广东省广州市2019届高三第一学期调研考试(一模)文科数学试题(解析版)

广东广州2019年高三年级1月调研测试--数学（文）数学〔文〕总分值：150分、时间：120分钟、本卷须知1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上.2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、复数1 i〔i为虚数单位〕的模等于〔〕AB 、1 CD 、122、集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，那么=B A 〔 〕 A 、}0{ B 、}4,0{ C 、}4,2{ D 、}4,2,0{3、函数()2030x x x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 那么14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是〔 〕A 、9B 、19C 、9-D 、19-4、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设34512a a a ++=，那么7S 的值为〔 〕A 、56B 、42C 、28D 、14 5、e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增区间是 A . )1,⎡-+∞⎣ B 、(1,⎤-∞-⎦ C 、)1,⎡+∞⎣ D 、(1,⎤-∞⎦确的是〔〕A 、αα//,//,//n m n m 则若B 、βαγβγα//,,则若⊥⊥C 、n m n m //,//,//则若ααD 、n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7、如图1，程序结束输出s 的值是〔〕 A 、30 B 、55C 、91D 、1408、函数()()212f x x x cos cos =-⋅，x ∈R ，那么()f x 是〔〕 A 、最小正周期为2π的奇函数B 、最小正周期为π的奇函数C 、最小正周期为2π的偶函数D 、最小正周期为π的偶函数9、在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,那么方程图222221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为〔〕 A 、12B 、1532C 、1732D 、313210、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗假设对任意2x >，不等式()2x a xa -⊗≤+都成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.17,⎡⎤-⎣⎦B.(3,⎤-∞⎦C.(7,⎤-∞⎦D.()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分.〔一〕必做题〔11～13题〕11、()f x 是奇函数,()()4g x f x =+,()12g =,那么()1f -的值是.12、向量a ，b 基本上单位向量，且a b12=，那么2-a b 的值为.13、设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，假设ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=，那么sin A 的值是.〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14.〔几何证明选讲选做题〕如图2，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙于C ，假设4AP =，2PB =，那么PC 的长是. 15、〔坐标系与参数方程选讲选做题〕 圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正图3625x 0611y 11988967乙甲半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=,那么直线l 截圆C 所得的弦长是.【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕函数2f x x x()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 〔1〕求函数)(x f y =的单调递增区间； 〔2〕假设43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值.17、〔本小题总分值12分〕某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩〔总分值100分〕的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. 〔1〕求x 和y 的值；〔2〕计算甲班7位学生成绩的方差2s ；〔3〕从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x xn ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12n x x x x n+++=.18、(本小题总分值14分)四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.〔1〕求证：AD PC ⊥；〔2〕求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19、〔本小题总分值14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. 〔1〕求数列}{n a 的通项公式； 〔2〕求数列{}n na 的前n 项和nT .20.〔本小题总分值14分〕()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行.〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕是否存在t ∈N *，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？假设存在，求出t 的值；假设不存在，说明理由. 21.〔本小题总分值14分〕椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；(2) 假设过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR+=成立的动点R 的轨迹方程； (3) 假设点R 满足条件〔2〕，点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.参考答案说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数、2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、2018-1-103、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、 【一】选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCADCCBC【二】填空题11、2114.【三】解答题16、(本小题要紧考查三角函数性质、同角三角函数的差不多关系、二倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x cos sin =+……………1分x xsin cos⎫=+⎪⎪⎝⎭4xsinπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.……………3分由22242k x k,πππππ-+≤+≤+……………4分解得32244k x k k,ππππ-+≤≤+∈Z.……………5分∴)(xfy=的单调递增区间是32244k k k[,],ππππ-++∈Z (6)分〔2〕解：由〔1〕可知)4sin(2)(π+=xxf，∴43f()παα-==，得13sinα=.……………8分∴)42(πα+f=22sinπα⎛⎫+⎪⎝⎭……………9分2cosα=……………10分()212sinα=-……………11分9=.……………12分17、(本小题要紧考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x+++++++=.……………1分∴5x =.……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =.……………3分〔2〕解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=.……5分 〔3〕解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ……………6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ……………7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E .……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E .……………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事 件M ，那么()710P M =.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710.……………12分18、〔本小题要紧考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力〕〔1〕证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的FE D CBAP中点E ，连接PE ，那么PE ⊥平面ABCD .……………2分 ∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD PE ⊥.……………3分 ∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ，∴AD ⊥平面PCD .……………5分 ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD PC ⊥.……………6分〔2〕解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在Rt △PED中，PE ==7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB PE ⊥.……………8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E =，∴AB ⊥平面PEF .……………9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.……………10分依题意得2EF AD ==.……………11分 在Rt △PEF中，3PF ==，……………12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6.……………14分 19、(本小题要紧考查数列、数列求和等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)〔1〕解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列， ∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S .……………1分∴12)1(11-⋅+=-n n a S . 从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a .……………3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a .……………4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列……………5分 ∴=1a 1.∴12-=n nS .……………6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a .……………7分∵11=a 符合12-=n na ， ∴12-=n n a .……………8分 〔2〕解：∵12n n na n -=，∴1211122322n nT n -=⨯+⨯+⨯++.①……………9分 21231222322n nT n =⨯+⨯+⨯++.②……………10分①-②得2112222n n nT n --=++++-……………11分12212n nn -=--……………12分 =()121nn --.……………13分∴()121n n T n =-+.……………14分20.〔本小题总分值14分〕(本小题要紧考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5f x ax x =-，0a >.……………1分∴25f x ax a /()=-……………2分∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行， ∴()16f /=-.……………3分 ∴256a a -=-，解得2a =.……………4分 ∴()()225210f x x x x x =-=-……………5分解法2：设()2f x ax bx c =++，∵不等式()0f x <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,. ∴02550c a b ,=+=.①……………2分 ∵2f x ax b /()=+.又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行， ∴()16f /=-. ∴26a b +=-.②……………3分由①②,解得2a =,10b =-.……………4分 ∴()2210f x x x =-.……………5分〔2〕解：由〔1〕知，方程()37f x x+=等价于方程32210370x x -+=. ……………6分设()h x =3221037x x -+，那么()()26202310h x x x x x /=-=-.……………7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；………8分 当103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (9)分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭……………12分 ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根.……………13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根……………14分21.(本小题要紧考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()0,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=，解得023x =.……………1分∵点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴202443y x ==⨯，解得0y =. ∴点P的坐标为23⎛ ⎝⎭.……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，…………4分 解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.……………5分 解法2:抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0， 设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>.∵53PF =,∴()2202519xy -+=.①……………1分∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =.②解①②得023x =,0y =. ∴点P的坐标为23⎛ ⎝⎭.……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，……………4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.……………5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 那么()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+. ∵FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=.①……………6分 ∵M 、N 在椭圆1C 上，∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y yx x y+-=--.③……………7分 设FR 的中点为Q ，那么Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MNAQ kk =,即121221312yy y y x x x x -==+-++.④……………8分 把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=.……………9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.……………10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=.设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 那么2122834k x x k +=-+, ()()()1212122611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ∴21228134k x x x k +=+=-+,①2634k y k =+.②……………7分 ①÷②得()314x k y+=-，③……………8分 把③代入②化简得()2243430y x x +++=.(*)……………9分当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-, 依题意,可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.……………10分(3)解:由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++,由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-.……………11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=……………12分∴当3x =-时,4RF max=,……………13分如今,415RT max=+=.……………14分。

广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()11i z +=，则复数z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12 C ．12i - D ．12- 2.已知集合{}{}2|0,|1A x x B x x =>=<，则AB = （ ）A ．()0,+∞B ． ()0,1C ． ()1,-+∞D ．()1,0- 3. “常数m 是2与8的等比中项”是“4m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（ ）A ．320 B ．325π C ．325 D ．20π 5. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点，点F 到C 的一条渐近线的距离为2a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．．2 6. 等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．488π+B ．968π+ C. 9616π+ D ．4816π+ 8.已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 （ ） A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C. 把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（ ）A ．n 是偶数，100n ≥B ．n 是奇数，100n ≥ C. n 是偶数，100n > D ．n 是奇数，100n > 10.已知函数()xf x e在其定义域上单调递减，则函数()f x 的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线2:,C y x M =为x 轴负半轴上的动点，,MA MB 为抛物线的切线，,A B 分别为切点，则MA MB 的最小值为 （ ）A ．14-B ．18- C. 116- D ．12- 12.设函数()121,25,2x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222ab c ++的取值范围是 （ ）A ．()16,32B ．()18,34 C. ()17,35 D ．()6,7 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知单位向量12,e e 的夹角为30°，则123e e -= ．14.设,x y 满足约束条件6456543x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ． 16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,CDG,ADH ABE BCF ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22b c a a ⎫+=+⎪⎪⎝⎭.（1）证明：a A =； （2）若,36A B ππ==，求ABC ∆的面积.18.“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 3000 6000800010000 1 0规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”.（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在30016000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.19.如图，在直角梯形ABCD 中，//,AD BC AB BC ⊥，且24,,BC AD E F ==分别为线段,AB DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE CF ⊥，得到如下的立体图形. （1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD EC ⊥，求点F 到平面ABCD 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且C 过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点（点,P Q 均在第一象限），且直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.21. 已知函数()2xf x e x ax =--.（1）证明：当22ln 2a ≤-时，函数()f x 在R 上是单调函数； （2）当0x >时，()1f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆()()221:2420C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，()2:3C R πθρ=∈.（1）求1C 的极坐标方程和2C 的平面直角坐标系方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()6R πθρ=∈，设2C 与1C 的交点为O M 、，3C 与1C 的交点为O N 、，求OMN ∆的面积.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()331,412f x x a x g x x x =-++=--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在12,x x R ∈，使得()1f x 和()2g x 互为相反数，求a 的取值范围.广东省2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:DCBAC 6-10: ABBDA 11、12：CB 二、填空题13. 1 14. 2 15. 14 16. 27三、解答题17.解：（1）因为2223b c a +=+，所以2223b c a abc +-=， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以2cos 3bc A =，即a A =.（2）因为3A π=，所以a A =由正弦定理sin sin a bA B=，可得1b =， 2C A B ππ=--=，所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 18.解：（1）根据题意完成下面的列联表：根据列联表中的数据，得到()225020810120.231 2.70630203218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”； （2）设步行数在30016000中的男性的编号为1，2，女性的编号为,,a b c .选取三位的所有情况为：()()()()()()()()()()1,2,,1,2,,1,2,c ,1,,,1,,,1,,,2,,,2,,,2,,,,,a b a b a c b c a b a c b c a b c 共有10种情形，符合条件的情况有：()()()1,2,,1,2,,1,2,a b c 共3种情形. 故所求概率为310. 19.（1）证明：由题可得//EF AD ，则AE EF ⊥， 又AE CF ⊥，且EFCF F =，所以AE ⊥平面EBCF .因为AE ⊂平面AEFD ，所以平面AEFD ⊥平面EBCF ； （2）解：过点D 作//DG AE 交EF 于点G ，连结BG ，则DG ⊥平面EBCF ，DG EC ⊥， 又,BD EC BD DG D ⊥=，所以EC ⊥平面,BDG EC BG ⊥，易得EGBBEC ∆∆，则EG EBEB BC=，得EB = 设点F 到平面ABCD 的距离为h ， 因为14482F ABC A BCF V V --==⨯⨯=， 又因为,,BC AE BC EB AE EB ⊥⊥于E ，所以BC ⊥平面AEB ，故AB BC ⊥，又因为14AE EB 2BCF S ∆=⨯⨯===，所以28h ==，故点F 到平面ABCD 的距离为2.20.解：（1）由题意可得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=， 则()()()222222641614116410k m k m k m ∆=-+-=-+>，且()2121222418,1414m km x x x x k k--+==++， 故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，又直线,,OP l OQ 的斜率成等比数列，则22121y y k x x =， 即()221212212k x x km x x m k x x +++=，所以22228014k m m k -+=+， 又0m ≠，所以214k =，又结合图象可知，12k =-，所以直线l 的斜率为定值. 21.解：（1）()2xf x e x a '=--， 令()2xg x e x a =--，则()2xg x e '=-，则当(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，当()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在ln 2x =取得最小值，()ln 22ln 20g a =--≥， 故()0f x '≥，即()f x 在R 上是单调递增函数；（2）当0x >时，21xe x ax x --≥-，即11x e a x x x≤--+， 令()()110x e h x x x x x =--+>，则()()()()2221111xx x e x e x x h x x x-----+'==，令()()10x x e x x ϕ=-->，则()10x x e ϕ'=->. 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，()0h x '<，所以()h x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 单调递增. 所以()()min 11h x h e ==-，所以(],1a e ∈-∞-.22.解：（1）因为圆1C 的普通方程为22480x y x y +--=， 把cos ,sin x y ρθρθ==代入方程得24cos 8sin 0ρρθρθ--=， 所以1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，2C的平面直角坐标系方程为y =；（2）分别将,36ππθθ==代入4cos 8sin ρθθ=+，得1224ρρ=+=+则OMN ∆的面积为((124sin 8236ππ⎛⎫⨯+⨯+⨯-=+ ⎪⎝⎭23.解：（1）由题意可得()33,2151,24133,4x x g x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<，得1x >-，无解；当124x -<<时，516x --<，得75x >-，即7154x -<<； 当14x ≥时，336x -<，得134x ≤<，综上，()6g x <的解集为7|35x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）因为存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =-成立， 所以(){}(){}|,|y g ,y y f x x Ry x x R =∈=-∈≠∅，又()()()331333131f x x a x x a x a =-++≥--+=+，由（1）可知()9 , 4g x⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，则()9,4g x⎛⎤-∈-∞⎥⎝⎦，所以9314a+≤，解得1351212a-≤≤.故a的取值范围为135,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2019年广东省广州市高三（上）摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．23．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．104．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．47．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣29．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，若集合A={x|3x＞1}，B={x|log3x＞0}，A∩∁U B=（）A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，B中的不等式的解集，确定出集合A，B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合【解答】解：集合A={x|3x＞1}={x|x＞0}，B={x|log3x＞0}={x|x＞1}，则∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={x|0＜x≤1}，故选：D．2．已知复数z=﹣2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A．3B．3C．2D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则和复数的模计算即可．【解答】解：z=﹣2i=﹣2i=3﹣i﹣2i=3﹣3i，则|z|=3，故选：B．3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（3，1），=（2，﹣2），则（）A．2 B．﹣2 C．﹣10 D．10【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出的坐标，再计算数量积．【解答】解：=（5，﹣1），=（﹣1，﹣3）．∴=5×（﹣1）+（﹣1）×（﹣3）=﹣2．故选B．4．己知命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】全称命题．【分析】利用参数分离法和函数的单调性，求出命题P为真命题时的等价条件，由全称命题与其否定真假之间的关系，求出实数a的取值范围．【解答】解：若“∀x∈（2，3），x2+5＞ax恒成立，则a＜（x+）min，x∈（2，3）．∵f（x）=x+在（2，）上是减函数，（，3）上为增函数，∴函数f（x）的最小值是f（）=2，则a＜2，∵命题P：∀x∈（2，3），x2+5＞ax是假命题，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞），故选：A．5．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．【解答】解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C6．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，=2，y B=﹣2，可得y∴|AB|=4．故选：D．7．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．【解答】解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．故选A．8．函数y=x2+bx+c当x∈（﹣∞，1）时是单调函数，则b的取值范围（）A．b≥﹣2 B．b≤﹣2 C．b＞﹣2 D．b＜﹣2【考点】函数单调性的性质．【分析】二次函数图象是抛物线，开口向上，对称轴是x=﹣，又y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，故1应在对称轴的左边．【解答】解：∵函数y=x2+bx+c的对称轴是x=﹣，∵函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调函数，又函数图象开口向上∴函数y=x2+bx+c（x∈（﹣∞，1））是单调减函数∴1≤﹣，∴b≤﹣2，∴b的取值范围是b≤﹣2．故选B．9．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A10．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a=b=0 D．a=b【考点】函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．【解答】解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C．11．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B12．已知函数f（x）=x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于﹣9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x4﹣2x3+3m，所以f′（x）=2x3﹣6x2．令f′（x）=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）=3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故答案选A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是∀x∈R，x2+2x≠3．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．14．设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x ≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算，即可得到结论【解答】解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B={x|﹣4＜x≤2}，故答案为：{x|﹣4＜x≤2}．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f （x）=﹣1，f （﹣1）=2，则f满足f（x+3）•f （x）=﹣1，∴f（x+6）•f （x+3）=﹣1，∴f（x+6）=f（x），∴函数f（x）的周期为6，∵f（﹣1）=2，∴f=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f （x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）已知△ABC的内角分别是A，B，C，角A为锐角，且f（﹣）=，cosB=，求sinC的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）由函数图象得到半周期，进一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（）=1结合φ的范围求得φ值，则函数解析式可求，再由函数图象得到函数的减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式结合f（﹣）=求得A，由cosB=求得sinB，利用sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）展开两角和的正弦求得sinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，得，即ω=2．当x=时，f（x）=1，可得sin（+φ）=1．∵φ＜，∴φ=．故．由图象可得f（x）的单调递减区间为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，又角A为锐角，∴A=．∵0＜B＜π，cosB=，∴，∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．18．为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95．（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，能作出抽取的15人的成绩茎叶图，由样本得成绩在90分以上频率为，由此能计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数．（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），利用列举法能求出选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率．【解答】解：（Ⅰ）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的15人的成绩茎叶图如右图所示，…3分由样本得成绩在90分以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人．…5分（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A，B，C，D，E，F，其中E，F 的成绩在90分以上（含90分），…6分成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{A，B，C}，{A，B，D}，{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，D}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{A，E，F}，{B，C，D}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，{D，E，F}，{B，E，F}，{C，E，F}，共20种，…8分其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{A，B，E}，{A，B，F}，{A，C，E}，{A，C，F}，{A，D，F}，{A，D，E}，{B，C，E}，{B，C，F}，{B，D，E}，{B，D，F}，{C，D，E}，{C，D，F}，共12种， (10)分∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为==．…12分19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC 为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD⊂平面AB1C，A1B⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，=V C1﹣BCD=••6=9．∴V20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）若直线MN与圆O：x2+y2=相切，证明：∠MON为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得，2b=，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切，得25b2=k2+1，联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，由此能证明为定值．（Ⅲ）设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），从而=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin22θ，由此能求出|OM|•|ON|的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由椭圆C：（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为，得，即a=；由短轴长为，得2b=，即b=．∴椭圆C的方程为：9x2+16y2=1．（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：相切，∴直线MN方程为：x=或x=﹣，当直线方程为x=，得两点分别为（）和（），故=0，．同理当x=﹣时，．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与椭圆的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切得，即25b2=k2+1，①联立，得（9+16k2）x2+32kbx+16b2﹣1=0，∴△＞0，，，由=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）==，②由①②，得=0，即，综上，为定值．（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），∵M，N都在9x2+16y2=1上，∴=（9cos2θ+16sin2θ）（9sin2θ+16cos2θ）=9×16+（9﹣16）2sin2θcos2θ=9×16+（9﹣16）2sin22θ，又sin22θ∈[0，1]，故（）2∈[9×16，]，∴|OM|•|ON|的取值范围是[]．21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点．【分析】（I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）…①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…②当a＞0时，令f′（x）=0，解得，当时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0；∴函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增；…（II）当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，函数f（x）不可能有两个零点；…当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当内单调递减，在内单调递增，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，故若要使函数有两个零点；…则f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）连结BN，证明∠BEF+∠BNF=180°，即可证明B、E、F、N四点共圆；（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，即可得出结论．【解答】证明：（1）连结BN，则AN⊥BN，又CD⊥AB，则∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，则B、E、F、N四点共圆．…（2）由直角三角形的射影原理可知AC2=AE•AB，由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知：，∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA﹣EA），∴BF•BM=AB2﹣AB•AE，∴BF•BM=AB2﹣AC2，即AC2+BF•BM=AB2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin（θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．【解答】解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6（﹣1+tcosα）+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin（θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin（θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…当a＞0时，解集为，，无解；…当a＜0时，解集为，令，，综上所述，．…（Ⅱ）当a=2时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|4x+1|﹣|2x﹣3|=…由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，则当时，h（x）取到最小值，…由题意知，，则实数m的取值范围是…。

2019年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可．【详解】在集合中，得，即，在集合中在上递增，且，所以，即,则．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的单调性，属于基础题．2.复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3.双曲线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以 .故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7.设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A. S＝2，这5个数据的方差B. S＝2，这5个数据的平均数C. S＝10，这5个数据的方差D. S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】【分析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8.的内角所对的边分别是.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化简，得，再由基本不等式求解即可.【详解】因为，得，所以，所以当且仅当取等号，且为三角形内角，所以. 故选：D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.9.已知，，三点不共线，且点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。