1.3.3函数的最大(小)值与导数

栏 目 链 接
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
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∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
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π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
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解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
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点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．

人 教
A
版
数
学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
(2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－1,0) 0 (0,2)
f′(x)
－
0＋
人
f(x)
b
教 A
所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.
版 数
学
又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例3] 已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，
使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，
人
b的值，若不存在，说明理由．
教 A
版
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
数 学
①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，
极值与最值的区别和联系
(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部
对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情
况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．
人
(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的
教 A
函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．
版 数
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么 学
第一章 导数及其应用 (选修2-2)
[例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线方程；
人
教
A
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、【教学目标】重点: 求函数最值的方法.难点：函数存在最值的的条件；求函数最值的方法.知识点：理解函数最值的特点；掌握函数存在最值的的条件及用导数求函数最值的方法.能力点：通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力.教育点：通过以学生为主体的教学方法,让学生自己探究函数最值的求法,发展体验获取知识的感受.自主探究点：通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习,勇于创新的精神.考试点：求函数最值的方法.易错易混点：极值和最值的区别与联系.拓展点：通过函数的最大（小）值与导数教学,建立概念间的多元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯.二、【复习回顾】【师生活动】（1）师:好美的图片啊,这里的山高低起伏，层峦叠嶂，你能用两句诗形容这里的山吗?生:横看成岭侧成峰,远近高低各不同.（2）师:我们从图片上提炼出来一段图象,观察闭区间],[b a 上函数)(x f y 的图象,找出它的极大值点,极小值点.生:极大值点：642,,x x x 极小值点：531,,x x x 【设计意图】利用课件的生动性激发学生的学习兴趣.师:我们在图象上取一个闭区间],[d c ，以这一段为例，你能说出极大值的定义吗?这里的极大值也是最大值，那你能再说一下最值的定义吗? 【设计意图】温故而知新,通过学生回答,为本节课的学习作铺垫.教师总结：极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?这就是我们这一节课的主要内容----函数的最大（小）值与导数. 【设计意图】 通过教师总结,引出最值及本节课的课题. 三、【探究新知】探究一：函数在区间],[d c 上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位置取最值?探究二：函数在区间]c上有最大值、最小值吗?如果有，分别在什么位[d,置取最值?探究三：函数在区间]c上还有最大值、最小值吗?如果有，分别又在什,[d么位置取最值?四、【理解新知】师：通过三个探究，我们来思考总结下面两个问题：思考1：你能从自变量的范围和图象的角度说明函数在什么情况下有最值吗?（学生分组讨论，完成总结）学生回答，教师板书：最值存在性定理：一般地，如果在区间]f(xy 的图象是一条连续不断的曲,a上函数)[b线，那么它必有最大值和最小值。

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小 值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则 一定是极大值(或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值.
3
4 小值为 3
.
练习
P31 (1)----(4)
小结
] 1. 求 f ( x )在 [a, b 上的最大值与最小值的步骤 :
①求函数 f ( x )在 (a , b) 内的极值；
) f (a )、f (b)的值； ②求函数 f ( x 在区间端点
③将函数 f ( x )在各极值与 f (a )、f (b) 比较，其中最大的一
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
复习引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的 方法是: ①如果在x0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧f/(x)<0 ,那 么,f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧f/(x)>0 ,那 么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 两侧的导数异号时取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.
个是最大值，最小的一个是最小值． 2.求函数最值的一般方法： ①.是利用函数性质 ②.是利用不等式 ③.是利用导数
作业
P31
6
y y=f(x) o y y=f(x)