ABD，△ABD 与△ACD 不行能相像，与已知不符，只有当∠ADB＝∠ ADC＝∠BAC ＝π，才切合意．25．已知数列 {a n}， {b n}的通公式分 a n＝ an＋ 2， b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a＞b)，那么两个数列中序号与数均同样的有________个．分析：假存在序号和数均相等的，即存在n 使得 a ＝ b ，由意 a＞ b， n∈ N*，n n恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞ bn＋ 1 恒建立，所以不存在n 使 a n＝ b n.答案： 06．达成反法的全程．a1， a2，⋯， a7是 1,2，⋯， 7 的一个摆列，求：乘p＝ (a1－ 1)(a2－ 2) ⋯(a7－ 7)偶数．明：假 p 奇数，a1－ 1，a2－ 2，⋯， a7－ 7 均奇数．因奇数个奇数之和奇数，故有奇数＝ ________＝ ________＝ 0.但 0≠奇数，一矛盾明p 偶数．分析：据目要求及解步，∵ a1－ 1， a2－ 2，⋯， a7－ 7 均奇数，∴(a1－ 1)＋ (a2－ 2)＋⋯＋ (a7－ 7)也奇数．即 (a1＋ a2＋⋯＋ a7)－ (1＋ 2＋⋯＋ 7)奇数．又∵ a1， a2，⋯， a7是 1,2，⋯， 7 的一个摆列，∴ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a 7＝ 1＋ 2＋ ⋯＋ 7，故上式 0，所以奇数＝ ( a 1－ 1)＋ (a 2－ 2)＋ ⋯＋ (a 7－ 7)＝ (a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a 7)－ (1＋ 2＋ ⋯＋ 7)＝ 0.答案： (a 1－ 1)＋ (a 2－ 2)＋ ⋯ ＋ (a 7－ 7)(a 1＋ a 2＋⋯ ＋ a 7)－ (1＋ 2＋ ⋯＋ 7)17．已知 a ， b ， c ∈ (0,1)，求 ： (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以都大于 4.明： 假 (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 都大于14.因 0＜ a ＜ 1,0＜ b ＜1,0＜ c ＜ 1，所以 1－ a ＞ 0.由基本不等式，(1－ a)＋ b1 1得2 ≥ (1－ a)b ＞ 4 ＝ 2.同理， (1－ b)＋ c 1 (1－ c)＋ a 1＞ ， 2＞ .2 2 2 将 三个不等式两 分 相加，得(1－ a)＋ b ＋ (1－ b)＋ c ＋ (1－ c)＋ a ＞ 1＋1＋ 1，2 2 2 2 2 2即 3＞ 3， 是不建立的， 2 21故 (1－ a)b ， (1－ b)c ， (1－ c)a 不可以都大于 4.8．已知数列 {a n } 足： a 1＝1，3(1＋a n ＋1)＝2(1＋a n )， a n a n ＋1＜ 0(n ≥1)；数列 {b n } 足：2 1－ a n 1－ a n ＋1b n ＝ a 2n ＋ 1－ a 2n (n ≥ 1)．(1) 求数列 {a n }， {b n }的通 公式；(2) 明：数列 {b n }中的随意三 不行能成等差数列．解： (1)由 意可知，22 21－ a n ＋ 1＝(1－ a n )．322令 c n ＝ 1－a n ， c n ＋ 1＝ c n .323， 数列 {c n }是首 32的等比数列，即 3 2 n － 1又 c 1＝ 1－ a 1＝4 c 1＝ ，公比 3c n ＝·，4 4 32 3 2 n －1 23 2 n － 1故 1－ a n ＝ ·? a n ＝ 1－·.4 34 3又 a 1＝ 1＞ 0， a n a n ＋1＜ 0，2故 a n＝ (－ 1)n－11－3·2n－ 1.432232n32n－112n－1.b n＝ a n＋1－ a n＝1－·－1－·＝·434343(2)用反证法证明．假定数列 {b n}存在三项 b r，b s， b t(r＜ s＜ t)按某种次序成等差数列，因为数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列，于是有b r＞ b s＞ b t，则只可能有2b s＝ b r＋ b t建立．4312 s－1 1 2 r－1 1 2 t－1∴ 2·4·3＝4·3＋4·3，两边同乘以3t－ 121－ r，化简得3t－ r＋2t－ r ＝2·2s－ r 3t－ s.因为 r＜ s＜ t，∴ 上式左侧为奇数，右侧为偶数，故上式不行能建立，致使矛盾．故数列{ b n}中随意三项不行能成等差数列．。

反证法一、内容和内容解析:“反证法”是人教B版数学选修2--2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”的第二课时。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

证明一般包括直接证明与间接证明。

“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

二、学生学习情况分析：我所教学生是普通高中基础较差的理科班，数学思维不强，但由于本节内容在初中就有接触，反证法的逻辑结构并不复杂，相对数学的其它内容学生还是相对容易理解，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点，其原因主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的。

三、设计思想由于所教学生基础差，数学逻辑思维能力不强，所以本节课的设计先通过生活中的实例、伽利略妙用反证法、囚犯妙用反证法死里逃生等例子提高学生学习反证法的兴趣，在整个教学过程中遵循问题引领的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过提出问题，合作讨论，合情推理，归纳出反证法的概念：反证法的基本步骤：反证法的应用关键；适合用反证法证明的四类问题：将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2.2.2反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择.建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.又AB∩AC=A,∴SO⊥平面ABC,∴平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,∴假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?(1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾,∴{S n}不是等比数列.(2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,{S n}是等差数列,则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2.∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.∴当q≠1时,{S n}不是等差数列.第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解反证法是间接证明的一种基本方法；2、理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题。

一、主要知识：1、反证法： 。

2、反证法常见矛盾类型： 。

二、典例分析：〖例1〗：〖例2〗：已知函数()()201xx f x a a x -=+>-，请用反证法证明：方程()0f x =没有负实数根。

〖例3〗：已知,0x y >，且2x y +>，求证：11,x y y x++中至少有一个小于2。

〖例4〗：设0,,2a b c <<，求证：(2),(2),(2)a c b a c b ---不可能同时大于1。

三、课后作业：1、用反证法证明命题“三角形内角中至少有一个大于60”时，反设正确的是（ ）A 、假设三个内角都不大于60 B 、假设三个内角都大于60C 、假设三个内角至多有一个大于60 D 、假设三个内角至多有两个大于602、设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a +++（ ） A 、都大于2 B 、至少有一个大于2 C 、至少有一个不大于2 D 、至少有一个不小于23、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20ax bx c ++=有有理根，那么,,a b c 中存在偶数”时，否定结论应为（ ）A 、,,a b c 都是偶数B 、,,a b c 都不是偶数C 、,,a b c 中至多一个是D 、,,a b c 中至多有两个偶数 4、已知110,1x x >≠且()()21231,2,31n n n n x x x n x ++==+。

试证：数列{}n x 或者对任意正整数都满足1n n x x +<，或者对任意正整数都满足1n n x x +>。

当此题用反证法否定结论时，应为（ ）A 、对任意正整数n ，有1n n x x +=B 、存在正整数n ，使1n n x x +=C 、存在正整数n ，使1n n x x -≥且1n n x x +≥D 、存在正整数n ，()()110n n n n x x x x -+--≥5、两条直线,l m 都在平面α内且都不在β内。

反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。

过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。

情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。

学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。

【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。

合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。

【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。

因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。

我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。

（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。

因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。

注：反证法是最常见的间接证明法。

反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。

简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。

2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。

2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

《反证法》教材解读一、重点知识梳理反证法（间接证明）是不同于综合法与分析法（直接证明）的又一种证明方法，它不是从原命题的条件逐步推得命题成立。

反证法就是一种常用的间接证明方法。

反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。

用反证法证明“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示：这个过程包括下面三个步骤：（1）反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； （2）归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。

说明：1、反证法的原理：否定之否定等于肯定2、反证法的实质：原命题和它的逆否命题是等价命题二、疑、难点解析利用反证法证明不等式，如何依据题设条件和不等式的结论制造矛盾是本节内容的一个难点。

例1、若x 、+∈R y ，且2>+y x ，求证：xy +1与y x+1至少有一个小于2证明：假设x y +1与y x +1均不小于2，即21≥+xy，且21≥+y x ∵ x 、+∈R y ，∴x y 21≥+且y x 21≥+ ∴ y x x y 2211+≥+++，∴ 2≤+y x 这与已知2>+y x 相矛盾∴假设不成立，故原命题正确点评：证明的结论中若有“至多”“至少”等字词时，常可以考虑用反证法解决。

注意：（1）利用反证法证明时，第一步“假设”不要写成“设”。

（2）应用反证法证题要充分理解两个否定：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”。

例2、已知函数123)(+-+==x x x x f y试用反证法证明方程f(x)=0没有负数根。

证法1 假设存在)1(000-≠<x x 满足0)(0=x f ，则 120003+--=x x x ∵1300<<x ∴101200<-<+-x x ，即2021<<x 与假设矛盾， 故方程f(x)=0没有负数根。

2.2 反证法 - 人教A版选修2-2教案教学目标1.了解反证法的概念和基本原理；2.学会如何运用反证法证明命题；3.掌握反证法在数学、物理、哲学等领域的应用。

教学重难点重点：理解反证法的概念和基本原理。

难点：熟练运用反证法证明命题。

教学过程导入（5分钟）通过导入一些生活中的例子或者一些数学公式，引出反证法的概念和作用，并与学生进行互动，鼓励学生积极参与。

概念解释（15分钟）1.以“证明1=2”为例，讲解真正意义上的反证法；2.解释什么是自相矛盾，举例说明；3.举例说明反证法的基本思想和方法。

练习应用（25分钟）1.从几何中给出一个定理或命题，要求学生应用反证法来证明它；2.从代数中给出一个公式或方程，要求学生应用反证法解决它；3.通过其他领域的实例，让学生进一步理解和熟练应用反证法。

总结提高（10分钟）1.教师总结反证法的基本原理和应用范围；2.回顾课堂内容，让学生在思考中进一步掌握反证法的应用场景和技巧；3.鼓励学生理解和运用反证法的重要性，以及在日常生活和学习中如何灵活运用。

教学评估1.检测学生对反证法的理解和应用情况，以小组形式讨论、出题解答等方式进行；2.通过教学调研、课堂练习、作业考核等方式，综合评估学生对反证法的掌握程度，并针对性地布置练习和加强巩固。

讲师寄语反证法是数学证明中常用的一种方法，但其应用不只限于数学领域。

同学们可以多思考、多实践，在生活中运用反证法的思想和方法，不断拓展自己的思维和创新能力。

希望同学们在今后的学习和工作中，都能够善于运用反证法，不断追求真理和发现新的可能性。

2.2.2反证法【学习目标】1.了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【新知自学】知识回顾：（1）一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.（2）框图表示：（3）要点：顺推证法，由____导____.2.分析法（1）一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．（2）框图表示（3）要点：逆推证法；执____索____.新知梳理：1.反证法：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.2.反证法证题的一般规律：（1）证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立（2）方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.对点练习：1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为03.设,,a b c 都是正数，则三个数111,,a b c b c a+++（ ） A ．都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .【合作探究】 典例精析：ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.变式练习： 证明：5,3,2不可能成等差数列.例2.设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列.变式练习：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60 .【课堂小结】【当堂达标】1. 用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）.A.a b >B.a b <C.a b =D.a b ≤2.用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除3.如果12x >,那么2210x x +-≠.4.ABCB<︒.∆的三边,,a b c的倒数成等差数列,求证:90【课时作业】1. 用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．2.设x 、y 、z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于23.设直线1:,1:2211-=+=x k y l x k y l ，其中k 1,k 2满足k 1+k 2+2=0，证明1l 与2l 相交.4.已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x y y x++中至少有一个小于2.5.求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++, 22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.。

2.2.2 反证法学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.学习过程：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上.你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释.采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．问题2：A 、B 、C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎.则C 必定是在撒谎，为什么？分析:假设C 没有撒谎, 则C 真.那么A 假且B 假;由A 假, 知B 真. 这与B 假矛盾.那么假设C 没有撒谎不成立;则C 必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法. 例题讲解：例1：已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α.例2：求证：2不是有理数反思总结：1.反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确2.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾.3.应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；（4结论为 “唯一”类命题；当堂检测：1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）A ．假设都是偶数B ．假设都不是偶数C ．假设至多有一个是偶数D ．假设至多有两个是偶数2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1． 20(0)ax bx c a ++=≠a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，332p q +=2p q +≤2p q +≥a b ∈R ，1a b +<20x ax b ++=用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）A ．与的假设都错误B ．与的假设都正确C ．的假设正确；的假设错误D ．的假设错误；的假设正确3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角4．三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 至少有1个大于或等于60ο的反面为_______．5. 已知A 为平面BCD 外的一点，则AB 、CD 是异面直线的反面为_______．6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．——★ 参 考 答 案 ★——1x 11x ≥(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)a b c d ，，，1a b c d +=+=1ac bd +>a b c d ，，，例题讲解：例1：证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β.因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=I .下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α. 例2：证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n =，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即222n k =所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．当堂检测：1. B2. D3. C4. 三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 都小于60ο5．AB 、CD 共面6.证明：假设都是非负实数，因为， a b c d ，，，1a b c d +=+=所以，所以，， 所以， 这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．a b c d ，，，[01]∈，2a c ac +2b c bd +122a cb d ac bd ++++=≤1ac bd +>a b c d ，，，。

互动课堂疏导引导1.间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反命题为假，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.反证法是间接证明的一种基本方法.反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾.具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，即从原题的反命题“既p 又⌝q”入手，由p 与⌝q 合乎逻辑地推出一个矛盾结果;根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定反命题“既p 又⌝q”为假;从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真.由此肯定命题“若p 则q”为真.可以看出，反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路.反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.2.用反证法证明命题“若p 则q”，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下.否定结论q −−−−→−推理肯定条件,p 导致逻辑矛盾−−→−矛盾律“既p 又⌝q”为假−−→−排中律“若p 则q”为真.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤： 第一步：分清命题“p →q”的条件和结论;第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定⌝q ；第三步：由p 和⌝q 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果; 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定⌝q 不真，于是原结论q 成立， 从而间接地证明了命题p →q 为真.第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.3.使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)，是正确运用反证法的前提，现将常见的“结论词与反设词”列表如下：案例 用反证法证明：已知a 、b 均为有理数，且a 和b 都是无理数，求证：b a +是无理数.【探究】可设b a +为有理数，利用实数运算法则得出矛盾. 证明：假设b a +为有理数，则(b a +)(b a -)=a-b. 由a ＞0,b ＞0得b a +＞0.∴b a -=ba b a +-.∴a 、b 为有理数，且b a +为有理数， ∴ba b a +-为有理数，即b a -为有理数，∴(b a +)+(b a -)为有理数，即a 2为有理数，从而a 也应为有理数，这与已知a 为无理数矛盾. ∴b a +一定为无理数.【规律总结】1.本例推出的是与已知矛盾，反证法导出结果的几种情况： (1)导出⌝p 为真，即与原命题的条件矛盾. (2)导出q 为真，即与假设“⌝q 为真”矛盾.(3)导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾. (4)导出自相矛盾的命题.2.当结论的反面仅有一个时，假设这个结论的反面为真，经过合理的论证，否定这个假设，从而证得结论成立，这种反证法称为归谬法. 活学巧用1.a 、b 是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点. 证明:假设直线a 、b 至少有两个交点A 和B ，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.2.设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)≠0,且f(x+y)=f(x)·f(y)成立. 求证：对定义域内任意x 都有f(x)＞0.证明：设满足题设条件的任意x,f(x)＞0不成立，即存在某个x 0，有f(x 0)≤0，∵f(x)≠0,∴f(x 0)＜0..又知f(x 0)=f(2200x x +) =f(20x )·f(20x )=f 2(20x)＞0. 这与假设f(x 0)＜0矛盾，假设不成立. 故对任意的x 都有f(x)＞0. 3.如果一条直线与一个平面平行，那么过这平面内一点而与这条直线平行的直线必在这个平面内.证明：如图所示，如果直线b 不在平面α内，则直线b 不在平面α有一个公共点A.过平行直线a 和b 作平面β，则平面α、β有过A 点的一条直线，设为b′，在平面β内直线b 与交线b′相交于A 点.因为直线a ∥b ，所以交线b′也与直线a 相交于A ，即直线a 与平面α相交，这是不可能的.故过A 点而平行于直线a 的直线b 必在平面α上.4.已知a≠0，证明关于x 的方程ax=b 有且只有一个根. 证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=ab . 如果方程不只一个根，不妨设x 1,x 2是它的两个不同的根，即ax 1=b ① ax 2=b ② ①-②得a(x 1-x 2)=0因为x 1≠x 2，所以x 1-x 2≠0，所以应有a=0，这与已知矛盾，故假设错误. 所以，为a≠0时，方程ax-b 有且只有一个根.5.已知a 、b 、c ∈(0,1),求证：(1-a)b 、(1-b)c 、(1-c)a 不能同时大于41. 证明一:假设三式同时大于41， 即(1-a)b ＞41,(1-b)c ＞41,(1-c)a ＞41,三式相乘，得：(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c ＞641.又(1-a)a≤(21a a +-)2=41.同理，(1-b)b≤41，(1-c)c≤41.以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤641，这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c ＞641矛盾，故结论得证.证明二:假设三式同时大于41.∵0＜a ＜1，∴1-a ＞0.2141)1(2)1(=>-≥+-b a b a 同理，212)1(,212)1(=+-≥+-a c c b . 三式相加得2323<,矛盾，∴原命题成立.6.如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 已知：a ⊄α,b ⊂α,a ∥b,如图.证明：假设直线a与平面α不平行.∴a⊄α，∴a∩α=A.下面只要证明a∩α=A不可能即可.∴a∥b，∴a,b可确定一平面，设为β.又a∩α=A,∴A∈α∴A∈β.又b⊂α,A∈α,∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b，以及不在直线b上的点A，由推论知：平面α与平面β重合.∴a⊂α，这与已知a⊄α矛盾.∴a∩α=A不可能，∴a∥α.。

高二 数学学科学案课题：反证法【学习目标】了解反证法的定义，知道用反证法证明的思想和步骤，能利用反证法进行证明数学问题。

【学习重点】了解反证法的思考过程、特点;【学习难点】会用反证法证明问题.【学习指导】将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球同色的,你能证明这个结论吗?【自主学习】1、什么是反证法？什么样的问题常用反证法来证明？反证法 的一般步骤是什么？【实践演练】典型例题例1. 已知0a ≠,证明x 的方程ax b =有且只有一个根.例2.已知直线,a b 和平面α，如果a α⊄，b α⊂，且//a b ，求证：//a α。

基础练习1.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用（ ）。

（1）结论相反的判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论A 、（1）（2）B 、（1）（2）（4）C 、（1）（2）（3）D 、（2）（3）2.已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，用反证法求证0a >，0b >，0c >时的假设为___________________________。

3.用反证法证明： “a>b ”. 应假设（ ）.A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a b ≤4.有关反证法中假设的作用，下面说法正确的（ ）.A ．由已知出发推出与假设矛盾B ．由假设出发推出与已知矛盾C ．由已知和假设出发推出矛盾D ．以上说法都不对5. 实数 a 、b 、c 不全为 0的条件是 （ ）.A ．a 、b 、c 均不为 0；B ．a 、b 、c 中至少有一个为 0；C ．a 、b 、c 至多有一个为 0；D ．a 、b 、c 至少有一个不为 0.6. 反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60°” ，反设正确的是（ ）. αβa bA.假设三内角都不大于 60°B.假设三内角都大于 60°C.假设三内角至多有一个大于 60°D.假设三内角至多有两个大于 60°7.已知：,,A B C ∠∠∠是ABC ∆的内角，求证：∠A ， ∠B ， ∠C 中至少有一个不小于 60°.8.ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列， 求证：2B π<。

§2.2.2反证法（课前预习案）一、新知导学1.一般地，由证明 转向证明： ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾。

从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法.2.反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性.所谓矛盾主要是指：（1）_________________________________________________________________（2）_____________________________________________________________________（3）__________________________________________________________________ _3.应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）_____________________________________________________________________（2）_________________________________________________________________（3）_________________________________________________________________（4）______________________________________________________________二、课前自测1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论。

A 、①②B 、①②④C 、①②③D 、②③2.命题“在△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b ”的结论的否定应该是（ ）A 、a<bB 、a b ≤C 、a=bD 、a b ≥3. “x=0且y=0”的否定形式是。

2.2.2反证法一、教学目标（1）了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、教学重点和难点教学重点和难点：用反证法证明一些典型问题.三、教学过程：例1、已知直线和平面，如果，且，求证。

解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为, Array所以经过直线a , b 确定一个平面。

因为，而，所以与是两个不同的平面．因为，且，所以.下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .点评：用反证法的基本步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例2、求证：不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如（互质，”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾．证明：假设不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，从而有,因此，，所以 m 为偶数．于是可设 ( k 是正整数），从而有，即所以n也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而是无理数．点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

变式训练2、已知，求证：（且）例3、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法证明：假设都小于，则（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。