(完整)小学五年级奥数第八讲组合图形的面积及作业

翔迪学校五年级专题强化：图形与面积年级 班 姓名 得分一、填空题3. 下图中每一小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形面积是______平方厘米.4. 下图的两个正方形,边长分别为8厘米和4厘米,那么阴影部分的面积是______平方厘米.5. 在ABC ∆中,DC BD 2=,BE AE =,已知ABC ∆的面积是18平方厘米,则四边形AEDC 的面积等于______平方厘米.6. 下图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是______厘米.7. 如图正方形ABCD 的边长是4厘米,CG 是3厘米,长方形DEFG 的长DG 是5厘米,那么它的宽DE 是______厘米.9. 如下图,正方形ABCD 的边长为12, P 是边AB 上的任意一点,M 、N 、I 、H 分别是边BC 、AD 上的三等分点,E 、F 、G 是边CD 上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.10. 下图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米,四边形ABCD 的面积是______平方厘米.二、解答题11. 图中正六边形ABCDEF 的面积是54.PF AP 2=,BQ CQ 2=,求阴影四边形CEPQ 的面积.12. 如图,涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问:大正六角星形面积是多少平方厘米.13. 一个周长是56厘米的大长方形,按图35中(1)与(2)所示意那样,划分为四个小长方形.在(1)中小长方形面积的比是: 2:1:=B A ,2:1:=C B .而在(2)中相应的比例是3:1:=''B A ,3:1:=''C B .又知,长方形D '的宽减去D 的宽所得到的差,与D '的长减去在D 的长所得到的差之比为1:3.求大长方7=,将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65.那么三角形ADG 面积是______.五年级奥数题：图形与面积一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是 _________ 厘米．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么7，2，1三个数字所占的面积之和是 _________ ．3．（3分） 如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是 _________ 平方厘米．4．（3分）（2014?长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是 _________ 平方厘米．5．（3分）在△ABC 中，BD=2DC ，AE=BE ，已知△ABC 的面积是18平方厘米，则四边形AEDC 的面积等于 _________ 平方厘米．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB 是 _________ 厘米．7．（3分） 如图正方形ABCD 的边长是4厘米，CG 是3厘米，长方形DEFG 的长DG 是5厘米，那么它的宽DE 是 _________ 厘米．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是_________．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是_________．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是_________平方厘米．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．13．一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．14．（2012?武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是_________．2010年五年级奥数题：图形与面积（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是170厘米．考点：巧算周长．分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．解答：解：400÷16=25（平方厘米），因为5×5=25（平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：（5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5）×2，=85×2，=170（厘米）；答：它的周长是170厘米．点评：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论．2．（3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1．那么7，2，1三个数字所占的面积之和是25．考点：组合图形的面积．分析：此题需要进行图形分解：“7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边形；“2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形；“1”分成一个梯形和两个长方形．然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果．解答：解：“7”所占的面积和=+3+4=，“2”所占的面积和=3+4+3=10，“1”所占的面积和=+7=，那么7，2，1三个数字所占的面积之和=++10=25．故答案为：25．点评：此题关键是进行图形分解和转换．3．（3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是 6.5平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积．解答：解：大正方形的面积为4×4=16（平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3++5×=9.5（平方厘米）；所以粗线围成的图形面积为16﹣9.5=6.5（平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米．故此题答案为：6.5．点评：此题关键是对图形进行合理地割补．4．（3分）（2014?长沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是24平方厘米．考点：组合图形的面积．分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积．解答：解：4×4+8×8﹣×4×（4+8）﹣×8×8，=16+64﹣24﹣32，=24（cm2）；答：阴影的面积是24cm2．故答案为：24．点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解．5．（3分）在△ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知△ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于12平方厘米．考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积．分析：根据题意，连接AD，即可知道△ABD和△ADC的关系，△ADE和△BDE的关系，由此即可求出四边形AEDC的面积．解答：解：连接AD，因为BD=2DC，所以，S△ABD=2S△ADC，即，S△ABD=18×=12（平方厘米），又因为，AE=BE，所以，S△ADE=S△BDE，即，S△BDE=12×=6（平方厘米），所以AEDC的面积是：18﹣6=12（平方厘米）；故答案为：12．点评：解答此题的关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答．6．（3分）如图是边长为4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是 3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接BE、AF可以看出，三角形ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面积公式就可以求出OB 的长度．解答：解：如图连接BE、AF，则BE与AF相交于D点S△ADE=S△BDF则S△ABE=S正方形=×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8×2÷5=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米．故答案为：3.2．点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可．7．（3分）如图正方形ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形DEFG的长DG是5厘米，那么它的宽DE 是 3.2厘米．考点：组合图形的面积．分析：连接AG，则可以依据题目条件求出三角形AGD的面积，因为DG已知，进而可以求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解．解答：解：如图连接AGS△AGD=S正方形ABCD﹣S△CDG﹣S△ABG，=4×4﹣3×4÷2﹣1×4÷2=16﹣6﹣2=8（平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；答：长方形的宽是3.2厘米．故答案为：3.2．点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解．8．（3分）如图，一个矩形被分成10个小矩形，其中有6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是243．考点：组合图形的面积．分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那么根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面积之比；由中间面积20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩形面积加起来就是大矩形的面积．解答：解：由图和题意知，中间上、下小矩形的面积比是：20：16=5：4，所以宽之比是5：4，那么，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案为：243．点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是60．考点：组合图形的面积．分析：根据题意：正方形ABCD的边长为12，P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，可连接DP，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案．解答：解：阴影部分的面积=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2×（AP+BP）=36+2×12=36+24=60．答：这个图形阴影部分的面积是60．点评：此题主要考查的是三角形的面积公式．10．（3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形ABCD的面积是4平方厘米．考点：重叠问题；三角形的周长和面积．分析：因为S△EFC+S△GHC=四边形EFGH面积÷2=12，S△AEF+S△AGH=四边形EFGH面积÷2=12，所以S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影部分的总面积是10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．解答：解：由题意推出：S△ABE+S△ADH=S△BFC+S△DGC=四边形EFGH面积÷2﹣阴影面积10平方厘米=2平方厘米．所以：四边形ABCD面积=S△ECH﹣（S△ABE+S△ADH）=四边形ABCD面积÷4﹣2=6﹣2=4平方厘米．故答案为：4．点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩．二、解答题（共4小题，满分0分）11．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．考点：等积变形（位移、割补）．分析：如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积．解答：解：如图，S△PEF=3，S△CDE=9，S四边形ABQP=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54﹣23=31．点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．12．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．考点：等积变形（位移、割补）．分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，所以正六边形ABCDEF的面积：16÷12×（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六边形ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，所以大正六角星形面积：24×2=48（平方厘米）；答：大正六角星形面积是48平方厘米．点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18个小正三角形，又可看作是6个大点的正三角形组成．13．一个周长是56厘米的大长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方形．在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3．求大长方形的面积．考点：比的应用；图形划分．分析：要求大长方形的面积，需求出它的长和宽，由条件“在（1）中小长方形面积的比是：A：B=1：2，B：C=1：2．而在（2）中相应的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=1：3．又知，长方形D'的宽减去D的宽所得到的差，与D'的长减去在D的长所得到的差之比为1：3”可知：D的宽是大长方形宽的，D′的宽是大长方形宽的，D的长是×（28﹣大长方形的宽），D′的长是×（28﹣大长方形的宽），由此便可以列式计算．解答：解：设大长方形的宽为x，则长为28﹣x因为D的宽=x，D′的宽=x，所以，D′的宽﹣D的宽=．D长=×（28﹣x），D′长=×（28﹣x），D′长﹣D长=×（28﹣x），由题设可知：=即=，于是=，x=8．于是，大长方形的长=28﹣8=20，从而大长方形的面积为8×20=160平方厘米．答：大长方形的面积是160平方米．点评：此题比较复杂，主要考查比的关系，应利用比的意义，找清数量见的比，再利用题目条件，就可以进行计算求得结果．14．（2012?武汉模拟）如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是40．考点：三角形的周长和面积．分析：可以把S△ADE看成是一个整体，根据各线段的关系和左右两部分面积的关系，可以列出一个方程，求出S△ADE的面积，然后再根据所求三角形与S△ADE的关系求出答案．解答：解：由题意知，S△AEG=3S△ADE，S△BFE=S△BEC，设S△ADE=X，则S△AEG=3X，S△BFE=（38﹣X），可列出方程：（38﹣X）+3X=65，解方程，得：x=10，所以S△ADG=10×（1+3）=40．故答案为：40．点评：此题考查了如何利用边的关系求三角形的面积．。

组合图形1、求下列组合图形阴影部分的面积。

2、①求它的周长和面积。

（单位：厘米）②圆的周长是18.84cm，求阴影部分面
积。

③长方形的面积和圆的面积相等，已知圆④求直角三角形中阴影部分的面积。

的半径是3cm，求阴影部分的周长和面积。

（单位：分米）
⑤下图中长方形长6cm，宽4cm，已知阴影⑥图中阴影①比阴影②面积小48平方厘米，
①比阴影②面积少3cm2，求EC的长。

AB=40cm，求BC的长。

⑦平行四边形的面积是30cm2，⑧一个圆的半径是4cm，求阴影部分面积。

求阴影部分的面积。

⑨已知AB=8cm，AD=12cm，三角形ABE和三角形ADF的面积，各占长方形ABCD的1/3，求
三角形AEF的面积。

⑩梯形上底8cm，下底16cm，阴影⑾求阴影部分面积。

（单位：cm）部分面积64cm2，求梯形面积。

⑿梯形面积是48平方厘米，阴影部分比空白⒀阴影部分比空白部分大6cm2，求S 阴。

部分12平方厘米，求阴影部分面积。

3、求下列图形的体积。

（单位：厘米）。

不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算般我们称这样的图形为不规则图形那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

一、例题与方法指导例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。

思路导航：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（△ ABG、△ BDE、△ EFG）的面积之和。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.思路导航：∵△ ABE、△ ADF与四边形AECF的面积彼此相等，∴四边形AECF的面积与△ ABE、△ ADF的面积都等于正方形1 ABCD的1。

3在△ ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=，2∴△ ECF的面积为2×2÷ 2=2。

所以S△AEF=S四边形AECF-S△ ECF=12-2=1（0 平方厘米）。

例3两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和6 厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积思路导航：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=，4∴阴影部分面积=S△ ABG-S△BEF=25-8=1（7 平方厘米）例4 如右图，A 为△ CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ ABC阴影部分）面积为5平方厘米.求△ ABD及△ ACE的面积.思路导航：取BD 中点F，连结AF.因为△ ADF、△ ABF和△ ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.∴△ ACD的面积等于15 平方厘米，△ ABD的面积等于10平方厘米。

专题18 组合图形面积（一）【理论基础】组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。

组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。

由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。

要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2. 仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3. 适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4. 采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

【经典题型1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？分析与解答：由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。

我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。

显然，这个正方形的面积是12×12. 那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。

练习一1. 求四边形ABCD的面积。

（单位：厘米）2. 已知正方形ABCD的边长是8厘米，求正方形EFGH的面积。

3. 有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。

如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。

求原来梯形的面积。

【经典题型2】如图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。

求中间长方形的面积。

分析与解答：图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。

这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。

中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。

即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米）练习二1. （如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。