当前位置：文档之家 › 高等数学下高纯一 习题十二答案详解

高等数学下高纯一 习题十二答案详解

  • 格式：doc
  • 大小：1.88 MB
  • 文档页数：33

高等数学下（修订版）高纯一（复旦出版社） 习题十二答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)1111357L；

(2)22242462468xxxxxL；

(3)35793579aaaaL； 解：(1)121nUn； (2)2!!2nnxUn； (3)211121nnnaUn； 2．求下列级数的和： (1)1111nxnxnxn；

(2) 1221nnnn； (3)23111555L； 解：(1)111111211nuxnxnxnxnxnxnxn 从而11111211212231111111211nSxxxxxxxxxnxnxnxnxxxnxnL 因此1lim21nnSxx，故级数的和为121xx (2)因为211nUnnnn 从而324332215443211211211221nSnnnnnnnnL

所以lim12nnS，即级数的和为12． (3)因为21115551115511511145nn

n

n

S













L

从而1lim4nnS，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性：

(1) 11nnn；

(2) 

1111

1661111165451nn

LL；

(3) 23133222213333nnn

LL

；

(4)311115555nLL； 解：(1) 3212111nSnnn

L

从而limnnS，故级数发散． (2) 11111111

15661111165451111551nSnnn









L

从而1lim5nnS，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．

(4)∵15nnU，而lim10nnU，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性： (1) 111nnn； (2) 1cos2nnnx；

(3) 1111313233nnnn． 解：(1)当P为偶数时，

122341111112311111231111112112311nnnpnnnnpUUUnnnnpnnnnpnpnpnnpnnn























LLLL

当P为奇数时， 1223411111123111112311111112311nnnpnnnnpUUUnnnnpnnnnpnpnpnnnn























LLLL

因而，对于任何自然数P，都有 12111nnnpUUUnn

L

，

∀ε>0，取11N

，则当n>N时，对任何自然数P恒有12nnnpUUUL成

立，由柯西审敛原理知，级数111nnn收敛． (2)对于任意自然数P，都有

1212121coscoscos12222111222111221121112212nnnpnnnpnnnpnpnpnUUUxnpxxnn

















LLL

于是， ∀ε>0(0N时，对任意的自然数P都有12nnnpUUUL成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．

(3)取P=n，则 

121111113113123133213223231131132161112nnnpUUUnnnnnnnnnn







LLL

从而取0112，则对任意的n∈N，都存在P=n所得120nnnpUUUL，由柯西审敛原理知，原级数发散． 5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

(1)

111

465735nnLL；

(2)222

12131112131nn

LL

(3)1πsin3nn； (4) 3112nn； (5)1101nnaa； (6) 1121nn． 解：(1)∵ 21135nUnnn 而211nn收敛，由比较审敛法知1nnU收敛． (2)∵221111nnnUnnnn 而11nn发散，由比较审敛法知，原级数发散．

(3)∵ππsinsin33limlimππ1π33nnnnnn 而1π3nn收敛，故1πsin3nn也收敛． (4)∵33321112nUnnn 而3121nn收敛，故3112nn收敛． (5)当a>1时，111nnnUaa，而11nna收敛，故111nna也收敛． 当a=1时，11limlim022nnnU，级数发散． 当0综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0

(6)由021limln2xxx知121limln211nxn而11nn发散，由比较审敛法知1121nn发散． 6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：

(1) 213nnn； (2)1!31nnn；

(3)232333331222322nnn

LL；

(1) 12!nnnnn 解：(1) 23nnnU，2112311limlim133nnnnnnUnUn， 由比值审敛法知，级数收敛． (2) 111!311limlim31!31lim131nnnnnnnnnUnUnn

所以原级数发散． (3) 11132limlim2313lim21312nnnnnnnnnUnUnnn 所以原级数发散． (4) 1112!1limlim2!1lim21122lim1e11nnnnnnnnnnnnUnnUnnnnn

故原级数收敛． 7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：

(1) 1531nnnn； (2) 11ln1nnn；

(3) 21131nnnn； (4) 1nnnba，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数． 解：(1)55limlim1313nnnnnUn， 故原级数发散．

(2) 1limlim01ln1nnnnUn， 故原级数收敛． (3)121limlim1931nnnnnnUn， 故原级数收敛． (4) limlimnnnnnnbbbaaa， 当ba时，ba>1，原级数发散；当b=a时，ba=1，无法判定其敛散性．

合集下载

[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答

[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答

高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'； 5、180π； 6、Cx xy=sin； 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f x u '+'=∂∂；)(xy x g x yu +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u -++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L 及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散；当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。

高数(下册)习题7-12答案

高数(下册)习题7-12答案


3 x 2 cos 3 四． y cos 2 z 3sin
x2 y 2 x y 1 五．在 xoy 平面的投影曲线 z 0
在 yoz 平面的投影曲线
x 2 (1 y z )2 z x 0
在xoy平面的投影曲线在yoz平面的投影曲线在xoz平面的投影曲线第五章复习题1220231331935
习题七
一． √√√√ 二．A D C 三．xoy 面 四． cos ( b
a b
2 3
（
yoz 坐标面
1 2 1 , cos , cos 2 2 2
习题十
一． D B A C
x 1 y 2 z 3 二．1． 0 1 0 x 1 y 1 z 1 2. ，参数方程： x 1 2t , y 1 t , z 1 3t 2 1 3
3．－1 三．直线方程：
x 1 y 1 z 1 9 2 5
1 2 1 , , ） 2 2 2 3 3 3 , cos , cos 3 3 3
五． （1） （－1，3，3） （2） 2 3
（3） cos
习题八
一． √ 二．C D 三．1． （－4，2，－4） 3. 四． S 五． 7
2. 4.
－10,
2 5.
习题十二
一． √ 二．BD 三．1．点（
4 17 4 17 , ） ，过点（ , , 0 ）平行于 z 轴的直线 3 3 3 3
x2 y 2 1 2． , (0,0,3), 1 z 3
y ( x 1) 2 3． z 2x 1
x z 2 y 2 , z 4 x2 y 2
同济高等数学下册课后题答案详解

同济高等数学下册课后题答案详解

第8章第1节向量及其线性运算习题8—111,12,15,17,18第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—23,4,6,7,9,10第8章第3节曲面及其方程习题8—32,5,7,9,10(1)(2)(3)(4)第8章第4节空间曲线及其方程习题8—43,4,7,8第8章第5节平面及其方程习题8—51,2,3,5,9第8章第6节空间直线及其方程习题8—61,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12,13,15第8章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2),15,17,19,20第9章第1节多元函数基本概念习题9—12,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8第9章第2节偏导数习题9—21(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2),9(1)第9章第3节全微分习题9—31(1)(2)(4),2,3,5第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—42,4,6,7,8(1)(2),10,11,12(1)(4)第9章第5节隐函数的求导公式习题9—51,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—63,4,6,7,9,10,12第9章第7节方向导数与梯度习题9—72,3,5,7,8,10第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—81,2,5,6,7,9,11第9章第9节二元函数泰勒公式习题9—91,3第9章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9,12,15,16,17,20第10章第1节二重积分的概念与性质习题10—12,4,5第10章第2节二重积分的计算法习题10—21(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分习题10—31(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)第10章第4节重积分的应用习题10—41,2,5,6,8,10,14第10章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2)6,8(1)(2),10,11,12第11章第1节对弧长的曲线积分习题11—11,3(3)(4)(5)(7),4第11章第2节对坐标的曲线积分习题11—23(1) (2)(3) (5) (6)(7),4(1)(2)(3),7(1)(2),8第11章第3节格林公式及其应用习题11—31,2(1)(2),3,4(1)(2),5(1)(2)(4),6(1)(3)(4),8(1) (3)(5) (6)(7)第11章第4节对面积的曲面积分习题11—41,4(1)(2),5(1),6(1)(2)(3),7,8第11章第5节对坐标的曲面积分习题11—53(1)(2)(4),4(1)(2)第11章第6节高斯公式通量与散度习题11—61(1) (2)(3) (4) , 3(1)(2)第11章第7节斯托克斯公式环流量与旋度习题11—72(1) (2)(3),3(1)(2)第11章总复习题总复习题十一1,2,3,4,5,7,11第12章第1节常数项级数的概念和性质习题12—11(1)(4),2(3)(4),3,4第12章第2节常数项级数的审敛法习题12—21(1)(4) (5),2(1)(4) ,3(1)(3),4(1)(3)(5),5(1)(2)(3) (5)第12章第3节幂级数习题12—31,2第12章第4节函数展开成幂级数习题12—42,3,4,5,6第12章第7节傅里叶级数习题12—71(1)(2),2(1),3,4,5,6第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数习题12—81(1)(2),2第12章总复习题总复习题十二1,2(1)(2)(3)(5),4,5(1)(2)(4),6(1),7(1)(2)(4),8(1)(2)(3),9(1),10(1),11。

高等数学 第十二章 常微分方程 习题课

高等数学 第十二章 常微分方程 习题课

(5)式n的 个根 (3)之 对通 应 n项 解 : 的
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y