03第三节相似矩阵
第三节 相似矩阵
分布图⽰
★ 相似矩阵与相似变换的概念 ★ 例1 ★ 相似矩阵的性质 ★ 例2 ★ 相似矩阵的特征值与特征向量 ★ 矩阵与对⾓矩阵相似的条件
★ 例3
★ 例4
★ 矩阵可对⾓化的条件
★ 矩阵对⾓化的步骤 ★ 例5
★ 例6
★ 利⽤矩阵对⾓化计算矩阵多项式
★ 矩阵对⾓化在微分⽅程组中的应⽤ ★ 例7 ★ 约当形矩阵的概念 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10
★ 内容⼩结 ★ 课堂练习
★ 习题4-3
内容要点
⼀、相似矩阵的概念
定义1 设B A ,都是n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵P ,使B
AP P
=-1
,
则称B 是A 的相似矩阵, 并称矩阵A 与B 相似.记为B A ~.
对A 进⾏运算AP P 1-称为对A 进⾏相似变换, 称可逆矩阵P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是⼀种等价关系，满⾜:(1) 反⾝性: 对任意n 阶矩阵A ,有A A 与相似; (2) 对称性: 若B A 与相似, 则B 与A 相似;
(3) 传递性: 若A 与B 相似, 则B 与C 相似, 则A 与C 相似. 两个常⽤运算表达式： (1) ))((111BP P AP P ABP P ---=;
(2) BP lP AP kP P lB kA P 111)(---+=+, 其中l k ,为任意实数.
⼆、相似矩阵的性质
定理1 若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从⽽A 与B 的特征值亦相同.
相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的⾏列式相等;
(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.
三、矩阵与对⾓矩阵相似的条件
定理2n 阶矩阵A 与对⾓矩阵
=Λn λλλ
2
1相似的充分必要条件为矩阵A 有n 个线性⽆关的特征向量.
注: 定理的证明过程实际上已经给出了把⽅阵对⾓化的⽅法.
推论1 若n 阶矩阵A 有n 个相异的特征值n λλλ,,,21 ,则A 与对⾓矩阵
1 矩阵分析引论第四版课后练习题含答案
简介
《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。
提供的资料
本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。
内容概述
第一章 引言
第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。
第二章 基本概念和变换
第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。
第三章 矩阵运算
第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。 2 第四章 矩阵分解
第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。
第五章 线性方程组和特征值问题
第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。
结语
本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。
章节 第2章 课题 矩阵及其运算
计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班
教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。
教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。
教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法
教学方法和手段 讲授 习题课 答疑
备注
教 学 内 容 批注
第二章 矩阵及其运算
矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。
本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。
§1 矩阵
1、矩阵的概念
054132yxyx
0541322121xxxx
5432A 054132B
定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：
称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。
两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。
如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即
mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注
《矩阵论》复习提纲与习题选讲
Chapter1 线性空间和内积空间
内容总结：
z 线性空间的定义、基和维数；
z 一个向量在一组基下的坐标；
z 线性子空间的定义与判断；
z 子空间的交
z 内积的定义；
z 内积空间的定义；
z 向量的长度、距离和正交的概念；
z Gram-Schmidt标准正交化过程；
z 标准正交基。
习题选讲：
1、设表示实数域3]x[RR上次数小于3的多项式再添上零多项式构成
的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。 （1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下
的坐标； 3]x[R3]x[R221xx++
（2） 在中定义 3]x[R
， ∫−=11)()(),(dxxgxfgfnxRxgxf][)(),(∈
证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基； 3][xR
（3）求与之间的距离； 221xx++2x2x1+−
（4）证明：是的子空间； 2][xR3]x[R
（5）写出2[][]3RxRx∩的维数和一组基；
王正盛，矩阵论 1二、 设22R×是实数域R上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R×的维数，并写出其一组基；
（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111
（3） 设W是实数域R上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W是22R×的子空间；并写出W的维数和一组基； （4） 在W中定义内积
， )AB(tr)B,A(T=WB,A∈
求出W的一组标准正交基；
（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221
（6）设V是实数域R上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V也是22R×的子空间；并写出V的维数和一组基；
（7）写出子空间的一组基和维数。 VW∩
王正盛，矩阵论 2Chapter2 线性映射与线性变换
