结构力学课后答案第8章矩阵位移法
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习 题8-1 试说出单元刚度矩阵的物理意义及其性质与特点。
8-2 试说出空间桁架和刚架单元刚度矩阵的阶数。
8-3 试分别采用后处理法和先处理法列出图示梁的结构刚度矩阵。
(a)解：（a ）用后处理法计算 （1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 θνθνθνθν=∆[]Ty M F M F M F M F F 4y43y32y211 =θ（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2222322211211462661261226466126122EI 21 l l -l l l -l -l l -l l l l - l k k k k k ①①①①①⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222233332232223 33 6 3632336 362EI 21 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ②②②②②lll⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222234443343323 33 6 3632336 362EI 2 1 l l - l l l - l -l l -l l l -l l k k k k k ③③③③③（4）总刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=222222222234443343333322322222112112 3300003 6 3 6 000 03403003601236000 0 3632600 363186120000 26460 0 0 06126122EI 0 0 00 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 l l -l l l - l - - l l -l l l l - l - - l l -l l -l l l l - -l -- l l -l l l l - l k k k k k k k k k k k k k ③③③③②②②②①①①①θ （5）建立结构刚度矩阵支座位移边界条件[][]00004311 θ θ θν=将总刚度矩阵中对应上述边界位移行列删除，得刚度结构矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222222232004 30 6 30 33182EI l l l l l l l l l - l l -l k θ (b)用先处理法计算（1）结构标识（2）建立结点位移向量，结点力向量[][]TT0 0 0 0 5411==∆ννθν故[]T54322 θθθθν=∆（3）计算单元刚度矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2322466122EI l l -l -l k ①θν ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222234324262466612EI l l l l l l l l lk ②θθν ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222235444EIl l l l lk③θθ （4）建立结构刚度矩阵（按对号入座的方法）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222222223543222000 4 0 30 2 0 300 0 4 60 336182EI l l l l l l l l l l l -l l l -l k θθθθθν (b)8-4 试分别采用后处理法和先处理法分析图示桁架，并将内力表示在图上。
设各杆的EA 相同。
解：（1）结构标识如图lllllP 4x（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T44332211 νμνμνμνμ=∆[]Ty x p y x F F -F F F F 0003311=（3）计算单元刚度矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00 0 00 1 0 100 0001012 1 - - l EA k ① 同理 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==00 0 00 1 0 100 00010143 - - l EA k k ①②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10 1-00 0 0 01-0 1000 003 1 l EA k ③同理 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==10 1-00 0 0 01-0 1000 004 2 l EA k k ③④⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21 21 21-21-21 21 21- 21-21-21- 21 2121-21- 21 21232 l EA k ⑤同理 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==21 21 21-21-21 21 21- 21-21-21- 21 2121-21- 21 21241 l EA k k ⑤⑥ （4）形成刚度矩阵，刚度方程⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++=424 42- 0 0 1- 0 42-42 42- 424 0 1 0 0 42 42- 0 0 42442 42- 42- 1- 0 0 1 42 42442- 42- 0 0 1- 0 42- 42- 424 42 0 0 0 0 42- 42- 42 424 0 142- 42 1 0 0 0 42442- 42 42- 0 0 0 1 42- 424 4 3 2 1 - - - - - l EA k θ刚架总刚度矩阵方程：[][]Ty x p y x TF F -F F F k 000 331144332211=νμνμνμνμ（5）建立结构刚度矩阵，结构刚度方程制作位移边界条件为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆0000331121νμνμ 将刚度矩阵中对应上述边界位移的行、列删除，即得结构刚度矩阵，相应结构刚度方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00-0424 42- 1- 0 42- 424 0 01 0 42442 0 0 424244422p F - l EA νμνμ （6）计算节点位移，得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∆--6928.1-0.4422-2.1354-5578.000-0424 42- 1- 0 42- 424 0 0 1 0 42442 0 0 42424114422p F - l EA νμνμ （7）计算各杆内力{}27888.07888.07888.07888.0001354.25578.021 21 21-21-21 21 21- 21-21-21- 21 2121-21- 21 21232 5p p F EA l F l EA F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡={}[]{}⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==07888.007888.027888.07888.07888.07888.011- 0 01 1 0 000 1 1-00 1 12255p p p F F F F T F 同时可得其他杆内力。
（b ）采用先处理法 （1）步与后处理法相同。
（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T4422 νμνμ=∆[]Tp F F 000-=F PpF 4422.0⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0 001 2 l EA k①⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0 001 4 l EA kk①②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10 1-00 0 0 01-0 10000042 l EA k ④⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21 21-21-212 4 l EA k ⑤⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21 21-21-2124 l EA k ⑥（4）形成总刚度矩阵，结构刚度方程⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00-0424 42- 1- 042- 424 0 01 0 42442 0 0 424244422p F - l EA νμνμ （5）结点位移及内力计算同上。
8-5 试列出图示刚架的结构刚度方程。
设杆件的E 、A 、I 均相同，结点3有水平支座位移s ，弹簧刚度系数为k 。
解：（1）结构标识3m（2）建立结点位移向量，结点力向量[]T 3222 θθνμ=∆[]TF 003-002=（3）建立单元刚度矩阵（l=2m ）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l EI l EI l EAlEI l EIk406006012 233222①θνμ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EI l EI l EA l EI l EA l EI l EI l EI l EI l EA l EI l EA l EI l EA k 4 3 2 33 30 3433 1243- 3430 0 4 33 30 0 0 9412430 0 0 0 343 22232332233333222②θνθνμ k k =③（4）建立结构刚度方程（对号入座的原则写出保留支座位移3ν在内的刚度方程）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++0300204 3 2 33 30 3433 1243- 3430 0 8 3330 0 0 94512430 0 0 0 1543333222222323322333x FKN KN l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EI l EI l EA l EI l EA l EIl EI l EI l EI l EA l EI l EA k l EI l EA θνθνμ 由已知，支座位移c 3=ν，将以上刚度矩阵3ν的行删除，并将3ν与刚度矩阵第4列乘积移至方程右端与荷载向量合并。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++EIc EIc m KN c EI EA c EI EA EI EI EI EI - EI EI EI EI EI EI EI EA EI EA EI -EI EI EA k EI EA 434330432328383243343443343433433898523243434323243815833222θθνμ8-6 试采用先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出CG 杆杆端力的矩阵表达式。
