高中数学人教A版选修22导数word学案1

1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1，( x2 )¢＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.[来
三、教学过程：
（一）公式1：(C )¢＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2：函数的导数
证明：（略）
公式3：函数的导数
公式4：函数的导数
公式5：函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴⑵⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴y＝x5；⑵y＝x6；（3）（4）（5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。

例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。

求：（1）割线AB的斜率；（2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率；（4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式网]
(C )¢＝0 (C为常数)，(x)¢＝1 ，( x 2 )¢＝2x，．
（四）课后作业。

山东省泰安市肥城市第三中学高中数学 教案导数的概念及计算学案 新人教A 版选修2-2学习内容学习指导即时感悟学习目标：1、了解导数概念的实际背景。

2、理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义求函数x y xy x y x y c y =====,1,,,2的导数。

4、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的的导数。

能求简单复合函数（形如()b ax f +的复合函数）的导数。

学习重点：导数的概念和几何意义，求函数的导数。

学习难点：理解导数的几何意义，能求简单函数的导数回顾﹒预习1.函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为____________，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为________. 2.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义: 称函数y ＝f (x )在x ＝x处的瞬时变化率___________＝____________为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝______________. (2)几何意义: 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )上在点__________处的____________.相应地，切线方程_____________. 3.函数f (x )的导函数 : 称函数f ′(x )＝__________________为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4.基本初等函数的导数公式 ①;C '=②();n x'=③(sin )x '=; ④(cos )x '=;⑤()xa '=; ⑥();x e '= ⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=⑨.1()x'=⑩()x '=。

§1.2导数的运算§1.2.1常见函数的导数目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数 （2）掌握基本初等函数的运算法则 教学内容一．回顾 函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图新授；求下列函数的导数（1）y kx b =+ （2）2()f x x =（3）3()f x x = （4）1()f x x=（5）()f x =思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？ 几个常用函数的导数：基本初等函数的导数： （7）1()'(x x αααα-=为常数） （8）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠（7）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a==>且1)a ≠ （8）()'x x e e = （9）1(ln )'xx=（10）(sin )'cos x x = （11）(cos )'sin x x =- 例1．若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由 （1）1()f x x = （2）1()f x x=-（3）()sin f x x = （4）()xf x e =小结：（1）求函数导数的方法（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式作业：（1） 在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135o。

（2） 当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点§1.2.2函数的和、差、积、商的导数目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数 重点难点：四则运算法则应用 教学内容：一．填写下列函数的导数：（1）()'kx b += （2）()'C =（3）()'nx = （n 为常数） （4）()'xa = （0a >且1a ≠） （5）(log )'a x = （0a >且1a ≠）（6）()xe = （7）(ln )x = （8）(sin )'x = （9）（cos )x '= 二．新授：例1．求2y x x =+的导数思考：（1）已知'(),'()f x g x ，怎样求[()()]'f x g x +呢？（2）若'2y x =+，则y =导数的四则运算法则：（1） （2） （3） （4） （5）特别，当()u x c =(c 为常数)时，有 )()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 例2．求下列函数的导数（1）2()sin f x x x =+ （2）323()622g x x x x =--+例3．求下列函数的导数：（1）()sin f x x x = （2）21()t S t t+=板演：1． 用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数2．求下列函数的导数 （1）21()f x x = （2）()23xf x x =+（3）2sin ()x f x x= （4）22y x x =•2． 已知函数()f x 的导数是'()f x ，求函数2[()]f x 的导数。

1.1.2导数的概念【学习目标】1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3. 会求函数在某点的导数；理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率【学习重难点】重点：导数的求解方法和过程，导数符号的灵活运用； 难点：导数概念的理解、认识和运用。

【学习过程】一、学前准备1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4Vr V πV 从0增加到1时，气球的平均膨胀率. 2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、合作探究：探究一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0 (3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率. 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.【学习检测】1. (A) 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度；B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；C ．当时间为t ∆时物体的速度；D ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度2.(A) 2y x =在 x =1处的导数为（ ）A ．2xB ．2C ．2x +∆D ．1 3. (B)在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04（B) 如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5.（B) 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于6.（B) 求曲线y = f (x ) = x 3在1x =时的导数．7 (C)高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.8. （C ） 已知2()2f x x =+(1) 求()f x 在1x =处的导数 (2) 求()f x 在x a =处的导数【小结与反思】。

WANOLUOGOUJIAN—、导数1. 对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Ax-0的方式，导数是函数的 增量Ay 与自变量的增量Ax 的比鲁的极限,函数y=Rx ）在点X 。

处的导数的几何意义，就是曲线y=j[x ）在点P （x 。

,几切））处的切线的斜 率.2. 曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： （1） 判断P 点是否在曲线上；（2） 如果曲线尹=/«在P （x°,畑）处的切线平行于y 轴（此时导数不存在），可得方程为x =x 0；尸点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为广（xo ）.3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用 法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适 当的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性（1） 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程屮， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；（2） 注意在某一区问内/⑴＞0（或/ （x ）＜0）是函数.心）在该区间上为增（或减）函数的充 分条件.本章归纳整合•定积分的概念-L 变速直线运动的路程L 定积分--微积分基本定理- -/：/(x)dx=F(6)-F(a)r 定积分在几何中的应用-定积分的应用-______________ H 曲边梯形的面积[定积分在物理中的应用J 耍点归纳四步曲：分割、 近似代替、求 和、取极限网络构系统盘点i 提炼主线-变化率问题平均变化率鸽取极限-导数的概念:瞬时变化率免L 导数的几何意义、切线的斜率k=f （xA导数及其应用知识网络导数的概①求极值；②极值与端点 处函数值比校①求导数f （%）；②解方程 If 3）=0；③痴商两侧符号J 若厂何＞0,则y=flx ）递增； 若广何＜0,则5）递减；5.利用导数研究函数的极值要注意(1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的.(2) 连续函数/(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大 值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3) 可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的 极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导 数异号.6. 求函数的最大值与最小值⑴函数的最大值与最小值：在闭区I'可［a, b ］上连续的函数心)，在［a, b ］上必有最大值与 最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数./(X )不一定有最大值与最小值，例如：x 丘(一 1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y=J{x)在［a, b ］上最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；② 将函数y=f{x)的各极值与端点处的函数值/(a), /(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间 内只有一个点xo ，使.广(xo) = O,则./(xo)是函数的最值.二、定积分I ■ 定积分白勺概念定积分0J 思想贏无限分割、以直代曲、求和、取极限：IMF)00立简)心，而f b af(x)Jx 只是这种极限的一种记号. /=!2.定积分的性质由定积分的定义，对以得到定积分的如下性质: ⑴f kf(x)dx=kf f(x)〃x(k 为常数);aa⑵ f ［fi(x)士f2(x)］dx=f fi(x)dx 土 f f 、2(x)dx ；J a"a"Q(33. 微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积 函数.4. 定积分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是0,所以如果在区间［a, b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)30,面积的相反数.i 般情况下如下图，定积分ff(x)〃x 的几何意义是：介于X 轴，曲线y=f(x)以及直线X =a,x=b 之间各部分曲边梯形面詁的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的而 积取负号.即ff(x)Jx = Si-S 2+S 3.如图曲边扌话形的面积.设F‘ (x)=f(x),且f(x)在a b ］上连续,则?=F(b) —F(a).x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果f(x)<0,则 a<c<b).dx= F(x) “X 的值等于曲边梯形5. 定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定 积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其屮，应特别注意求定积分的运算与利用定积 分计算曲边梯形面积的区别.专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的儿何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线 相关的问题.【例1】设函数f(x)=4x 2 —Zn x+2,求曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程.解 f' (x) = 8x —7.ZY所以在点(1, f(l))处切线的斜率k = f‘ (1)=7, 又 f(l)=4+2 = 6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y —6 = 7(x —1),即y=7x —1.【例2］点P(2,0)是函数f(x) = x? + ax 与g(x)=bx 2+c 的图彖的一个公共点，且两条曲 线在点P 处有相同的切线，求a, b, c 的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x 3 + ax 与g(x)=bx 2 + c 的图象的一个公共点， 所以23 + 2a=0① 4b+c=0 ②由①得a=—4.所以 f(x) = x 3—4x.又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以 f‘ (2)=g‘ (2),而由 f‘ (x)=3x 2-4 得到 f‘ (2)=8, 由 g' (x)=2bx 得到『(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c= 一& 综上所述，a=—4, b=2, c= —& 专题二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内,如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递增;在区间(a, b)内，如果f' (x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递减.2【例3】 已知函数f(x)=x —~+ a(2 — In x), a>0.讨论f(x)的单调性.X解由题知，f(x)的定义域是(0, +8),2 a x 2—ax+2 ~2——= 2 .X X X设 g(x)=x 2-ax + 2,二次方程 g(x)=O 的判别式△ = &?一&① 当△<()即0VaV2迄吋，对一切x>0都有f' (x)>0.此吋f(x)是(0,十呵上的单调递 增函数.② 当△ = ()即a = 2迈时，仅对x=y/2,有f ，(x) = O,对其余的x>0都有f ，(x)>0.此时 f(x)也是(0, +8)上的.車调递增函数.02ZHUANTIGUINA .........................» 专题归纳整合专题i 典例掲秘③当△>()即a>2迈时，方程g(x) = O有两个不同的实根a—pa'—8 a+Qa'—8 小X] = c , X?= c , 0<X[<X2・当X变化时，f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:a—呼芳上单调递增,此时f(x)在(o,在件爭+8)上单调递增.专题三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f‘ (x)=0的根；(3)检验f‘(x) = 0的根的两侧f‘(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处収得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤⑴求f(x)在(a, b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a). f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在［a, b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a, b)也可以是(一°°, +°°).【例4】己知函数f(x)=x'+ax2 + b的图象上一点P(l,0),且在点P处的切线与直线3x +y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)±的最大值和最小值;(3)在⑴的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间［13上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.解⑴因为f' (x)=3x2+2ax,曲线在P(l,0)处的切线斜率为：F (l)=3+2a,即3+2a =—3, a=—3.又函数过(1,0)点，即一2+b=0, b=2.所以a=—3, b = 2, f(x) = x3—3x2+2.(2)rtl f(x)=x3—3X2+2得，f' (x)=3x2—6x.由F (x) = 0 得，x = 0 或x=2.①当0<tW2 时，在区间(0, t)± f (x)<0, f(x)在［0, t］上是减函数,所以f(x),”“x=f(0)=2,f(X),wn = f(t) = t3— 312 + 2.②当f(xU=f(2)=-2, f(x)哑为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)—f(0)=F — 3t2=t2(t -3)<0.所以f(x)加心=f(0)=2.(3)令g(x) = f(x)—c=x3—3x2+2 —c, g' (x) = 3x2—6x=3x(x—2).在xe[l,2)上，g' (x)<0；在xw(2,3]上，g‘(x)>0.要使g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异g(l)>0,的实根，d g(2)<0,、g⑶ 20，解得一2<cW0.专题四导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性.【例5】证明：当xe［—2,1］时，一辛冬霁一4xW#证明令他)=占？一4*, ［―2,1］,则f‘ (X)=X2-4.因为xU［—2,1］,所以f‘(x)W0,即函数f(x)在区间［—2,1］上单调递减.故函数f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f(-2)=y,最小值为f(l)=-y.所以，当xe［—2,1］时，一¥wf(x)w¥，即一¥冬$'—4xW学成立.专题五导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具, 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的収值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例6］设函数f(x)=—、'+2ax2 —3a2x+b(0<a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xe［a + l, a + 2］吋，恒有|f‘(x)|Wa,试确定a的取值范围；(3)当&=彳时，关于x的方程f(x)=0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解(l)f' (x)=-x2+4ax-3a2=—(x—a)(x —3a). 令f，(x) = 0,得x = a 或x = 3a.当xf(x)当x=a吋，f(x)取得极小值，f(x)极小=f(a)=b—扌J；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大=f(3a)=b. (2)f z (x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<l,所以2a<a+l.所以f‘ (x)在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当x=a+1 时，f7 (x)取得最大值，f z (a+l) = 2a—1；当x=a+2 时,f r (x)取得最小值，f f (a+2)=4a—4.2a —lWa,4于是有仁宀 即4a —4±—a,34又因为0<a<l,所以§Wa<l.(3)当 a=f 时,f(x)= —|x 3+jx 1 2 3—yx+b. f' (x)=—x 2+|x —由 f' (x) = 0,即一x?+|x —扌=0,2解得 X]=T ，X2 = 2,即f(x)在(一 8,寻上是减函数， 在伶2)上是增函数，在(2, +8)上是减函数. 要使f(x) = 0在[13上恒有两个相异实根， 即f(x)在(1,2), (2,3)上各有一个实根，解得0<b 吕.专题六定积分及其应用1. 定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做 功等问题的方便而且强有力的工具.2. 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标.【例7】设两抛物线y= — x?+2x, y=x 2所围成的图形为M,求M 的面积.解函数y= —x?+2x, y = x 2在同一平面直角坐标系屮的图象如图所示. 由图可知，图形M 的面积S= f '0(-x 2 + 2x-x 2)t/x=f b(—2x?+2x)dx=(—討+ x?)=g.“ JIEDUGAOKAO .....................................03》解读高考命题趋势2 导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力, 开辟了许多解题新途径，拓展了高考对•函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数 的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大.3 由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问 题.每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习f(l)W0,于是有\f(2)>0,、f(3)W0,—*+bW0, b>0,、一1 +bW0,感知考悄i 体验真题非常有必要.常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等.(2)对导数与函数的极(最)值的考查，女口：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题.(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主耍考查函数的最值或求参数的值或范围.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.高考真题(2012-湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，贝9它与x轴所围图形的面积为()•解析根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+l)(x-l)(a<0). 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=l,即a= —1. 所以f(x)= —(x4- l)(x—1)= 1 —x2.所以S= I L](l —x?)dx = 2 f '0(1 — x2)i/x = 2( x—jx答案B2.(2011-山东高考)曲线y=x3+ll在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).A.-9B. -3C. 9D. 15解析Vy=x3+ll, :.y1 =3x2, ・・・『k=i = 3,・•・曲线y=x3+11在点戸亿⑵处的切线方程为y —12 = 3(x—l)・令x=0,得y=9.答案C3.(2012-陕西高考)设函数f(x)=xe x,贝％).A.x=l为f(x)的极大值点B.x=l为f(x)的极小值点C.x= —1为f(x)的极大值点D.x= —1为f(x)的极小值点解析*.*f(x)=xe x, /. f f (x) = e x 4- xe x=e x( 1 + x)・・••当F (x)2 0时,即e x(l+x)>0,即xM — l, ・・・xM — 1时函数y=f(x)为增函数.同理可求，X< —1时函数f(x)为减函数..*.X= — 1时，函数f(x)取得极小值.答案D4.(2010-大纲全国高考)曲线丫=0卞+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为().解析 Vy , =( — 2x)‘ e ・・・切线方程为y —2=—2仪一0),即丫= -2x + 2. 如图，Ty=—2x+2与y=x 的交点坐标为 S =^ X 1 乂3=亍.答案A5. (2012-辽宁)己知P, Q 为抛物线x 2=2y ±两点，点P, Q 的横坐标分别为4, 一2, 过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 _____________________ ・解析 因为y=|x',所以y‘ =x,易知P(4,8), Q(—2,2),所以在P 、Q 两点的切线的斜率的值为4或一2.所以这两条切线方程为h ： 4x —y —8=0, 12： 2x+y+2 = 0,将这两个方程联立方程组求 得 y=—4.答案一46. (2012-安徽高考)设函数 f(x)=ae x +^+b(a>0). ⑴求f(x)在［0, +8)内的最小值；3(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y 求a, b 的值.解(l)f' (x)=ae x —当 f‘ (x)>0,即 x>~ln a 时，f(x)在(—In a, +°°)上递增； 当 f‘ (x)<0,即 xV —加 a 时，f(x)在(一 8, fa)上递减.① 当0 <a< 1时，一/舁a>0, f(x)在(0, -In a)上递减，在(fa, +8)上递增，从而f(x) 在［0, +8)上的最小值为f (一加a)=2+b ；② 当aMl 吋，一f(x)在［0, +呵上递增，从而f(x)在［0, +呵上的最小值为f(0) =a+丄+b. a12i7⑵依题意f ，(2)=ae 2—解得a ，=2或a/=—/(舍去)，所以a=尹 代入原函数 可得 2+*+b =3,即 b=£,故 a_孑,b 一2«7. (2011•北京高考)已知函数f(x)=(x-k)e x .⑴求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值. 解(l)f' (x)=(x — k+l)/ 令 f‘ (x)=0,得 x = k-l.f(x)与的变化情况如下：X ( — 8, k — 1)k-1 (k —1, +°°)F (X )—+ f(x)k-1 "e/所以，f(x)的单调递减区I 、可是(一I k-1)；单调递增区间是(k-1, +<-).(2)当 k —lW0,即 kWl 吋， 函数f(x)在［0」］上单调递增，,y=—2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),-2x所以f(x)在区间［0丄］上的最小值为f (o )=-k ； 当 0<k-l<l, EP l<k<2 时，由⑴知f(x)在［0, k-1)上单调递减， 在(k-l,l ］±单调递增，所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k —l)=—F 】； 当 k —121,即 k$2 时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以f(x)在区间［0」］上的最小值为f(l)=(l-k)e.8. (2011-江西高考)设 f(x) = —|x 3 +^x 2 + 2ax.(1)若f(x)在(彳，+s)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一乎，求f(x)在该区间上的最大值. 解(1)由 f'(x)=-x 2+x+2a当 x e J, 时，f z (x)的最大值为F 6)=#+2a ； 2 1令^+2a>0,得 a>—所以，当a>—g 时,f(X )在住，+->)上存在单调递增区间. (2)令 f' (x)=0,得两根 X!-1\1+8a所以f(x)在(一8, Xi),(X2，+8)上单调递减，在(X1，X2)上单调递增. 当 0<a<2 时，有 X )<1<X 2<4, 所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2)・27又 f(4)-f(l)=-y+6a<0,得a=l, X2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=y.9. (2011-福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y (单位：千 克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=^+10(x-6)2,其屮3<x<6, a 为常数.已 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商品每H 销售该商品所获得 的利润最大.解(1)因为x=5吋，y=ll,所以号+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=—^+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x_3)|j±+ 10(X _6)2=2+ 10(X -3)(X -6)23<X <6.从而,l+pl+8a即 f(4)<f(l),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f' (X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]=30(X-4)(X-6).于是，当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，*=4是函数俭)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)収得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每FI销售该商品所获得的利润最大.。

1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一 定积分的概念思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理 一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1n b －an f (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．知识点二 定积分的几何意义思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．梳理 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义．注意：f (x )<0(图象在x 轴的下方)时，ʃb a f (x )d x <0，－ʃb a f (x )d x 等于曲边梯形的面积．知识点三 定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)吗？答案直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)．(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．1．ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)2．ʃb a f(x)d x的值一定是一个正数．(×)3．ʃb a⎣⎡⎦⎤x3＋⎝⎛⎭⎫12x d x＝ʃb a x3d x＋ʃb a⎝⎛⎭⎫12x d x.(√)类型一利用定积分的定义求定积分例1利用定积分的定义，计算ʃ21(3x＋2)d x的值．考点定积分的概念题点定积分的概念解令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、求和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i －1)n 2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限ʃ21(3x ＋2)d x ＝lim n →∞ S n＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132. 反思与感悟 利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算ʃ32(x ＋2)d x . 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 解 令f (x )＝x ＋2.将区间[2,3]平均分为n 个小区间，每个小区间的长度为Δx i ＝1n，[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋i －1n ，2＋i n ，i ＝1,2，…，n .取ξi ＝x i ＝2＋i n ，则f (ξi )＝2＋i n ＋2＝4＋in .则∑ni ＝1f (ξi )Δx i＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4＋i n ·1n＝∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫4n ＋i n 2＝n ·4n ＋1＋2＋…＋n n 2＝4＋n ＋12n.∴ʃ32(x ＋2)d x ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫4＋n ＋12n ＝92. 类型二 利用定积分的性质求定积分例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x .考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3()ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x＝3×⎝⎛⎭⎫14＋154＝12.(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6()ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x＝6×⎝⎛⎭⎫73＋563＝126.(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3)d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .跟踪训练2 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1，且ʃ0－1(2x －1)d x ＝－2，ʃ10e －x d x ＝1－e －1，求ʃ1－1f (x )d x . 考点 定积分性质的应用 题点 定积分性质的应用解 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x ＝ʃ0－1(2x －1)d x ＋ʃ10e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．类型三 利用定积分的几何意义求定积分 例3 用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃ1－14－x 2d x ； (2)π2π-2sin d x x ⎰.考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 (1)由y ＝4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图所示．ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和，S 弓形CED ＝12×π3×22－12×2×3＝2π3－3，S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝23，∴ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)∵函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是奇函数， ∴π2π-2sin d x x ⎰＝0.跟踪训练3 求定积分：ʃ20(4－(x －2)2－x )d x .考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 ʃ204－(x －2)2d x 表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的14，即ʃ204－(x －2)2d x ＝14×π×22＝π.ʃ20x d x 表示底和高都为2的直角三角形的面积， 即ʃ20x d x ＝12×22＝2. ∴原式＝ʃ204－(x －2)2d x －ʃ20x d x＝π－2.1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1n (i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑i ＝1ni 3n 3·1n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 C解析 ②③成立．2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )A ．0B ．16C ．12D ．8考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 B解析 ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16. 4．由函数y ＝－x 的图象，直线x ＝1，x ＝0，y ＝0所围成的图形的面积可表示为( ) A ．ʃ10(－x )d xB ．ʃ10|－x |d xC ．ʃ0－1x d xD ．－ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 B解析 由定积分的几何意义可知，所求图形的面积为 S ＝ʃ10|－x |d x .5．计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x . 考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用 解 如图所示，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2， ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2.1．定积分ʃb a f (x )d x是一个和式 i ＝1n b －anf (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．一、选择题1．根据定积分的定义，ʃ20x 2d x 等于( )A.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n B ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n C.∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n D ．lim n →∞ ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n 考点 定积分的概念 题点 定积分的概念 答案 D 解析根据定积分的定义，ʃ20x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .2．下列定积分的值等于1的是( ) A ．ʃ101d x B ．ʃ10(x ＋1)d x C ．ʃ1012d x D ．ʃ10x d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 A解析 D 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32，A 项，ʃ101d x ＝1，故选A. 3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 D解析 A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大． 4．与定积分3π2x ⎰相等的是( )A.3π20sin d x x ⎰B.3π2sin d x x ⎰C ．ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰D.π3π22π02sin d sin d x x x x +⎰⎰考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分性质 答案 C解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤π，3π2时，sin x <0. ∴由定积分的性质可得，3π2sin d x x ⎰＝ʃπ0|sin x |d x ＋3π2πsin d x x ⎰＝ʃπ0sin x d x ＋()3π2πsin d x x -⎰＝ʃπ0sin x d x －3π2πsin d x x ⎰.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 求出的是( )考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义答案 B解析 定积分S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，B 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方，故选B.6．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．ʃ10[(1－y )－y ]d y B ．()121d x x x -+-⎡⎤⎣⎦⎰ C ．()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰D ．ʃ10[x －(－x ＋1)]d x考点 定积分的几何意义及性质 题点 定积分的几何意义 答案 C解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12，故A ⎝⎛⎭⎫12，12.由图知阴影部分的面积可表示为()112102d 1d x x x x +-+⎰⎰.7．设a ＝ʃ1013x d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a ＝b >cD ．c >a >b考点 定积分几何意义的应用 题点 定积分几何意义的应用答案A解析根据定积分的几何意义，易知ʃ10x3d x<ʃ10x2d x<ʃ1013x d x，即a>b>c，故选A.8．若ʃa－a|56x|d x≤2 016，则正数a的最大值为() A．6 B．56C．36 D．2 016考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用答案A解析由ʃa－a|56x|d x＝56ʃa－a|x|d x≤2 016，得ʃa－a|x|d x≤36，∵ʃa－a|x|d x＝a2，∴a2≤36，即0<a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题9．若ʃ1012f(x)d x＝1，ʃ0－13f(x)d x＝2，则ʃ1－1f(x)d x＝________.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用答案8 3解析∵ʃ1012f(x)d x＝12ʃ10f(x)d x＝1，∴ʃ10f(x)d x＝2.又ʃ0－13f(x)d x＝3ʃ0－1f(x)d x＝2，∴ʃ0－1f(x)d x＝2 3.∴ʃ1－1f(x)d x＝ʃ0－1f(x)d x＋ʃ10f(x)d x＝23＋2＝83.10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．考点定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 ʃ2－4x 22d x 11．定积分ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝________.考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 2＋π4解析 原式＝ʃ102d x ＋ʃ101－x 2d x .因为ʃ102d x ＝2，ʃ101－x 2d x ＝π4， 所以ʃ10(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4. 12．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且ʃ10f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为________． 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 f (x )＝65x ＋25解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (x )图象过(3,4)点，∴3a ＋b ＝4.又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝a ʃ10x d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1， 得⎩⎨⎧ a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.三、解答题 13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 如图画出函数f (x )的图象．由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1. 所以ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53⎝⎛⎭⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92. 四、探究与拓展14．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成的图形的面积．y ＝－x 2－2x 是一个以(－1,0)为圆心，1为半径的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，所以m ＝－1. 15.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为14＋16π， 求ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . 考点 定积分几何意义的应用题点 定积分几何意义的应用解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2， 得x ＝±2.∴阴影部分的面积为ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π， ∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得，ʃ20⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12ʃ2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

人教版高中数学选修2-2 学案1.3.1 函数的单调性与导数（一）【学习目标】1.了解函数的单调性与导数之间的关系；2. 用导数研究函数的单调性，会求函数的f(x)＝ x2－ 4x切线的单调区间． f ′(x)【新知自学】＋3斜率知识回顾：增函数正＞0( 2，＋∞ )1.在《必修一》中函数单调性是如何定义的？( －∞，2)减函数负＜02.由定义如何证明函数在定义域的单调性？3.函数在图象上某点处的导数的几何意义是____________________________.新知梳理：1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线 y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝ f(x)的导数．从函数y＝x2－4x＋3的图象可以看到：人教版高中数学选修2-2 学案在区间（ 2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y＝ f(x) 的值随着 x 的增大而增大，即y ′＞0 时，函数y＝ f(x)在区间（ 2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数 y＝ f( x)的值随着 x 的增大而减小，即 y′＜ 0 时，函数 y＝ f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．2. 定义：一般地，设函数y＝ f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞ 0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的___________；如果在这个区间内y ′＜ 0，那么函数 y＝ f( x)为在这个区间内的____________．感悟：用导数求函数单调区间的步骤：①优先确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数 f ( x) ;③定义域内满足不等式 f ( x) ≥0的x的区间就是递增区间；满足不等式 f ( x) ≤0的x的区间就是递减区间．对点练习：1.在区间 (a, b)内f/(x)＞ 0 是 f (x)在 (a, b)内单调递增的()A. 充分而不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数 y 3x x 3的单调增区间为( )(A)(0, )(B)(, 1)(C)(1,1)(D )(1,)3f (x) 在a,b上的图像是连续不断的，x a, b时， f/(x)00 ，则（）．若函数＜，又 f (a)A. f (x)在a,b上单调递增，且 f (b)0B. f (x)在a,b上单调递减，且 f (b)0C. f (x)在a,b上单调递增，且 f (b)0D. f (x)在a,b上单调递减，且 f (b)04．函数f (x)的定义域为(0, ) ，且 f (x)0 ， f / ( x)0 ，那么函数 y xf ( x) （）A. 不单调B.无法确定C. 是减函数D.是增函数【合作探究】人教版高中数学选修2-2 学案典例精析：例 1. 求出下列函数的单调区间：（１） f ( x) x 33x ；（２） f ( x) sin x x, x (0,) .变式练习：求出下列函数的单调区间：（１） f ( x) x22x 4 ；（２） f ( x) e x x .例 2.证明:函数f (x)sin x 在区间(, ) 上单调递减.x2变式练习：证明函数 f ( x)ln xx在区间 (0,e)上是递增函数.规律总结：1.研究函数的单调性，优先考虑单调性；2. f ( x) >0(或 <0), 则 f(x) 是增函数（或减函数）；但要特别注意， f(x) 是增函数（或减函数），则 f ( x) ≥ 0（或 f ( x) ≤ 0）．【课堂小结】【当堂达标】1.函数 f(x)=x+lnx 在 (0,6)上是（）A. 单调增函数B. 单调减函数C.在 (0,1) 上是减函数，在 (1,6) 上是增函数eeD. 在 (0, 1) 上是增函数，在 (1,6) 上是减函数ee2. 若函数 f (x) 在 ( a, b) 上的象是连续不断的， xa,b 时， f / (x)＞ 0，又 f (a)0 ，则有 ()A. f (b) 0B. f (b) 0C. f (b)D. f (b) 的正负不确定3.函数 y=x 3 的单调增区间是 ___________________.4. 确定函数 f(x)＝2x 3－6x 2＋7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．【课时作业】1.设 f ( x)x2 ）(x 0),则 f ( x) 的单调递增区间为（xA.( , 2)B.( 2,0)C .(, 2)D .( 2,0)2. 函数y上是（）x ln x 在区间（ 0，1）A. 单调增函数B. 单调减函数11C.在（ 0， ）上是减函数，在( ,1) 上是增函数 ee1( 1,1)D .在（ 0， ）上是增函数，在上是减函数e e3.函数 yx 33x 的单调增区间为_____________________ ．4.求下列函数的单调性：（1） y=x-lnx;2（2） y=ln(2x+3)+x.5.求函数 f ( x) x 33x 22x 的单调区间，并画出函数的大致图象．6.已知函数y＝x＋1，试讨论出此函数的单调区间．x7.求函数 f ( x) lg( x x2 ) 的单调区间.。

1．3.1函数的单调性与导数[目标] 1.结合实例，借助几何直观探索并体会函数的单调性与导数的关系.2.能够利用导数研究函数的单调性，并学会求函数的单调区间．[重点] 利用导数求函数的单调区间和判断函数的单调性．[难点] 根据函数的单调性求参数的取值范围．知识点一函数的单调性与其导数正负的关系[填一填]在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．[答一答]1．函数y＝f(x)在(a，b)内满足f′(x)>0是f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件吗？提示：不是．在某个区间内f′(x)>0是函数f(x)在此区间内为单调递增函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)>0.2．利用导数求函数f(x)单调区间的一般步骤是什么？提示：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．知识点二函数单调性与导数值大小的关系[填一填]一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上1．如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)上变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)．2．如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)上变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．[答一答]3．某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？提示：不是．导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小．4．若f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如下图，则f(x)的图象只可能是(D)解析：由于导函数图象在x轴及其上方，故原函数为增函数．又因为导函数f′(x)先增后减，说明原函数在曲线前半段上点的切线斜率逐渐增大，而后半段上点的切线斜率越来越小．故选D项．1．函数的单调性与其导数的关系(1)在(a，b)内，f′(x)>0(<0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是在(a，b)内，f′(x)≥0(≤0)，并且f′(x)＝0在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立．2．利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．(4)如果函数在某个区间上，恒有f′(x)＝0，则f(x)为该区间上的常数函数，如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.类型一函数图象与导函数图象间的关系【例1】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()【解析】 由函数y ＝f (x )的图象的增减变化趋势判断函数y ＝f ′(x )的正、负情况如下表：x(－1，b ) (b ，a ) (a,1)f (x )f ′(x ) － ＋－ x 轴下方；当x ∈(b ，a )时，在x 轴上方；当x ∈(a,1)时，在x 轴下方．故选C.【答案】 C(1)利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可.(2)通过图象研究函数的单调性的方法：①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x 轴的交点，分析导数的正负.已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是如图所示的( C )解析：本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x (－∞，0)(0,2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)(2，＋∞)上是增函数，故满足条件的只有C，故选C.类型二求函数的单调区间【例2】(1)已知函数f(x)＝x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是________，单调递增区间为________．(2)讨论函数f(x)＝x2－a ln x(a≥0)的单调性．【思路分析】(1)由f′(x)>0和f′(x)<0划分单调区间；(2)按a>0，a＝0分类讨论．【解析】(1)f′(x)＝3x2－6x，由f′(x)>0得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)解：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－a x ，设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；当a >0时，由g (x )＝0得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)．当x ∈(0，2a 2)时，g (x )<0，即f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞时，g (x )>0，即f ′(x )>0. 所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞上为增函数． 综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞，单调递减区间是(0，2a 2)．【答案】 (1)(0,2) (－∞，0)和(2，＋∞)(2)见解析含有参数的函数单调性问题的处理方法(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x. 令f ′(x )>0，即2(3x 2－1)x>0， ∵x >0，∴x >33.∴函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. 令f ′(x )<0，即2(3x 2－1)x<0， ∵x >0，∴0<x <33.∴函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，33. ∴函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，33 . 类型三 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】 若函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．【思路分析】 求出f (x )的单调递减区间，利用(0,2)是减区间的子集解决．【解】 f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )．当a ＝0时，f ′(x )≥0，故y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，与y ＝f (x )在(0,2)上单调递减不符，舍去．当a <0时，由f ′(x )<0得23a <x <0，即f (x )的减区间为(23a,0)，与f (x )在(0,2)上单调递减不符，舍去．当a >0时，由f ′(x )<0得0<x <23a ，即f (x )的减区间为(0，23a )，由f (x )在(0,2)上单调递减得23a ≥2，得a ≥3.综上可知，a 的取值范围是[3，＋∞)．已知函数y ＝f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数的范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；(3)分离参数法.由f ′(x )≥0或f ′(x )≤0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数.只要求出其最值，即可求参数范围.(1)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，－3]，[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)，(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a 2－12≤0得－3≤a ≤ 3.(2)若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( A )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1解析：∵y ′＝3a (x 2－13)＝3a (x －33)(x ＋33)， 当－33<x <33时，(x －33)(x ＋33)<0，∵函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减，所以y ′≤0， 即a ≥0，经检验a ＝0不合题意，∴a >0.导数在证明不等式中的应用【例4】 当x >0时，证明不等式ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】 设f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝x －12x 2，F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2.函数F (x )的定义域为(－1，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x 2x ＋1. 当x >0时，F ′(x )>0恒成立，∴函数F (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数，故F (x )>F (0)＝0，从而f (x )>g (x )，即ln(x ＋1)>x －12x 2.【解后反思】 要证明不等式g (x )>φ(x )(或g (x )≥φ(x ))成立，可以构造函数f (x )＝g (x )－φ(x )，然后再利用导数研究函数f (x )＝g (x )－φ(x )的单调性，根据单调性获得f (x )>0(或f (x )≥0)，从而证明了不等式g (x )>φ(x )(或g (x )≥φ(x ))．已知x >1，证明x >ln(1＋x )．证明：设f (x )＝x －ln(1＋x )(x >1)，f ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x，由x >1，知f ′(x )>0. ∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝1－ln2>0，即f (1)>0.∵x >1，∴f (x )>0，即x >ln(1＋x )．1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( A )A ．(－∞，－1]，[0,1]B ．[－1,0]，[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1)，[1，＋∞)解析：因为y ′＝4x 3－4x ＝4x (x －1)(x ＋1)，所以令y ′<0，则有x (x －1)(x ＋1)<0，可得x <－1或0<x <1，又因为端点不影响单调性，故选A.2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( A )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定解析：∵在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，故f (x )在区间(a ，b )内为增函数，所以f (x )>f (a )≥0，即f (x )>0，故选A.3．函数f (x )＝x 3－x 的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－33，33. 解析：由y ′＝3x 2－1, 令f ′(x )＝0，即x ＝±33，列表如下：⎝⎭⎝⎭减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－33，33. 4．函数y ＝x 2·e x 的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)．解析：y ′＝2x ·e x ＋x 2e x ＝(x 2＋2x )e x ，由y ′>0，e x >0得x 2＋2x >0，即x >0或x <－2.5．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，令G (x )＝1x 2－2x ，即a ≥1x 2－2x ，恒成立，令G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1. 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x＝(7x －4)(x －4)16x. 因为x ∈[1,4]，所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x≤0， 即h (x )在[1,4]上为减函数．故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

1．3.2函数的极值与导数(一)学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点和极值思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f (x )的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③列表；④利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × ) 2．函数的极大值一定大于极小值．( × ) 3．函数y ＝f (x )一定有极大值和极小值．( × ) 4．极值点处的导数一定为0.( × )类型一 求函数的极值点和极值 命题角度1 不含参数的函数求极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2xx 2＋1－2；(2)f (x )＝ln x x. 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝x 2e －x .考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 解 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值f (－1)＝143，当x ＝3时，函数有极小值，且极小值f (3)＝－6. (2)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且极小值为f (0)＝0. 当x ＝2时，函数有极大值，且极大值为f (2)＝4e －2. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2.分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)上是增函数，在(－2a ，a －2)上是减函数，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)上是增函数，在(a －2，－2a )上是减函数，函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .反思与感悟 讨论参数应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2相等与否入手进行． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 含参数求极值问题解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 类型二 利用函数的极值求参数例3 (1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．(－1,0)(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝________，b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增， 所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. (2)因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数， 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值，因此a ＝2，b ＝9. 反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 跟踪训练3 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值点求参数 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， ∴f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a2＋4b ＋1＝0，解得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点.1.函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A ．在(1,2)上函数f (x )为增函数B ．在(3,4)上函数f (x )为减函数C ．在(1,3)上函数f (x )有极大值D ．x ＝3是函数f (x )在区间[1,5]上的极小值点 考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 D解析 根据导函数图象知，x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，x ∈(4,5)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x ＝2是f (x )在[1,5]上的极大值点，x ＝4是极小值点．故选D.2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 D解析 函数f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2x2，令f ′(x )＝0，即1x －2x2＝0得，x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 因为x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________． 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 判断极值点的个数 答案 0解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2.5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋bx，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，∴a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)得，f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x.又f (x )的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． f (x )极小值＝f (1)＝12.1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根；(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．一、选择题1．下列函数中存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3考点 利用导数研究函数的极值 题点 极值存在性问题 答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0. 在区间(－∞，0)上，y ′>0； 在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故x ＝0为函数y ＝x －e x 的极大值点．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．1－e C ．－1D ．0 考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 C解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0， 故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是() A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数答案B解析因为f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，所以f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)>0，得x<2或x>3.4．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案D解析当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极小值为－427，极大值为0D．极大值为－427，极小值为0考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由函数f (x )的图象与x 轴切于点(1,0)，得p ＋q ＝1， ∴q ＝1－p ，① 3－2p －q ＝0，②联立①②，解得p ＝2，q ＝－1， ∴函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ，则f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝13.当x ≤13时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当13<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫13＝427， f (x )极小值＝f (1)＝0.故选A.6．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析 y ′＝(x －a )(3x －a －2b )，由y ′＝0得x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3.当x ＝a 时，y 取得极大值0，当x ＝a ＋2b 3时，y 取得极小值且极小值为负，故选C.7．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 B解析 f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0， ∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值， ∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π， ∴0≤k <1 008，k ∈Z . ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π) ＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.二、填空题8．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________． 考点 函数某点处取得极值的条件 题点 不含参数的函数求极值问题 答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0， 得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴在极值点处的切线方程为y ＝－1e.9．若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －5解析 ∵函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值， ∴f ′(x )＝(x 2＋c )＋(x －2)×2x ，令f ′(2)＝0，∴(c ＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c ＝－4， ∴f ′(x )＝(x 2－4)＋(x －2)×2x .∴函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为 f ′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5. 10．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 －1解析 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1， 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1， f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________. 考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数 答案 30解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验知，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30. 三、解答题12．设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．考点 函数在某点处取得极值的条件 题点 不含参数函数求极值 解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0， 从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为单调递减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为单调递增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.13．已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．考点 利用导数研究函数的极值 题点 已知极值(点)求参数解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，得x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－m )－m ⎝⎛⎭⎫－m ，23m23m ⎝⎛⎭⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴f (x )有极大值f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 四、探究与拓展14．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用 答案 C解析由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0；排除B，D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.15．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x(a≤2，x∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解(1)f(x)＝(x2＋x＋1)e x，f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x＋1)e x＝(x2＋3x＋2)e x.当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，当f′(x)<0时，解得－2<x<－1，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调递减区间为(－2，－1)．(2)令f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x＝[x2＋(2＋a)x＋2a]e x＝(x＋a)(x＋2)e x＝0，得x＝－a或x＝－2.当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，函数无极值，故舍去；当a<2时，－a>－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2<2，所以存在实数a<2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.。

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。