高中数学 选修1-1 同步练习 专题3.3.3 函数的最大(小)值与导数(解析版)

第三章 导数及其应用

3.3.3 函数的最大（小）值与导数

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数2(n)2lfxxx在[1,2]上的最大值是

A．42ln2 B．1

C．42ln2 D．1

【答案】A

2．已知函数1()()2ln()fxaxxaxR，()agxx，若至少存在一个0[1,e]x，使00()()fxgx成立，则实数a的取值范围为

A．2[,)e B．(0,)

C．[0,) D．2(,)e

【答案】B

【解析】由题意得()()0fxgx在[1,e]上有解，即min2ln2ln0,()xaxxax，

设2lnxyx，则22(1ln)0xyx，因此当1x时，min2ln()0xx，则0a．故选B．

3．若函数32231(0)e(0())axxxxxxf在[2,3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是

A．1[ln2,)3 B．10,ln23[]

C．(,0] D．1(,ln2]3

【答案】D

【解析】依题意，时，，函数()fx在上单调递增，在上单调

递减，最大值为，故当时，，即，故选D．

4．若函数3()3fxxx在区间2(,6)aa上有最小值，则实数a的取值范围是

A．(5,1)

B．[5,1)

C．[2,1)

D．(5,2]

【答案】C

5．若存在正实数,,xyz，使得e2zxyz，且2exzx，则lnyx的取值范围是

A．1[1ln2,]2

B．[1ln2,e1ln2]

C．[ln2,e1ln2] D．1[,1]2

【答案】B

【解析】易得elnlnlnlnlnln2ln2zxyyxxxxxzzzzz，由2exzx可得1e2xz，

设xtz，则1[,e]2t，令l(n)n2lfttt，1[,e]2t，则11()1tfttt．

易得函数()ft在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min()(1)1ln2ftf，

因为1111()lnln22222f，1(e)e1ln22f，所以max(ee1n2()l)fft，

所以[1ln2,e1ln2]()ft，即ln[1ln2,e1ln2]yx．故选B．

6．已知函数e()exxxfxa，0a，若函数()fx的最小值为1，则a

A．21e B．1e

C．e D．2e

【答案】A

二、填空题：请将答案填在题中横线上．

7．若函数31()3fxxx在2(,10)aa上有最小值，则实数a的取值范围为________________．

【答案】(3,1)

【解析】2()1fxx，则由()0fx，得1x或1x；由()0fx，得11x，所以1x是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)aa，即2110aa，解得31a．

8．已知函数23((4)2)ln2fxxaxx，若函数()fx在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范围是________________．

【答案】(9,5)

【解析】由题可得22(3(43)2)()4xaxxxaxf'x，因为函数()fx在区间(1,2)上存在最值，所以()(120)f'f'，即9)50()(aa，解得95a，故实数a的取值范围是(9,5)．

9．已知32()26fxxxm（m为常数）在[]2,2上有最大值3，那么此函数在[]2,2上的最小值为________________．

【答案】37

【解析】由题意知2()612fxxx，由()0fx得0x或2x，当0x或2x时，()0fx；当02x时，0()f'x，则()fx在[]2,0上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知(0)3fm，故(2)5f，(2)37f，从而最小值为37．

10．抛物线22yx与x轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．

【答案】869

11．已知函数e,1()e,1xxxfxx，2()gxmx，若函数)())((fxFgxx有四个不同的零点，则实数m的取值范围为________________．

【答案】2e[e,)4

【解析】显然函数()fx的定义域为(,1][1,)，函数()gx的定义域为(,)，且()fx

()fx，()()gxgx，所以函数()fx，()gx都是偶函数．要使函数()Fx有四个不同的零点，则当

1x时2e0xmx有两个不同的实数根，由2e0xmx可得2exmx，则直线ym与曲线2e()xhxx在[1,)上有两个不同的交点．因为3(()e2)xxh'xx，所以当12x时，()0h'x；当2x时，()0h'x，所以2maxe()(2)4hxh，又22e4(e)ee(1)hh，所以当em2e4时直线ym与曲线2e()xhxx在[1,)上有两个不同的交点，即当2ee4m时函数()Fx有四个不同的零点，故实数m的取值范围为2e[e,)4．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

12．已知函数3()3fxxx，求函数()fx在3[3,]2上的最大值和最小值．

【答案】最大值为2，最小值为18．

【解析】2()33,()0,1,1fxxfxxx令得或．

当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：

x (3,1) 1 (1,1) 1 3(1,)2

()fx + 0 – 0 +

()fx 递增 极大值 递减 极小值 递增

因此，当1x时，()fx有极大值，为(1)2f；当1x时，()fx有极小值，为(1)2f，

又39(3)18,()28ff，所以函数()fx在3[3,]2上的最大值为2，最小值为18．

13．已知函数()exfxax，其中e为自然对数的底数．

（1）当2a时，求曲线()fx在点(0,(0))f处的切线方程；

（2）当1a时，求函数()fx在[0,]a上的最大值．

【答案】（1）10xy；（2）2eaa．

由题可得(0)1f，2e()afaa，设2()()(0)e1ahafafa，则2()eahaa，

设e(2)aHaa，则当1a时e2(0)aH'a恒成立，

所以当1a时1()()1e210hah，所以函数()ha在(1,)上单调递增．

又12(1)e11e20h，所以当1a时()0ha恒成立，即当1a时()()0faf，

所以当1a时，函数()fx在[0,]a上的最大值为2e()afaa．

14．已知函数2(1)3ln()fxaxx，aR．

（1）当2a时，求曲线()yfx在点(1,()1)f处的切线方程；

（2）若对任意的[1,e]x，()2fx恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）530xy；（2）25(,)(e1)．

又2(1)0h，e30)7e(h，所以存在0(1,e)x，使得0()0hx．

所以当0[1,)xx时，0()gx；当0(,e]xx时，0()gx．

所以函数()gx在0[1,)x上单调递增，在0(,e]x上单调递减．

由min()agx可得()1ag且()eag，即12a且25(e1)a，

又2155210e(1)，所以25(e1)a，故实数a的取值范围为25(,)(e1)．

15．已知函数21()e2xfxxaxa，()gx为函数()fx的导函数．

（1）求函数()gx的单调区间；

（2）若函数()gx在(,)上存在最大值，且max()0gx，求函数()fx在[0,)上的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）1．