偏微分方程课件 云南财经大学

t

t nt , x ix , y jy , z kz
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式

以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2


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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算



例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：

2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题

泊松方程： 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式：未知函数 u(x,y,z,t):
热传导方程式： 其中 k 代表该材料的热导率。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的 偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解 条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作 为一个整体，称为定解问题。
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
),
这里a
2
k
/
c.
当物体有内部热源的时候，方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
)
f
(x,
y, z,t).
因为
c t2 udtdV t2
k(x, y, z) u dSdt
t2
c F(x, y, z,t)dtdV.
t1 t
T (x) cos T (x x) cos 0
T (x) sin T (x x) sin ma
这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线 在竖直方向的加速度。
注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小 的量，于是前一个方程可以近似为
T (x) T (x x) 0
(u
- u1)。
第三边界条件，表示外界温度为u1,表面 的热量和温度差成正比。
2.1 一些常见的偏微分方程
Poisson 方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不 可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类 方程。下面的方程是Poisson 方程的第一边值问题。
偏微分方程讲义 建模、数值解和Matlab工具箱

t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
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un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
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一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧

在风险中立化条件下，欧式看涨期权的期望 价值为
首页
E[max(ST K , 0)]
rF
此式即为著名的 布莱克-----斯科尔斯方程
13
例1
设有某种不支付股息的股票的远期合约，
其价值F与股票S的关系为：
F S Ker(T t) （K为交割价格）
则价值F满足布莱克-----斯科尔斯方程。
解 因为
F rKer (T t ) dt
则有
F 1 dS
2F S 2
0
rSFs

Ft

1 2

t
2
S
2
Fss
rS rKer(T t) rF
首页
即满足布莱克-----斯科尔斯方程。
14
说明
函数 F S Ker(T t) 即为布莱克-----斯
科尔斯方程的解。
因此，可用偏微分方程来求出衍生产品的价格。
二、定价公式
布莱克-----斯科尔斯微分方程，解决了欧式看 涨期权和欧式看跌期权的定价问题。
6
如 欧式看涨期权 ，若执行价格为K，则边界条件为
F ST ,T maxST K,0 当 t T 时
即表示：若到期时股票价格低于执行价格，即
ST K 0，则此看涨期权就不被执行，期权
就是无价值的。否则期权价值等于股票价格与 执行价格之差。
同样，对欧式看跌期权 ，则边界条件为
第十章 衍生产品的定价 --------偏微分方程 (PDE)
第一节 无风险组合与偏微分方程 第二节 衍生产品期权的定价
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第一节 无风险组合与偏微分方程
一、无风险组合
衍生产品是以其它证券为基础签订的合同，此 合同有一定的期限，用T来表示到期日，