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上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：平面向量

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上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练 平面向量 一、选择、填空题 1、（奉贤区2018高三上期末）已知向量1,3ar，3,bmr．若向量br在ar方向上的投影为3，则实数m________. 2、（金山区2018高三二模）若向量a=(2, 0)，b=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )． (A) ab=1 (B) |a|=||b (C) (ab)⊥b (D) a∥b 3、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）已知D为三角形ABC的边AB上的一点，且

13CDACBC

uuuruuuruuur

，则实数的值为（ ）

A. B. C. D. 4、（静安区2018高三二模）在直角三角形ABC中，2A，3AB，4AC，E为三角形ABC

内一点，且22AE，若AEABACuuuruuuruuur，则34的最大值等于 5、（2019届崇明区高三二模）已知点C是平面ABD上一点，3BAD，1CB，3CD，若APABADuuuruuuruuur，则||APuuur的最大值为

6、（2019届黄浦区高三二模）已知梯形ABCD，AB∥CD，设1ABeuuurur，向量2euur的起点和终点分别是A、B、C、D中的两个点，若对平面中任意的非零向量ar，都可以唯一表示为1eur、2euur的线性组合，那么2euur的个数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7、（2019届闵行松江区高三二模）如图，A是圆22:9Oxy上的任意一点，B、C是圆O直径

的两个端点，点D在直径BC上，3BDDCuuuruuur，点P在线段AC上，若1()2APPBPDuuuruuuruuur，则点P的轨迹方程为 8、（2019届浦东新区高三二模）已知正方形ABCD边长为8，BEECuuuruuur，3DFFAuuuruuur，若在正方形边上恰有6个不同的点P，使PEPFuuuruuur，则的取值范围为

9、（2019届青浦区高三二模）在平面直角坐标系xOy中，ar在x轴、y轴正方向上的投影分别是3、4，则ar的单位向量是 10、（2019届杨浦区高三二模）若△ABC的内角A、B、C，其中G为△ABC的重心，且0GAGBuuuruuur，则cosC的最小值为

11、（2019届宝山区高三二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点2,1P，若,Qxy为平面区域221xyxy





上一个动点，则OPOQuuuruuurg的取值范围是_____________

12、（2019届嘉定长宁区高三二模）在ABCV中，已知2CDDBuuuruuur，P为线段AD上的一点，且满足12CPCAmCBuuuruuuruuur，若△ABC的面积为23，3ACB，则CPuuur的最小值为 13、（松江、闵行区2018高三二模）已知向量ar、br的夹角为60o，1ar，2br，若(2)()abxabrrrr，则实数x的值为 .

14、（2019届徐汇区高三二模）已知点(0,0)O，(2,0)A，(1,23)B，P是曲线214xy上的一个动点，则OPBAuuuruuur的取值范围是 15、（2019届青浦区高三二模）已知O为△ABC的外心，3ABC，BOBABCuuuruuuruuur，则

的最大值为 16、（2019届杨浦区高三二模）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且7cos8A，I为△ABC内部的一点，且0aIAbIBcICuuruuruurr，若AIxAByACuuruuuruuur，则xy的最大值为（ ）

A. 54 B. 12 C. 56 D. 45 17、（宝山区2019届高三一模）已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxyuuur且，,,22xy，则xy ．

18、（普陀区2019届高三一模）已知点(2,0)A，设B、C是圆22:1Oxy上的两个不同的动点，且向量(1)OBtOAtOCuuuruuuruuur（其中t为实数），则ABACuuuruuur 19、（青浦区2019届高三一模）已知平面向量ar、br、cr满足||1ar，||||2bcrr，且0bcrr，则当01时，|(1)|abcrrr的取值范围是

20、（松江区2019届高三一模）若向量ar，br满足()7abbrrr，且||3ar，||2br，则向量ar与br夹角为

21、（长宁区2019届高三一模）已知向量(3,)amr，(1,2)br，若向量ar∥br，则实数m 22、（长宁区2019届高三一模）已知向量ar和br夹角为3，且||2ar，||3br，则(2)(2)ababrrrr

（ ） A. 10 B. 7 C. 4 D. 1

23、（闵行区2019届高三一模）已知向量(cos,sin)ar，(cos,sin)br，且3，若向量cr满足||1cabrrr，则||cr的最大值为

二、解答题 1、（2019届浦东新区高三二模）已知向量(2sin,cos2)mxxur，(3cos,1)nxr，其中0，若函数()fxmnurr的最小正周期为. （1）求的值； （2）在△ABC中，若()2fB，3BC，sin3sinBA，求BABCuuuruuur的值.

2、（松江区2019届高三）已知向量(3sin,1)axr，(cos,1)bxr. （1）若ar∥br，求tan2x的值； （2）若()()fxabbrrr，求函数()fx的最小正周期及当[0,]2x时的最大值. 3、（青浦区2018高三二模）已知向量(cos,1)2xmur，2(3sin,cos)22xxnr，设函数()1fxmnurr．

（1）若[0,]2x，11()10fx，求x的值； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是cba,,且满足2cos23,bAca求()fB的取值范围．

4、（闵行区2017届高三上学期质量调研）已知23,1muur，2cos,sin2AnAur，ABC、、是ABC△的内角．

（1）当2A时，求nur的值；

（2）若23C，3AB，当mnuurur取最大值时，求A的大小及边BC的长.

5、已知向量ar＝(2cos，2sin)，br＝(cossin，cossin)． （1）求向量ar与br的夹角； （2）若()barr⊥ar，求实数的值．

参考答案： 一、选择、填空题

1、3 2、C 3、D 4、1 5、43 6、B 7、22(1)4xy 8、(1,8) 9、34(,)55 10、45 11、3,5 12、43 13、3 14、答案：[2,4]

解析：曲线方程化为：2214xy（y≥0），设P（2cosθ,sinθ）,θ∈[0,], OPBAuuuruuur＝（2cosθ,sinθ）(1,23)＝2cosθ＋23sinθ＝4sin()6，

θ＋6∈[6,76],所以，OPBAuuuruuur＝4sin()6∈[2,4] 15、23 16、D 17、6或2 18、3 19、21,3 20、6 21、－6 22、D 23、31 参考答案： 二、解答题 1、（1）()2sin(2)6fxx，1；

2、解：（1）由//abrr得, 3sincosxx， ……………………………………2分 ∴3tan3x ……………………………………………4分 ∴22tantan31tanxxx ……………………………………………6分 （2）2()()3sincoscosfxabbxxxrrr ………………………………………8分 3111sin2cos2sin(2)22262xxx …………………………………10分 ∴函数)(xf的最小正周期为22T …………………………………12分 当]2,0[x时，72666x ∴当262x，即6x时，max3()()62fxf …………………………………14分

3、解：（1）231cos()3sincoscos1sin122222xxxxfxx 3111sincossin()22262xxx

∵113() sin(); [0,]10652fxxxQ又 ∴33arcsinarcsin6565xx （2）由ACABacAbsin3sin2cossin232cos2得 2sincos2sin()3sinBAABA 2sincos2[sincoscossin)3sinBAABABA 32sincos3sincos(0,]26ABABB

∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622BfBBfB即 4、（1）当2A时，1,12nur215122nur …………4分 （2）223cossin31cossin2AmnAAAuurur …………6分

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高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。

【课件】-平面向量基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习

【课件】-平面向量基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习

(1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
【解】 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边形法则，得O→B＋O→C
＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b，
D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2， 排除 A，同理排除 C，D；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1 ＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以32＝ ＝－ 2λ－λ＋25μμ，， 解得λμ＝＝21，， 所以 a＝2e1＋e2. 故选 B.
【解析】 解法一：由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)，则A→P＝O→P－O→A ＝(4λ－4,4λ)．
又A→C＝O→C－O→A＝(－2,6)， 由A→P与A→C共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得 λ＝34，所以O→P＝34O→B＝(3,3)，
所以点 P 的坐标为(3,3)． 解法二：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，因为O→B＝(4,4)， 且O→P与O→B共线，所以4x＝4y，即 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，且A→P与A→C共线， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3，所以点 P 的坐标为(3,3)．
【解析】 ∵A→P＝tA→B， ∴O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋tA→B ＝O→A＋t(O→B－O→A)＝O→A＋tO→B－tO→A＝(1－t)O→A＋tO→B.
易错易混 5．设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是( B ) A．2 B．－2 C．±2 D．0
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析

高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析

高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。

【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（）（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对（2），M为的外心，故（2）错.对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.【考点】三角形与向量.2.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示3. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.4.在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为．【答案】6【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．【考点】向量的运算5.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C6.在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y (xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．【答案】【解析】因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝ ( ＋)．又＝，＝，所以＝＋.因为M、E、N三点共线，所以＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)7.已知=（2,0），，的夹角为60°，则．【答案】【解析】.【考点】向量的基本运算.8.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.9.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在方格纸上作出，如下图，则容易看出，故选D.【考点】1.向量的加法运算.10.在中，已知是边上的一点，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，解得，，故选A.【考点】平面向量的线性表示11.设点为三角形ABC的外心，则．【答案】【解析】出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC 垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则=【考点】向量的运算法则点评：本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义．12.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A13.设向量，若a//b，则实数t的值是_______.【答案】 9【解析】考查平面向量的坐标运算及共线性质。