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第六章 定积分及其应用

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第一节 定积分概念与性质 教学目的：使学生了解定积分概念，掌握定积分的性质。

一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点 ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 它们的长度依次为Dx1 x1x0  Dx2 x2x1      Dxn  xn xn1  经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间 [xi1 xi ]上任取一点x i  以[xi1 xi ]为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即

Af (x 1)Dx1 f (x 2)Dx2   f (x n )Dxnniiixf1)( 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{Dx1 Dx2   Dxn } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

niiixfA10)(lim



2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S  求近似路程 我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔Dti  在每个小的时间间隔Dti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i) 物体在时间间隔Dti

内 运动的距离近似为DSi v(t i) Dti  把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作

为物体在时间间隔[T 1  T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是 在时间间隔[T 1  T 2]内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2   t n1 t nT 2 把[T 1  T 2]分成n个小段 [t 0 t 1] [t 1 t 2]    [t n1 t n]  各小段时间的长依次为 Dt 1t 1t 0 Dt 2t 2t 1   Dt n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 DS 1 DS 2    DS n 在时间间隔[t i1 t i]上任取一个时刻 i (t i1 i t i) 以 i时刻的速度v( i)来代替[t i1 t i]上各个时刻的速度 得到部分路程DS i的近似值 即

DS i v( i) Dt i (i1 2     n) 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

niiitvS1)(

求精确值 记  max{Dt 1 Dt 2   Dt n} 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程

niiitvS10)(lim



设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 求直线xa、xb、y0 及曲线yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点ax0x1x2   xn1xn b把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ] 记Dxixixi1 (i1 2     n) (2)任取x i[xi1 xi] 以[xi1 xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为

iixf)( (i1 2     n) 所求曲边梯形面积A的近似值为

niiixfA1)( (3)记max{Dx1 Dx2   Dxn } 所以曲边梯形面积的精确值为 niiixfA10)(lim

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T 1 T 2]上t的连续函数 且v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S  (1)用分点T1t0t1t2  t n1tnT2把时间间隔[T 1  T 2]分成n个小时间 段 [t0 t1] [t1 t2]    [tn1 tn]  记Dti titi1 (i1 2     n) (2)任取i[ti1 ti] 在时间段[ti1 ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)Dti (i1 2     n) 所求路程S 的近似值为

niiitvS1)( (3)记max{Dt1 Dt2   Dtn} 所求路程的精确值为 niiitvS10)(lim

二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  各小段区间的长依次为 Dx1x1x0 Dx2x2x1   Dxn xn xn1 在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点x i (xi1 x i  xi) 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积 f (x i) Dxi (i1 2   n)  并作出和

niiixfS1)(

记  max{Dx1 Dx2   Dxn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点x i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间

[a b]上的定积分 记作badxxf)(

即 niiibaxfdxxf10)(lim)( 其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式 x叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 [a b]叫做积分区间 定义 设函数f(x)在[a b]上有界 用分点ax0x1x2   xn1xnb把[a b]分成n个小区间 [x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn]  记Dxixixi1(i1 2   n) 任x i[xi1 xi] (i1 2   n) 作和

niiixfS1)( 记max{Dx1 Dx2   Dxn} 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间[a b]的分法和x i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间[a b]上的定

积分 记作badxxf)( 即 niiibaxfdxxf10)(lim)( 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为badxxfA)( 变速直线运动的路程为dttvSTT)(21 说明 (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即

bababaduufdttfdxxf)()()(

(2)和niiixf1)(通常称为f (x)的积分和 (3)如果函数f (x)在[a b]上的定积分存在 我们就说f (x)在区间[a b]上可积 函数f(x)在[a b]上满足什么条件时 f (x)在[a b]上可积呢？ 定理1 设f (x)在区间[a b]上连续 则f (x) 在[a b]上可积 定理2 设f (x)在区间[a b]上有界 且只有有限个间断点 则f (x) 在[a b]上可积 定积分的几何意义

在区间[a b]上 当f(x)0时 积分badxxf)(在几何上表示由曲线yf (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形的面积 当f(x)0时 由曲线y f (x)、两条直线xa、xb 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值

baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010

当f (x)既取得正值又取得负值时 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方 而其它部分在x轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x轴上方的图形面积赋以正号 在x轴下方的图形面

积赋以负号 则在一般情形下 定积分badxxf)(的几何意义为 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和

用定积分的定义计算定积分 例1. 利用定义计算定积分dxx210 解 把区间[0 1]分成n等份 分点为和小区间长度为 nixi(i1 2   n1) nxi1(i1 2   n) 

取nii(i1 2   n) 作积分和 niiniiiniinnixxf121211)()(

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【精品】第六章定积分及其应用解答

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第五、六章习题解答（1）一、判断题1、错；2、错；3、对；4、对(需加上)(x f 可积且k 为常数的条件）；5、错.二、填空题1、2ln ；2、x sin ，0；3、6；4、1；5、821，6π。

三、计算题1、[解］⎰⎰⎰⎰⎰-+--=+-=----eeee eee edx x x dx x x dx x dx x x 111111ln )ln (ln ln ln 1111ee e e e 22)1()]11(1[-=--+---=.2、[解]⎰⎰⎰-=-ππππ2232023053cos sin cos sin sin sin xdx x xdx x dx x xππππππ2252252232023sin 52sin 52)(sin sin )(sin sin -=-=⎰⎰x x xd x xd545252=+=。

3、［解］2121032110220)21(31)1()(x x x dx x dx x dx x f -+=-+=⎰⎰⎰652131=+=4、[解])1111(11323204044dt tdt t dx d dt t dx d x x x x ⎰⎰⎰+++=+ ⎰⎰+++-=3204041111x x dt t dx d dt t dx d12281312x x x x +++-=81221213xx xx +-+=.5、［解]212arctan limarctan lim02==→→⎰x x x tdt x xx .四、［解］由352)(2-+=⎰x x dt t f xa两边对x 求导得：54)(+=x x f所以a a x x t t dt t dt t f xa xax a5252)52()54()(222--+=+=+=⎰⎰于是3525252222-+=--+x x a a x x 所以3522-=--a a 即03522=-+a a 解此关于a 的方程得：21=a 或3-=a . 五［证]因为)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导， 所以当),(b a x ∈时，有2)()())(()(a x dtt f a x x f x F xa ---='⎰又因为若令⎰--=xadt t f a x x f x G )())(()(则当),(b a x ∈时，有0)()()()()(<'=-+'='x f x f x f x f x G（注:原题中的条件应为：0)(<'x f ,或需在题中再添上一句话:0)(='x f 只在个别的孤立点处成立）所以)(x G 在),[b a 内单调递减,于是当),(b a x ∈时，0)()(=<a G x G从而当),(b a x ∈时，0)(<'x F故)(x F 在),(b a 内单调递减。

定积分的部分应用

定积分的部分应用

第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。

6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用

6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用


2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
问题：积分变量只能选 x吗？
y x2
x x+dx
9
解法2. 两曲线的交点 (0,0)，(1,1)
选 y为积分变量，y [0,1]
y dy
y
x y2 y x2
面积元素 dA ( y y2 )dy
A
1(
0
y
y2 )dy
2
3
3
y2
y3 1
3
0
1. 3
14
例4 求椭圆 x2 y2 1的面积.
a2 b2
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4
a
ydx 4
0
bsintd(a cost)
o
上曲线 下曲线
y g(x)
a xx xb x
6
(3)以 x ( y) 为曲边，以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.
d
d
A c ( y)dy
xdy
c
(4)由曲线x ( y)，x ( y), c y d,
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
其面积元素为：
dA [ ( y) ( y)]dy，则面积为
第六章 定积分的应用
6-1、定积分的元素法 回顾(求曲边梯形的面积)
设函数 y f (x)( f (x) 0) 在[a,b]上连续，求以 y f (x)为
曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.
b
A a f ( x)dx
y
y f (x)
A
oa
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用


y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s


2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12

0

3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2