机械优化设计第3章一维搜索方法

二、约束最优解和无约束最优解
•
n维目标函数f(X)=f(x1, x2, …, xn)，若在无约束条件下极小化， 即在整个n维设计空间寻找X*= [x1*, x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)，X ∈R n，其最优点X*、最优值f(X*)构成无约束最优解；
•
若在约束条件限制下极小化，即在可行域D中寻找 X*= [x1*, n X D R，其最优点 x2*, …, xn*]T使满足min f(X)= f(X*)， X*、最 优值f(X*)则构成约束最优解。约束最优解和无约束最优解，无论 在数学模型还是几何意义上，两者均是不同的概念。 设已知目标函数
二、函数的梯度
• 可以对方向导数作如下变换：设S0为S方的的单位向量， 则S0在坐标轴上的投影为cosαi，i=1，2，…，n，这里αi ＝(S0, xi)，即 cos 1
cos 2 S0 cos n cos 1 f X f X f X f X cos 2 T , ,, f X S0 S x1 x n x1 cos n
三、局部最优解和全域最优解
对无约束最优化问题，当目标 函数不是单峰函数时，有多个 极值点X*(1) ，X*(2)，…，如图 所示。此时X*(1)和f(X *(1) )、X *(2) 和f(X *(2))均称为局部最优解。
如其中X *(1) 的目标函数值 f(X *(1) )是全区域中所有局部最 优解中的最小者，则称X *(1) 和 f(X *(1) )和为全域最优解。
f X 0 0 S
f X 0 0 S


f(X)值在X(0)点处沿S方向是增加的； f(X)值在X(0)点处沿S方向是减少的； 即方向S与f(X)的等值面相切，这时，f(X) 在X(0)点处沿S方向不增也不减。

第三次迭代
令 x1 0.538， f1 1.751，取 F3 x2 0.077 (1.462 0.077) 0.846， F4 f 2 1.870。
因为 f 1 f 2 ，所以新区间为 0.077,0.846。
第四次迭代
令 x 2 0.538， f 2 1.751，取 F1 x1 0.077 (0.846 0.077) 0.231， F3 则 f 1 1.822。
设其最优解为 k ，得到 xk 1 xk k pk ，
一维搜索是求解一元函数 ( ) 的最优化问题（也叫 一维最优化问题） ，仍表示为 min f ( x ) 或 min f ( x )。 1
xR
a xb
定义：若在 a, b内 f ( x )有唯一极小点 x* ，在 x* 的左边 f ( x )严格下降，在 x* 的右边 f ( x )严格上升， 则称 f ( x )在区间 a, b上是下单峰函数。
step 6 令 k k 1，若 k n 2，则转 step 5； 若 k n 2，则转 step 7。
step 7 若 f1 f 2 ， 则令 b x2 ，x2 x1 ，f 2 f1 ， 转 step 8； 若 f1 f 2 ，则令 a x1，转 step 8。 step 8 令 x1 x2 0.1(b a ) ， f1 f ( x1 ) 1 * 若 f1 f 2 ，则 x (a x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 x2 )， 2 1 * 若 f1 f 2 ，则 x ( x1 b ) 。 2
ab step 3 若 b a ，则 x ，停。否则转 step 4。 2

（一） 一维搜索方法1.1 题目： .3610)(m in 2+-=t t t f1.2 最优解： .5*=t .11)(*=x f1.3 采用的算法及其算法的基本思想：首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a, b],然后采用牛顿法求出极值。

进退法的基本思想：按照一定的规则试算若干个点，比较其函数值的大小，直至找到函数值按“高-低-高”变化的单峰区间。

黄金分割法的基本思想：通过不断的缩短单峰区间的长度来搜索极小点的一种有效方法。

按λ（618.0=λ）缩小 比较)(x f 大小 确定取舍区间。

1.4 程序框图：进退法和黄金分割法流程图如下：图2 黄金分割法程序框图1.5具体程序如下：共3个M文件，文件名分别为：F.m;JINTUI.m;FGOLDEN.m F.m具体程序：%定义f(x)函数的表达式f(x)=t^2-10*t+36function y=F(t)y=t^2-10*t+36;JINTUI.m具体程序：function [t,minF]=FGOLDEN(precision,a0,h)[a,b]=JINTUI(a0,h);A=a;B=b;while 0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);if C<Dif F(C)<F(D)B=D;elseA=C;endelseif F(C)<F(D)A=C;elseB=D;endendn=n+1;endt=A;minF=F(A);FGOLDEN.m具体程序如下：function [x1,x2]=JINTUI(a0,h) a=a0;b=a0+h;while 1if F(a)<F(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;if F(b)<F(b-h)&F(b)<F(a)break;endelsea=b;b=a+h;if F(a)<F(b)&F(a)<F(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;1.6 输出结果:2.1 题目： .60645)(m in 234+-+-=t t t t t f2.2 最优解： .2796.3*=t .6590.22)(*=x f2.3 采用的算法及其算法的基本思想：首先采用进退法确定函数极值点所在的搜索区间[a, b],然后采用牛顿法求出极值。

1
原理
根据斐波那契数列生成黄金分割比例，用于确定搜索范围的分割点。
2
思路
根据斐波那契数列的值，确定左右指针在搜索范围内的位置，直到找到最接近目 标值的点。
3
优缺点
迭代次数逐渐趋近于黄金分割点，但对搜索范围要求较高。
黄金分割法搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围按黄金分割点分割，选择较小的一部分作为新的搜索范围。
2
思路
通过反复按黄金分割点计算和调整搜索范围，逐步逼近最接近目标值的点。
3
优缺点
迭代次数相对较少，但需要较复杂的计算公式。
三分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围分割为三等份，并判断目标值位于左、中、右三个部分，逐步缩小搜索范 围。
2
思路
根据目标值与分割点的大小关系，决定下一步搜索的范围，直到找到最接近目标值的 点。
3
优缺点
对于非单调函数，能更快地找到目标值，但需要较多的判断。
多点搜索方法的原理和思路
1
原理
同时使用多个起始点进行搜索，通过不断比较找到最接近目标值的点。
2
思路
根据多个起始点的初始值和搜索步长，逐步调整并比较得到最优解。
3
优缺点
相比于单点搜索，能更准确地找到目标值，但需要同时处理多个起始点的迭代。
2
思路
从起始点开始，依次向右增加或向左减小搜索范围，直到找到最接近目标值的点。
3
优缺点
简单易懂，但需要较多的迭代次数。
二分搜索方法的原理和思路
1
原理
将搜索范围一分为二，并判断目标值位于左半部分还是右半部分，逐步缩小搜索 范围。
2
思路